Processing math: 63%

Kode 381 Pembahasan Jarak Terdekat Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik (a,b) pada kurva y=x2+2 dan mempunyai jarak terdekat ke garis y=x , nilai a+b yang memenuhi adalah ....
A). 214 B). 212 C). 234 D). 3 E). 314

♠ Konsep Dasar Jarak dan Turunan
*). Suatu fungsi f(a) minimum pada saat a memenuhi f′(a)=0.
*). Jarak titik (m,n) ke garis px+qy+c=0 adalah
Jarak =|p.m+q.n+c√p2+q2|
*). Definisi nilai mutlak :
|x|={x,x≥0−x,x<0

♣ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 
Titik (a,b) terletak pada kurva y=x2+2 , artinya bisa kita substitusikan, sehingga b=a2+2, ini berarati titik A(a,b)=A(a,a2+2).
*). Jarak titik A(a,a2+2) ke garis y=x atau x−y=0 :
Jarak =|p.m+q.n+c√p2+q2|f(a)=|a−(a2+2)√12+(−1)2|f(a)=|a−a2−2√2|f(a)=a2−a+2)√2(turunannya)f′(a)=1)√2(2a−1)
*). Syarat agar nilai f(a) atau jaraknya minimum :
f′(a)=01)√2(2a−1)=0a=12
Artinya jaraknya akan minimum pada saat a=12.
Sehingga nilai b :
b=a2+2=(12)2+2=94.
*). Menentukan nilai a+b :
a+b=12+94=114=234
Jadi, nilai a+b=234.♡



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Peluang Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan bulat positif lima angka, dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama adalah ....
A). 810 B). 720 C). 120 D). 60 E). 20

♠ Konsep Dasar Peluang
*). Penyusunan beberapa unsur berbeda menggunakan permutasi berulang.
Contoh :
total susunan dari angka 23347 jika diacak yaitu 5!2!
Keterangan : total ada 5 angka (2,3,3,4,7) dan ada 2 yang sama (3 dan 3).
*). Pemilihan beberapa unsur dengan urutan tidak diperhatikan, menggunakan kombinasi dengan rumus : Cnr=n!(n−r)!.r!

♣ Pembahasan
*). Terdapat tepat tiga angka yang sama, artinya dua bilangan lain harus berbeda dari lima angka yang terbentuk.
*). Pilihan angka setiap digit ada 10 pilingan angka yaitu {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Kita bagi menjadi dua kasus :
i). Kasus pertama : yang sama angka 1.
 
-). Proses pengacakan 4 kotak/digit terakhir ada
4!2!=12 cara.
-). Nilai a dan b tidak boleh angka 1 dan berbeda yang bisa dipilih dari angka-angaka {0,2,3,4,5,6,7,8,9}.
banyak cara pemilihannya = C92=36 cara .
Sehingga total cara kemungkinan pertama :
Cara I = 12×36=432 cara.

ii). Kasus kedua : yang sama bukan angka 1,
 
-). Proses pengacakan 4 kotak/digit terakhir ada
4!3!=4 cara.
-). Nilai a ada 9 pilihan selain angka 1.
-). Nilai b ada 8 pilihan selain 1 dan a.
Sehingga total cara kemungkinan pertama :
Cara II = 4×9×8=288 cara.

*). Total kemungkinan banyaknya angka yang terbentuk :
Total = cara I + cara II = 432 + 288 = 720 angka.
Jadi, ada 720 bilangan yang terbentuk.♡



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Integral Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
1∫12(3√2x−1+sinπx)dx=....
A). 3π−88π
B). 3π−44π
C). 3π+44π
D). 3π+88π
E). 34+π

♠ Konsep Dasar Integral
∫(ax+b)ndx=1a(n+1)(ax+b)n+1+c
∫sinaxdx=−1acosax+c

♣ Pembahasan
*). Menentukan Integralnya :
1∫12(3√2x−1+sinπx)dx=1∫12((2x−1)13+sinπx)dx=[12.34(2x−1)43−1πcosπx]112=[38(2x−1)43−1πcosπx]112=[38(2.1−1)43−1πcosπ.1]−[38(2.12−1)43−1πcosπ.12]=(38+1π)−(0−0)=38+1π=3π+88π
Jadi, hasil integralnya adalah 3π+88π.♡



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Turunan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika p merupakan bilangan rasional sehingga fungsi f(x)=(x−1)2(3−x2) mencapai minimum di x=p , maka f(p+1)=....
A). −1 B). 0 C). 1 D). 3 E). 16

♠ Konsep Dasar Turunan
*). Nilai maksimum atau minimum
Fungsi f(x) minimum/maksimum pada saat x memenuhi f′(x)=0
*). Turunan perkalian fungsi :
y=U.V→y′=U′.V+U.V′

♣ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya
f(x)=(x−1)2(3−x2)f′(x)=U′.V+U.V′f′(x)=2(x−1).(3−x2)+(x−1)2.(−2x)=(x−1)[2(3−x2)+(x−1).(−2x)]=(x−1)[6−2x2+(−2x2+2x)]=(x−1)[−4x2+2x+6]=(x−1).(−2)[2x2−x−3]=(x−1).(−2).(2x−3)(x+1)=−2(x−1)(2x−3)(x+1)
*). Syarat nilai minimum/maksimum :
f′(x)=0−2(x−1)(2x−3)(x+1)=0x=1,x=32,x=−1
*). Menentukan nilai x yang menyebabkan minimum :
Fungsi f(x)=(x−1)2(3−x2)
x=1→f(1)=(1−1)2(3−12)=0x=32→f(32)=(32−1)2(3−(32)2)=316x=−1→f(−1)=(−1−1)2(3−(−1)2)=8
Artinya f(x) minimum pada saat x=1,
Sehingga x=p dengan p=1.
*). Menentukan nilai f(p+1) dengan p=1 :
f(p+1)=f(1+1)=f(2)=(2−1)2(3−22)=1.(−1)=−1
Jadi, nilai f(p+1)=−1.♡



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Limit Trigonometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
lim
A). -\frac{1}{12} \, B). -\frac{1}{2} \, C). \frac{1}{12} \, D). \frac{1}{2} \, E). 1

\spadesuit Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Limit :
\displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, dengan f(k) = 0
*). Trogonometri :
\cos f(x) = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} f(x)
Sehingga bentuk :
\cos (x+3) = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) \, dan
\begin{align} 1 - \cos (x+3) & = 1 - (1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) ) \\ & = 2 \sin ^2 \frac{1}{2} (x+3) \\ & = 2 \sin \frac{1}{2} (x+3) \sin \frac{1}{2} (x+3) \end{align}

\clubsuit Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{1 - \cos (x+3)}{(x^2+6x+9)(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{2 \sin \frac{1}{2} (x+3) \sin \frac{1}{2} (x+3)}{(x+3)(x+3)(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -3 } \frac{2}{(x-3)} . \frac{ \sin \frac{1}{2} (x+3)}{(x+3) } . \frac{ \sin \frac{1}{2} (x+3) }{(x+3)} \\ & = \frac{2}{-3-3} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \\ & = - \frac{1}{12} \end{align}
Jadi, nilai limitnya adalah - \frac{1}{12} . \, \heartsuit



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Barisan Geometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika a_n \, menyatakan suku ke-n barisan geometri dengan rasio r , mempunyai sifat 0 < r \leq 1 , \, a_3 - a_4 = \frac{5}{8} , dan \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} = -\frac{4}{5} , maka (r-1)^2 = ....
A). 1 \, B). \frac{1}{2} \, C). \frac{1}{4} \, D). \frac{1}{16} \, E). 0

\spadesuit Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-n : U_n = ar^{n-1}

\clubsuit Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Persamaan pertama, a_3 - a_4 = \frac{5}{8}
\begin{align} a_3 - a_4 & = \frac{5}{8} \\ ar^2 - ar^3 & = \frac{5}{8} \\ ar^2(1 - r) & = \frac{5}{8} \\ a & = \frac{5}{8r^2(1 - r)} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}
Persamaan kedua, \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} = -\frac{4}{5}
\begin{align} \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{1}{ar^2} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{1 \times r}{ar^2 \times r} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{ r}{ar^3} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{ r - 1 }{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ r-1 & = -\frac{4}{5} ar^3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
\begin{align} r-1 & = -\frac{4}{5} ar^3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ r-1 & = -\frac{4}{5} \times \frac{5}{8r^2(1 - r)} \times r^3 \\ r-1 & = - \frac{1}{2(1 - r)} r \\ (r-1) \times 2(1 - r) & = -r \\ -2r^2 + 4r - 2 & = -r \\ 2r^2 - 5r + 2 & = 0 \\ (2r-1)(r-2) & = 0 \\ r = \frac{1}{2} \vee r & = 2 \end{align}
Karena syarat 0 < r \leq 1 , maka r = \frac{1}{2} \, yang memenuhi.
*). Menentukan nilai (r-1)^2 :
(r-1)^2 = (\frac{1}{2} -1)^2 =(-\frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{4}
Jadi, nilai (r-1)^2 = \frac{1}{4} . \, \heartsuit



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Barisan Aritmetika Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan {}^{(5x+9)} \log (x^2+6x+9) + {}^{(x+3)} \log (5x^2+ 24x + 27) = 4 \, adalah ....
A). \frac{19}{4} \, B). 4 \, C). \frac{15}{4} \, D). \frac{13}{4} \, E). 3

\spadesuit Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). Jika diketahui S_n \, deret aritmetika, maka berlaku U_n = S_n - S_{n-1}

\clubsuit Pembahasan
*). Menentukan suku ke-10 (U_{10}) dengan diketahui S_n = \frac{1}{2}n(13-3n)
\begin{align} U_n & = S_n - S_{n-1} \\ U_{10} & = S_{10} - S_{10-1} \\ & = S_{10} - S_{9} \\ & = \frac{1}{2}.10.(13-3.10) - \frac{1}{2}.9.(13-3.9) \\ & = 5.(13-30) - \frac{1}{2}.9.(13-27) \\ & = 5.(-17) - \frac{1}{2}.9.(-14) \\ & = 5.(-17) - 9.(-7) \\ & = -85 + 63 \\ & = -22 \end{align}
Jadi, nilai U_{10} = -22 . \, \heartsuit



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)