Pembahasan Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan A dan B adalah sudut-sudut lancip sehingga $ \sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} $ dan $ \cos B = \frac{3}{\sqrt{10}} $ . Besar sudut $ (A + B) $ adalah ...
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $
$ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
*). Untuk melengkapkan sisi-sisi segitiga siku-siku, kita gunakan teorema pythagoras.
*). Jika diketahui nilai trigonometri salah satu sudut, maka untuk mencari nilai trigonometri lainnya kita buatkan perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku.
*). Perkalian bentuk akar : $ \sqrt{a} . \sqrt{b} = \sqrt{ab} $
$ \sin x = \frac{1}{2}\sqrt{2} \rightarrow x = 45^\circ = \frac{\pi}{4} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{de}{mi} $ dan $ \cos B = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{sa}{mi} $
Berikut gambar segitiga siku-siku masing-masing sudutnya :
 

(gambar kedua sigitiga terpisah sesuai sudut masing-masing)
Dari gambar di atas kita peroleh :
$ \cos A = \frac{sa}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $ dan $ \sin B = \frac{de}{mi} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
*). Menentukan besar sudut $ (A+B) $ dengan nilai sin :
$\begin{align} \sin (A + B) & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ & = \frac{1}{\sqrt{5}} . \frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{10}} \\ & = \frac{3}{\sqrt{50}} + \frac{2}{\sqrt{50}} \\ & = \frac{5}{\sqrt{50}} \\ & = \frac{5}{\sqrt{25.2}} \\ & = \frac{5}{5\sqrt{2}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin (A + B) & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ (A + B) & = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \end{align} $
Jadi, besar sudut $ A + B = \frac{\pi}{4} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2018 Matematika IPA Kode 275


Nomor 1
Misalkan A dan B adalah sudut-sudut lancip sehingga $ \sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} $ dan $ \cos B = \frac{3}{\sqrt{10}} $ . Besar sudut $ (A + B) $ adalah ...
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \pi $
Nomor 2
Diberikan persamaan $ 2\sin ^3 x - \cos ^2x - 2\sin x = 0 $ , $ 0 \leq x \leq \frac{3\pi}{2} $ . Jika $ x_1 $ penyelesaian terkecil dan $ x_2 $ penyelesaian terbesar dari persamaan tersebut, maka $ x_2 - x_1 = ...$
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4\pi}{3} \, $ E). $ \frac{5\pi}{3} $
Nomor 3
Akar-akar persamaan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ membentuk deret geometri dengan rasio 2. Nilai $ p + q $ adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $
Nomor 4
Jika $ 2 \, {}^4 \log x - {}^4 \log (4x+3) = -1 $ , maka $ {}^2 \log x = ... $
A). $ {}^2 \log 3 - 1 \, $ B). $ {}^2 \log + 3 \, $
C). $ 1 - {}^2 \log 3 \, $ D). $ -1 - {}^2 \log 3 \, $
E). $ {}^2 \log 3 + {}^3 \log 2 \, $
Nomor 5
Jika $ \alpha $ dan $ \beta $ adalah akar-akar persamaan $ {}^x \log 3 - {}^x \log \left( 2x - 4 + \frac{4}{x} \right) = 1 $ , maka $ \alpha + \beta = ... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

Nomor 6
Diberikan segitiga sama kaki dengan panjang alasnya 10 cm dan tingginya 6 cm. Di dalam segitiga ini dibuat persegi panjang dengan salah satu sisinya terletak pada alas segitiga tersebut. Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah ... cm$^2$
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 20 \, $
Nomor 7
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ 0 $
Nomor 8
Salah satu akar dari persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ adalah $ 0 $ sedangkan dua akar lainnya saling berlawanan tanda. Jika $ a + b + c = - 4 $, maka akar terbesar yang mungkin adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 8 $ D). $ 16 \, $ E). $ 32 $
Nomor 9
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x-5|^2-3|x-5| + 2 < 0 $ adalah ...
A). $ (3,4) \cup [6,7) \, $ B). $ (3,4) \cup (6,7) \, $
C). $ (1,2) \cup (3,4] \, $ D). $ (-\infty , 1) \cup [6, \infty ) \, $
E). $ (-\infty , 2) \cup ( 3, 7) $
Nomor 10
Jika $ m $ adalah bilangan real sedemikian sehingga sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} 5x - 7y = mx \\ 2x - 3y = my \end{array} \right. $ mempunyai solusi $ (x,y) $ yang tidak keduanya nol, maka $ m^2 - 2m = ... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

Nomor 11
Diberikan ABC segitiga sama kaki dengan $ AB = AC $ dan $ \angle BAC = \alpha $. Misalkan titik D pada sisi BC sehingga AD garis tinggi. Jika $ BC = 2 $ , dan $ AD = 1 $ , maka $ \sin \angle BAC = ... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{2}} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{2}} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $
Nomor 12
Invers dari matriks A adalah $ \left( \begin{matrix} \frac{1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \\ \frac{-1}{a-b} & \frac{1}{a+b} \end{matrix} \right) $ . Jika $ B = 2A $ , maka matriks B adalah ...
A). $ \left( \begin{matrix} a-b & a- b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} a-b & -a+ b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} a-b & -a+ b \\ -a-b & a + b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} -a+b & a- b \\ a+b & a + b \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} a+b & a- b \\ a+b & -a + b \end{matrix} \right) $
Nomor 13
Diberikan vektor $ \vec{u} = (a,b,c) $ dan $ \vec{v} = (b, a, 3) $. Jika $ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|^2 $ dan $ |\vec{u} - \vec{v}| = 5 $ , maka nilai $ c^3 + 2c + 2 $ yang mungkin adalah ...
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 14 $
Nomor 14
Fungsi $ f(x) = -\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , mencapai ekstrim pada saat $ x = x_1 $ dan $ x=x_2 $. Nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ...
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \frac{7\pi}{6} \, $ D). $ \frac{4\pi}{3} \, $ E). $ \frac{5\pi}{3} $
Nomor 15
Diberikan garis $ y = \frac{x}{3} $ dan $ y = 3x $. Persamaan lingkaran yang menyinggung dua garis tersebut, berpusat di $ (-a,-a) $ , $ a > 0 $ , dan berjari-jari $ \frac{6}{\sqrt{10}} $ adalah ...
A). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{72}{5} = 0 \, $
B). $ x^2+y^2+6x+6y+\frac{82}{5} = 0 \, $
C). $ x^2+y^2+8x+8y+\frac{72}{5} = 0 \, $
D). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{62}{5} = 0 \, $
E). $ x^2+y^2+9x+9y+\frac{82}{5} = 0 \, $

Pembahasan Barisan Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - b^2x + c = 0 $ adalah $ q $ dan $ 3q $. Jika $ 1, b, c - 4 $ membentuk tiga suku berurutan dari barisan geometri, maka $ \frac{-b^2 + c}{q} = ... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat (PK) $ \, ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan geometri memiliki perbandingan sama.
Misalkan barisan geometri : $ u_1 , u_2 , u_ 3 $ ,
maka $ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ x^2 - b^2x + c = 0 $ adalah $ x_1 = q $ dan $ x_2 = 3q $
-). Operasi akar-akar untuk menyusun persamaannya :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ q + 3q & = \frac{-(-b^2)}{1} \\ 4q & = b^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ q . 3q & = \frac{c}{1} \\ 3q^2 & = c \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). $ 1, b, c - 4 $ adalah barisan geometri. Perbandingan sama :
$\begin{align} \frac{b}{1} & = \frac{c-4}{b} \\ c - 4 & = b^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) dan pers(ii) ke pers(iii)
$\begin{align} c - 4 & = b^2 \\ 3q^2 - 4 & = 4q \\ 3q^2 -4q - 4 & = 0 \\ (3q + 2)(q - 2) & = 0 \\ q = -\frac{2}{3} \vee q & = 2 \end{align} $
-). Dari pers(i) : $ b^2 = 4q $ , maka $ q = 2 $ yang memenuhi karena $ b^2 $ selalu positif.
*). Menentukan nilai $ b $ , $ c $ dan $ \frac{-b^2 + c}{q} $ :
$\begin{align} b^2 & = 4q = 4. 2 = 8 \\ c & = 3q^2 = 3.2^2 = 12 \\ \frac{-b^2 + c}{q} & = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{-b^2 + c}{q} = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^2 \log ab = -1 $ dan $ \frac{{}^2 \log a}{{}^b \log 2} = -6 $ , maka persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $ \frac{8}{3}(a+b) - 9 $ dan $ \frac{a+b}{3a^3b^3} $ adalah ...
A). $ x^2 + 13x - 22 = 0 \, $
B). $ x^2 - 13x + 22 = 0 \, $
C). $ x^2 - 13x - 22 = 0 \, $
D). $ x^2 + 11x - 22 = 0 \, $
E). $ x^2 - 11x + 22 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ \frac{1}{{}^a \log b } = {}^b \log a $
*). Persamaan kuadrat dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
dengan $ HJ = x_1 + x_2 $ dan $ HK = x_1. x_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama
$\begin{align} {}^2 \log ab & = -1 \rightarrow {}^2 \log a + {}^2 \log b = -1 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan Kedua
$\begin{align} \frac{{}^2 \log a}{{}^b \log 2} & = -6 \rightarrow {}^2 \log a . {}^2 \log b = -6 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Dari kedua persamaan yaitu $ {}^2 \log a + {}^2 \log b = -1 $ dan $ {}^2 \log a . {}^2 \log b = -6 $ maka kita peroleh $ {}^2 \log a = -3 $ dan $ {}^2 \log b = 2 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$\begin{align} {}^2 \log a & = -3 \rightarrow a = 2^3 = \frac{1}{8} \\ {}^2 \log b & = 2 \rightarrow b = 2^2 = 4 \end{align} $
*). Menentukan akar-akar persamaan kuadratnya :
$\begin{align} \frac{8}{3}(a+b) - 9 & = \frac{8}{3}\left( \frac{1}{8} + 4 \right) - 9 = \frac{8}{3}\left( \frac{33}{8} \right) - 9 = 11 - 9 = 2 \\ \frac{a+b}{3a^3b^3} & = \frac{\frac{1}{8} + 4}{3(\frac{1}{8}. 4)^3} = \frac{\frac{33}{8} }{\frac{3}{8}} = 11 \end{align} $
Sehingga akar-akar persamaan kuadratnya adalah 2 dan 11
$ HJ = 2 + 11 = 13 $ dan $ HK = 2. 11 = 22 $
*). Menyusun persamaan kuadratnya :
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + HK & = 0 \\ x^2 - 13x + 22 & = 0 \end{align} $
Jadi, PK nya adalah $ x^2 - 13x + 22 = 0 . \, \heartsuit $