2009 Pembahasan Matriks UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $\left( \begin{matrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ -a + 2b & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $ ab = ... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Determinan Matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Invers Matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun Persamaan :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} & = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ -a + 2b & 1 \end{matrix} \right) \\ \frac{1}{(a-b).1 - 0.(-b)} \left( \begin{matrix} 1 & b \\ 0 & a-b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ -a + 2b & 1 \end{matrix} \right) \\ \frac{1}{a-b} \left( \begin{matrix} 1 & b \\ 0 & a-b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ -a + 2b & 1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \, \, \text{(kali }a-b) \\ \left( \begin{matrix} 1 & b \\ 0 & a-b \end{matrix} \right) & = (a-b)\left( \begin{matrix} a & 1 \\ -a + 2b & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & b \\ 0 & a-b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} (a-b)a & (a-b) \\ (a-b)(-a + 2b) & (a-b) \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh persamaan :
$ a - b = b \, \, \, $ .....pers(i).
$ (a-b)a = 1 \, \, \, $ .....pers(ii).
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
Gantikan $ (a - b ) \, $ dengan $ b $ sesuai pers(i).
$ \begin{align} (a-b)a & = 1 \\ ba & = 1 \\ ab & = 1 \end{align} $ .
Artinya kita peroleh $ a b = 1 $.
Jadi, nilai $ ab = 1 . \, \heartsuit $



2009 Pembahasan Barisan Geometri UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika barisan geometri $ y+1, \, 2y-2, \, 7y-1 $ mempunyai rasio positif, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ....
A). $ 108 \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ -\frac{4}{3} \, $ D). $ -108 \, $ E). $ -324 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri :
*). Rumus Suku ke-$n$ :
$ U_n = ar^{n-1} $
dengan $ a = \, $ suku pertama, dan $ r = \, $ rasio $ \, = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = ...=\frac{U_n}{U_{n-1}} $
*). Ciri-ciri barisan Geometri adalah memiliki perbandingan sama (Rasio).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Barisannya : $ U_1 = y + 1 , \, U_2 = 2y-2 , \, U_3 = 7y-1 $
Perbandingan sama (Rasio) :
$ \begin{align} \frac{U_2}{U_1} & = \frac{U_3}{U_2} \\ (U_2)^2 & = U_1.U_3 \\ (2y-2)^2 & = (y+1)(7y-1) \\ 4y^2 - 8y + 4 & = 7y^2 + 6y - 1 \\ 3y^2 + 14y - 5 & = 0 \\ (3y -1)(y + 5) & = 0 \\ y = \frac{1}{3} \vee y & = -5 \end{align} $ .
*). Menentukan barisannya :
$ \begin{align} y= -5 \rightarrow U_1 & = y + 1 = -5 + 1 = -4 \\ U_2 & = 2y - 2 = 2.(-5) - 2 = -12 \\ U_3 & = 7y - 1 = 7 .(-5) - 1 = -36 \\ r & = \frac{U_2}{U_1} = \frac{-12}{-4} = 3 \end{align} $ .
Barisan $ -4 , -12, -36 \, $ memenuhi karena rasionya positif,
Sehingga $ U_4 = ar^3 = (-4). 3^3 = -108 $
Jadi, nilai $ U_4 = -108 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk $ y = \frac{1}{3} \, $ jika disubstitusi ke barisannya akan terbentuk barisan geometri dengan rasio negatif, sehingga tidak memenuhi syarat soal yang diminta. Silahkan teman-teman coba untuk $ y = \frac{1}{3} $.



2009 Pembahasan Barisan Aritmetika UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Dalam suatu deret aritmetika, jika $ U_3 + U_7 = 56 $ dan $ U_6 + U_{10} = 86 $ , maka suku ke-2 deret tersebut adalah ....
A). $ 8 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Aritmetika :
*). Rumus Suku ke-$n$ :
$ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun Persamaan :
$ \begin{align} \text{Pertama: } U_3 + U_7 & = 56 \\ (a+2b) + (a + 6b) & = 56 \\ 2a + 8b & = 56 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ a + 4b & = 28 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ \text{Kedua: } U_6 + U_{10} & = 86 \\ (a+5b)+(a+9b) & = 86 \\ 2a + 14b & = 86 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ a + 7b & = 43 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $ .
*). ELiminasi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 4b = 28 & \\ a + 7b = 43 & - \\ \hline -3b = 15 & \\ b = 5 & \end{array} $ .
Pers(i) : $ a + 4b = 28 \rightarrow a + 4.5 = 28 \rightarrow a = 8 $.
Sehingga nilai $U_2 = a + b = 8 + 5 = 13 $.
Jadi, nilai $ U_2 = 13 . \, \heartsuit $