Pembahasan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha = \frac{7}{8} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \frac{11}{16} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos ^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x ) $
$ \sin ^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x ) $
$ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $
*). Sifat eksponen :
$ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2 )^2 - 2 (a.b)^2 $
$ a^6 + b^6 = (a^4 + b^4)(a^2 + b^2) - (ab)^2(a^2 + b^2) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ dengan $ \pi = 180^\circ $
*). Menentukan beberapa nilai :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = \cos 2 . \frac{\pi}{12} = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 2 \alpha & = \sin 2 . \frac{\pi}{12} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \\ \sin \alpha . \cos \alpha & = \frac{1}{2} \sin 2 \alpha = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha = \frac{7}{8} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha & = (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha)^2 - 2(\sin \alpha . \cos \alpha )^2 \\ & = (1)^2 - 2( \frac{1}{4} )^2 \\ & = 1 - 2( \frac{1}{16} ) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \end{align} $
Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \frac{11}{16} \, $ ?
$ \begin{align} & \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \\ & = (\sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha )(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) - (\sin x \cos x)^2 (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) \\ & = ( \frac{7}{8} )(1) - ( \frac{1}{4} )^2 (1) \\ & = \frac{7}{8} - \frac{1}{16} = \frac{13}{16} \end{align} $
Pernyataan (2) SALAH.

(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \cos ^4 \alpha & = \cos ^2 \alpha . \cos ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 + \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} + \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha & = \sin ^2 \alpha . \sin ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 - \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} - \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (4) SALAH.

Sehingga pernyataan (1) yang BENAR, tidak ada jawabannya.
Jadi, yang BENAR adalah pernyataan (1) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = (c_1 - x)^2 + (c_2 - x)^2 + (c_3 - x)^2 , $ maka pada $ y $ berlaku ....
(1). mempunyai dua titik stasioner
(2). nilai maksimum adalah $ c_1 + \frac{c_2}{2c_3} $
(3). selalu naik
(4). nilai minimumnya terjadi pada $ \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = (c_1 - x)^2 + (c_2 - x)^2 + (c_3 - x)^2 $
$ y^\prime = 2(c_1 - x). (-1) + 2(c_2 - x). (-1) + 2(c_3 - x). (-1) $
$ y^\prime = 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) & = 0 \\ 6x & = 2(c_1 + c_2 + c_3) \\ x & = \frac{ 2(c_1 + c_2 + c_3)}{6} \\ x & = \frac{ (c_1 + c_2 + c_3)}{3} \end{align} $
Karena $ x $ yang kita peroleh hanya satu, maka titik stasionernya hanya ada satu saja.
-). Turunan kedua :
$ y^\prime = 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) $
$ y^{ \prime \prime } = 6 > 0 $
Karena nilai turunan keduanya positif, maka stasioner jenisnya minimum.

Kita cek setiap pernyataan :
(1). mempunyai dua titik stasioner ?
Pernyataan (1) SALAH.

(2). nilai maksimum adalah $ c_1 + \frac{c_2}{2c_3} $ ?
Pernyataan (2) SALAH karena yang ada nilai minimum.

(3). selalu naik ?
Dari turnan pertamanya : $ y^\prime = 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) $
Nilai turunan pertamanya bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga untuk semua $ x $ tidak selalu nilai turunan pertamanya positif. Artinya fungsi $ y $ tidak selalu naik
Pernyataan (3) SALAH.

(4). nilai minimumnya terjadi pada $ \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $ ?
Dari syarat stasioner kita peroleh $ x = \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $ , artinya fungsi $ y $ minimum pada saat $ x = \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $ .
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{u} = (4, -5, 3) $ , $ \vec{v} = (2, -1, 3) $ , maka ....
(1). $ || \vec{u} + \vec{v} || = 6\sqrt{3} $
(2). $ || \vec{u} - \vec{v} || = \, $ jarak $ \vec{u} $ ke $ \vec{v} $
(3). $ \angle ( \vec{u}, \vec{v}) \, $ tumpul
(4). $ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} = \frac{11}{7} (2, -1, 3) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3 ) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} . \vec{v} = u_1.v_1 + u_2.v_2 + u_3.v_3 $
Panjang vektor $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
*). Panjang vektor $ \vec{u} + \vec{v} $ adalah $ || \vec{u} + \vec{v}|| $
$ || \vec{u} + \vec{v}|| = \sqrt{(u_1+v_1)^2 + (u_2+v_2)^2 +(u_3+v_3)^2 } $
*). Jarak vektor $ \vec{u} $ ke vektor $ \vec{v} $ adalah $ ||\vec{u} - \vec{v}|| $
*). Besar sudut $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \theta $ dengan rumus :
$ \cos \theta = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $
*). Proyeksi vektor $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} $
$ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} = \left( \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor $ \vec{u} = (4, -5, 3) $ , $ \vec{v} = (2, -1, 3) $
$ \vec{u}.\vec{v} = 4.2 + (-5).(-1) + 3.3 = 8 + 5 + 9 = 22 $
$ |\vec{u}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} $
$ |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} $

Cek setiap pernyataan :
(1). $ || \vec{u} + \vec{v} || = 6\sqrt{3} $ ?
$\begin{align} || \vec{u} + \vec{v} || & = \sqrt{(4+2)^2 + (-5 + (-1))^2 + (3+3)^2} \\ & = \sqrt{36 + 36 + 36} = \sqrt{3. 36} = 6\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ || \vec{u} - \vec{v} || = \, $ jarak $ \vec{u} $ ke $ \vec{v} $ ?
Pernyataan (2) BENAR sesuai konsep dasar di atas.

(3). $ \angle ( \vec{u}, \vec{v}) \, $ tumpul ?
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \\ \cos \theta & = \frac{22}{\sqrt{50}. \sqrt{14} } \end{align} $
Karena nilai $ \cos \theta > 0 $ (positif), maka sudutnya bukan tumpul.
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} = \frac{11}{7} (2, -1, 3) $ ?
$\begin{align} \text{proy}_\vec{v} \vec{u} & = \left( \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} \\ & = \left( \frac{22}{(\sqrt{14})^2} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{22}{14} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{11}{7} \right) (2, -1, 3) \end{align} $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan yang BENAR adalah (1), (2), dan (4). Tidak ada jawaban sesuai petunjuk C.
Jadi, pernyataan (1), (2), dan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah barisan $ 0, \frac{3}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64} , .... $ Jumlah 12 suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{12}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}} \, $
C). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{1}{2^{22}} \, $ E). $ \frac{3}{2^{12}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap barisan memiliki pola atau rumus tersendiri.
*). Sifat eksponen :
untuk $ n \, $ ganjil, $ (-1)^n = -1 $
untuk $ n \, $ genap, $ (-1)^n = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sebuah barisan $ 0, \frac{3}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64} , .... $ :
-). Penjabaran setiap sukunya :
$ u_1 = 0 = \frac{1}{2^0} - \frac{1}{2^0} = \frac{1}{2^{1-1}} + (-1)^1 \frac{1}{2^{2(1-1)}} $
$ u_2 = \frac{3}{4} = \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2^{2-1}} + (-1)^2 . \frac{1}{2^{2(2-1)}} $
$ u_3 = \frac{3}{16} = \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^4} = \frac{1}{2^{3-1}} + (-1)^3 . \frac{1}{2^{2(3-1)}} $
$ u_4 = \frac{9}{64} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6} = \frac{1}{2^{4-1}} + (-1)^4 . \frac{1}{2^{2(4-1)}} $
......
$ u_n = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{2^{2(n-1)}} $
-). Sehingga rumus umum suku ke-$n$ nya yaitu :
$ u_n = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{2^{2(n-1)}} $
*). Menentukan jumlah 12 suku pertamanya :
Jika kita hitung nilai $ s_{12} $ maka hasilnya yaitu :
$ s_{12} = \frac{6}{5} + \frac{1}{5 \times 2^{22}} - \frac{1}{2^{11}} $
Hasil ini tidak ada dioptionnya.
*). Menurut kami pertanyaannya kurang tepat jika optionnya seperti itu. Yang ditanyakan adalah suku ke-12 nya.
*). Menentukan suku ke-12 :
$\begin{align} u_n & = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{2^{2(n-1)}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{12-1}} + (-1)^{12} . \frac{1}{2^{2(12-1)}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{11}} + 1 . \frac{1}{2^{2(11)}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}} \end{align} $
Jadi, suku ke-12 adalah $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a+b-c=2 $ , $ a^2+b^2-4c^2 = 2$ , dan $ ab = \frac{3}{2}c^2 $ , maka nilai $ c $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah dengan metode substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ a+b-c=2 \, $ .....(i)
$ a^2+b^2-4c^2 = 2 \, $ .....(ii)
atau $ a^2 + b^2 = 4c^2 + 2 $
$ ab = \frac{3}{2}c^2 \, $ ......(iii)
*). Kuadratkan persamaan (i) :
$\begin{align} a+b & = c + 2 \\ (a+b)^2 & = (c + 2)^2 \\ a^2 + b^2 + 2ab & = c^2 + 4c + 4 \end{align} $
*). Substitusikan pers(ii) dan (iii) ke pers(i) yang sudah dikuadratkan :
$\begin{align} (a^2 + b^2) + 2ab & = c^2 + 4c + 4 \\ (4c^2 + 2) + 2 ( \frac{3}{2}c^2) & = c^2 + 4c + 4 \\ 4c^2 + 2 + 3c^2 & = c^2 + 4c + 4 \\ 6c^2 - 4c - 2 & = 0 \\ (3c+1)(c-1) & = 0 \\ c = -\frac{1}{3} \vee c & = 1 \end{align} $
Yang ada di optionnya adalah $ c = 1 $.
Jadi, nilai $ c = 1. \, \heartsuit $