Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 436 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sqrt{A}$ dan $\cos \alpha + \cos \beta = 2\sqrt{B}$ , maka $\cos (\alpha - \beta) = ...$
$\clubsuit \, $ Rumus Dasar :
$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \, \, \,$ dan $\, \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1$
$\clubsuit \, $ Kuadratkan kedua persamaan dan jumlahkan :
$\begin{array}{cc} \left( \sin \alpha + \sin \beta \right) ^2 = \left( 2\sqrt{A} \right)^2 \Rightarrow \sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta +2 \sin \alpha \sin \beta = 4A & \\ \left( \cos \alpha + \cos \beta \right) ^2 = \left( 2\sqrt{B} \right)^2 \Rightarrow \cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta +2 \cos \alpha \cos \beta = 4B & + \\ \hline (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) + (\cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) +2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 4A + 4B & \\ 1 + 1 +2\cos (\alpha - \beta) = 4A + 4B \\ 2\cos (\alpha - \beta) = 4A + 4B - 2 \\ \cos (\alpha - \beta) = 2A + 2B - 1 \end{array}$
Jadi, nilai $\cos (\alpha - \beta) = 2A + 2B - 1. \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui A(-3,0,0), B(0,3,0), dan C(0,0,7). Panjang vektor proyeksi $\vec{AC}$ ke vektor $\vec{AB}$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor $\vec{AC}$ dan $\vec{AB}$ :
$\vec{AC} = C - A = (3 \, \, 0 \, \, 7) $
$\vec{AB} = B-A = (3 \, \, 3 \, \, 0) $
$\vec{AC}. \vec{AB} = 3.3 + 0.3 + 7.0 = 9 + 0 + 0 =9$
panjang $\vec{AB} = | \vec{AB} | = \sqrt{3^2+3^2+0^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$\spadesuit \, $ Menentukan Panjang vektor proyeksi $\vec{AC}$ ke vektor $\vec{AB}$
Panjang Proyeksi = $\frac{\vec{AC}. \vec{AB}}{| \vec{AB} |} = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
Jadi, Panjang Proyeksi adalah $ \frac{3\sqrt{2}}{2} . \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui kubus ABCD.EFGH mempunyai sisi 4 cm. Titik P pada BC sehingga PB = 1 cm, titik Q pada GH sehingga HQ = 1 cm, R titik tengah AE. Jarak R ke PQ adalah ...
$\spadesuit \, $ Gambarnya :
sbmptn_mat_ipa_k436_7_2013.png sbmptn_mat_ipa_k436_8_2013.png
Jarak R ke garis PQ sama dengan panjang garis RN.
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang sisi pada segitiga PQR
$\Delta ABP, \, AP = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17} $
$\Delta APR, \, PR = \sqrt{2^2+(\sqrt{17})^2} = \sqrt{21} $
dari gambar, panjang PR = RQ = $\sqrt{21} $
$\Delta CGQ, \, CQ = \sqrt{4^2+3^2} = 5 $
$\Delta CPQ, \, PQ = \sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{34} $
$\spadesuit \, $ Segitiga PQR sama kaki sehingga panjang QN = NP = $\frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2}\sqrt{34}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang garis RN
$\Delta PNR, \, RN = \sqrt{PR^2-PN^2} = \sqrt{(\sqrt{21})^2-\left( \frac{1}{2}\sqrt{34}\right)^2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} . $
Jadi, Jaraknya adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui $f(x)=\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{1}{6}$ . Jika $g(x)=f(1-x)$ , maka $g$ naik pada selang ...
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $g(x)$ dan turunannya :
$\begin{align*} g(x) & = f(1-x) \\ g(x) & = \frac{2}{3}(1-x)^3-\frac{1}{2}(1-x)^2-3(1-x)+\frac{1}{6} \\ g^\prime (x) & = \frac{2}{3} . 3.(1-x)^2 . (-1) - \frac{1}{2}. 2. (1-x) . (-1) + 3 \\ & = -2(x^2-2x+1) + (1-x) + 3 \\ g^\prime (x) &= -2x^2 + 3x + 2 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Syarat fungsi $g(x)$ naik : $ g^\prime (x) > 0$
$\begin{align*} g^\prime (x) & > 0 \\ -2x^2 + 3x + 2 & > 0 \, \, \text{(kali -1 dan tanda dibalik)} \\ 2x^2-3x-2 & < 0 \\ (2x+1)(x-2) & < 0 \\ x = -\frac{1}{2} & \vee x = 2 \end{align*}$
sbmptn_mat_ipa_k436_9_2013.png
Jadi, interval naiknya adalah $ -\frac{1}{2} < x < 2 . \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui $F(x)=(1+a)x^3-3bx^2-3x$ . Jika $F^{\prime \prime} $ habis dibagi $x+1$ , maka kurva $y=F(x)$ tidak mempunyai titik ekstrem lokal jika ...
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan kedua dari $F(x)$ :
$\begin{align*} F(x) & = (1+a)x^3-3bx^2-3x \\ F^\prime (x) & = 3(1+a)x^2 - 6bx - 3 \\ F^{\prime \prime } (x) & = 6(1+a)x - 6b \end{align*}$
$\clubsuit \, F^{\prime \prime} (x) $ habis dibagi $x+1$, artinya $F^{\prime \prime} (-1) = 0$
$F^{\prime \prime} (-1) = 0 \Rightarrow 6(1+a).(-1) - 6b = 0 \Rightarrow a = -b - 1$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ a = -b - 1 \, \, $ ke turunan pertama :
$\begin{align*} F^\prime (x) & = 3(1+a)x^2 - 6bx - 3 \\ & = 3(1+-b - 1)x^2 - 6bx - 3 \\ F^\prime (x) & = -3bx^2 - 6bx - 3 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik ekstrim : Syarat $ F^\prime (x) = 0$
diperoleh : $ F^\prime (x) = 0 \Rightarrow -3bx^2 - 6bx - 3 = 0 \, $
(kali -1 dan bagi 3) $\, bx^2 + 2bx + 1 = 0 \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Agar $F(x) \, $ tidak punya invers, maka pers(i) harus tidak mempunyai penyelesaian (tidak punya akar). Karena pers(i) bentuknya persamaan kuadrat, agar tidak punya akar nilai Diskriminannya harus kurang dari nol ($D < 0 $).
$\begin{align*} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (2b)^2 - 4.b.1 & < 0 \\ 4b^2 - 4b & < 0 \\ 4b(b-1) & < 0 \\ b=0 \, & \vee \, b = 1 \end{align*}$
sbmptn_mat_ipa_k436_10_2013.png
Jadi, agar $y=F(x) \, $ tidak punya titik ekstrim syaratnya adalah $0 < b < 1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 436 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih 3 adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada beberapa kemungkinan agar angka pertama dan ketiga selisihnya 3 :
sbmptn_mat_ipa_k436_2_2013.png
Total = 10 + 6 $\times \, $ 20 = 130 bilangan.
$\spadesuit \, $ Penjelasan:
kejadian 2, angka ratusannya angka 4 dan satuannya harus 1 (agar selisihnya 3), sementara untuk angka puluhannya bebas yang bisa dipilih dari angka 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 yaitu 10 pililihan (cara). Jika dibalik juga berlaku, ratusannya angka 1 dan satuannya harus 4 dengan banyak cara 10 pilihan untuk puluhannya. sehingga total kejadian 2 ada 10 + 10 = 20 cara. Begitu juga untuk kejadian lainnya. Sementara kejadian 1 tidak bisa dibalik karena angka ratusan tidak boleh nol (angka 0). Contoh kejadian 2 :
401, 411, 421, 431, 441, 451, 461, 471, 481, 491, dan kebalikkannya :
104, 114, 124, 134, 144, 154, 164, 174, 184, 194.
Jadi, banyak bilangan ada 130 bilangan. $ \heartsuit $
Nomor 7
Transformasi $T$ merupakan komposisi pencerminan terhadap garis $y=5x$ dilanjutkan pencerminan terhadap garis $y=-\frac{x}{5}$ . Matriks penyajian $T$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien masing-masing garis :
$y=5x \Rightarrow m_1 = 5 \, $ dan $ \, y=-\frac{x}{5} \Rightarrow m_2 = -\frac{1}{5}$ .
$m_1.m_2 = 5. -\frac{1}{5} = -1 $ , karena perkalian gradien kedua garis nilainya -1, artinya kedua garis tegak lurus (sudutnya 90$^o$).
$\clubsuit \, $ Matriks Transformasi (MT) dua garis :
$MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $
dengan $\theta \, $ adalah sudut antara kedua garis.
Sehingga MT kedua garis :
$MT = \left( \begin{matrix} \cos 2. 90^o & -\sin 2. 90^o \\ \sin 2. 90^o & \cos 2. 90^o \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)$
Jadi, Matriks transformasinya adalah $\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \heartsuit$
Nomor 8
$\int 8\sin ^2 x \cos ^2 x dx = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
$\sin px . \cos px = \frac{1}{2}.\sin 2px \, $ dan $\sin ^2 px = \frac{1}{2}(1-\cos 2px)$ .
$\int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax + c$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $\sin ^2 x \cos ^2 x$ :
$\begin{align*} \sin ^2 x \cos ^2 x & = (\sin x . \cos x)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right)^2 \\ & = \frac{1}{4} \sin ^2 2x \\ & = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2}(1-\cos 4x) \right] \\ & = \frac{1}{8} (1-\cos 4x) \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil integral :
$\begin{align*} \int 8\sin ^2 x \cos ^2 x dx & = \int 8.\frac{1}{8} (1-\cos 4x) dx \\ & = \int (1 - \cos 4x )dx \\ & = x - \frac{1}{4}\sin 4x + c \end{align*}$
Jadi, hasil $\int 8\sin ^2 x \cos ^2 x dx = x - \frac{1}{4}\sin 4x + c. \heartsuit$
Nomor 9
Jika $L(a)$ adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dan parabola $y=ax-x^2, \, 0 < a < 1,$ maka peluang nilai $a$ sehingga $L(a) \geq \frac{1}{12}$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Pada kasus ini, tidak mungkin menghitung banyaknya nilai $a$ yang memenuhi (karena nilai $a$ ada tak hingga banyaknya), tetapi diwakili panjang garisnya.
$\clubsuit \, $ Nilai $a$ dipilih dari selang $0 < a < 1 $
sbmptn_mat_ipa_k436_3_2013.png
sehingga panjang garisnya = 1 - 0 = 1. Diperoleh $n(S) = 1$
$\clubsuit \, $ Menghitung $L(a)$ :
sbmptn_mat_ipa_k436_4_2013.png
$\begin{align*} L(a) & =\int \limits_0^a (ax-x^2) dx = \left[ \frac{a}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3 \right]_0^a = \frac{a}{2}.a^2-\frac{1}{3}a^3 = \frac{a^3}{6} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan batas $a$ dari $L(a) \geq \frac{1}{12}$ :
$\begin{align*} L(a) & \geq \frac{1}{12} \Leftrightarrow \frac{a^3}{6} \geq \frac{1}{12} \Leftrightarrow a^3 \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow a \geq \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow a \geq \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{align*}$
sbmptn_mat_ipa_k436_5_2013.png
Panjang garis yang diinginkan = $1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $ . Diperoleh $n(A) = 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $ .
Sehingga peluangnya : $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}}{1}= 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $ .
Jadi, peluangnya adalah $1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} . \heartsuit $
Nomor 10
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2-4$ dan $y=-3|x|$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menggambar grafik $y=x^2-4$ dan $y=-3|x|$
harga mutlak : $y=-3|x| = \left\{ \begin{array}{cc} -3x \, & , \text{untuk} \, x \geq 0 \\ -3(-x) = 3x \, & , \text{untuk} \, x < 0 \end{array} \right.$
sbmptn_mat_ipa_k436_6_2013.png
$\spadesuit \, $ Dari gambar, luas daerah A sama dengan luas B,
sehingga Luas arsir = 2L$_A$ = 2L$_B$ .
$\spadesuit \, $ Menentukan Luas arsiran :
$\begin{align*} \text{Luas Arsir} &= 2\text{L}_A=2\int \limits_{-1}^0 (3x)-(x^2-4) dx = 2\int \limits_{-1}^0 (-x^2+3x+4)dx \\ & \text{Atau} \\ \text{Luas Arsir} &= 2\text{L}_B=2\int \limits_{0}^1 (-3x)-(x^2-4) dx = 2\int \limits_{0}^1 (-x^2-3x+4)dx \\ & \text{Atau} \\ \text{Luas Arsir} &= \text{L}_A + \text{L}_B=\int \limits_{-1}^0 (-x^2+3x+4)dx + \int \limits_{0}^1 (-x^2-3x+4)dx \end{align*}$
Jadi, Luasnya adalah $2\int \limits_{-1}^0 (-x^2+3x+4)dx \, $ atau $\, 2\int \limits_{0}^1 (-x^2-3x+4)dx \, $ atau $\, \int \limits_{-1}^0 (-x^2+3x+4)dx + \int \limits_{0}^1 (-x^2-3x+4)dx $ . Pilihlah salah satu yang ada di opsi. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 436 tahun 2013


Nomor 1
Persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan menyinggung garis $3x-4y+12=0 \, $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Gambarnya :
sbmptn_mat_ipa_k436_1_2013.png
Jari-jari ($r$) lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgungnya.
$r$ = Jarak = $\left| \frac{ 3(-1)-4(1)+12 }{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right| = \left| \frac{ 5 }{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{ 5 }{5} \right|= 1$
$\clubsuit \, $ Persamaan lingkaran dengan pusat ($a,b$) = (-1,1) dan jari-jari $r=1$ :
$\begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-1))^2+(y-1)^2 & = 1^2 \\ (x+1)^2+(y-1)^2 & = 1 \\ x^2+2x+1+y^2-2y+1 & = 1 \\ x^2+y^2+2x-2y+1 & = 0 \end{align*}$
Jadi, Persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2+2x-2y+1 = 0.\heartsuit $
Nomor 2
$\cot 105^o \tan 15^o = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus Dasar :
$\tan (x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1+\tan x \tan y}$ dan $\cot (90^o+x) = -\tan x $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\tan 15^o$
$\begin{align} \tan 15^o & = \tan (45^o - 30^o) \\ & = \frac{\tan 45^o - \tan 30^o}{1+\tan 45^o \tan 30^o} \\ & = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1. \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ & = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \\ & = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} . \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}\\ & = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1 }{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3} }{2} = 2 - \sqrt{3} \end{align}$
$\spadesuit \, \cot 105^o = \cot (90^o + 15^o) = -\tan 15^o$
Sehingga :
$\begin{align} \cot 105^o \tan 15^o & = -\tan 15^o \tan 15^o \\ & = -(\tan 15^o)^2 \\ & = -(2 - \sqrt{3})^2 \\ & = -(4 - 4\sqrt{3} + 3) \\ & = -(7 - 4\sqrt{3} ) = -7 + 4\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai $\cot 105^o \tan 15^o = -7 + 4\sqrt{3} . \, \heartsuit $
Nomor 3
Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah ...
$\clubsuit \, $ 3L 3P duduk berjajar, banyak susunan yang mungkin adalah 6!, sehingga $n(S)=6!$ .
$\clubsuit \, $ Menghitung ($n(A)$), dengan 3P harus berdampingan.
$\spadesuit \, $ Agar 3P selalu berdampinga, kita blok 3 tempat untuk 3P dan dianggap satu orang, sehingga sekarang ada empat orang dengan 3L dan satu orang (3P diblok), banyak cara = 4!.
$\spadesuit \, $ Dari 3P yang diblok tadi, bisa disusun ulang sebanyak 3! cara.
sehingga $n(A)=4!.3!$
$\clubsuit \, $ Menghitung peluang :
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4!.3!}{6!} = \frac{4.3.2.1.3.2.1}{6.5.4.3.2.1} = \frac{1}{5} $
Jadi, Peluang 3P berdampingan adalah $\frac{1}{5} . \heartsuit $
Nomor 4
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{\cos x - \cos 3x} = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
$\cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right)\sin \left( \frac{A-B}{2} \right) $ dan $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk : $\cos x - \cos 3x $
$\begin{align} \cos x - \cos 3x & = -2 \sin \left( \frac{x+3x}{2} \right)\sin \left( \frac{x-3x}{2} \right) \\ & = -2 \sin \left( \frac{4x}{2} \right)\sin \left( \frac{-2x}{2} \right) \\ & = -2 \sin 2x \sin (-x) \\ & = -2 \sin 2x (-\sin x ) \\ & = 2 \sin 2x \sin x \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menghitung nilai limitnya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{\cos x - \cos 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{2 \sin 2x \sin x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 2x} . \frac{x}{\sin x} . \frac{\sqrt{4-x}}{2} \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{1} . \frac{\sqrt{4-0}}{2} \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{1} . \frac{2}{2} \\ & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{\cos x - \cos 3x} = \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 5
Jika $x^4+ax^3+(b-10)x^2+15x-6=f(x)(x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x-1$ , maka $a=...$
$x^4+ax^3+(b-10)x^2+15x-6=f(x)(x-1)$ ...pers(i)
$\clubsuit \, f(x) \, $ habis dibagi $x-1$ , berdasarkan teorema sisa maka $f(1)=0$ .
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1$ ke pers(i)
$\begin{align} x^4+ax^3+(b-10)x^2+15x-6 & = f(x)(x-1) \\ 1^4+a.1^3+(b-10).1^2+15.1-6 & = f(1)(1-1) \\ 1+a+b-10+15-6 & = 0 . 0 \\ a+ b & = 0 \Rightarrow b=-a \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Pers(i) diturunkan, diperoleh :
$4x^3+3ax^2+2(b-10)x+15 = f^\prime (x) . (x-1) + f(x) $ ...pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1$ ke pers(iii) dan gunakan pers(ii)
$\begin{align} 4x^3+3ax^2+2(b-10)x+15 & = f^\prime (x) . (x-1) + f(x) \\ 4.1^3+3a.1^2+2(b-10).1+15 & = f^\prime (1) . (1-1) + f(1) \\ 4+3a+2(b-19)+15 & = f^\prime (1) . 0 + 0 \\ 3a+2b - 1 & = 0 \, \, \text{gunakan pers(ii)} \\ 3a+2(-a)-1 & = 0 \\ a& = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 1. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 326 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)$ , dan determinan matriks $AB$ adalah 0, maka nilai $3a^2-20a$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $AB$ :
$AB = \left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3a+3 & 11 \\ 4a+1 & a + 7 \end{matrix} \right)$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $3a^2 - 20a$ :
$\begin{align*} \text{Det}(AB) & = 0 \\ \left| \begin{matrix} 3a+3 & 11 \\ 4a+1 & a + 7 \end{matrix} \right| & = 0 \\ (3a+3)(a+7)-11(4a+1) & = 0 \\ (3a^2+24a+21) - (44a+11) & = 0 \\ 3a^2-20a+10 & = 0 \\ 3a^2 - 20a & = -10 \end{align*} $
Jadi, nilai $ 3a^2 - 20a = -10. \, \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui $a, \, b,$ dan $c$ adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan $b > 0$ . Jika $a+b+c=b^2-4$ , maka nilai $b$ adalah ...
$\clubsuit \, a, \, b,$ dan $c$ barisan aritmatika (selisih sama).
$b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \, $ ...pers(i)
dari soal diketahui juga : $a+b+c=b^2-4 \, $ ...per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align*} a+b+c &=b^2-4 \\ (a+c)+b &=b^2-4 \, \text{(posisi b dan c ditukar)}\\ 2b + b &= b^2-4 \\ b^2-3b-4 & = 0 \\ (b-4)(b+1) & = 0 \\ b=4 \, & \vee \, b=-1 \end{align*}$
karena nilai $b > 0$ , maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=4$ .
Jadi, nilai $b=4. \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ , $u_2+u_4+u_6...=4$ , dan $u_2+u_4=3$ , maka nilai $r^2$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga genap : $S_{\infty} (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} $
Suku ke-n : $U_n=ar^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4+u_6...=4$
$\begin{align*} u_2+u_4+u_6... & = 4 \\ S_{\infty} (\text{genap}) & = 4 \\ \frac{ar}{1-r^2} & = 4 \\ ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4=3$
$\begin{align*} u_2+u_4 & = 3 \\ ar + ar^3 & = 3 \\ ar(1+r^2) & = 3 \\ ar & = \frac{3}{1+r^2} \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align*} ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \\ \frac{3}{1+r^2} & = 4 (1-r^2) \, \, \text{(kali silang)}\\ 3 & = 4 (1-r^2)(1+r^2) \\ 3 & = 4 \left[ 1-(r^2)^2 \right] \\ 3 & = 4 - 4(r^2)^2 \\ 4(r^2)^2 & = 4 - 3 \\ 4(r^2)^2 & = 1 \\ (r^2)^2 & = \frac{1}{4} \\ r^2 & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow r^2 = \pm \frac{1}{2} \end{align*}$
$r^2 = -\frac{1}{2} \, $ (tidak memenuhi karena bentuk kuadrat selalu positif).
$r^2 = \frac{1}{2} \, $ (memenuhi).
Jadi, nilai $ r^2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Parabola $y=x^2-(2k+1)x+3k $ memotong sumbu-Y di (0,$c$) dan memotong sumbu-X di ($a$,0) dan ($b$,0). Jika $3a,2c-4,$ dan $3b+1$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai $k$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Substitusi titik (0,c) ke parabola : $y=x^2-(2k+1)x+3k $
$y=x^2-(2k+1)x+3k \Rightarrow c=0^2-(2k+1).0+3k \Rightarrow c = 3k. $
$\clubsuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (a,0) dan (b,0) , artinya a dan b adalah akar-akar dari $x^2-(2k+1)x+3k = 0 \, $ , sehingga berlaku rumus penjumlahan akar-akar :
$a+b = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(2k+1))}{1} \Leftrightarrow a+b = 2k + 1 \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Barisan aritmatika $3a,2c-4,$ dan $3b+1$ , selisihnya sama :
$\begin{align*} (2c-4) - 3a & = (3b+1) - (2c-4) \\ (2c-4) + (2c-4) & = (3b+1) + 3a \\ 4c-8 & = 3(a+b) + 1 \, \, \text{(gunakan pers(i) dan } \, c = 3k ) \\ 4(3k)-8 & = 3 (2k+1) + 1 \\ 12k - 8 & = 6k + 3 + 1 \\ 6k & = 4 + 8 \\ k & = \frac{12}{6} = 2 \end{align*} $
Jadi, nilai $k=2 . \heartsuit $
Nomor 15
Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 2, 2, 6, 8. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode lebih besar daripada 62000 sebanyak ...
$\spadesuit \, $ Pilihan angkanya : 1, 2, 2, 6, 8
kode lebih besar daripada 62000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :
sbmptn_matdas_k326_4_2013.png
Total cara = 6 + 3 + 12 = 21 cara.
$\spadesuit \, $ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 6 dan ribuannya angka 2 dan sisanya (Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 1, 2, 8 yaitu permutasinya sebanyak 3! = 6 susunan.
contohnya : 62128, 62182, 62218, 62281, 62812, dan 62821.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 21 kupon yang lebih besar dari 62000. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 326 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $-2 < a < -1 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-3x-3a}{(2-x)(x+3)}\leq 0$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari pembilangnya: $x^2-3x-3a$
$D=b^2-4ac=(-3)^2-4.1.(-3a)=9+12a$
karena nilai $a$ terletak pada interval $ -2 < a < -1 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$x^2-3x-3a \left\{ \begin{array}{c} D<0 \\ a=1 > 0 \end{array} \right. $
ini artinya $x^2-3x-3a$ definit positif (nilainya akan selalu positif untuk semua $x$), sehingga $x^2-3x-3a$ bisa dicoret.
$\frac{1}{(2-x)(x+3)}\leq 0 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-3$
sbmptn_matdas_k326_3_2013.png
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -3 \vee x > 2\}. \heartsuit $

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{x^2-3x-3a}{(2-x)(x+3)} & \leq 0 \\ \frac{0^2-3.0-3a}{(2-0)(0+3)} & \leq 0 \\ \frac{-3a}{6}\leq 0 \, \, & \text{(salah krena ruas kiri nilainya positif)} \\ \end{align*}$
yang ada $x=0$ salah, opsi yang salah adalah D dan E.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \frac{x^2-3x-3a}{(2-x)(x+3)} & \leq 0 \\ \frac{3^2-3.3-3a}{(2-3)(3+3)} & \leq 0 \\ \frac{-3a}{-6} & \leq 0 \\ \frac{3a}{6}\leq 0 \, \, & \text{(benar krena ruas kiri nilainya negatif)} \\ \end{align*}$
yang ada $x=3$ benar, opsi yang salah adalah A dan C.
Jadi, opsi yang benar adalah B yaitu
$HP=\{ x < -3 \vee x > 2\} . \heartsuit$
Nomor 7
Anang bekerja di toko obat pada pagi hari dan di rumah makan pada malam hari. Setiap bulan ia memperoleh gaji dari toko obat sebesar Rp1.000.000,00 dan bonus 10% dari penjualan, sedangkan dari rumah makan ia memperoleh gaji sebesar Rp600.000,00 dan bonus 25% dari penjualan. Jika bulan lalu pendapatan Anang dari rumah makan dua kali pndapatannya dari toko obat, maka pendapatan Anang dari toko obat pada bulan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan total penjualannyaa masing-masing sebesar $p$ rupiah.
pendapatan di toko obat = 1.000.000 + 10%$p$ = 1.000.000 + 0,1$p$
pendapatan di rumah makan = 600.000 + 25%$p$ = 600.000 + 0,25$p$
$\clubsuit \, $ Menenyukan nilai $p$
$\begin{align*} \text{pendapatan di rumah makan} \, &= \, 2 \, \text{kali pendapatan di toko obat} \\ 600.000 + 0,25p & = 2(1.000.000 + 0,1p) \\ 600.000 + 0,25p & = 2.000.000 + 0,2p \\ 0,25p - 0,2p & = 2.000.000 - 600.000 \\ 0,05p & = 1.400.000 \\ p & = \frac{1.400.000}{0,05} = 28.000.000 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Sehingga pendapatan di toko obat :
$\begin{align*} \text{pendapatan} \, & = 1.000.000 + 0,1p \\ &= 1.000.000 + 0,1(28.000.000) \\ &= 3.800.000 \end{align*} $
Jadi, pendapatan Anang di toko obat sebesar Rp3.800.000 . $\heartsuit$
Nomor 8
Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,
sbmptn_matdas_k326_1_2013.png
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Menghitung banyak bayi normal setiap rumah sakit :
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
Nomor 9
Median dan rata-rata dari data yang terdiri dari empat bilangan asli yang telah diurutkan mulai dari yang terkeciladalah 8. Jika selisih antara data terbesar dan terkecilnya adalah 10 dan modusnya tunggal, maka hasil kali data kedua dan keempat adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $a, \, b, \, c, \, d$
$\clubsuit \, $ Median = 8, $\Rightarrow \frac{b+c}{2}=8 \Rightarrow b+c=16 .$
karena modusnya tunggal, maka haruslah nilai $b=c=8$
$\clubsuit \, $ Rata-rata = 8, $\Rightarrow \frac{a+b+c+d}{4}=8 \Rightarrow a+d + 16=32 .$
$a+d=16 $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Selisih data terbesar dan terkecilnya (jangkauannya) 10 .
$d-a = 10$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan per(ii) diperoleh $a=3 \, $ dan $d=13$ .
datanya menjadi : 3, 8, 8, 13
sehingga hasil kali data kedua dan keempat = 8 $\times$ 13 = 104
Jadi, hasil kali data kedua dan keempat adalah 104. $\heartsuit $
Nomor 10
Jika $f\left( \frac{1}{x+1} \right) = \frac{x+3}{x+1} $ , maka nilai $a-3$ agar $f^{-1}(a+1)=2$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Definisi invers : $A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers soal dari definisi di atas:
$\frac{x+3}{x+1} = f\left( \frac{1}{x+1} \right) \Leftrightarrow f^{-1}\left( \frac{x+3}{x+1} \right) = \frac{1}{x+1} $
$\spadesuit \, $ Samakan bentuk invers dan soal yang diketahui :
$\begin{align*} f^{-1}\left( \frac{x+3}{x+1} \right) & = \frac{1}{x+1} \\ f^{-1}(a+1) & = 2 \end{align*} $
ini artinya ruas kiri harus sama, begitu juga ruas kanan. diperoleh :
$\frac{1}{x+1} = 2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$
$ a + 1 = \frac{x+3}{x+1} \Rightarrow a + 1 = \frac{-\frac{1}{2}+3}{-\frac{1}{2}+1} \Rightarrow a = 4 $
sehingga nilai $a - 3 = 4 - 3 = 1$
Jadi, nilai $ a - 3 = 1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 326 tahun 2013


Nomor 1
Jika $9^{m+1}-2.9^m = 14$ , maka $27^m = ...$
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan: Sifat $a^{m+n}=a^m.a^n$
$\begin{align} 9^{m+1}-2.9^m &= 14 \\ 9^1.9^m-2.9^m &= 14 \\ 9.9^m-2.9^m &= 14 \\ 9^m \left(9-2\right) &= 14 \\ 9^m . 7 &= 14 \\ 9^m &= \frac{14}{7} \\ (3^2)^m & = 2 \\ (3^m)^2 & = 2 \\ 3^m & = \sqrt{2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $27^m$
$\begin{align} 27^m & = (3^3)^m \\ &= (3^m)^3 \\ &= (\sqrt{2})^3 \\ &= \sqrt{2} .\sqrt{2} .\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, $27^m = 2\sqrt{2}. \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika ${}^{2}\log a - 2 \left( {}^{2}\log b \right) = 2 $ dan ${}^{2}\log b - 2 \left( {}^{2}\log a \right) = -1 $ , maka nilai $ab$ adalah ...
Cara I :
$\spadesuit \, $ Definisi: ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
$\spadesuit \, $ Misalkan : $x={}^{2}\log a \, \, $ dan $y={}^{2}\log b$ , persamaan pada soal menjadi
${}^{2}\log a - 2 \left( {}^{2}\log b \right) = 2 \Rightarrow x-2y=2 $ ...pers(i)
${}^{2}\log b - 2 \left( {}^{2}\log a \right) = -1 \Rightarrow y-2x=-1 $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$\begin{array}{c|c|c} x-2y=2 & (kali \, \, 2) & 2x-4y=4\\ y-2x=-1 & (kali \, \, 1) & -2x+y=-1 \, \, + \\ \hline & & -3y=3 \Rightarrow y=-1 \end{array} $
$x-2y=2 \Rightarrow x-2(-1)=2 \Rightarrow x=0$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $a$ dan $b$
$x=0 \Rightarrow {}^{2}\log a = 0 \Rightarrow a=2^0 \Rightarrow a=1$
$y=-1 \Rightarrow {}^{2}\log b = -1 \Rightarrow b=2^{-1} \Rightarrow b=\frac{1}{2}$
Sehingga $ab=1.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .
Jadi, nilai $ab=\frac{1}{2} . \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Definisi: ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma: ${}^{a} \log b + {}^{a} \log c = {}^{a} \log bc$
$\spadesuit \, $ langsung jumlahkan kedua persamaan
$\begin{array}{c} {}^{2}\log a - 2 \left( {}^{2}\log b \right) = 2 \\ {}^{2}\log b - 2 \left( {}^{2}\log a \right) = -1 \, \, + \\ \hline -{}^{2}\log a - {}^{2}\log b = 1 \Rightarrow {}^{2}\log a + {}^{2}\log b = -1 \\ \Leftrightarrow {}^{2}\log ab = -1 \Rightarrow ab=2^{-1} \Rightarrow ab = \frac{1}{2} \end{array} $
Jadi, nilai $ab=\frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persamaan kuadrat $x^2 + mx + 2 - 2m^2=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika $2x_1+x_2=2$ , maka nilai $m$ adalah ...
$\clubsuit \, $ dari persamaan kuadrat (PK) diperoleh operasi akar-akar:
$x_1+x_2= \frac{-b}{a} \Rightarrow x_1+x_2= \frac{-m}{1} \Rightarrow x_1+x_2= -m \, $ ...pes(i)
dari soal juga diketahui : $2x_1+x_2=2$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$\begin{array}{c} 2x_1+x_2=2 \\ x_1+x_2= -m \, \, - \\ \hline x_1=2 + m \end{array} $
$\clubsuit \, $ Substitusi $x_1=2 + m \, $ ke PK (karena $x_1$ adalah akarnya):
$\begin{align} x^2 + mx + 2 - 2m^2 & =0 \\ (2 + m)^2 + m(2 + m) + 2 - 2m^2 & =0 \\ m^2+4m+4+m^2+2m + 2-2m^2 & = 0 \\ 6m+6&=0 \\ 6m & = -6 \\ m = \frac{-6}{6} & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $m= -1 . \heartsuit $
Nomor 4
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :
sbmptn_matdas_k326_2_2013.png
$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $
Nomor 5
Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika $x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.
$\clubsuit \, $ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%$x$
$\clubsuit \, $ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak = $10\% . 75\% x$
$\clubsuit \, $ Total yang harus dibayar :
$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar $(1,1. 0,75) x. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Semua nilai $a$ agar $\sqrt{2x^2-x+14} \geq \sqrt{x^2-kx+10}$ benar untuk semua bilangan real $x$ adalah ...
$\spadesuit \, $ syarat definit positif : $a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
$ax^2+bx+c > 0 \, $ akan terpenuhi untuk semua $x$ jika memenuhi syarat definit positif.
$\spadesuit \, $ Soal : $\sqrt{2x^2-x+14} \geq \sqrt{x^2-ax+10}$
syarat akar :
(i). $2x^2-x+14 \geq 0 $
$a=2>0 \, $ dan $D=b^2-4ac=(-1)^2-4.2.14<0 \, $ . Karena $a > 0 \, $ dan $ D < 0 $ , maka $2x^2-x+14$ definit positif.
(ii). $x^2-kx+10 \geq 0 \, $ harus definit positif
$a=1 > 0 \, $ (benar)
$D<0 \Leftrightarrow (-k)^2-4.1.10 <0 \Leftrightarrow k^2-40 < 0 \Leftrightarrow k=\pm 2\sqrt{10}$
um_ugm6_mat_ipa-2014.png
$HP_1=\{ -2\sqrt{10} < k < 2\sqrt{10} \}$ .
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua ruas :
$\begin{align*} \left( \sqrt{2x^2-x+14} \right)^2 & \geq \left( \sqrt{x^2-kx+10} \right)^2 \\ 2x^2-x+14 & \geq x^2-ax+10 \\ x^2+(k-1)x + 4 & \geq 0 \, \text{Definit positif}\\ a & = 1 > 0 \, \text{(benar)} \\ D \leq 0 \Leftrightarrow (k-1)^2 - 4.1.4 \leq 0 \\ (k+3)(k-5) & \leq 0 \\ k=-3 \, \text{atau} \, k=5 \end{align*}$
um_ugm7_mat_ipa-2014.png
$HP_2=\{ -3 \leq k \leq 5 \}$ .
$\spadesuit \, $ Sehingga penyelesaiannya :
$HP=Hp_1 \cap HP_2 = \{ -3 \leq k \leq 5 \} . \, \heartsuit $
Nomor 12
Jika $P(x)=x^5+ax^4+x^2+bx+2$ dibagi $h(x)=x^3+2x^2-x-2$ memberikan sisa $r(x)=x^2-3x+4$ maka $a+b=...$
Salah satu akar ($x$ yang menyebabkan $h(x)$ sama dengan nol) dari $h(x)=x^3+2x^2-x-2$ adalah $x=1$
$\clubsuit \, $ Teorema pembagian:
$P(x)$ = (pembagi).(hasil bagi) + (sisa)
$P(x)=h(x) . g(x) + r(x)$
$x^5+ax^4+x^2+bx+2=(x^3+2x^2-x-2) . g(x) + (x^2-3x+4)$ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1$ ke persamaan (i) :
$\begin{align*} 1^5+a.1^4+1^2+b.1+2 &= (1^3+2.1^2-1-2) . g(1) + (1^2-3.1+4) \\ a+b+4&= 0 . g(1) + 2 \\ a+b &=-2 \end{align*}$
Jadi, nilai $ a+b=-2 \, \heartsuit $
Nomor 13
Jika $a$ memenuhi persamaan ${}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x = {}^{4}\log 4x^2 $ mak ${}^{a}\log 3 =...$
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
${}^{a}\log {b}=\frac{1}{{}^{b}\log {a}} \, $ , $ {}^{a}\log {bc}={}^{a}\log {b}+{}^{a}\log {c} \, $ , dan
${}^{a^m}\log {b^n} = \frac{n}{m}. {}^{a}\log {b}$
$\spadesuit \, $ Manyederhanakan soal :
$\begin{align*} {}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x &= {}^{4}\log 4x^2 \\ {}^{2}\log {2} + {}^{2}\log {x}+{}^{3}\log {3}+{}^{3}\log {x} &= {}^{4}\log {4}+{}^{4}\log {x^2} \\ 1 + {}^{2}\log {x}+1+{}^{3}\log {x} &= 1+{}^{2^2}\log {x^2} \\ 1 + {}^{2}\log {x}+{}^{3}\log {x} &= \frac{2}{2} .{}^{2}\log {x} \\ {}^{3}\log {x} & = -1 \\ {}^{x}\log {3} &= \frac{1}{-1} = -1 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Solusinya adalah $x=a$ , sehingga ;
${}^{x}\log {3} = -1 \Leftrightarrow {}^{a}\log {3} = -1 .$
Jadi, nilai $ {}^{a}\log {3} = -1 \, \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$ . Nilai $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2}$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsi $f(x)$ :
$f(x)=\sqrt{1+x} \Rightarrow f^\prime (x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} $
$y=f\left( g(x) \right) \Rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . f^\prime \left( g(x) \right) $
$\clubsuit \, $ Cek nilai limit :
$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2} = \frac{0}{0}$
$\clubsuit \, $ Metode L$^\prime$Hospital (cara turunan) :
$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{4\not{h}.f^\prime \left( 3+2h^2 \right) - (-6\not{h}).f^\prime \left( 3-3h^2 \right)}{2\not{h}} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{4f^\prime \left( 3+2h^2 \right) + 6f^\prime \left( 3-3h^2 \right)}{2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{10f^\prime \left( 3+2h^2 \right) }{2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} 5f^\prime \left( 3+2h^2 \right) \\ &= 5f^\prime \left( 3+2.0^2 \right) = 5f^\prime (3) = 5. \frac{1}{2\sqrt{1+3}} = \frac{5}{4} \end{align*}$
Jadi, nilai $ \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2}=\frac{5}{4} . \, \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui jumlahan empat suku pertama suatu barisan aritmatika sama dengan jumlahan tiga suku selanjutnya. Jika jumlah 10 suku pertamanya adalah 270 , maka suku pertama barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan aritmatika : $U_n=a+(n-1)b \, $ dan $ \, S_n=\frac{n}{2}\left( 2a+ (n-1)b \right) $
$\spadesuit \, $ Jumlah 4 suku pertama sama dengan jumlah 3 suku berikutnya:
$\begin{align*} U_1+U_2+U_3+U_4&=U_5+U_6+U_7 \\ a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) &= (a+4b)+(a+5b)+(a+6b) \\ a&=9b \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Jumlah 10 suku pertama adalah 270:
$\begin{align*} S_{10}&=270\\ \frac{10}{2}\left( 2a+ 9b \right) &= 270 \\ 2a+9b&=54 \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii):
$\begin{align*} 2a+9b&=54 \Leftrightarrow 2a + a = 54 \Leftrightarrow a=18 \end{align*}$
Jadi, Suku pertamanya adalah 18. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2014 nomor 6 sampai 10




Nomor 6
Diketahui matriks $A$ berukuran 3 x 3 dan memenuhi $A\left( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\right) $ dan $A\left( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\right) \, \, \, $. Jika $x=\left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix}\right)$ , maka $Ax= ...$
Untuk penyelesaian soal ini, kita tidak mencari matriks $A$ , melainkan memodifikasi setiap persamaan dengan mengalikan bilangan tertentu , misalkan $m$ dan $n$ . Ini dilakukan karena akan lebih sulit dan ribet untuk menemukan matriks $A$ secara langsung.
$\spadesuit \, $ kalikan $m$ dan $n$ pada persamaan:
$mA\left( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) = m\left( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\right) \Leftrightarrow A\left( \begin{matrix}m \\ 2m \\ m \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2m \\ 2m \\ 2m \end{matrix}\right)$ ...pers(i)
$nA\left( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right) = n\left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\right) \Leftrightarrow A\left( \begin{matrix}n \\ 2n \\ 3n \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2n \\ 4n \\ 2n \end{matrix}\right)$ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Jumlahkan persamaan (i) dan (ii) dan gunakan
sifat $AB+AC=A(B+C)$
$A\left( \begin{matrix}m \\ 2m \\ m \end{matrix}\right) + A\left( \begin{matrix}n \\ 2n \\ 3n \end{matrix}\right) =\left( \begin{matrix}2m \\ 2m \\ 2m \end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix}2n \\ 4n \\ 2n \end{matrix}\right) \\ \Leftrightarrow A\left( \begin{matrix}m+n \\ 2m+2n \\ m+3n \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2m+2n \\ 2m+4n \\ 2m+2n \end{matrix}\right) \text{...pers(iii)}$
$\spadesuit \, $ Bentuk terakhir harus sama dengan yang ditanyakan :
$A\left( \begin{matrix}m+n \\ 2m+2n \\ m+3n \end{matrix}\right) = A\left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix}\right) \, $ sehingga $\left( \begin{matrix}m+n \\ 2m+2n \\ m+3n \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix}\right)$
Diperoleh $m+n=2$ dan $m+3n=10$ , jika diselesaikan maka solusinya $m=-2$ dan $n=4$ .
$\spadesuit \, $ Substitusikan $m=-2$ dan $n=4$ ke persamaan (iii) :
$A\left( \begin{matrix}-2+4 \\ 2.(-2)+2.4 \\ -2+3.4 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}2.(-2)+2.4 \\ 2.(-2)+4.4 \\ 2.(-2)+2.4 \end{matrix}\right) \Leftrightarrow A\left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}4 \\ 12 \\ 4 \end{matrix}\right) $
Jadi, $A\left( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}4 \\ 12 \\ 4 \end{matrix}\right) . \heartsuit $
Nomor 7
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle A=\alpha$ , $\angle B= 90^o$ , dan $\angle C = \gamma$. Jika $cos\alpha = x$ , maka $cos(\alpha +2\gamma )=...$
$\clubsuit \, A$ , $B$, dan $C$ adalah sudut-sudut segitiga :
$\begin{align*} A+B+C&=180^o \\ \alpha + 90^o + \gamma &= 180^o \\ \gamma &= 90^o - \alpha \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan bentuk $\alpha +2\gamma$ :
$\alpha +2\gamma=\alpha + 2(90^o - \alpha) \Leftrightarrow \alpha +2\gamma= 180^o-\alpha \, \text{...pers(ii)} $
$\clubsuit \, $ Ingat $cos(180^o-\theta)=-cos\theta$
$\begin{align*} \alpha +2\gamma&= 180^o-\alpha \\ cos(\alpha +2\gamma)&=cos(180^o-\alpha) \\ &=-cos(\alpha)\\ &=-x \end{align*}$
Jadi, $cos(\alpha +2\gamma)=-x . \, \heartsuit $
Nomor 8
Jika garis $y=mx+k$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2-10x+6y+24=0$ di titik (8,-4) , maka nilai $m+k$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Substitusikan titik (8, -4) ke persamaan garis:
$y=mx+k \Leftrightarrow -4=m.8+k \Leftrightarrow k=-8m-4 \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran:
$x^2+y^2-10x+6y+24=0 \Rightarrow A=-10 , B=6 , C=24$
Pusat : $(a,b)=\left( \frac{-A}{2}, \frac{-B}{2} \right) = \left( \frac{-(-10)}{2}, \frac{-6}{2} \right)=(5,-3)$
Jari-jari: $r=\sqrt{a^2+b^2-C}=\sqrt{5^2+(-3)^2-24} = \sqrt{10}$
Gambar:
um_ugm3_mat_ipa-2014.png
Dari gambar terlihat bahwa panjang jari-jari sama dengan jarak pusat lingkaran ke garis $mx-y+k=0$
$\spadesuit \, $ Menghitung jarak pusat lingkaran ke garis:
$\text{Jarak} =\left| \frac{m.5-(-3)+k}{\sqrt{m^2+(-1)^2}} \right| = \left| \frac{5m+k+3}{\sqrt{m^2+1}} \right|$
$\spadesuit \, $ Jarak sama dengan jari-jari dan gunakan pers(i):
$\begin{align*} \text{jarak}&=\text{jari-jari}\\ \left| \frac{5m+k+3}{\sqrt{m^2+1}} \right| &= \sqrt{10} \\ \left| \frac{5m+(-8m-4)+3}{\sqrt{m^2+1}} \right| &= \sqrt{10} \\ \left| \frac{-3m-1}{\sqrt{m^2+1}} \right| &= \sqrt{10} \\ \left| \frac{-3m-1}{\sqrt{m^2+1}} \right|^2 &= \sqrt{10}^2 \, \text{(kedua ruas dikuadratkan)} \\ \frac{(-3m-1)^2}{(\sqrt{m^2+1})^2} &= 10 \\ \frac{9m^2+6m+1}{m^2+1} &= 10 \\ 9m^2+6m+1&=10m^2+10 \\ m^2-6m+9&=0\\ (m-3)^2&=0 \\ m&=3 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $k$ dari pers(i):
$k=-8m-4=-8(3)-4=-28$
Sehingga, $m+k=3+(-28)=-25.\heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar :
Persamaan garis singgung lingkaran $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $ di titik singgung $ ( x_1, y_1) $ yaitu :
$ x_1.x+y_1.y+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1) + C =0 $.
$\spadesuit \, $ Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (8, -4)$ :
$\spadesuit \, $ Menyusun PGS lingkarannya :
$\begin{align} x^2+y^2-10x+6y+24 & =0 \\ x_1.x+y_1.y-\frac{10}{2}(x+x_1)+\frac{6}{2}(y+y_1) + 24 &=0 \\ 8x - 4y-5(x+8)+3(y-4) + 24 &=0 \\ 8x - 4y-5 x - 40+3y -12 + 24 &=0 \\ 3x - y -28 &=0 \\ y = 3x -& 28 \end{align}$
Bentuk $ y = 3x - 28 $ sama dengan $ y=mx+k $ yang artinya nilai $ m = 3 $ dan $ k = -28 $.
Sehingga, $m+k=3+(-28)=-25.\heartsuit $

Nomor 9
Sebuah prisma $ABCD.EFGH$ memiliki alas berbentuk persegi. Titik $T$ adalah titik tengah diagonal $HF$ . Jika $\angle EAT=\frac{\pi }{6}$ dan volume prisma tersebut $4\sqrt{6}$ , maka tinggi prisma adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan panjang = lebar = $x$ dan tinggi = $t$ :
um_ugm4_mat_ipa-2014.png
$\clubsuit \, $ Segitiga AEI :
$ EG=x\sqrt{2} \Leftrightarrow EI=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2}x\sqrt{2} $
$ tan(A)=\frac{EI}{EA} \Leftrightarrow tan 30^o=\frac{\frac{1}{2}x\sqrt{2}}{t} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{1}{2}x\sqrt{2}}{t} \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}x\sqrt{6} $
$\clubsuit \, $ Menghitung tinggi ($t$) :
$\begin{align*} \text{Volume}&=\text{Luas alas} \times \text{tinggi} \\ 4\sqrt{6}&=x^2.t\\ 4\sqrt{6}&=x^2.\frac{1}{2}x\sqrt{6}\\ x^3&=8 \Leftrightarrow x=2 \end{align*}$
Jadi, tinggi : $t=\frac{1}{2}.2.\sqrt{6}=\sqrt{6} \, \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut sebesar $\theta$ . Jika panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ sama dengan $2sin\theta$ dan panjang vektor $\vec{b}$ adalah 1, maka $tan2\theta =...$
um_ugm5_mat_ipa-2014.png
$\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}| cos\theta \, $ dan $|\vec{b}|=1$ .
Panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ adalah $|\vec{c}| = 2sin\theta$ dengan rumus $|\vec{c}| = \frac{\vec{b}.\vec{a}}{ |\vec{a}| }$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $tan \theta $ dan $tan 2 \theta $
$\begin{align*} |\vec{c}| &= \frac{\vec{b}.\vec{a}}{ |\vec{a}| } \\ 2sin\theta &= \frac{ |\vec{b}| . |\vec{a}| cos\theta}{ | \vec{a} | }\\ 2sin\theta &=1.cos\theta\\ \frac{sin\theta}{cos\theta} &= \frac{1}{2} \Leftrightarrow tan\theta = \frac{1}{2} \end{align*}$
$\begin{align*} tan2\theta &= \frac{2tan\theta}{1-(tan\theta)^2}\\ &= \frac{2 \frac{1}{2}}{1-\left( \frac{1}{2} \right)^2}=\frac{4}{3} \end{align*}$
Jadi, $tan2\theta=\frac{4}{3} . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15



Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2014 nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Tiga pria dan empat wanita akan duduk dalam satu baris. Banyak cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan adalah ...
$\clubsuit \, $ Agar berjenis kelamin sama tidak berdampingan, maka susunan yang mungkin:
WPWPWPW
pada posisi pertama ada 4 pilihan wanita
pada posisi ketiga ada 3 pilihan wanita
pada posisi kelima ada 2 pilihan wanita
pada posisi ketujuh ada 1 pilihan wanita
pada posisi kedua ada 3 pilihan pria
pada posisi keempat ada 2 pilihan pria
pada posisi keenam ada 1 pilihan pria
dengan banyak cara :
4332211
$= 4.3.3.2.2.1.1 = 144 \, \,$ cara.
Jadi, total cara ada 144 susunan. $\heartsuit $
Nomor 2
Untuk setiap bilangan asli $n$ didefinisikan matriks $A_n = \left( \begin{matrix} n & 2n \\ 3n & 4n \end{matrix} \right) $ Jika $\text{det}(A_1+A_2+...+A_k)=-4050$ , maka $\text{det}(A_{2k})=...$
$A_n = \left( \begin{matrix} n & 2n \\ 3n & 4n \end{matrix} \right) \, $ , Misalkan :$p=1+2+3+...+k$
$\begin{align*} A_1+A_2+...+A_k&= \left( \begin{matrix} 1 & 2.1 \\ 3.1 & 4.1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 & 2.2 \\ 3.2 & 4.2 \end{matrix} \right) + ... + \left( \begin{matrix} k & 2.k \\ 3.k & 4.k \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} (1+2+...+k) & 2(1+2+...+k) \\ 3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k) \end{matrix} \right)\\ &=\left( \begin{matrix} p & 2p \\ 3p & 4p \end{matrix} \right) \\ \text{det}(A_1+A_2+...+A_k)&=\text{det}\left( \begin{matrix} p & 2p \\ 3p & 4p \end{matrix} \right)=4p^2-6p^2=-2p^2\\ \text{det}(A_1+A_2+...+A_k)&=-4050\\ -2p^2&=-4050\\ p&=45 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $k$ :
$p=45 \, $ dan $S_n=\frac{n}{2}\left( u_1+u_n \right)$
$\begin{align*} p&=45 \\ 1+2+3+...+k &= 45\\ \frac{k}{2}\left( 1+k \right)&=45\\ k^2+k-9&=0\\ (k-9)(k+10)&=0\\ k=9 \, &\text{atau} \, k=-10\\ \text{yang memenuhi adalah } \, x&=9 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\text{det}(A_{2k})$ :
$A_{2k}=A_{2.9}=A_18=\left( \begin{matrix} 18 & 2.18 \\ 3.18 & 4.18 \end{matrix} \right)$
$\text{det}(A_{2k})=\text{det}(A_{18})=\text{det}\left( \begin{matrix} 18 & 2.18 \\ 3.18 & 4.18 \end{matrix} \right)=-648$
Jadi determinan matriks $A_{2k}$ adalah -648 . $\heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persamaan $x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar positif $x_1$ dan $x_2$ . Jika $x_1$ , $6$, $x_2$ adalah tiga suku pertama barisan geometri dan $x_1$ , $x_2$ , $14$ tiga suku pertama barisan aritmatika, maka $p+q=...$
$x^2+px+q=0 \,$ memiliki akar-akar positif $x_1$ dan $x_2$
$x_1+x_2=\frac{-b}{a} \Rightarrow x_1+x_2=\frac{-p}{1}=-p \,$ pers(i)
$x_1.x_2=\frac{c}{a} \Rightarrow x_1.x_2=\frac{q}{1}=q \, $ pers(ii)
$\clubsuit \, x_1 , 6, x_2 \, $ barisan geometri (rasionya sama) :
$\frac{6}{x_1}=\frac{x_2}{6} \Leftrightarrow x_1.x_2=36 \, \text{pers (iii)} \Leftrightarrow q=36$
$\clubsuit \, x_1 , x_2 , 14 \, $ barisan aritmatika (bedanya sama) :
$x_2-x_1=14-x_2 \Leftrightarrow x_1=2x_2-14 \, \text{pers (iv)}$
$\clubsuit \, $ Substitusikan pers(iv) ke pers(iii) :
$\begin{align*} x_1.x_2&=36 \\ (2x_2-14)x_2&=36 \\ x_2^2-7x_2-18&=0\\ (x_2-9)(x_2+2)&=0\\ x_2=9 \, &\text{atau} \, x_2=-2\\ \text{yang memenuhi adalah } \, x_2&=9 \end{align*}$
pers(iv) : $x_1=2x_2-14 \Leftrightarrow x_1=2.9-14 \Leftrightarrow x_1=4 $
pers(i) : $x_1+x_2=-p \Leftrightarrow 4 + 9 =-p \Leftrightarrow p=-13$
Jadi, nilai $p+q=-13+36=23 . \heartsuit $
Nomor 4
Jika $f(x)=(sinx+cosx)(cos2x+sin2x)$ dan $f^\prime (x)=2cos3x + g(x)$ maka $g(x)=...$
$\spadesuit \, $ Rumus perkalian:
$sinxcosy=\frac{1}{2}(sin(x+y)+sin(x-y)) , cosxsiny=\frac{1}{2}(sin(x+y)-sin(x-y)), \\ sinxsiny=-\frac{1}{2}(cos(x+y)-cos(x-y)) , cosxcosy=\frac{1}{2}(cos(x+y)+cos(x-y)) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan fungsi $f(x)$:
$\begin{align*} f(x)&=(sinx+cosx)(cos2x+sin2x)\\ &=cos2xsinx+sin2xsinx+cos2xcosx+sin2xcox \\ &=\frac{1}{2}(sin3x-sinx) -\frac{1}{2}(cos3x-cosx)\\ &\, +\frac{1}{2}(cos3x+cosx)+\frac{1}{2}(sin3x+sinx)\\ f(x)&=sin3x+cosx\\ f^\prime (x)&=3cos3x-sinx \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $g(x)$:
$\begin{align*} f^\prime (x)&=2cos3x + g(x)\\ g(x)&=f^\prime (x)-2cos3x\\ g(x)&=(3cos3x-sinx)-2cos3x\\ g(x)&=cos3x-sinx \end{align*}$
Jadi, Nilai $ g(x)=cos3x-sinx \, \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui $D_1$ adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh parabola $y=\frac{9}{4}x^2$ , parabola $y=x^2$ , dan garis $x=2$ , dan $D_2$ daerah yang dibatasi oleh garis $x=2$ , garis $y=9$ , dan parabola $y=x^2$ . Jika luas $D_1=a$ , maka luas $D_2$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Luas $D_1$ : $(L_{D_1} = a)$
$\begin{align*} L_{D_1} &= \int_0^2\left( \frac{9}{4}x^2 - x^2 \right) \\ &= \int_0^2\left( \frac{5}{4}x^2 \right) =\frac{10}{3} \\ L_{D_1} &= a \Leftrightarrow a = \frac{10}{3}\\ \end{align*}$ um_ugm_mat_ipa-2014.png
$\clubsuit \, $ Luas $D_2$ :
$\begin{align*} L_{D_2} &= \int_2^3\left( 9 - x^2 \right)=\frac{8}{3} \end{align*}$ um_ugm2_mat_ipa-2014.png
Sehingga $L_{D_2}=\frac{8}{3} . \frac{10}{10} = \frac{8}{10} . \frac{10}{3} = \frac{8}{10} a .$
Jadi, $L_{D_2}=\frac{8}{10} a \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika tiga bilangan $x$ , $y$, dan $z$ membentuk barisan geometri, maka $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} = ...$
$\spadesuit \, $ Barisan geometri , Suku ke-$n$ : $u_n=ar^{n-1}$
Misalkan suku pertamanya $a$ dan rasionya $r$, maka diperoleh: $x=u_1=a$ , $y=u_2=ar \, $ dan $z=u_3=ar^2$.
$\begin{align*} \frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} &= \frac{1}{a-ar} - \frac{1}{ar-ar^2} \\ &= \frac{1}{a(1-)r} - \frac{1}{ar(1-r)} \\ &=\frac{(r-1)}{ar(1-r)} \\ &= \frac{-(1-r)}{ar(1-r)} \\ &= \frac{-1}{ar} \\ &= \frac{-1}{y} \end{align*}$
Jadi, $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} =\frac{-1}{y} \, \heartsuit$
Nomor 17
Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. jika jumlah suku ke-1 dan suku ke-3 adalah 30 dan jumlah dari logaritma suku ke-1, ke-2, dan ke-3 adalah 3 + log 3, maka suku ke-1 barisan tersebut adalah ...
$\clubsuit \,$ Misalkan barisannya adalah $a $, $b $, dan $c$ . Barisan aritmatika memiliki beda (selisih) yang sama, sehingga $b-a=c-b \Leftrightarrow a+c =2b$ ... pers(i)
$\clubsuit \,$ Jumlah $u_1$ dan $u_3$ sama dengan 30 : $a+c=30 \Leftrightarrow c=30-a$ ... pers(ii)
$\clubsuit \,$ Jumlah $logu_1$, $logu_2$ , dan $logu_3$ sama dengan $3+log3$.
$\begin{align*} logu_1+logu_2+logu_3 &=3 +log3 \\ log a+log b + log c &= 3.log10 +log3 \\ log(abc)& =log10^3 + log3\\ &=log1000+log3\\ log(abc)&=log3000\\ abc&=3000 \, \text{...pers (iii)} \end{align*}$
$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke (ii) : $a+c=30 \Leftrightarrow 2b=30 \Leftrightarrow b=15$.
$\clubsuit \,$ Substitusi $b=15$ dan pers(ii) ke pers(iii):
$\begin{align*} abc&=3000 \\ a.15.(30-a)&=3000\\ a^2-30a+200&=0\\ (a-20)(a-10)&=0\\ a=10 \, \text{atau} \, a=20 \end{align*}$
Jadi, suku pertamanya adalah 10 atau 20 . $\heartsuit $
Nomor 18
Diketahui 5 buah truk. Truk A dan B masing-masing memuat 4 ton. Truk C dan D masing-masing memuat 6 ton. Jika truk E memuat 1 ton lebih dari rata-rata muatan kelima truk, maka muatan truk A + muatan truk E = .... ton
Diketahui : $A$ = 4 ton, $B$ = 4 ton, $C$ = 6 ton, dan $D$ = 6 ton .
$\spadesuit \, E \, $ memuat 1 ton lebih dari rata-rata muatan kelima truk:
$E=\frac{A+B+C+D+E}{5}+1$ ... pers(i)
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pers(i):
$\begin{align*} E&=\frac{A+B+C+D+E}{5}+1 \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5E&=(A+B+C+D+E) +5 \\ 5E&=4+4+6+6+E +5 \\ 4E&=25 \\ E&=\frac{25}{4} \\ E&=6,25 \end{align*}$
Sehingga : $A+E=4+6,25=10,25 \, \heartsuit $
Nomor 19
Dalam suatu barisan aritmatika, nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 dan nilai rata-rata 9 suku pertama adalah 3. Jumlah $n$ suku pertama barisan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika, jumlah $n$ suku pertama : $S_n=\frac{n}{2}\left( 2a+(n-1)b \right)$
$\clubsuit \, $ Nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 :
$\frac{u_1+u_2+u_3+u_4}{4}=8 \Leftrightarrow \frac{S_4}{4}=8 \Leftrightarrow S_4=32 \Leftrightarrow \frac{4}{2}(2a+3b)=32 \\ \Leftrightarrow 2a+3b=16 ...\text{pers(i)}$
$\clubsuit \, $ Nilai rata-rata dari 9 suku pertama adalah 3 :
$\frac{u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_9}{4}=3 \Leftrightarrow \frac{S_9}{9}=3 \Leftrightarrow S_9=27 \Leftrightarrow \frac{9}{2}(2a+8b)=27 \\ \Leftrightarrow a+4b=3 \Leftrightarrow a=3-4b ...\text{pers(ii)}$
$\clubsuit \, $ Substitusi dan eliminasi pers(i) dan (ii) , diperoleh $a=11$ dan $ b=-2$.
$\clubsuit \, $ Menentukan rumus $S_n$ :
$\begin{align*} S_n&=\frac{n}{2}\left( 2a+(n-1)b \right) \\ &=\frac{n}{2}\left( 2.11+(n-1).(-2) \right) \\ &=n(11=+1-n)\\ &=12n-n^2 \end{align*}$
Jadi, $S_n=12n-n^2 \, \heartsuit$
Nomor 20
Diberikan fungsi - fungsi $f$ dan $g$ dengan persamaan $f(x)=x^2 , x\leq 0$ dan $g(x)=-\sqrt{x} , x \geq 0$ . Jika $f^{-1}$ adalah invers dari $f$ , maka $(f^{-1}og)(x)=...$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers $f(x)$:
$ f(x)=x^2 \Leftrightarrow y=x^2 \Leftrightarrow x=-\sqrt{y} \, \text{(karena} \, x\leq 0 )$ ,
sehingga $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $(f^{-1}og)(x)$ :
$\begin{align*} (f^{-1}og)(x) &= f^{-1}\left( g(x) \right) \\ &= f^{-1}\left( -\sqrt{x} \right) \\ &=-\sqrt{-\sqrt{x}} \end{align*}$
$(f^{-1}og)(x)=-\sqrt{-\sqrt{x}}$ tidak terdefinisi karena di dalam akar tidak boleh negatif. Akan tetapi berdasarkan syarat $x\leq 0$ untuk $f(x)$ dan $x \geq 0$ untuk $g(x)$ , maka nilai $x$ yang berlaku sama dengan nol, sehingga:
$(f^{-1}og)(x)=-\sqrt{-\sqrt{0}} \Leftrightarrow (f^{-1}og)(x)=0. $
Jadi, $(f^{-1}og)(x)=0 \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Bentuk sederhana dari $\frac{\left( x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \right) }{\left( x^{\frac{4}{3}} - x \right) \left( x + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\right)}$ dengn $x\neq 0$ adalah ...
$\begin{align*} &\frac{\left( x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \right) }{\left( x^{\frac{4}{3}} - x \right) \left( x + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\right)} \\ &= \frac{x^{\frac{1}{6}}\left( x^{\frac{1}{6}} - 1 \right) x^{\frac{1}{2}} \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \not{x}^{\frac{1}{3}} \left( x^{\frac{1}{6}} + 1 + x^{\frac{1}{3}} \right) }{x \left( x^{\frac{1}{3}} - 1 \right) \not{x}^{\frac{1}{3}} \left( x^{\frac{2}{3}} + 1 + x^{\frac{1}{3}}\right)} \\ &= \frac{x^{\frac{1}{6}}.x^{\frac{1}{2}}}{x}.\frac{ \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \left[ \left( x^{\frac{1}{6}} - 1 \right) \left( x^{\frac{1}{6}} + 1 + x^{\frac{1}{3}} \right) \right] }{ \left( x^{\frac{1}{3}} - 1 \right) \left( x^{\frac{2}{3}} + 1 + x^{\frac{1}{3}}\right)} \\ &= \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x}.\frac{ \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \left( x^{\frac{1}{2}} - 1 \right) }{ \left( x - 1 \right) } \\ &= x^{\frac{2}{3}-1}.\frac{ \left( x - 1 \right) }{ \left( x - 1 \right) } \\ &= x^{\frac{-1}{3}} . \heartsuit \end{align*}$
Nomor 12
Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 = -1$ , maka $x+2y=...$
$\left\{ \begin{array}{cc} 4^{y+3x}=64 & \, ...\text{pers(i)} \\ {}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 = -1 & \, ...\text{pers(ii)} \end{array} \right. $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pers (ii) :
${}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 = -1$
Syarat logaritma : $x>0$ dan $x\neq 1$ $x+12>0 \Leftrightarrow x>-12 \, $ sehingga nilai $x$ harus $x>0$ dan $x\neq 1$
$\begin{align*} {}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 &= -1 \\ {}^{x}log (x+12) - {}^{x}log 4^3 &= -1 .{}^{x}log x \\ {}^{x}log \left( \frac{x+12}{4^3} \right) &= {}^{x}log x^{-1} \\ \left( \frac{x+12}{64} \right) &= \frac{1}{x} \\ x^2+12x+-64&=0 \\ (x-4)(x+16)&=0\\ px=4 \, \text{atau} \, x=-16 \end{align*}$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=4$ .
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan pers (i) :
$4^{y+3x}=64 \Leftrightarrow \not{4}^{y+3x}=\not{4}^3 \Leftrightarrow y+3x = 3$
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=4$ ke $y+3x = 4$ :
$y+3x = 3 \Leftrightarrow y+3(4) = 3 \Leftrightarrow y= -9$
Jadi, nilai $ x+2y= 4 + 2(-9) = -14 \, \heartsuit $
Nomor 13
Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu $x$ di A(1,0) dan B(2,0) . Jika grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (0,4) dan puncaknya di titik $(p,q)$ , maka $p+q=...$
$\spadesuit \, $ Fungsi kuadrat (FK) melalui titik $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ : $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$\spadesuit \, $ FK melalui (1,0) dan (2,0) : $y=a(x-1)(x-2)$ ... pers(i)
$\spadesuit \, $ FK melalui (0,4) , substitusi ke pers (i):
$4=a(0-1)(0-2) \Rightarrow a=2 \, $ sehingga pers(i) menjadi : $y=2(x-1)(x-2) \Leftrightarrow y=2x^2-6x+4$
$\spadesuit \, $ Titik Puncak $(x_p,y_p) = (p,q)$
$x_p=\frac{-b}{2a} \Leftrightarrow p=\frac{-(-6)}{2.2} \Leftrightarrow p=\frac{3}{2}$
$y_p=f(x_p) \Leftrightarrow q=f\left( \frac{3}{2} \right) \Leftrightarrow q=2\left( \frac{3}{2} \right)^2-6\left( \frac{3}{2} \right)+4 = \frac{-1}{2}$
$\spadesuit \, $ Sehingga, $p+q= \frac{3}{2} + \frac{-1}{2} = 1$
Jadi, nilai $p+q=1 . \heartsuit $
Nomor 14
Diberikan dua parabola dengan persamaan $f(x)=ax^2+bx+c$ dan $g(x)=px^2+qx+r$. Jika $f$ dan $g$ tidak berpotongan dan $\frac{b}{a}=\frac{q}{p}$, maka jarak terdekat dua parabola tersebut adalah selisih dari ...
Permisalan: $x_p(f)=$ $x$ puncak fungsi $f$ dan $x_p(g)=$ $x$ puncak fungsi $g$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x$ puncak setiap fungsi:
$f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow x_p(f)=\frac{-b}{2a} \\ g(x)=px^2+qx+r \Rightarrow x_p(g)=\frac{-q}{2p} $
Karena $\frac{b}{a}=\frac{q}{p}$ , maka nilai $x_p(f)=x_p(g)$ (nilai $x$ puncaknya sama)
Kedua kurva tidak berpotongan, sehingga gambarnya sebagai berikut:
um_ugm3_matdas_2014.png
$\spadesuit \, $ Nilai $x$ puncak kedua fungsi sama, sehingga jarak terdekat kedua grafik merupakan jarak kedua puncak yang diwakili oleh jarak $y$ puncaknya .
$\spadesuit \, $ Menentukan $y$ puncak setiap fungsi:
$y_p(f)=f(x_p)=f\left( \frac{-b}{2a} \right)$ dan $y_p(g)=g(x_p)=g\left( \frac{-q}{2p} \right)$
Jadi, jarak terdekat kedua parabola adalah selisih dari $y_p(f)$ dan $y_p(g)$ atau $f\left( \frac{-b}{2a} \right)$ dan $g\left( \frac{-q}{2p} \right). \, \heartsuit $
Nomor 15
Pada sistem pertidaksamaan $x-y\leq 0$ , $x+y\geq 4$ dan $-5y+x \geq -20$ berlaku $2x+3y\geq k$ . Nilai $k$ terbesar adalah ...
$\clubsuit \, $ Untuk $2x+3y\geq k $ atau $k\leq 2x+3y$ , nilai $k$ terbesar sama dengan nilai maksimum dari $(2x+3y)$ , sehingga fungsi tujuannya : $f(x,y)=2x+3y$ dengan kendala $x-y\leq 0$ , $x+y\geq 4$ dan $-5y+x \geq -20$.
Gambar daerah penyelesaian :
um_ugm4_matdas_2014.png
$\clubsuit \, $ Menghitung titik pojok A, B, dan C:
Titik A: Eliminasi persamaan $x+y=4$ dan $x-y=0$ , diperoleh $x=2$ dan $y=2$ , titik A(2,2) .
Titik B: Eliminasi persamaan $x-5y=-20$ dan $x-y=0$ , diperoleh $x=5$ dan $y=5$ , titik B(5,5).
Titik C: C(0,4)
$\clubsuit \, $ Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan: $f(x,y)=2x+3y$
$A(2,2) \Rightarrow f(2,2)=2.2+3.2=10 \\ B(5,5) \Rightarrow f(5,5)=2.5+3.5=25 \\ C(0,4) \Rightarrow f(0,4)=2.0+3.4=12 $
Nilai maksimum $2x+3y=25$ , sehingga $k\leq 2x+3y \Leftrightarrow k\leq 25$
Jadi, nilai maksimum $k$ adalah 25 . $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20