Pembahasan Limit TakHingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 146

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\csc ^2 \left( \frac{2}{x} \right) - x^3 \sin \left( \frac{4}{x} \right)}{x^2} = .... $
A). $ -\frac{23}{4} \, $ B). $ -\frac{21}{4} \, $ C). $ -\frac{19}{4} \, $ D). $ -\frac{17}{4} \, $ E). $ -\frac{15}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{ ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $ dan $ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{ \sin ay}{ by} = \frac{a}{b} $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y \rightarrow x = \frac{1}{y}$, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\csc ^2 \left( \frac{2}{x} \right) - x^3 \sin \left( \frac{4}{x} \right)}{x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\csc ^2 2y - (\frac{1}{y})^3 \sin 4y}{(\frac{1}{y})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\csc ^2 2y - \frac{1}{y^3}. \sin 4y}{\frac{1}{y^2} } \times \frac{y^2}{y^2} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y^2\csc ^2 2y - \frac{1}{y} \sin 4y}{1} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( y^2 . \frac{1}{\sin ^2 2y} - \frac{\sin 4y}{y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{y^2}{\sin ^2 2y} - \frac{\sin 4y}{y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{y }{\sin 2y}.\frac{y }{\sin 2y} - \frac{\sin 4y}{y} \right) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} - 4 = \frac{1}{4} - 4 \\ & = \frac{1}{4} - \frac{16}{4} = -\frac{15}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -\frac{15}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 146

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ p(x) = q(x)(x-1) + a $. Jika $ p(x)=x^3-ax^2-5x+4a $ , maka nilai $ q(-1) $ adalah ....
A). $ -8 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 8 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai tertentu pada suku banyak (polinom), bisa langsung substitusikan saja nilai $ x $ (variabelnya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ p(x) = q(x)(x-1) + a \, $ dengan $ p(x)=x^3-ax^2-5x+4a $
ganti $ p(x) $ sehingga :
$ x^3-ax^2-5x+4a = q(x)(x-1) + a $
*). Substitusikan $ x = 1 $ untuk menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} x^3-ax^2-5x+4a & = q(x)(x-1) + a \\ 1^3-a.1^2-5.1+4a & = q(1)(1-1) + a \\ 1 -a -5 +4a & = q(1). 0 + a \\ -4 + 3a & = 0 + a \\ 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ q(-1)$ dengan substitusi $ x=-1 $ dan $ a = 2 $ :
$\begin{align} x^3-ax^2-5x+4a & = q(x)(x-1) + a \\ (-1)^3-2.(-1)^2-5.(-1)+4.2 & = q(-1)(-1-1) + 2 \\ -1 - 2 + 5 + 8 & = q(-1) . (-2) + 2 \\ 10 & = -2q(-1) + 2 \\ 2q(-1) & = -8 \\ q(-1) & = -4 \end{align} $
Jadi, nilai $ q(-1) = -4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 146

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah solusi dari $ \csc ^2x+3\csc x - 10 = 0 $ , dengan $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ , maka $ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = ...... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar Trigonometri :
$ \csc x = \frac{1}{\sin x } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} \csc ^2x+3\csc x - 10 & = 0 \\ \frac{1}{\sin ^2 x}+3. \frac{1}{\sin x} - 10 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali }\sin ^2 x) \\ 1+3 \sin x - 10\sin ^2 x & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 10\sin ^2 x - 3\sin x - 1 & = 0 \\ (5\sin x + 1)(2\sin x - 1) & = 0 \\ \sin x = -\frac{1}{5} \vee \sin x & = \frac{1}{2} \\ \sin x_1 = -\frac{1}{5} \vee \sin x_2 & = \frac{1}{2} \\ \end{align} $
Sehingga nilai :
$ \begin{align} \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} & = \frac{-\frac{1}{5} + \frac{1}{2} }{-\frac{1}{5} . \frac{1}{2} } \\ & = \frac{-\frac{1}{5} + \frac{1}{2} }{-\frac{1}{10}} \times \frac{10}{10} \\ & = \frac{-2 + 5}{-1} = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = -3 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Kita juga bisa menggunakan rumus operasi akar pada persamaan kuadrat yaitu $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Bentuk $ 10\sin ^2 x - 3\sin x - 1 = 0 $
$ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = \frac{\frac{-(-3)}{10}}{\frac{-1}{10}} = -3 $
*). Alternatif lainnya langsung dari persamaan : $ \csc ^2x+3\csc x - 10 = 0 $
$ \begin{align} \csc x_1 + \csc x_2 & = \frac{-3}{1} \\ \frac{1}{\sin x_1} + \frac{1}{\sin x_2} & = -3 \\ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} & = -3 \end{align} $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 146


Nomor 1
Jika $ x , y $ adalah solusi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{y+1} + \frac{3y}{x+1} = 2 \\ -\frac{3x}{y+1} + \frac{6y}{x+1} = - 1 \\ \end{array} \right. $
maka $ x + 2y = .... $
A). $ \frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{7}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Banyak bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} \leq 1 $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $
Nomor 4
Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} , \, \vec{b} , \, $ dan $ \vec{ c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, \, 1) , \, \vec{b} \bot \vec{c} , \, $ dan $ \vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $|\vec{a}| = 5 $ dan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adlah $ \alpha $ , maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} , \vec{b}, $ dan $\vec{c} $ adalah ....
A). $ 5\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{\sqrt{5}}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{5}} \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $
Nomor 5
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah solusi dari $ \csc ^2x+3\csc x - 10 = 0 $ , dengan $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ , maka $ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = ...... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 \, $

Nomor 6
Persamaan hiperbola yang mempunyai asimtot $ y = 2x $ dan $ y = 4 - 2x $, serta melalui $ (3,0) $ adalah .....
A). $ (x-1)^2 - 4 (y + 2)^2 = 4 \, $
B). $ (x-1)^2 - 4(y - 2)^2 = 12 \, $
C). $ 4(x-1)^2 - (y - 2)^2 = 4 \, $
D). $ 4(x-1)^2 - (y - 2)^2 = 12 \, $
E). $ 4(x-1)^2 - (y + 2)^2 = 12 $
Nomor 7
Misalkan $ p(x) = q(x)(x-1) + a $. Jika $ p(x)=x^3-ax^2-5x+4a $ , maka nilai $ q(-1) $ adalah ....
A). $ -8 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 8 \, $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{\sec x + \cos x - 2}{x^2 \sin ^2 x} = .... $
A). $ -\frac{1}{8} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{8} $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\csc ^2 \left( \frac{2}{x} \right) - x^3 \sin \left( \frac{4}{x} \right)}{x^2} = .... $
A). $ -\frac{23}{4} \, $ B). $ -\frac{21}{4} \, $ C). $ -\frac{19}{4} \, $ D). $ -\frac{17}{4} \, $ E). $ -\frac{15}{4} \, $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ dan $ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ , dengan $ b < 0 $. Jika asimtot-asimtot tegak grafik fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan dari salah satu asimtot tegak grafik fungsi $ f $, maka $ (b + c) $ yang mungkin adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -1 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \sin (\sin ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 2\sin x. \cos (\sin ^2x) \, $
B). $ 2\sin 2x. \cos (\sin ^2x) \, $
C). $ \sin ^2 x. \cos (\sin ^2x) \, $
D). $ \sin ^2 2 x. \cos (\sin ^2x) \, $
E). $ \sin 2x. \cos (\sin ^2x) $
Nomor 14
Jika garis $ y = 7x - 16 $ menyinggung kurva $ y = px^3 + qx $ di $ x = 2 $, maka $ p - q = ..... $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $