Pembahasan Limit TakHingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 146

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\csc ^2 \left( \frac{2}{x} \right) - x^3 \sin \left( \frac{4}{x} \right)}{x^2} = .... $
A). $ -\frac{23}{4} \, $ B). $ -\frac{21}{4} \, $ C). $ -\frac{19}{4} \, $ D). $ -\frac{17}{4} \, $ E). $ -\frac{15}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{ ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $ dan $ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{ \sin ay}{ by} = \frac{a}{b} $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y \rightarrow x = \frac{1}{y}$, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\csc ^2 \left( \frac{2}{x} \right) - x^3 \sin \left( \frac{4}{x} \right)}{x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\csc ^2 2y - (\frac{1}{y})^3 \sin 4y}{(\frac{1}{y})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\csc ^2 2y - \frac{1}{y^3}. \sin 4y}{\frac{1}{y^2} } \times \frac{y^2}{y^2} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y^2\csc ^2 2y - \frac{1}{y} \sin 4y}{1} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( y^2 . \frac{1}{\sin ^2 2y} - \frac{\sin 4y}{y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{y^2}{\sin ^2 2y} - \frac{\sin 4y}{y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{y }{\sin 2y}.\frac{y }{\sin 2y} - \frac{\sin 4y}{y} \right) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} - 4 = \frac{1}{4} - 4 \\ & = \frac{1}{4} - \frac{16}{4} = -\frac{15}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -\frac{15}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 146

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ p(x) = q(x)(x-1) + a $. Jika $ p(x)=x^3-ax^2-5x+4a $ , maka nilai $ q(-1) $ adalah ....
A). $ -8 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 8 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai tertentu pada suku banyak (polinom), bisa langsung substitusikan saja nilai $ x $ (variabelnya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ p(x) = q(x)(x-1) + a \, $ dengan $ p(x)=x^3-ax^2-5x+4a $
ganti $ p(x) $ sehingga :
$ x^3-ax^2-5x+4a = q(x)(x-1) + a $
*). Substitusikan $ x = 1 $ untuk menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} x^3-ax^2-5x+4a & = q(x)(x-1) + a \\ 1^3-a.1^2-5.1+4a & = q(1)(1-1) + a \\ 1 -a -5 +4a & = q(1). 0 + a \\ -4 + 3a & = 0 + a \\ 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ q(-1)$ dengan substitusi $ x=-1 $ dan $ a = 2 $ :
$\begin{align} x^3-ax^2-5x+4a & = q(x)(x-1) + a \\ (-1)^3-2.(-1)^2-5.(-1)+4.2 & = q(-1)(-1-1) + 2 \\ -1 - 2 + 5 + 8 & = q(-1) . (-2) + 2 \\ 10 & = -2q(-1) + 2 \\ 2q(-1) & = -8 \\ q(-1) & = -4 \end{align} $
Jadi, nilai $ q(-1) = -4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 146

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah solusi dari $ \csc ^2x+3\csc x - 10 = 0 $ , dengan $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ , maka $ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = ...... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar Trigonometri :
$ \csc x = \frac{1}{\sin x } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} \csc ^2x+3\csc x - 10 & = 0 \\ \frac{1}{\sin ^2 x}+3. \frac{1}{\sin x} - 10 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali }\sin ^2 x) \\ 1+3 \sin x - 10\sin ^2 x & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 10\sin ^2 x - 3\sin x - 1 & = 0 \\ (5\sin x + 1)(2\sin x - 1) & = 0 \\ \sin x = -\frac{1}{5} \vee \sin x & = \frac{1}{2} \\ \sin x_1 = -\frac{1}{5} \vee \sin x_2 & = \frac{1}{2} \\ \end{align} $
Sehingga nilai :
$ \begin{align} \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} & = \frac{-\frac{1}{5} + \frac{1}{2} }{-\frac{1}{5} . \frac{1}{2} } \\ & = \frac{-\frac{1}{5} + \frac{1}{2} }{-\frac{1}{10}} \times \frac{10}{10} \\ & = \frac{-2 + 5}{-1} = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = -3 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Kita juga bisa menggunakan rumus operasi akar pada persamaan kuadrat yaitu $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Bentuk $ 10\sin ^2 x - 3\sin x - 1 = 0 $
$ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = \frac{\frac{-(-3)}{10}}{\frac{-1}{10}} = -3 $
*). Alternatif lainnya langsung dari persamaan : $ \csc ^2x+3\csc x - 10 = 0 $
$ \begin{align} \csc x_1 + \csc x_2 & = \frac{-3}{1} \\ \frac{1}{\sin x_1} + \frac{1}{\sin x_2} & = -3 \\ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} & = -3 \end{align} $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 146


Nomor 1
Jika $ x , y $ adalah solusi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{y+1} + \frac{3y}{x+1} = 2 \\ -\frac{3x}{y+1} + \frac{6y}{x+1} = - 1 \\ \end{array} \right. $
maka $ x + 2y = .... $
A). $ \frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{7}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Banyak bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} \leq 1 $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $
Nomor 4
Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} , \, \vec{b} , \, $ dan $ \vec{ c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, \, 1) , \, \vec{b} \bot \vec{c} , \, $ dan $ \vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $|\vec{a}| = 5 $ dan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adlah $ \alpha $ , maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} , \vec{b}, $ dan $\vec{c} $ adalah ....
A). $ 5\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{\sqrt{5}}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{5}} \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $
Nomor 5
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah solusi dari $ \csc ^2x+3\csc x - 10 = 0 $ , dengan $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ , maka $ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = ...... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 \, $

Nomor 6
Persamaan hiperbola yang mempunyai asimtot $ y = 2x $ dan $ y = 4 - 2x $, serta melalui $ (3,0) $ adalah .....
A). $ (x-1)^2 - 4 (y + 2)^2 = 4 \, $
B). $ (x-1)^2 - 4(y - 2)^2 = 12 \, $
C). $ 4(x-1)^2 - (y - 2)^2 = 4 \, $
D). $ 4(x-1)^2 - (y - 2)^2 = 12 \, $
E). $ 4(x-1)^2 - (y + 2)^2 = 12 $
Nomor 7
Misalkan $ p(x) = q(x)(x-1) + a $. Jika $ p(x)=x^3-ax^2-5x+4a $ , maka nilai $ q(-1) $ adalah ....
A). $ -8 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 8 \, $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{\sec x + \cos x - 2}{x^2 \sin ^2 x} = .... $
A). $ -\frac{1}{8} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{8} $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\csc ^2 \left( \frac{2}{x} \right) - x^3 \sin \left( \frac{4}{x} \right)}{x^2} = .... $
A). $ -\frac{23}{4} \, $ B). $ -\frac{21}{4} \, $ C). $ -\frac{19}{4} \, $ D). $ -\frac{17}{4} \, $ E). $ -\frac{15}{4} \, $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ dan $ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ , dengan $ b < 0 $. Jika asimtot-asimtot tegak grafik fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan dari salah satu asimtot tegak grafik fungsi $ f $, maka $ (b + c) $ yang mungkin adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -1 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \sin (\sin ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 2\sin x. \cos (\sin ^2x) \, $
B). $ 2\sin 2x. \cos (\sin ^2x) \, $
C). $ \sin ^2 x. \cos (\sin ^2x) \, $
D). $ \sin ^2 2 x. \cos (\sin ^2x) \, $
E). $ \sin 2x. \cos (\sin ^2x) $
Nomor 14
Jika garis $ y = 7x - 16 $ menyinggung kurva $ y = px^3 + qx $ di $ x = 2 $, maka $ p - q = ..... $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $

Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung dari kurva $ y = \frac{x}{1-x} $ pada $ x = a $ memotong garis $ y = -x $ di titik $ (b, -b) $ , maka $ b = ..... $
A). $ \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} \, $ B). $ \frac{a^2}{1-a} \, $
C). $ \frac{a^2-1}{2a} \, $ D). $ \frac{a^2}{2 + a} \, $ E). $ \frac{a^2}{2-a} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). Turunan fungsi perkalian :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ x_1 = a $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \frac{x}{1-x} \rightarrow y = \frac{a}{1-a} \end{align} $
*). Titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = \left( a,\frac{a}{1-a} \right) $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya di $ x_1 = a $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{x}{1-x} \\ f^\prime (x) & = \frac{1.(1-x) - x.(-1)}{(1-x)^2} \\ m & = f^\prime (a) = \frac{1}{(1-a)^2} \\ \end{align} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - \frac{a}{1-a} & = \frac{1}{(1-a)^2}.(x -a) \end{align} $
*). Karena garis singgung berpotongan dengan $ y = -x $ di titik $ (b, -b) $, maka titik $ (b,-b) $ juga dilalui oleh garis singgungnya sehingga bisa kita substitusi ke gari singgungnya :
$ \begin{align} y - \frac{a}{1-a} & = \frac{1}{(1-a)^2}.(x -a) \\ -b - \frac{a}{1-a} & = \frac{1}{(1-a)^2}.(b -a) \\ (1-a)^2 (-b - \frac{a}{1-a} ) & = (b -a) \\ -b(1-a)^2 - a(1-a) & = (b -a) \\ a - a(1-a) & = b + b(1-a)^2 \\ a - a + a^2 & = b(1+(1-a)^2) \\ a^2 & = b(a^2 - 2a + 2) \\ b & = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ y = a + 1 $ adalah asimtot datar dan $ x = x_1 $ adalah asimtot tegak dari kurva $ y = \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} $ dengan $ x_1 > 0 $ , maka nilai dari $ 2x_1^2 - x_1 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{d} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan asimtot mendatarnya $ y = a + 1 $, artinya hasil limitnya adalah $ a + 1 $
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} \\ a+ 1 & = \frac{2a }{1} \\ a & = 1 \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi :
$ y = \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} \rightarrow y = \frac{2x^3-4x^2+x-2}{x^3+2x^2-x-2} $
*). Persamaan asimtot tegaknya adalah akar-akar dari penyebut fungsinya :
$\begin{align} x^3+2x^2-x-2 & = 0 \\ (x - 1)(x^2 + 3x + 2) & = 0 \\ (x - 1)(x+1)(x+2)) & = 0 \\ x = 1, x = -1 , x & = -2 \end{align} $
Karena yang diminta positif, maka persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ sehingga $ x_1 = 1 $
*). Menentukan nilai $ 2x_1^2 - x_1 $ :
$ 2x_1^2 - x_1= 2.1^2 - 1 = 2 - 1 = 1 $
Jadi, nilai $ 2x_1^2 - x_1 = 1 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Untuk memfaktorkan bisa menggunakan cara HORNER
Koefisien bentuk $ x^3+2x^2-x-2 \rightarrow 1, 2, -1, -2 $
$ \begin{array}{c|cccc} & 1 & 2 & -1 & -2 & \\ 1 & * & 1 & 3 & 2 & + \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 & \end{array} $
Artinya $ x^3+2x^2-x-2 = (x -1)(x^2 + 3x + 2) $

Cara 2 Pembahasan Limit Trigono SBMPTN 2017 MatIpa kode 145

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \cot ( 2x - \pi) = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian limit dengan turunan (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{ f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{ f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{ f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin (- x) = - \sin x \, $ dan $ \tan ( - x) = -\tan x $
$ \tan (\pi - A) = -\tan A \, $ dan $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $
$ \tan ( A - \pi) = \tan -(\pi - A) = -\tan (\pi - A) = \tan A $
*). Turunan $ y = \tan ax \rightarrow y^\prime = a\sec ^2 ax $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \cot ( 2x - \pi) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{\tan ( 2x - \pi) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{x}{\tan ( 2x - \pi) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{x}{\tan 2x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{x}{\tan 2x } \, \, \, \, \, \, \text{(L'Hopital)} \\ & = \left( 1- \sin \left(0 - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{1}{2\sec ^2 2x } \\ & = \left( 1- \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{2\sec ^2 0 } \\ & = \left( 1+ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{2 . 1} \\ & = \left( 1+ 1 \right) . \frac{1}{2} = 2 . \frac{1}{2} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \cot ( 2x - \pi) = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ ax}{\tan bx} = \frac{a}{b} \, $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin (- x) = - \sin x \, $ dan $ \tan ( - x) = -\tan x $
$ \tan (\pi - A) = -\tan A \, $ dan $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $
$ \tan ( A - \pi) = \tan -(\pi - A) = -\tan (\pi - A) = \tan A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \cot ( 2x - \pi) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{\tan ( 2x - \pi) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{x}{\tan ( 2x - \pi) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{x}{\tan 2x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{x}{\tan 2x } \\ & = \left( 1- \sin \left(0 - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{2} \\ & = \left( 1- \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{2} \\ & = \left( 1+ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{2} \\ & = \left( 1+ 1 \right) . \frac{1}{2} = 2 . \frac{1}{2} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola :
$ 9x^2 + 18x - 16y^2 - 32y - 151 = 0 $ adalah ....
A). $ -3x + 4y = -7 \, $
B). $ -3x + 4y = 1 \, $
C). $ 3x - 4y = -7 \, $
D). $ 3x + 4y = -7 \, $
E). $ 3x + 4y = 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} 9x^2 + 18x - 16y^2 - 32y - 151 & = 0 \\ 9(x^2 + 2x) - 16(y^2 +2y) & = 151 \\ 9[(x+1)^2 - 1] - 16[(y+1)^2 -1] & = 151 \\ 9(x+1)^2 - 9 - 16(y+1)^2 + 16 & = 151 \\ 9(x+1)^2 - 16(y+1)^2 & = 151 + 9 - 16 \\ 9(x+1)^2 - 16(y+1)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{9(x+1)^2}{144} - \frac{16(y+1)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{4^2} - \frac{(y+1)^2}{3^2} & = 1 \end{align} $
Artinya : $ p = -1, q = -1, a = 4, b = 3 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y+1 & = \pm \frac{3}{4} (x+1) \\ y+1 = \frac{3}{4} (x+1) & \vee y+1 = - \frac{3}{4} (x+1) \\ 4y+4 = 3x + 3 & \vee 4y+4 = -3x - 3 \\ 3x - 4y = 1 & \vee 3x + 4y = -7 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ 3x - 4y = 1 $ atau $ 3x + 4y = -7 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ 3x + 4y = -7 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+1)^2}{3^2} & = \frac{(x+1)^2}{4^2} \\ (y+1)^2 & = \frac{3^2}{4^2} (x+1)^2 \\ (y+1) & = \pm \sqrt{ \frac{3^2}{4^2} (x+1)^2 } \\ (y+1) & = \pm \frac{3}{4} (x+1) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan $ \sec \theta \left( \sec \theta (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) = 1 $. Jika $ \theta _1 $ dan $ \theta _2 $ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -0,5 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 0,5 \, $ E). $ 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar Trigonometri :
$ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta } $ dan $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} \sec \theta \left( \sec \theta (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) & = 1 \\ \frac{1}{\cos \theta} \left( \frac{1}{\cos \theta} (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) & = 1 \\ \frac{1}{\cos \theta} . \frac{1}{\cos \theta} (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}.\frac{1}{\cos \theta}. \sin \theta & = 1 \\ \frac{(\sin \theta)^2 }{(\cos \theta)^2} + \frac{2}{3}\sqrt{3}.\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - 1 & = 0 \\ \tan ^2 \theta + \frac{2}{3}\sqrt{3}\tan \theta - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3\tan ^2 \theta + 2\sqrt{3}\tan \theta - 3 & = 0 \\ (3\tan \theta - \sqrt{3} )(\tan \theta + \sqrt{3} ) & = 0 \\ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \vee \tan \theta & = -\sqrt{3} \\ \tan \theta _1 = \frac{\sqrt{3}}{3} \vee \tan \theta _2 & = -\sqrt{3} \end{align} $
Sehingga nilai :
$ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = \frac{\sqrt{3}}{3} . (-\sqrt{3} ) = -1 $
Jadi, nilai $ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = -1 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Kita juga bisa menggunakan rumus perkalian akar pada persamaan kuadrat yaitu $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Bentuk $ \tan ^2 \theta + \frac{2}{3}\sqrt{3}\tan \theta - 1 = 0 $
$ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1 $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, 1) $ , $ \vec{b} \bot \vec{c} $ , dan $ \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0 $. Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah $ \sqrt{5} $ , maka panjang vektor $ \vec{a} $ adalah ......
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \sqrt{6} \, $ E). $ 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Vektor $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ maka $ \vec{u}.\vec{v}= 0 $.
*). Panjang vektor $ \vec{u} = (x , y) $ yaitu :
Panjang $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} $
*). Rumus pengkuadratan :
$ (\vec{u}-\vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2\vec{u}.\vec{v} $
Karena $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ maka :
$ (\vec{u}-\vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 $
*). Perkalian dot dua vektor yang sama menghasilkan panjang.
$ \vec{P}.\vec{P} = (\vec{P})^2 = |\vec{P}|^2 $
*). Luas segitiga : Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{b} = (-2,1) $ :
$ |\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 } = \sqrt{5} $
*). Karena $ \vec{b} $ tegak lurus $ \vec{c} $ maka $ \vec{b}.\vec{c} = 0 $.
*). Ilustrasi gambar :
$ \vec{b} $ tegak lurus $ \vec{c} $ dan $ \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0 \rightarrow \vec{a} = \vec{b}+(-\vec{c}) $ sehingga gambar ketiga vektor yaitu :
 

Segitiga yang dibentuk oleh ujung-ujung ketiga vektor adalah segitiga ABC siku-siku di A.
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{c} $ dengan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ \sqrt{5} & = \frac{1}{2} \times |\vec{b}| \times |\vec{c}| \\ \sqrt{5} & = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times |\vec{c}| \\ 1 & = \frac{1}{2} \times |\vec{c}| \\ 2 & = |\vec{c}| \end{align} $
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{a} $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{b}+(-\vec{c}) \\ (\vec{a})^2 & = (\vec{b} -\vec{c})^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 \\ |\vec{a}| & = \sqrt{ |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 } \\ & = \sqrt{ (\sqrt{5})^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{ 5 + 4 } = \sqrt{ 9 } = 3 \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{a} $ adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Banyak bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)} \leq 1 $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} \frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)} & \leq 1 \\ \frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)} - 1 & \leq 0 \\ \frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)} - \frac{(x+3)(x-4)}{(x+3)(x-4)} & \leq 0 \\ \frac{x^2 - x - 2}{(x+3)(x-4)} - \frac{x^2 -x - 12}{(x+3)(x-4)} & \leq 0 \\ \frac{10}{(x+3)(x-4)} & \leq 0 \end{align} $
Akar-akar penyebutnya :
$ (x+3)(x-4) = 0 \rightarrow x = -3 $ dan $ x = 4 $ .
Akar penyebut tidak boleh ikut.
Garis bilangannya :
 

Yang diminta $ \leq 0 $ (daerah negatif), HP $ = \{ -3 < x < 4 \} $.
Sehingga bilangan bulat $ x $ yang memenuhi adalah :
$ x = \{ -2,-1,0,1,2,3\} $ yaitu ada 6 bilangan.
Jadi, ada 6 bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan $ . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 145


Nomor 1
Jika $ a $ dan $ b $ memenuhi
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{2a - b} + \frac{7}{2a + b} = 3 \\ \frac{1}{2a - b} - \frac{7}{2a + b} = 0 \\ \end{array} \right. $
maka $ a^2 + 2b = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Banyak bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)} \leq 1 $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
Nomor 4
Diketahui vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, 1) $ , $ \vec{b} \bot \vec{c} $ , dan $ \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0 $. Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah $ \sqrt{5} $ , maka panjang vektor $ \vec{a} $ adalah ......
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \sqrt{6} \, $ E). $ 3 \, $
Nomor 5
Diketahui persamaan $ \sec \theta \left( \sec \theta (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) = 1 $. Jika $ \theta _1 $ dan $ \theta _2 $ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -0,5 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 0,5 \, $ E). $ 1 \, $

Nomor 6
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola :
$ 9x^2 + 18x - 16y^2 - 32y - 151 = 0 $ adalah ....
A). $ -3x + 4y = -7 \, $
B). $ -3x + 4y = 1 \, $
C). $ 3x - 4y = -7 \, $
D). $ 3x + 4y = -7 \, $
E). $ 3x + 4y = 1 \, $
Nomor 7
Jika $ p(x) = (x-1)q(x)+1 $ dan $ q(3) = 5 $ , maka sisa pembagian $ p(x) $ oleh $ (x-1)(x-3) $ adalah ....
A). $ 2x - 1 \, $
B). $ 3x - 2 \, $
C). $ 5x - 4 \, $
D). $ -3x + 4 \, $
E). $ -5x + 6 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \cot ( 2x - \pi) = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, 2x \tan \frac{1}{x}. \sec \frac{2}{x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 12
Jika $ y = a + 1 $ adalah asimtot datar dan $ x = x_1 $ adalah asimtot tegak dari kurva $ y = \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} $ dengan $ x_1 > 0 $ , maka nilai dari $ 2x_1^2 - x_1 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \cos (\cos ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 2\sin x. \sin (\cos ^2x) \, $
B). $ 2\sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
C). $ \sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
D). $ \sin ^2 x. \sin (\cos ^2x) \, $
E). $ 2\sin ^2x. \sin (\cos ^2x) $
Nomor 14
Jika garis singgung dari kurva $ y = \frac{x}{1-x} $ pada $ x = a $ memotong garis $ y = -x $ di titik $ (b, -b) $ , maka $ b = ..... $
A). $ \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} \, $ B). $ \frac{a^2}{1-a} \, $
C). $ \frac{a^2-1}{2a} \, $ D). $ \frac{a^2}{2 + a} \, $ E). $ \frac{a^2}{2-a} \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $

Pembahasan Turunan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 142

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = \sin (\sin (\sin x^2)) $ , maka $ f^\prime \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) = ...... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan dengan aturan Rantai :
Misalkan terdapat fungsi $ f, g, h, z , $ dan $ p $ memenuhi :
$ f = g(u), u = h(v), v = z(w) , $ dan $ w = p(x) $,
Turunan fungsi $ f(x) $ disimbolkan $ f^\prime (x) = \frac{df}{dx} $ yaitu
$ f^\prime (x) = \frac{df}{du}.\frac{du}{dv}.\frac{dv}{dw}.\frac{dw}{dx} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \sin (\sin (\sin x^2)) $ :
Misalkan : $ f = \sin u, u = \sin v, v = \sin w, w = x^2 $,
Turunan fungsi $ f(x) $ adalah
$\begin{align} f^\prime (x) & = \frac{df}{du}.\frac{du}{dv}.\frac{dv}{dw}.\frac{dw}{dx} \\ & = \cos u . \cos v . \cos w . 2x \\ & = 2x . \cos u . \cos v . \cos w \\ & = 2x . \cos (\sin (\sin x^2 ) ) . \cos (\sin x^2 ) . \cos x^2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^\prime \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 2x . \cos (\sin (\sin x^2 ) ) . \cos (\sin x^2 ) . \cos x^2 \\ f^\prime \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) & = 2\left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) . \cos (\sin (\sin \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right)^2 ) ) . \cos (\sin \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right)^2 ) . \cos \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right)^2 \\ & = 2\left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) . \cos (\sin (\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) ) ) . \cos (\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) ) . \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) \\ & = 2 \sqrt{\frac{\pi}{2}} . \cos (\sin (1) ) . \cos (1 ) . 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 142

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ dan $ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ , dengan $ b < 0 $. Jika asimtot-asimtot tegak grafik fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan dari salah satu asimtot tegak grafik fungsi $ f $, maka $ (b + c) $ yang mungkin adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
Sehingga bentuk $ x^2 + bx + c = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = -b \rightarrow b = -(x_1 + x_2) $
$ x_1. x_2 = c \rightarrow c = x_1.x_2 $
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 $
Catatan : Pada soal ini, kita tidak menggunakan konsep SPLDV.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan asimtot $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ :
Perhatikan penyebutnya : $ x^2 + x $ , akar-akarnya
$ x^2 + x = 0 \rightarrow x(x+1) = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = -1 $.
Artinya asimtot tegak dari $ f $ adalah $ x = -1 $ dan $ x = 0 $.
*). Perhatikan fungsi $ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ dengan $ b < 0 $.
Misalkan asimtot fungsi $ g $ adalah $ x = x_1 $ dan $ x = x_2 $, dengan $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah akar-akar dari $ x^2 + bx + c = 0 $. Karena $ b < 0 $ , maka $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-b}{1} = -b > 0 $. Artinya kita harus mencari $ x_1 + x_2 > 0 $.
*). Jarak asimtot-asimtot fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan terhadap salah satu asimtot fungsi $ f $, sehingga kita bagi kasusnya menjadi dua untuk asimtot fungsi $ f $ yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 0 $ :
-). Untuk asimtot fungsi $ f $ berbentuk $ x = -1 $, maka asimtot tegak fungsi $ g $ yang memiliki jarak 1 dan 2 satuan terhadap $ x = -1 $ dan $ x_1 + x_2 > 0 $ hanyalah $ x_1 = 0 $ dan $ x_2 = 1 $, artinya asimtot fungsi $ g $ adalah $ x = 0 $ dan $ x = 1 $, sehingga nilai :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(0+1) + 0.1 = -1 $
-). Untuk asimtot fungsi $ f $ berbentuk $ x = 0 $, maka asimtot tegak fungsi $ g $ yang memiliki jarak 1 dan 2 satuan terhadap $ x = 0 $ dan $ x_1 + x_2 > 0 $ ada dua kemungkinan yaitu :
i). asimtot $ g $ yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 2 $ , sehingga :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(-1 + 2) + (-1).2 = -3 $
ii). asimtot $ g $ yaitu $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ , sehingga :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(1 + 2) + 1.2 = -1 $
Jadi, nilai $ b + c $ yang mungkin adalah $ -3 $ atau $ - 1 . \, \heartsuit $
Jawabannya C atau E.

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 142

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ y = \frac{2}{3}x - 5 $ adalah asimtot hiperbola $ \frac{x^2 - 2nx + n^2}{9} - \frac{y^2 + 2y + 1}{4} = 1 $ , maka salah satu nilai $ n $ yang mungkin adalah .....
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan hiperbolanya :
$\begin{align} \frac{x^2 - 2nx + n^2}{9} - \frac{y^2 + 2y + 1}{4} & = 1 \\ \frac{(x - n)^2}{3^2} - \frac{(y+1)^2}{2^2} & = 1 \\ p = n, \, q = -1 , \, a = 3 , \, b & = 2 \end{align} $
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y +1 & = \pm \frac{2}{3} (x-n) \\ y & = \pm \frac{2}{3} (x-n) - 1 \\ \end{align} $
persamaan asimtotnya yaitu :
$ y = \frac{2}{3} (x-n) - 1 $ atau $ y = - \frac{2}{3} (x-n) - 1 $.
$ y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}n- 1 $ atau $ y = - \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}n - 1 $.
*). Bentuk $ y = \frac{2}{3}x - 5 $ sama dengan $ y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}n- 1 $ sehingga :
$\begin{align} -5 & = - \frac{2}{3}n- 1 \\ \frac{2}{3}n & = 5 - 1 \\ \frac{2}{3}n & = 4 \\ n & = 4 \times \frac{3}{2} = 6 \end{align} $
Jadi, salah satu nilai $ n $ adalah $ 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 142

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $. Jika $ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = \vec{a}.\vec{b} $ dan $ (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| $, maka sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah ......
A). $ 30^\circ \, $ B). $ 45^\circ \, $ C). $ 60^\circ \, $ D). $ 90^\circ \, $ E). $ 120^\circ \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha $
$ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} $
*). Rumus pangkat dua aljabar :
$ ( x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan pertama :
$\begin{align} (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 & = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| & = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| - 2|\vec{a}||\vec{b}| \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}| \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Mengubah persamaan kedua dan gunakan pers(i) :
$\begin{align} |\vec{a}+\vec{b}|^2 & = \vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} & = \vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = \vec{a}.\vec{b} - 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = -\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = -|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}| & = -|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{1}{2} & = - \cos \theta \\ -\frac{1}{2} & = \cos \theta \\ \theta & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, sudutnya adalah $ 120^\circ . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 142


Nomor 1
Jika $ x , y $ adalah solusi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{y+1} + \frac{3y}{x+1} = 2 \\ -\frac{3x}{y+1} + \frac{6y}{x+1} = - 1 \\ \end{array} \right. $
maka $ x + 2y = .... $
A). $ \frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{7}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Himpunan $ S $ beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif $ x $ yang memenuhi $ \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0 $. Berakah nilai $ a $ sehingga hasil penjumlahan semua anggota $ S $ minimum?
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $. Jika $ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = \vec{a}.\vec{b} $ dan $ (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| $, maka sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah ......
A). $ 30^\circ \, $ B). $ 45^\circ \, $ C). $ 60^\circ \, $ D). $ 90^\circ \, $ E). $ 120^\circ \, $
Nomor 5
Jika $ \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x} - 5 = 0 $, dengan $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $, maka $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{26}} \, $ B). $ \frac{2}{\sqrt{26}} \, $ C). $ \frac{3}{\sqrt{26}} \, $ D). $ \frac{4}{\sqrt{26}} \, $ E). $ \frac{5}{\sqrt{26}} \, $

Nomor 6
Jika $ y = \frac{2}{3}x - 5 $ adalah asimtot hiperbola $ \frac{x^2 - 2nx + n^2}{9} - \frac{y^2 + 2y + 1}{4} = 1 $ , maka salah satu nilai $ n $ yang mungkin adalah .....
A). $ 8 \, $
B). $ 7 \, $
C). $ 6 \, $
D). $ 5 \, $
E). $ 4 \, $
Nomor 7
Jika $ ax^3 + 30x + 8b = (x-2)Q(x) + 20(a+b) $ dan $ 4a = b $ , maka $ Q(x) = .... $
A). $ x^2 - 2x - 34 \, $
B). $ x^2 + 2x + 34 \, $
C). $ x^2 - 4x + 60 \, $
D). $ 4x^2 + 2x + 34 \, $
E). $ 4x^2 + 4x - 60 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\tan (x+3)}{(x^2-2x-15)\sin \left(\frac{\pi}{2}x\right)} = .... $
A). $ -\frac{1}{8} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{8} $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right) = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ dan $ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ , dengan $ b < 0 $. Jika asimtot-asimtot tegak grafik fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan dari salah satu asimtot tegak grafik fungsi $ f $, maka $ (b + c) $ yang mungkin adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -1 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \sin (\sin (\sin x^2)) $ , maka $ f^\prime \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) = ...... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 \, $
Nomor 14
Jika garis $ y = 7x - 16 $ menyinggung kurva $ y = px^3 + qx $ di $ x = 2 $, maka $ p - q = ..... $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $

Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui garis singgung $ f(x) = \frac{x^2 \sin x}{\pi} $ di titik $ x = \frac{\pi}{2} $ berpotongan dengan garis $ y = 3x - \pi $ di titik $ (a,b) $ , maka $ a + b = .... $
A). $ \pi \, $ B). $ \frac{3}{4}\pi \, $ C). $ \frac{1}{2}\pi \, $ D). $ \frac{1}{4}\pi \, $ E). $ \frac{1}{8}\pi \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). Turunan fungsi perkalian :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ x_1 = \frac{\pi}{2} $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \frac{x^2 \sin x}{\pi} \rightarrow y = \frac{(\frac{\pi}{2})^2 \sin \frac{\pi}{2}}{\pi} = \frac{\frac{\pi ^2}{4}. 1}{\pi} = \frac{\pi}{4} \end{align} $
*). Titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = \left( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} \right) $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya di $ x_1 = \frac{\pi}{2} $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{x^2 \sin x}{\pi} = \frac{1}{\pi}(x^2 \sin x) \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{\pi}(2x \sin x + x^2. \cos x) \\ m & = f^\prime (\frac{\pi}{2}) \\ m & = \frac{1}{\pi}(2. \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{2})^2. \cos \frac{\pi}{2} ) \\ & = \frac{1}{\pi}(\pi . 1 + \frac{\pi ^2}{4} . 0 ) = 1 \end{align} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - \frac{\pi}{4} & = 1.(x - \frac{\pi}{2}) \\ y & = x - \frac{\pi}{4} \end{align} $
*). Menentukan titik potong kedua garis yaitu $ y_2 = x - \frac{\pi}{4} $ dan $ y_1 = 3x - \pi $ dengan cara substitusi :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x - \pi & = x - \frac{\pi}{4} \\ 2x & = \frac{3\pi}{4} \\ x & = \frac{3\pi}{8} \end{align} $
*). Substitusi $ x = \frac{3\pi}{8} $ ke $ y = x - \frac{\pi}{4} $ :
$ \begin{align} y & = x - \frac{\pi}{4} \\ y & = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{4} \\ y & = \frac{3\pi}{8} - \frac{2\pi}{8} \\ y & = \frac{\pi}{8} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua garis adalah $ (a,b) = \left( \frac{3\pi}{8} ,\frac{\pi}{8} \right) $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$ \begin{align} a + b & = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = \frac{\pi}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \cot x $ dan $ g(x) = \sec x $ , maka $ \frac{d(g \circ f)}{dx} = ....... $
A). $ \frac{-\sin (\cot x)}{\cos ^2 (\cot x) . \sin ^2 x } \, $
B). $ \frac{\sin (\cot x)}{\cos ^2 (\sec x) . \sin ^2 x } \, $
C). $ \frac{\sin (\cot x)}{\cos ^2 (\cot x) . \cos ^2 x } \, $
D). $ \frac{\sin (\sec x)}{\cos ^2 (\sec x) . \cos ^2 x } \, $
E). $ \frac{\cos (\sec x)}{\cos ^2 (\sec x) . \cos ^2 x } $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sec g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \sec g(x) \tan g(x) $.
$ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $.
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec A = \frac{1}{\cos A} $ , $ \csc A = \frac{1}{\sin A} $ , dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
*). Komfosisi fungsi :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Lambang turunan : $ y = (g \circ f)(x) \rightarrow y^\prime = \frac{d(g \circ f)(x)}{dx} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ (g \circ f)(x) $ dengan $ f(x) = \cot x $ dan $ g(x) = \sec x $ :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\cot x) = \sec ( \cot x) $
*). Menentukan turunan dari $ y = \sec ( \cot x) $ :
Misalkan $ h(x) = \cot x \rightarrow h^\prime (x) = - \csc ^2 x $
$\begin{align} y & = \sec ( \cot x) \\ y & = \sec h(x) \\ y^\prime & = h^\prime (x) \sec h(x) \tan h(x) \\ & = - \csc ^2 x. \sec h(x) \tan h(x) \\ & = - \frac{1}{\sin ^2 x} . \frac{1}{\cos h(x) } \frac{\sin h(x)}{ \cos h(x) } \\ & = \frac{-\sin h(x) }{\cos ^2 h(x) . \sin ^2 x} \\ & = \frac{-\sin ( \cot x) }{\cos ^2 ( \cot x) . \sin ^2 x} \end{align} $
Jadi, $ y^\prime = \frac{-\sin ( \cot x) }{\cos ^2 ( \cot x) . \sin ^2 x} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \, \frac{x\cot ^2 x}{1 - \sin x} = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{\pi}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
dimana $ 1 - \sin ^2 x = (1 - \sin x)(1+ \sin x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x\cot ^2 x}{1 - \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x} }{1 - \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x \cos ^2 x }{(1 - \sin x).\sin ^2 x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x (1 - \sin x)(1 + \sin x) }{(1 - \sin x).\sin ^2 x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x (1 + \sin x) }{ \sin ^2 x } \\ & = \frac{\frac{\pi}{2} . (1 + \sin \frac{\pi}{2}) }{ \sin ^2 \frac{\pi}{2} } \\ & = \frac{\frac{\pi}{2} . (1 + 1) }{ 1 } = \frac{\pi}{2} . 2 = \pi \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola
$ 4y^2 - x^2 + 16y + 6x + 3 = 0 $ adalah .....
A). $ x + 2y + 5 = 0 \, $
B). $ x - 2y + 1 = 0 \, $
C). $ x - 2y + 7 = 0 \, $
D). $ x + 2y + 1 = 0 \, $
E). $ x + 2y - 1 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 0 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} 4y^2 - x^2 + 16y + 6x + 3 & = 0 \\ -(x^2 - 6x) + 4(y^2 + 4y) & = -3 \\ -[(x-3)^2 - 9] + 4[(y+2)^2 - 4] & = -3 \\ - (x-3)^2 + 9 + 4 (y+2)^2 - 16 & = -3 \\ - (x-3)^2 + 4 (y+2)^2 & = -3 - 9 + 16 \\ - (x-3)^2 + 4 (y+2)^2 & = 4 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ \frac{-(x - 3)^2}{4} + \frac{4(y+2)^2}{4} & = \frac{4}{4} \\ -\frac{(x - 3)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{1} & = 1 \\ -\frac{(x - 3)^2}{2^2} + \frac{(y+2)^2}{1^2} & = 1 \\ \end{align} $
Artinya : $ p = 3, q = -2, a = 1, b = 2 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y- (-2) & = \pm \frac{1}{2} (x-3) \\ y+2 & = \pm \frac{1}{2} (x-3) \\ y+2 = \frac{1}{2} (x-3) & \vee y+2 = -\frac{1}{2} (x-3) \\ 2y+4 = x - 3 & \vee 2y+ 4 = -x + 3 \\ x - 2y - 7 = 0 & \vee x + 2y + 1 = 0 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ 4x - 3y = -2 $ atau $ 4x + 3y = 10 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ 4x - 3y = -2 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} -\frac{(x - 3)^2}{2^2} + \frac{(y+2)^2}{1^2} & = 1 \\ -\frac{(x - 3)^2}{2^2} + \frac{(y+2)^2}{1^2} & = 0 \\ \frac{(y+2)^2}{1} & = \frac{(x - 3)^2}{4} \\ (y+2)^2 & = \frac{1}{4}(x - 3)^2 \\ y + 2 & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}(x - 3)^2 } \\ y + 2 & = \pm \frac{1}{2}(x - 3) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).