Pembahasan Komposisi Fungsi Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ g(x) = 9 - 3x^3 $ . Jika $ (g \circ f)(x) = -3x^3 + 6x^2 + 24x - 15 $ , maka nilai dari $ f(-2) $ sama dengan ......
A). $ -8 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep komposisi fungsi :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ dengan $ g(x) = 9 - 3x^3 $
dan $ (g \circ f)(x) = -3x^3 + 6x^2 + 24x - 15 $
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = -3x^3 + 6x^2 + 24x - 15 \\ g(f(x)) & = -3x^3 + 6x^2 + 24x - 15 \\ 9 - 3(f(x))^3 & = -3x^3 + 6x^2 + 24x - 15 \\ - 3(f(x))^3 & = -3x^3 + 6x^2 + 24x - 24 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -3)} \\ (f(x))^3 & = x^3 - 2x^2 - 8x + 8 \\ f(x) & = \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 - 8x + 8} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f(-2) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 - 8x + 8} \\ f(-2) & = \sqrt[3]{(-2)^3 - 2.(-2)^2 - 8.(-2) + 8} \\ & = \sqrt[3]{-8 - 8 + 16 + 8} \\ & = \sqrt[3]{ 8} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(-2) = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Rata-rata sekelompok data yang masing-masing nilainya berbeda adalah 5. Jika data terbesar tidak diperhitungkan, maka nilai rata-ratanya menjadi 2. Sedangkan jika dikurangi dengan data terkecil maka nilai rata-ratanya menjadi 5,5. Jika jangkauan data 21, maka data terbesarnya adalah ....
A). $ 35 \, $ B). $ 23 \, $ C). $ 21 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata $ ( \overline{X} ) $ :
$ \overline{X} = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Jangkauan = nilai terbesar $ - $ nilai terkecil

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Misalkan ada $ n $ siswa dan
$ Z = \, $ jumlah seluruh nilai $ n $ siswa,
$ a = \, $ nilai terkecil,
$ b = \, $ nilai terbesar.
*). Menyusun persamaannya :
-). Rata-rata keseluruhan : $ \overline{X_n} = 5 $
$ \overline{X_n} = \frac{Z}{n} \rightarrow 5 = \frac{Z}{n} \rightarrow Z = 5n \, $
-). nilai terbesar tidak ikut : $ \overline{X_{n-1}} = 2 $
$ \begin{align} \overline{X_{n-1}} & = \frac{Z - b}{n-1} \\ 2 & = \frac{5n - b}{n-1} \\ 2n - 2 & = 5n - b \\ b & = 3n + 2 \end{align} $
-). nilai terkecil tidak ikut : $ \overline{X_{n-1}} = 5,5 $
$ \begin{align} \overline{X_{n-1}} & = \frac{Z - a}{n-1} \\ 5,5 & = \frac{5n - a}{n-1} \\ 5,5n - 5,5 & = 5n - a \\ a & = -0,5n + 5,5 \end{align} $
-). Jangkauan = 21 :
$ \begin{align} b - a & = 21 \\ (3n+2) - (-0,5n + 5,5) & = 21 \\ 3,5n - 3,5 & = 21 \\ 3,5n & = 24,5 \\ n & = 7 \end{align} $
*). Menentukan nilai terbesar :
$ \begin{align} b & = 3n + 2 = 3.7 + 2 = 23 \end{align} $
Jadi, nilai terbesarnya $ = 23 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan bulat positif diantara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6 atau 7 tetapi tidak keduanya adalah ......
A). 469 B). 471 C). 513 D). 514 E). 557

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika : $ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan banyak bilangan kelipatan 6 antara 200 dan 2000 :
barisannya : 204, 210, 216, ...., 1998
$ a = 204 $ dan $ b = 6 $
$ \begin{align} U_n & = 1998 \\ 204 + (n-1)6 & = 1998 \\ 198 + 6n & = 1998 \\ 6n & = 1800 \\ n & = 300 \end{align} $
*). Menentukan banyak bilangan kelipatan 7 antara 200 dan 2000 :
barisannya : 203, 210, 217, ...., 1995
$ a = 203 $ dan $ b = 7 $
$ \begin{align} U_n & = 1995 \\ 203 + (n-1)7 & = 1995 \\ 196 + 7n & = 1995 \\ 7n & = 1799 \\ n & = 257 \end{align} $
*). Menentukan banyak bilangan kelipatan 42 antara 200 dan 2000 :
barisannya : 210, 252, ...., 1974
$ a = 210 $ dan $ b = 42 $
$ \begin{align} U_n & = 1974 \\ 210 + (n-1)42 & = 1974 \\ 168 + 42n & = 1974 \\ n & = 43 \end{align} $
*). Banyak bilangan kelipatan 6 atau 7 tetapi tidak keduanya :
$ = (300 - 43) + (257 - 43) = 471 $
Jadi, ada 471 bilangan yang dimaksud$ . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ dan $ x $ memenuhi persamaan $ \sin x - \tan x - 2\cos x + 2 = 0 $ , maka himpunan nilai $ \sin x $ adalah ......
A). $ \left\{ \frac{2}{5}\sqrt{5} \right\} \, $ B). $ \left\{ 0 \right\} \, $ C). $ \left\{ \frac{2}{5}\sqrt{5} , 0 \right\} \, $ D). $ \left\{ \frac{1}{5}\sqrt{5} \right\} \, $ E). $ \left\{ \frac{1}{5}\sqrt{5} , 0 \right\} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{de}{mi} , \cos x =\frac{sa}{mi} $ dan $ \tan x = \frac{de}{sa} $
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ U_4, U_3, $ dan $ r $ :
$ \begin{align} \sin x - \tan x - 2\cos x + 2 & = 0 \\ \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} - 2\cos x + 2 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \cos x) \\ \sin x \cos x - \sin x + \cos x(-2\cos x + 2) & = 0 \\ \sin x (\cos x - 1 ) - 2\cos x(\cos x - 1) & = 0 \\ (\cos x - 1)(\sin x - 2\cos x) & = 0 \\ \cos x = 1 \vee \sin x & = 2\cos x \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin x $ :
-). pertama : $ \cos x = 1 $
$ \cos x = 1 \rightarrow x = 0^\circ \rightarrow \sin x = 0 $
-). Kedua : $ \sin x = 2\cos x $
$ \sin x = 2\cos x \rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \rightarrow \tan x = 2 $
Dari $ \tan x = 2 = \frac{2}{1} = \frac{de}{sa} $
gambar segitiga siku-sikunya :
 

Nilai $ \sin x = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\sqrt{5} $
*). Karena syarat $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ , maka nilai $ \sin x $ yang mungkin adalah $ \sin x = \frac{2}{5}\sqrt{5} $
Jadi, himpunan nilai $ \sin x $ adalah $ \left\{ \frac{2}{5}\sqrt{5} \right\} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ n $ suku pertama suatu deret geometri adalah $ S_n = 2^n - 1 $ . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya suku ke-4 dan rasio deret tersebut adalah .......
A). $ x^2 + 10x + 16 = 0 \, $
B). $ x^2 - 10x + 16 = 0 \, $
C). $ x^2 + 10x - 16 = 0 \, $
D). $ x^2 + 6x - 16 = 0 \, $
E). $ x^2 - 6x - 16 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri :
-). Hubungan $ U_n $ dan $ S_n $ yaitu $ U_n = S_n - S_{n-1} $
-). Rasio : $ r = \frac{U_n}{U_{n-1}} $
*). Menyusun persamaan kuadrat :
$ x^2 - (x_1+x_2)x + (x_1.x_2) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Deret geometri : $ S_n = 2^n - 1 $
*). Menentukan nilai $ U_4, U_3, $ dan $ r $ :
$ \begin{align} U_4 & = S_4 - S_3 \\ & = (2^4 - 1) - (2^3 - 1) \\ & = (15) - (7) = 8 \\ U_3 & = S_3 - S_2 \\ & = (2^3 - 1) - (2^2 - 1) \\ & = (7 ) - (3) = 4 \\ r & = \frac{U_4}{U_3} = \frac{8}{4} = 2 \end{align} $
*). Akar-akar persamaan kuadrat :
$ x_1 = U_4 = 8 $ dan $ x_2 = r = 2 $
*). Menyusun persamaan kuadratnya :
$ \begin{align} x^2 - (x_1+x_2)x + (x_1.x_2) & = 0 \\ x^2 - (8 + 2)x + (8.2) & = 0 \\ x^2 - 10x + 16 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 - 10x + 16 = 0 . \, \heartsuit $