Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 691 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Satu dadu dilempar 3 kali. Peluang mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali adalah ....
$\spadesuit \, $ Satu dadu dilempar 3 kali, $ n(S) = 6^3 = 216 $
$\spadesuit \, $ Harapannya adalah mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali artinya mata dadu 6 bisa muncul satu kali atau dua kali atau tiga kali, dalam hal ini dibagi menjadi tiga kasus
1). muncul mata dadu 6 satu kali :
misal muncul pelemparan pertama : cara = 1.5.5 ,
munculnya mata dadu 6 ada $ C_1^3 = 3 \, $ posisi (pelemparan pertama atau kedua atau ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 satu kali : $ n(A_1) = C_1^3 . (1.5.5) = 3. (25) = 75 $
2). muncul mata dadu 6 dua kali :
misal muncul pelemparan pertama dan kedua : cara = 1.1.5 ,
munculnya mata dadu 6 ada $ C_2^3 = 3 \, $ posisi (pelemparan pertama kedua atau kedua ketiga atau pertama ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 dua kali : $ n(A_2) = C_2^3 . (1.1.5) = 3. (5) = 15 $
3). muncul mata dadu 6 tiga kali :
misal muncul pelemparan pertama kedua ketiga: cara = 1.1.1 ,
munculnya mata dadu 6 ada $ C_3^3 = 1 \, $ posisi (pelemparan pertama kedua ketiga), sehingga total cara muncul mata dadu 6 tiga kali : $ n(A_3) = C_3^3 . (1.1.1) = 1. (1) = 1 $
Sehingga total cara muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali :
$ n(A) = n(A_1) + n(A_2) + n(A_3) = 75 + 15 + 1 = 91 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{91}{216}$
Keterangan : 1.5.5 artinya pelemparan pertama muncul angka 6 (ada 1 kemungkinan), pelemparan kedua muncul bukan angka 6 (ada 5 kemungkinan yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5), dan pelemparan ketiga muncul bukan angka 6 (ada 5 kemungkinan yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5).
Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali adalah $ \frac{91}{216} . \heartsuit $

Cara II : peluang komplemen
$\spadesuit \, $ Satu dadu dilempar 3 kali, $ n(S) = 6^3 = 216 $
$\spadesuit \, $ Harapannya adalah mata dadu 6 muncul sedikitnya sekali artinya mata dadu 6 bisa muncul satu kali atau dua kali atau tiga kali.
Pada kasus ini kita gunakan peluang komplemen (lawannya) yaitu kebalikan dari harapannya.
Misal : A = kejadian harapannya (sedikitnya muncul sekali) ,
$ A^c \, $ = kejadian tidak munculnya mata dadu 6 (kebalikan dari kejadian A)
Konsep peluang komplemen : $ P(A) = 1 - P(A^c) $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang komplemennya
Mata dadu 6 tidak muncul sama sekali, $ n(A^c) = 5.5.5 = 125 $
$ P(A^c) = \frac{n(A^c)}{n(S)}=\frac{125}{216}$
Sehingga : $ P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216} $
Jadi, peluang muncul mata dadu 6 sedikitnya sekali adalah $ \frac{91}{216} . \heartsuit $
Nomor 12
Jika $ g(x-2) = \frac{x-4}{x+2} \, $ dan $ f(x) = x^2 + 3 , \, $ maka $ (f \circ g^{-1}) (2) = .... $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan fungsi $ g(x-2) $
misal $ y = x-2 \rightarrow x = y+2 , \, $ substitusi ke fungsi $ g(x-2) $
$\begin{align} g(x-2) & = \frac{x-4}{x+2} \\ g(y) & = \frac{(y+2)-4}{(y+2)+2} \\ g(y) & = \frac{y-2}{y+4} \\ g(x) & = \frac{x-2}{x+4} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan invers fungsi $ g(x) $
$ g(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{dx-b}{-cx+a} $
$ g(x) = \frac{x-2}{x+4} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{4x+2}{-x+1} $
Sehingga nilai $ g^{-1} (2) = \frac{4.(2)+2}{-(2)+1} = \frac{10}{-1} = -10 $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} (f \circ g^{-1}) (2) & = f \left( g^{-1} (2) \right) \\ & = f \left( -10 \right) \\ & = (-10)^2 + 3 \\ & = 100 + 3 \\ (f \circ g^{-1}) (2) & = 103 \end{align}$
Jadi, nilai $ (f \circ g^{-1}) (2) = 103 . \heartsuit $
Nomor 13
Jika $ m \, $ dan $ n \, $ bilangan real dan fungsi $ f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5 \, $ memenuhi $ f^\prime (1) = f^\prime (-5) = 0 , \, $ maka $ 3m-n = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan fungsinya
$ f(x) = mx^3 + 2x^2 - nx + 5 \, $
$ f^\prime (x) = 3mx^2 + 4x - n $
$\spadesuit \, $ Bentuk $ f^\prime (1) = f^\prime (-5) = 0 , \, $ artinya 1 dan -5 adalah akar-akar dari $ f^\prime (x) = 0 $
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow 3mx^2 + 4x - n = 0 , \, $ akar-akarnya $ x_1 = 1 \, $ dan $ x_2 = -5 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ dan $ n \, $ dengan operasi akar-akar
Operasi penjumlahan :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ 1 + (-5) & = \frac{-4}{3m} \\ -4 & = \frac{-4}{3m} \\ 1 & = \frac{1}{3m} \\ 3m & = 1 \\ m & = \frac{1}{3} \end{align}$
Operasi perkalian :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ 1 . (-5) & = \frac{-n}{3m} \\ -5 & = \frac{-n}{1} \\ n & = 5 \end{align}$
Sehingga nilai $ 3m-n = 3.\frac{1}{3} - 5 = 1 - 5 = -4 $
Jadi, nilai $ 3m-n = -4. \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) . \, $ Jika $ |A| \, $ menyatakan determinan $ A , \, $ maka nilai $ a \, $ yang memenuhi $ {}^2 \log a = 2^{|A|} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan matriks $ A \, $ yaitu $ |A| $
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = 1.4 - 1.2 = 4-2 = 2 $
$\clubsuit \, $ Definisi log : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} {}^2 \log a & = 2^{|A|} \\ {}^2 \log a & = 2^{2} \\ {}^2 \log a & = 4 \\ a & = 2^4 \\ a & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 16. \heartsuit $
Nomor 15
Titik-titik P dan Q masing-masing mempunyai absis $ 2p \, $ dan $ -3p \, $ terletak pada parabola $ y = x^2 - 1. \, $ Jiga garis $ g \, $ tegak lurus PQ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $ g \, $ memotong sumbu Y di titik berordinat ....
$\clubsuit \, $ Menentukan titik P dan Q
Titik P : absis = $ 2p \, $ artinya $ x = 2p $
Substitusi $ x = 2p \, $ ke fungsi $ y = x^2 - 1 $
$ y = x^2 - 1 = (2p)^2 - 1 = 4p^2 - 1 $
Sehingga titik P($2p, 4p^2-1$)
Titik Q : absis = $ -3p \, $ artinya $ x = -3p $
Substitusi $ x = -3p \, $ ke fungsi $ y = x^2 - 1 $
$ y = x^2 - 1 = (-3p)^2 - 1 = 9p^2 - 1 $
Sehingga titik Q($-3p, 9p^2-1$)
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis PQ ($m_{PQ}$)
$\begin{align} m_{PQ} & = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \frac{(9p^2-1)-(4p^2-1)}{(-3p)-(2p)} \\ & = \frac{5p^2}{-5p} \\ m_{PQ} & = -p \\ \end{align} $
$\clubsuit \, $ Gradien garis $ g \, $ tegak lurus garis PQ
$\begin{align} m_g & = -\frac{1}{m_{PQ}} \\ & = -\frac{1}{-p} \\ m_g & = \frac{1}{p} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Garis $ g \, $ menyinggung parabola $ y = x^2 - 1 $
$ y^\prime = 2x , \, $ gradien garis $ g \, : m_g = y^\prime $
$\begin{align} m_g & = y^\prime \\ \frac{1}{p} & = 2x \\ x & = \frac{1}{2p} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan titik singgung garis $ g \, $ dengan substitusi $ x = \frac{1}{2p} $
$ y = x^2 - 1 = \left(\frac{1}{2p}\right)^2 - 1 = \frac{1}{4p^2} - 1 $
Sehingga titik singgungnya : $ (x,y) = (\frac{1}{2p} , \frac{1}{4p^2} - 1) $
Persamaan garis singgungnya melalui $ (x,y) = (\frac{1}{2p} , \frac{1}{4p^2} - 1) \, $ dengan $ m = \frac{1}{p} $
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(\frac{1}{4p^2} - 1) & = \frac{1}{p}.(x-\frac{1}{2p}) \\ y-(\frac{1}{4p^2} - 1) & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{2p^2} \\ y & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{2p^2} + (\frac{1}{4p^2} - 1) \\ y & = \frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2} - 1 \end{align} $
Memotong sumbu Y, substitusi $ x = 0 \, $
$ y = \frac{1}{p}x-\frac{1}{4p^2} - 1 = \frac{1}{p}.0-\frac{1}{4p^2} - 1 = -\frac{1}{4p^2} - 1 $
Jadi, ordinatnya adalah $ y = -\frac{1}{4p^2} - 1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 691 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $ x + 2y = 2a + 1 \, $ dan $ 3x-y = a + p , \, $ maka $ 5x - 4y = .... $
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 2a + 1 & \times 1 & x + 2y = 2a + 1 & \\ 3x-y = a + p & \times 2 & 6x - 2y = 2a + 2p & + \\ \hline & & 7x = 4a + 2p + 1 & \\ & & x = \frac{1}{7} (4a + 2p + 1) & \end{array} $
$\begin{align} \text{pers(i) : } \, x + 2y & = 2a + 1 \\ \frac{1}{7} (4a + 2p + 1) + 2y & = 2a + 1 \\ y & = \frac{1}{7}(5a-p+3) \end{align}$
Sehingga nilai $ 5x - 4y = 5. \frac{1}{7} (4a + 2p + 1) - 4.\frac{1}{7}(5a-p+3) = 2p - 1 $
Jadi, nilai $ 5x - 4y = 2p -1 . \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Tanpa menentukan nilai $ x \, $ dan $ y , \, $ tetapi langsung mengarahkan yang ditanyakan
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 2a + 1 & \times 1 & x + 2y = 2a + 1 & \\ 3x-y = a + p & \times 2 & 6x - 2y = 2a + 2p & - \\ \hline & & -5x + 4y = 1 - 2p & \end{array} $
Kali -1 bentuk $ -5x + 4y = 1 - 2p , \, $ diperoleh $ 5x - 4y = 2p -1 \, $ dan hasil ini sama dengan yang ditanyakan.
Jadi, nilai $ 5x - 4y = 2p -1 . \heartsuit $
Catatan : Metode ini digunakan hanya untuk kasus tertentu yang artinya tidak semua sistem persamaan bisa dikerjakan dengan metode ini. Operasi yang dilakukan bisa jumlah, pengurangan, atau dikalikan dengan bilangan tertentu terlebih dulu sehingga ketika semua persamaan yang ada dioperasikan akan diperoleh langsung hasil yang ditanyakan seperti soal di atas.
Nomor 7
Penyelesaian pertidaksamaan $ \left( \frac{x-1}{x} \right)^2 \leq 4\left( 1 - \frac{1}{x} \right) - 3 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pembilang dan penyebutnya
$\begin{align} \left( \frac{x-1}{x} \right)^2 & \leq 4\left( 1 - \frac{1}{x} \right) - 3 \\ \frac{x^2-2x+1}{x^2} & \leq 4 - \frac{4}{x} - 3 \\ \frac{x^2-2x+1}{x^2} & \leq 1 - \frac{4}{x} \\ \frac{x^2-2x+1}{x^2} + \frac{4}{x} - 1 & \leq 0 \\ \frac{x^2-2x+1}{x^2} + \frac{4x}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} & \leq 0 \\ \frac{x^2-2x+1 + 4x - x^2}{x^2} & \leq 0 \\ \frac{2x+1}{x^2} & \leq 0 \\ x = - \frac{1}{2} \vee x & = 0 \end{align} $
sbmptn_matdas_k691_1_2014.png
Jadi, solusinya $ HP = \{ x \leq - \frac{1}{2} \} . \heartsuit$
Nomor 8
Jika $ \cos x=2\sin x $ , maka nilai $ \sin x \cos x $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \tan x$ dengan $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ :
$\cos x=2\sin x \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ Buat segitiga dari nilai $\tan x=\frac{1}{2}$ :
sbmptn_matdas_k691_2_2014.png
sehingga $\sin x\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jadi, nilai $ \sin x\cos x=\frac{2}{5}. \, \heartsuit $
Nomor 9
Jika $ a_1, \, a_2, \, a_3 \, $ adalah barisan aritmetika dan $ a_1, \, a_2, \, a_1 + a_3 \, $ adalah barisan geometri, maka $ \frac{a_3}{a_1} = .... $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ a_1, \, a_2, \, a_3 \, $
Selisih sama : $ a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \rightarrow a_1 + a_3 = 2a_2 \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Barisan geometri : $ a_1, \, a_2, \, a_1 + a_3 \, $
Dari pers(i), maka barisan geometrinya menjadi : $ a_1, \, a_2, \, 2a_2 $
Rasio sama : $ \frac{a_2}{a_1} = \frac{2a_2}{a_2} \rightarrow \frac{a_2}{a_1} = 2 \rightarrow a_2 = 2a_1 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \frac{a_3}{a_1} \, $ dengan $ a_2 = 2a_1 $
$\begin{align} \text{pers(i) : } \, a_1 + a_3 & = 2a_2 \\ a_1 + a_3 & = 2.(2a_1) \\ a_1 + a_3 & = 4a_1 \\ a_3 & = 3a_1 \\ \frac{a_3}{a_1} & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{a_3}{a_1} = 3 . \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ A = \left( \begin{matrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right), \, B = \left( \begin{matrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{matrix} \right), \, $ dan $ AB = \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) , \, $ maka nilai $ z - x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil kali matriksnya
$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & -x-y \\ 2 & -x+y+2z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \end{align}$
Diperoleh persamaan :
$ -x-y = 2 \, $ ...pers(i) dan $ -x+y+2z = 4 \, $ ....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Jumlahkan kedua persamaan
$\begin{array}{cc} -x-y = 2 & \\ -x+y+2z = 4 & + \\ \hline -2x + 2z = 6 & \\ -x + z = 3 & \end{array} $
Sehingga nilai $ z - x = -x + z = 3 $
Jadi, nilai $ z - x = 3 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 691 tahun 2014


Nomor 1
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah $p+0,1$ ; 40% lainnya adalah $p-0,1$ ; 10% lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata 30% data sisanya adalah $p+q$, maka $q=...$
$\clubsuit \, $ Rumus rata-rata gabungan : $\overline{x}_{gb}=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+...}{n_1+n_2+n_3+...}$
$\clubsuit \, $ Data dibagi menjadi 4 kelompok :
$n_1=20\%,\overline{x}_1=p+0,1 ; n_2=40\%, \overline{x}_2=p-0,1 ; \\ n_3=10\%, \overline{x}_3=p-0,5 ; n_4=30\% , \overline{x}_4=p+q ; \overline{x}_{gb}=p$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $q$
$\begin{align} \overline{x}_{gb}&=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \\ p&=\frac{20\%.(p+0,1)+40\%.(p-0,1)+10\%.(p-0,5)+30\%.(p+q)}{20\%+40\%+10\%+30\%} \\ p&=\frac{0,2p+0,02+0,4p-0,04+0,1p-0,05+0,3p+0,3q}{100\%} \\ \not{p}&=\frac{\not{p}-0,07+0,3q}{1} \\ q&=\frac{0,07}{0,3}=\frac{7}{30} \end{align}$
Jadi, $q=\frac{7}{30}. \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ p = ({}^a \log 2) \left( {}^{a^2b} \log 4 \right) , \, $ maka $ \frac{1}{p} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma:
sifat(1) : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
sifat(2) : $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b , \, $ dan
sifat(3) : $ \frac{1}{{}^b \log a } = {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ \frac{1}{p} $
$\begin{align} p & = ({}^a \log 2) \left( {}^{a^2b} \log 4 \right) \\ p & = ({}^a \log 2) \left( {}^{a^2b} \log 2^2 \right) \, \, \, \text{[sifat(2)]} \\ p & = ({}^a \log 2) .2. \left( {}^{a^2b} \log 2 \right) \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{({}^a \log 2). 2. \left( {}^{a^2b} \log 2 \right)} \, \, \, \text{[sifat(3)]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} . {}^2 \log a . {}^2 \log a^2b \, \, \, \text{[sifat(1)]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} {}^2 \log a \left( {}^2 \log a^2 + {}^2 \log b \right) \, \, \, \text{[sifat(2)]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} {}^2 \log a \left( 2.{}^2 \log a + {}^2 \log b \right) \, \, \, \text{[kalikan]} \\ \frac{1}{p} & = \frac{1}{2} {}^2 \log a . 2.{}^2 \log a + \frac{1}{2} . {}^2 \log a .{}^2 \log b \\ \frac{1}{p} & = \left( {}^2 \log a \right)^2 + \frac{1}{2} . {}^2 \log a . {}^2 \log b \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{1}{p} = \left( {}^2 \log a \right)^2 + \frac{1}{2} . {}^2 \log a . {}^2 \log b . \heartsuit $
Nomor 3
Fungsi kuadrat $ f(x) = x^2 + 2px + p \, $ mempunyai nilai minimum $ -p \, $ dengan $ p \neq 0 . \, $ Jika sumbu simetri kurva $ f \, $ adalah $ x = a, \, $ maka nilai $ a + f(a) = .... $
$\clubsuit \, $ Fungsi $ f(x) = x^2 + 2px + p \, $ dengan sumbu simetri $ x = a , $
artinya $ x_p = a \, $ dengan rumus $ x_p = \frac{-b}{2a} $
$\begin{align} x_p & = a \\ \frac{-b}{2a} & = a \\ \frac{-2p}{2.1} & = a \\ a & = -p \end{align} $
$\clubsuit \, $ Parabola mempunyai nilai minimum $ -p \, $ dan sumbu simetri $ x = a = -p \, $ artinya parabola mempunyai titik puncak $ (x_p,y_p)=(a,-p) = (-p,-p) \, \, \, \, $ atau fungsi minimum pada saat $ x = a \, $ dengan $ f(a) = -p \, $ . Substitusi titik puncak ke fungsi kuadratnya :
$\begin{align} (x_p,y_p) = (-p, -p ) \rightarrow f(x) & = x^2 + 2px + p \\ -p & = (-p)^2 + 2p.(-p) + p \\ -p & = p^2 -2p^2 + p \\ p^2 -2p & = 0 \\ p(p-2) & = 0 \\ p=0 \vee p & = 2 \end{align} $
Karena $ p \neq 0 , \, $ maka yang memenuhi nilai $ p = 2 \, $.
diperoleh nilai $ a = -p = - 2 \, $ dan $ f(a) = -p = -2 $
Sehingga nilai $ a + f(a) = -2 + (-2) = -4 $
Jadi, nilai $ a + f(a) = -4 . \heartsuit $
Nomor 4
Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ...
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu $X$ dan sumbu $Y$ :
$x+2y \leq 40 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok} $
$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok} $

NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan $x+2y = 40 $ dan $3x+y = 30$ diperoleh $x=4,y=18$, sehingga titik potongnya (4,18)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20 $
$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10 $
$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $

Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi fungsi kendalanya
$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array} $
Dari bentuk $ x + y \leq 22, \, $ artinya nilai maksimum dari $ x + y \, $ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Nomor 5
Untuk $ 0 < a < 10 \, $ , fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + 2ax + 10 \, $ memenuhi sifat ....
(A) selalu negatif
(B) selalu positif
(C) hanya positif di setiap $ x , \, $ dengan $ 0 < x < 10 $
(D) hanya negatif di setiap $ x , \, $ dengan $ 0 < x < 10 $
(E) hanya positif di setiap $ x , \, $ dengan $ x < 0 \, $ atau $ x > 10 $
$\clubsuit \, $ Konsep Definit pada fungsi kuadrat (FK)
Definit positif artinya fungsi selalu bernilai positif untuk semua $ x $
Definit negatif artinya fungsi selalu bernilai negatif untuk semua $ x $
Syarat Definit positif : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
Syarat Definit negatif : $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai Diskriminannya ($ D $)
fungsi $ f(x) = ax^2 + 2ax + 10 \, $ dengan $ 0 < a < 10 $
$\begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2a)^2 - 4.a.10 \\ & = 4a^2 - 40a \\ D & = 4a(a - 10 ) \\ \text{untuk } 0 < a < 10 \rightarrow D & = \underbrace{4a}_{\text{nilai} \, + } . \underbrace{(a - 10 )}_{\text{nilai} \, - } \\ D & < 0 \, \, \, \text{(positif kali negatif = negatif)} \end{align}$
Karena nilai $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 , \, $ maka fungsi kuadratnya adalah definit positif yang artinya fungsi selalu bernilai positif.
Jadi, FK memenuhi sifat selalu positif. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15