Kode 381 Pembahasan Jarak Terdekat Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b) $ pada kurva $ y = x^2 + 2 \, $ dan mempunyai jarak terdekat ke garis $ y = x \, $ , nilai $ a+ b \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 2\frac{1}{4} \, $ B). $ 2\frac{1}{2} \, $ C). $ 2\frac{3}{4} \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 3\frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Jarak dan Turunan
*). Suatu fungsi $f(a) \, $ minimum pada saat $ a \, $ memenuhi $ f^\prime (a) = 0 $.
*). Jarak titik $ (m,n) $ ke garis $ px+qy + c = 0 \, $ adalah
Jarak $ = \left| \frac{p.m + q.n + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $
*). Definisi nilai mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x &, x < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 
Titik $(a,b)$ terletak pada kurva $ y = x^2 + 2 \, $ , artinya bisa kita substitusikan, sehingga $ b = a^2 + 2 $, ini berarati titik $ A(a,b) = A(a, a^2 + 2) $.
*). Jarak titik $ A(a,a^2+2) \, $ ke garis $ y = x \, $ atau $ x - y = 0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{p.m + q.n + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{a - (a^2 + 2)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{a - a^2 - 2}{\sqrt{2}} \right| \\ f(a) & = \frac{a^2 - a + 2)}{\sqrt{2}} \, \, \, \, \, \text{(turunannya)} \\ f^\prime (a) & = \frac{1)}{\sqrt{2}} (2a - 1) \end{align} $
*). Syarat agar nilai $ f(a) \, $ atau jaraknya minimum :
$\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ \frac{1)}{\sqrt{2}} (2a - 1) & = 0 \\ a & = \frac{1}{2} \end{align} $
Artinya jaraknya akan minimum pada saat $ a = \frac{1}{2} $.
Sehingga nilai $ b $ :
$ b = a^2 + 2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 = \frac{9}{4} $.
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = \frac{1}{2} + \frac{9}{4} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 2\frac{3}{4} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Peluang Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan bulat positif lima angka, dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama adalah ....
A). $ 810 \, $ B). $ 720 \, $ C). $ 120 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Penyusunan beberapa unsur berbeda menggunakan permutasi berulang.
Contoh :
total susunan dari angka 23347 jika diacak yaitu $ \frac{5!}{2!} $
Keterangan : total ada 5 angka (2,3,3,4,7) dan ada 2 yang sama (3 dan 3).
*). Pemilihan beberapa unsur dengan urutan tidak diperhatikan, menggunakan kombinasi dengan rumus : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Terdapat tepat tiga angka yang sama, artinya dua bilangan lain harus berbeda dari lima angka yang terbentuk.
*). Pilihan angka setiap digit ada 10 pilingan angka yaitu {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Kita bagi menjadi dua kasus :
i). Kasus pertama : yang sama angka 1.
 
-). Proses pengacakan 4 kotak/digit terakhir ada
$ \frac{4!}{2!} = 12 \, $ cara.
-). Nilai $ a \, $ dan $ b \, $ tidak boleh angka 1 dan berbeda yang bisa dipilih dari angka-angaka {0,2,3,4,5,6,7,8,9}.
banyak cara pemilihannya = $ C_2^9 = 36 \, $ cara .
Sehingga total cara kemungkinan pertama :
Cara I = $ 12 \times 36 = 432 \, $ cara.

ii). Kasus kedua : yang sama bukan angka 1,
 
-). Proses pengacakan 4 kotak/digit terakhir ada
$ \frac{4!}{3!} = 4 \, $ cara.
-). Nilai $ a \, $ ada 9 pilihan selain angka 1.
-). Nilai $ b \, $ ada 8 pilihan selain 1 dan $ a $.
Sehingga total cara kemungkinan pertama :
Cara II = $ 4 \times 9 \times 8 = 288 \, $ cara.

*). Total kemungkinan banyaknya angka yang terbentuk :
Total = cara I + cara II = 432 + 288 = 720 angka.
Jadi, ada 720 bilangan yang terbentuk.$ \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Integral Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx = .... $
A). $ \frac{3\pi - 8}{8\pi} $
B). $ \frac{3\pi - 4}{4\pi} $
C). $ \frac{3\pi + 4}{4\pi} $
D). $ \frac{3\pi + 8}{8\pi} $
E). $ \frac{3}{4} + \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
$ \int (ax+b)^n \, dx = \frac{1}{a(n+1)} (ax+b)^{n+1} + c $
$ \int \sin ax \, dx = -\frac{1}{a} \cos ax + c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Integralnya :
$\begin{align} & \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx \\ & = \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( (2x-1)^\frac{1}{3} + \sin \pi x \right) \, dx \\ & = \left[ \frac{1}{2} . \frac{3}{4} (2x-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi x \right]_\frac{1}{2}^1 \\ & = \left[ \frac{3}{8} (2x-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi x \right]_\frac{1}{2}^1 \\ & = \left[ \frac{3}{8} (2.1-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi .1 \right] \\ & \, \, \, \, \, - \left[ \frac{3}{8} (2.\frac{1}{2}-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi . \frac{1}{2} \right] \\ & = \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{\pi} \right) - \left( 0 - 0 \right) \\ & = \frac{3}{8} + \frac{1}{\pi} \\ & = \frac{3\pi + 8}{8\pi} \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ \frac{3\pi + 8}{8\pi} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Turunan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p $ merupakan bilangan rasional sehingga fungsi $ f(x) = (x-1)^2(3-x^2) \, $ mencapai minimum di $ x = p \, $ , maka $ f(p+1) = .... $
A). $-1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan
*). Nilai maksimum atau minimum
Fungsi $ f(x) \, $ minimum/maksimum pada saat $ x \, $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Turunan perkalian fungsi :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya
$\begin{align} f(x) & = (x-1)^2(3-x^2) \\ f^\prime (x) & = U^\prime.V + U.V^\prime \\ f^\prime (x) & =2(x-1).(3-x^2) + (x-1)^2.(-2x) \\ & =(x-1)[2(3-x^2) + (x-1).(-2x)] \\ & =(x-1)[6 - 2x^2 + (-2x^2 + 2x)] \\ & =(x-1)[-4x^2 + 2x + 6] \\ & =(x-1).(-2)[2x^2 - x - 3] \\ & =(x-1).(-2).(2x-3)(x+1) \\ & =-2(x-1)(2x-3)(x+1) \end{align} $
*). Syarat nilai minimum/maksimum :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ -2(x-1)(2x-3)(x+1) & = 0 \\ x = 1 , \, x = \frac{3}{2} , \, x & = -1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x \, $ yang menyebabkan minimum :
Fungsi $ f(x) = (x-1)^2(3-x^2) $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f(1) & = (1-1)^2(3-1^2) = 0 \\ x = \frac{3}{2} \rightarrow f(\frac{3}{2}) & = (\frac{3}{2}-1)^2(3-(\frac{3}{2})^2) = \frac{3}{16} \\ x = -1\rightarrow f(-1) & = (-1-1)^2(3-(-1)^2) = 8 \end{align} $
Artinya $ f(x) \, $ minimum pada saat $ x = 1 $,
Sehingga $ x = p \, $ dengan $ p = 1 $.
*). Menentukan nilai $ f(p+1) \, $ dengan $ p = 1 $ :
$\begin{align} f(p+1) & = f(1+1) = f(2) \\ & = (2-1)^2(3-2^2) \\ & = 1. (-1) \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(p+1) = -1 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Limit Trigonometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{1 - \cos (x+3)}{(x^2+6x+9)(x-3)} = ..... $
A). $ -\frac{1}{12} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{12} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan $ f(k) = 0 $
*). Trogonometri :
$ \cos f(x) = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} f(x) $
Sehingga bentuk :
$ \cos (x+3) = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) \, $ dan
$ \begin{align} 1 - \cos (x+3) & = 1 - (1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) ) \\ & = 2 \sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) \\ & = 2 \sin \frac{1}{2} (x+3) \sin \frac{1}{2} (x+3) \end{align} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{1 - \cos (x+3)}{(x^2+6x+9)(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{2 \sin \frac{1}{2} (x+3) \sin \frac{1}{2} (x+3)}{(x+3)(x+3)(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{2}{(x-3)} . \frac{ \sin \frac{1}{2} (x+3)}{(x+3) } . \frac{ \sin \frac{1}{2} (x+3) }{(x+3)} \\ & = \frac{2}{-3-3} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \\ & = - \frac{1}{12} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ - \frac{1}{12} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Barisan Geometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a_n \, $ menyatakan suku ke-$n$ barisan geometri dengan rasio $ r , $ mempunyai sifat $ 0 < r \leq 1 , \, a_3 - a_4 = \frac{5}{8} $ , dan $ \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} = -\frac{4}{5} $ , maka $ (r-1)^2 = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Persamaan pertama, $ a_3 - a_4 = \frac{5}{8} $
$\begin{align} a_3 - a_4 & = \frac{5}{8} \\ ar^2 - ar^3 & = \frac{5}{8} \\ ar^2(1 - r) & = \frac{5}{8} \\ a & = \frac{5}{8r^2(1 - r)} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
Persamaan kedua, $ \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} = -\frac{4}{5} $
$\begin{align} \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{1}{ar^2} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{1 \times r}{ar^2 \times r} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{ r}{ar^3} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{ r - 1 }{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ r-1 & = -\frac{4}{5} ar^3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} r-1 & = -\frac{4}{5} ar^3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ r-1 & = -\frac{4}{5} \times \frac{5}{8r^2(1 - r)} \times r^3 \\ r-1 & = - \frac{1}{2(1 - r)} r \\ (r-1) \times 2(1 - r) & = -r \\ -2r^2 + 4r - 2 & = -r \\ 2r^2 - 5r + 2 & = 0 \\ (2r-1)(r-2) & = 0 \\ r = \frac{1}{2} \vee r & = 2 \end{align} $
Karena syarat $ 0 < r \leq 1 $ , maka $ r = \frac{1}{2} \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $(r-1)^2 $ :
$(r-1)^2 = (\frac{1}{2} -1)^2 =(-\frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{4} $
Jadi, nilai $ (r-1)^2 = \frac{1}{4} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Barisan Aritmetika Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^{(5x+9)} \log (x^2+6x+9) + {}^{(x+3)} \log (5x^2+ 24x + 27) = 4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). Jika diketahui $ S_n \, $ deret aritmetika, maka berlaku $ U_n = S_n - S_{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan suku ke-10 ($U_{10}$) dengan diketahui $ S_n = \frac{1}{2}n(13-3n) $
$\begin{align} U_n & = S_n - S_{n-1} \\ U_{10} & = S_{10} - S_{10-1} \\ & = S_{10} - S_{9} \\ & = \frac{1}{2}.10.(13-3.10) - \frac{1}{2}.9.(13-3.9) \\ & = 5.(13-30) - \frac{1}{2}.9.(13-27) \\ & = 5.(-17) - \frac{1}{2}.9.(-14) \\ & = 5.(-17) - 9.(-7) \\ & = -85 + 63 \\ & = -22 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{10} = -22 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)