2010 : Pembahasan Limit Aljabar UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{6}{x^2 - x -2}-\frac{2}{x-2} \right) $ sama dengan
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{2}{3} \, $ C). $ -\frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Aljabar :
*). Faktorkan pembilang dan penyebutnya, lalu sederhanakan (coret) bentuk faktor yang sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{6}{x^2 - x -2}-\frac{2}{x-2} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{6}{(x-2)(x+1)}-\frac{2}{x-2} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{6}{(x-2)(x+1)}-\frac{2(x+1)}{(x-2)(x+1)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{6 - 2(x+1)}{(x-2)(x+1)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{4 - 2x}{(x-2)(x+1)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{-2(x-2)}{(x-2)(x+1)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{-2}{(x+1)} \\ & = \frac{-2}{(2+1)} = -\frac{2}{3} \end{align} $ .
Jadi, hasil limitnya adalah $ -\frac{2}{3} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

2010 : Pembahasan Komposisi Fungsi UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2}} \, $ dan $ (f\circ g)(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+ 6x + 7}} $ , maka $ g(x+2) = ... $
A). $ \frac{1}{x+3} \, $ B). $ \frac{1}{x-2} \, $ C). $ x - 2 \, $ D). $ x + 3 \, $ E). $ x + 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Komposisi Fungsi :
Sifat : $ (f\circ g)(x) = f[g(x)] $
artinya fungsi $ g(x) $ kita substitusikan ke fungsi $ f(x) $.
INGAT : Fungsi kanan masuk ke fungsi kiri.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan fungsi $ g(x) $ dari komposisi dengan $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2}} $ :
$ \begin{align} (f\circ g)(x) & = \frac{1}{\sqrt{x^2+ 6x + 7}} \\ f[g(x)] & = \frac{1}{\sqrt{x^2+ 6x + 7}} \\ \frac{1}{\sqrt{[g(x)]^2 - 2}} & = \frac{1}{\sqrt{x^2+ 6x + 7}} \\ \sqrt{[g(x)]^2 - 2} & = \sqrt{x^2+ 6x + 7} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ [g(x)]^2 - 2 & = x^2+ 6x + 7 \\ [g(x)]^2 & = x^2+ 6x + 7 + 2 \\ [g(x)]^2 & = x^2+ 6x + 9 \\ [g(x)]^2 & = (x + 3)^2 \\ g(x) & = x + 3 \end{align} $ .
sehingga : $ g(x + 2 ) = (x+2) + 3 = x + 5 $ .
Jadi, kita peroleh $ g(x + 2) = x + 5 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

2010 : Pembahasan Statistika UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Amin telah mengikuti tes matematika sebanyak 8 kali dari 12 kali test yang ada dengan nilai rata-rata 6,5. Jika untuk seluruh test, Amin ingin mendapatkan rata-rata minimal 7, maka untuk 4 kali test yang tersisa, Amin harus mendapatkan nilai rata-rata minimal ....
A). $ 7,9 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 8,1 \, $ D). $ 8,2 \, $ E). $ 8,5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika :
*). Rumus rata-rata gabungan :
$ \begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2}{n_1 + n_2 } \end{align} $
Keterangan :
$n_1 = \, $ banyak anggota kelompok 1,
$n_2 = \, $ banyak anggota kelompok 2,
$ \overline{x}_1 = \, $ rata-rata kelompok 1,
$ \overline{x}_2 = \, $ rata-rata kelompok 2,
$ \overline{x}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
$ n_1 = 8 , \, \overline{x}_1 = 6,5 \, $ , $ n_2 = 4, \, \overline{x}_2 = a \, $ , dan $ \overline{x}_{gb} \geq 7 $.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} \overline{x}_{gb} & \geq 7 \\ \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2}{n_1 + n_2 } & \geq 7 \\ \frac{8.(6,5) + 4.a}{8 + 4} & \geq 7 \\ \frac{52 + 4a}{12} & \geq 7 \\ 52 + 4a & \geq 12 . 7 \\ 52 + 4a & \geq 84 \\ 4a & \geq 32 \\ a & \geq 8 \end{align} $ .
Jadi, nilai rata-rata minimal 4 kali tes adalah $ 8 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

2010 : Cara 2 Pembahasan Peluang UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Dua kotak masing-masing berisi lima bola yang diberi nomor 2, 3, 5, 7, dan 8. Dari setiap kotak diambil sebuah bola. Peluang terambil sedikitnya satu bola dengan nomor 3 atau 5 adalah ....
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ \frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{16}{25} \, $ D). $ \frac{18}{25} \, $ E). $ \frac{4}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Rumus Peluang
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
dengan
P(A) : peluang kejadian A,
n(A) : banyak kejadian yang diinginkan,
n(S) : banyaknya semua kemungkinan.
*). Peluang komplemen :
$ P(A^c) = 1 - P(A) $
*). Kejadia saling bebas, maka peluang keduanya dikalikan.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara II : Peluang komplemen
*). Agar diperoleh paling sedikit terambil angka 3 atau 5, maka kita hitung kebalikannya yaitu kejadian tidak terambilnya angka 3 atau 5.
Misalkan :
A = kejadian tidak terambil angka 3 atau 5,
A$^c$ = kejadian terambil sedikitnya angka 3 atau 5 (karena kebalikan dari kejadian A).
*). Peluang kotak pertama tidak terambil angka 3 atau 5 :
$P(K_1) = \frac{3}{5} $
(selain 3 atau 5 sehingga yang dimaksud adalah angka 2, 7, dan 8)
*). Peluang kotak kedua tidak terambil angka 3 atau 5 :
$P(K_2) = \frac{3}{5} $
*). Peluang kedua kotak tidak terambil angka 3 atau 5 :
$ P(A) = P(K_1) \times P(K_2) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} $
Sehingga peluang kejadian $A^c$ :
$ P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $
Jadi, peluang kejadiannya adalah $ \frac{16}{25} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

2010 : Pembahasan Peluang UTUL atau UM UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Dua kotak masing-masing berisi lima bola yang diberi nomor 2, 3, 5, 7, dan 8. Dari setiap kotak diambil sebuah bola. Peluang terambil sedikitnya satu bola dengan nomor 3 atau 5 adalah ....
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ \frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{16}{25} \, $ D). $ \frac{18}{25} \, $ E). $ \frac{4}{5} $


$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Rumus Peluang
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
dengan
P(A) : peluang kejadian A,
n(A) : banyak kejadian yang diinginkan,
n(S) : banyaknya semua kemungkinan.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara I : Mendaftar anggota
*). Daftar semua pasangan bola yang mungkin dari dua kotak :
 
*). Kejadian terambil sedikitnya satu bola dengan nomor 3 atau 5 maksudnya adalah
i). salah satu bola bernomor 3 atau 5, atau
ii). kedua bola bernomor 3 saja, atau
iii). kedua bola bernomor 5 saja, atau
iv). kedua bola bernomor 3 dan 5 sekaligus.
*). dari tabel di atas, kejadian sedikitnya satu bola dengan nomor 3 atau 5 ditandai dengan warna kuning yaitu sebanyak 16 pasang, sehingga nilai $ n(A) = 16 $. Sementara totalnya ada 25 pasang, artinya nilai $ n(S) = 25 $.
*). Menentukan peluang kejadian A :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{16}{25} \end{align} $
Jadi, peluang kejadiannya adalah $ \frac{16}{25} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)