Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 21 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $x-y=1 $ dan $x^y = 64 $ , maka $x+y = ... $
$\clubsuit \,$ Substitusi $x-y=1 \rightarrow y = x-1 $
$\begin{align*} x^y & = 64 \\ x^{x-1} & = 4^3 \\ \text{sehingga} \, x & = 4 \end{align*}$
$x-y=1 \rightarrow y = x-1 = 4-1 = 3 $
Jadi, nilai $x + y = 4 + 3 = 7. \heartsuit $
Nomor 12
Garis singgung fungsi $f(x) = \sqrt{(x^2-7)^3} $ di $x = 4 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan titik singgung :
$x = 4 \rightarrow y = \sqrt{(x^2-7)^3} \rightarrow y = \sqrt{(4^2-7)^3} = 27 $
sehingga titik singgungnya : (4,27) sebagai ($x_1,y_1$)
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan $f(x)$ :
$f(x) = \sqrt{(x^2-7)^3} = (x^2-7)^{\frac{3}{2}} $
$ f^\prime (x) = \frac{3}{2} (x^2-7)^{\frac{1}{2}} . 2x = 3x\sqrt{x^2-7} $
$\spadesuit \, $ Menentukan Gradien garis singgung :
$m = f^\prime (4) \rightarrow m = 3.4 \sqrt{4^2-7} = 36 $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garis singgung :
$\begin{align*} y-y_1 & = m ( x-x_1) \\ y-27 & = 36 ( x-4) \\ y & = 36x - 117 \end{align*}$
Jadi, PGS nya $ y = 36x - 117 . \heartsuit $
Nomor 13
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian $x^{^2 \log x } = 16 $ , maka $x_1x_2 = ... $
$\clubsuit \,$ Definisi logaritma : $a^c = b \leftrightarrow c = {}^a \log b $
$\clubsuit \,$ Sifat logaritma : $^a\log b^n = n . {}^a \log b \, $ dan $\, {}^a \log b = \frac{1}{^b \log a} $
$\clubsuit \,$ Menyederhanakan soal :
$\begin{align*} x^{^2 \log x } = 16 \Leftrightarrow ^2 \log x & = ^x \log 16 \\ ^2 \log x & = {}^x \log 2^4 \\ ^2 \log x & = 4. {}^x \log 2 \\ ^2 \log x & = 4. \frac{1}{^2 \log x } \\ \left( ^2 \log x \right)^2 & = 4 \\ ^2 \log x & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ ^2 \log x = 2 \rightarrow x_1 & = 2^2 = 4 \\ ^2 \log x = -2 \rightarrow x_2 & = 2^{-2} = \frac{1}{4} \end{align*}$
Jadi, nilai $x_1.x_2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1 . \heartsuit $
Nomor 14
Jika $x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... = 2x $ , maka nilai $x$ yang mungkin adalah ....
(1). $-\sqrt{2} $       (2). -2       (3). $\sqrt{2}$       (4). 2
$\spadesuit \, $ Rumus dasar deret geometri tak hingga : $S_\infty = \frac{a}{1-r} $
Bentuk $x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... $ adalah deret geometri tak hingga
dengan $ a = x \, $ dan $\, r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{x}}{x} = \frac{1}{x^2} $
$\begin{align*} x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{x}{1- \frac{1}{x^2} } \\ x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = \frac{x^3}{x^2-1} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukana nilai $x$
$\begin{align*} x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = 2x \\ \frac{x^3}{x^2-1} & = 2x \, \, \text{(bagi } \, x ) \\ \frac{x^2}{x^2-1} & = 2 \rightarrow x^2 = 2x^2 - 2 \\ x^2 & = 2 \rightarrow x = \pm \sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $x \, $ yang memenuhi adalah $ x= \sqrt{2} \, \text{atau} \, x = -\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 15
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $(x^2+x-1)^{x-2} = 1 $ adalah ...
(1). -2       (2). 0       (3). 1       (4). 2
$\clubsuit \,$ Konsep dasar :
Untuk $f(x)^{g(x)} = 1 \, $ mempunyai solusi :
1. $g(x) = 0 $ , dengan syarat $f(x) \neq 0 $
2. $f(x) = 1 $
3. $f(x) = -1 $ , dengan syarat $g(x)$ genap.
$\clubsuit \,$ Menyelesaiakan soal
Bentuk $(x^2+x-1)^{x-2} = 1 $ , dengan $f(x) = x^2+x -1 $ dan $g(x) = x-2 $ ,
solusinya :
1. $g(x) = 0 \rightarrow x-2 = 0 \rightarrow x = 2 . $
Cek : syarat $f(x) \neq 0 $
$ x = 2 \rightarrow f(2) = 2^2+2 -1 = 5 \, \, \, $ (memenuhi karena tidak nol)
2. $f(x) = 1 \rightarrow x^2+x -1 = 1 \rightarrow x^2+x-2 = 0 $
$(x-1)(x+2) = 0 \rightarrow x=1 \vee x=-2 \, \, \, \, \, $ (semua memenuhi)
3. $f(x) = -1 \rightarrow x^2+x -1 = -1 \rightarrow x^2+x = 0$
$x(x+1) = 0 \rightarrow x= 0 \vee x= -1 $
Cek : syarat $g(x)$ harus genap.
$x = 0 \rightarrow g(0) = 0-2 = -2 \, \, \, \, \, $ (memenuhi karena genap)
$x = -1 \rightarrow g(-1) = -1-2 = -3 \, \, \, \, \, $ (tidak memenuhi karena ganjil)
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah 2, 1, -2, dan 0. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh 3 komentar:

Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 21 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+4x} - x = ... $
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi soal :
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+4x} - x & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+4x} - \sqrt{x^2} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{4-0}{2\sqrt{1}} = \frac{4}{2}=2 \end{align*}$
Jadi, nilai limitnya adalah 2 . $\heartsuit $
Nomor 7
Perhatikan barisan 240, 120, 80, 60, ... . Suku berikutnya dari barisan tersebut adalah ....
$\clubsuit \,$ Menentukan pola barisan :
$240 \underbrace{, 120}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, 80}_{\times \frac{2}{3}} \underbrace{, 60}_{\times \frac{3}{4}} \underbrace{, ...}_{\times \frac{4}{5}}$
Sehingga, suku berikutnya : $ \frac{4}{5} \times 60 = 4 \times 12 = 48 $
Jadi, suku berikutnya adalah 48. $\heartsuit $
Nomor 8
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real dengan $ 0 < a < b $ dan $a^2+b^2= 6ab$ maka $\frac{a-b}{a+b} = ... $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $a^2+b^2= 6ab$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi soal dengan dikuadratkan :
$\begin{align} \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^2 & = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \\ & = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2 + b^2 + 2ab} \, \, \text{(gunakan } \, a^2+b^2= 6ab ) \\ & = \frac{6ab - 2ab}{6ab + 2ab} = \frac{4ab}{8ab} \\ \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^2 & = \frac{1}{2} \\ \frac{a-b}{a+b} & = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai $\frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 9
Grafik fungsi $f(x) = ax^2+bx+1$ mempunyai garis singgung horizontal pada titik (2,5), maka $b-a=...$
$\clubsuit \,$ Substitusi titik (2,5) ke $f(x)$
$f(x) = ax^2+bx+1 \rightarrow 5=a.2^2+b.2+1 $
$\rightarrow 4a+2b = 4 \rightarrow 2a+b = 2 $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Garis singgung horizontal di titik (2,5), artinya gradiennya $m=0$
$\clubsuit \,$ gradien garis singgung di titik (2,5): $m = f^\prime (2) $
$f(x) = ax^2+bx+1 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax+b $
$m = f^\prime (2) \rightarrow 0 = 2.a.2 + b \rightarrow 4a+b = 0 $ ...pers(ii)
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 4a+b = 0 & \\ 2a+b = 2 & - \\ \hline 2a=-2 \rightarrow a = -1 \end{array} $
pers(ii) : $ 4a+b = 0 \rightarrow 4.(-1) + b = 0 \rightarrow b = 4 $
Sehingga : $b-a= 4 - (-1) = 5 $
Jadi, nilai $ b-a = 5 . \heartsuit $
Nomor 10
Misalkan $f(x)=\int \limits_0^x (as+b)ds $ . Jika $f(-1)=1 $ dan $f(1)=3 $ , maka $ab = ... $
$\spadesuit \, $ Rumus dasar integral : $\int ax^n dx = \frac{a}{n+1}+c$ dan $\int k dx = kx + c $
$\spadesuit \, $ Menentukan integralnya terhadap $s$ :
$\begin{align} f(x) & = \int \limits_0^x (as+b)ds = \left[ \frac{1}{2}as^2 + bs \right]_0^x \\ f(x) & = \frac{1}{2}ax^2 + bx \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substiutusi $f(-1)=1 $ dan $f(1)=3 \, $ ke $f(x)$
$f(-1)=1 \rightarrow \frac{1}{2}a.(-1)^2 + b.(-1)=1 \rightarrow \frac{1}{2}a - b = 1 \, $ ...pers(i)
$f(1)=3 \rightarrow \frac{1}{2}a.(1)^2 + b.(1)=3 \rightarrow \frac{1}{2}a + b = 3 \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} \frac{1}{2}a - b = 1 & \\ \frac{1}{2}a + b = 3 & + \\ \hline a=4 , b = 1 \end{array}$
Jadi, nilai $a.b=4\times 1 = 4 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:

Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 21 tahun 2013


Nomor 1
Misalkan $A^c$ menyatakan komplemen $A$ terhadap $U$ . Jika $U = \{ a, b, c, ... , j \} $ , $A= \{a,e,i\} $ dan $B = \{ b, d, g, j \} $ maka $(A-B)^c = ...$
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $A - B = \{ x | x \in A \, \, \text{dan} \, \, x \not \in (A \cap B ) \} $
Penjelasan :
$A-B$ hasilnya di himpunan $A$ tanpa mengikutkan anggota irisan $A$ dan $B$ .
$\spadesuit \, $ Menentukan irisannya
$A\cap B = \{ \} $ (tidak ada irisannya) .
Sehingga, $A-B = \{a,e,i\} = A $ .
diperoleh : $(A-B)^c = A^c $
Jadi, $(A-B)^c = A^c . \heartsuit $
Nomor 2
Jika diketahui $f(x-1)=2x $ dan $g(x)=x^2-2 $ , maka $(fog)(x+1) = ... $
$\clubsuit \,$ Menentukan fungsi $f(x)$
misal : $x-1 = p \rightarrow x= p + 1 $ , lalu substitusi ke $f(x-1)$
$\begin{align} f(x-1) & = 2x \\ f(p) & = 2(p+1) \\ f(x) & = 2(x+1) \\ f(x) & = 2x + 2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan komposisi
$\begin{align*} (fog)(x) & = f (g(x)) \\ & = f ( x^2-2 ) \\ & = 2( x^2-2 ) + 2 \\ (fog)(x) & = 2x^2 - 2 \end{align*}$
$\clubsuit \,$ Substitusi $x+1 $ ke komposisi
$\begin{align*} (fog)(x) & = 2x^2 - 2 \\ (fog)(x+1) & = 2(x+1)^2 - 2 \\ & = 2(x^2+2x+1) - 2 \\ & = 2x^2 + 4x + 2 - 2 \\ (fog)(x+1) & = 2x^2 + 4x \end{align*}$
Jadi, diperoleh $ (fog)(x+1) = 2x^2 + 4x . \heartsuit $
Nomor 3
Jika himpunan bilangan real merupakan penyelesaian pertidaksamaan $x^2-4x+a > 2 $ maka ...
$\spadesuit \, $ Pertidaksamaan $x^2-4x+a > 2 \rightarrow x^2-4x+a-2 > 0 \, \, $ terpenuhi untuk semua $x$ , artinya nilainya selalu positif untuk sembarang nilai $x$ yang disebut definit positif.
Syarat definit positif : $D < 0 $ dan $ a > 0 $
$\spadesuit \, $ Bentuk $ x^2-4x+a-2 \rightarrow a = 1, b = -4 , c = a-2 $
$\begin{align*} a=1 & > 0 \, \, \, \text{(memenuhi syarat definit positif)} \\ D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac & < 0 \\ (-4)^2 - 4.1.(a-2) & < 0 \\ 16 -4a + 8 & < 0 \\ -4a & < -24 \, \, \, \text{(dibagi -4 , tanda dibalik)} \\ a & > 6 \end{align*}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a > 6 . \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ A = \left[ \begin{matrix} x^2 & 2+\frac{9}{x} \\ x & 2 \end{matrix} \right] $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} x-1 & 4 \\ 1 & x+2 \end{matrix} \right] $ . Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian det($A$)-det($B$) = 0 , maka $x_1+x_2 = ... $
$\clubsuit \,$ Rumus dasar : $A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow \text{det}(A) = |A| = a.d - b.c $
$\clubsuit \,$ Menentukan determinan :
$|A| = x^2 . 2 - x \left( 2+\frac{9}{x} \right) = 2x^2 - 2x - 9 $
$|B| = (x-1)(x+2) - 1. 4 = x^2 + x -6 $
$\clubsuit \,$ Menentukan jumlah nilai $x$
$\begin{align*} \text{det}(A)-\text{det}(B) & = 0 \\ |A| - |B| & = 0 \\ (2x^2 - 2x - 9) - (x^2 + x -6) & = 0 \\ x^2 - 3x - 3 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \end{align*}$
Jadi, nilai $ x_1+x_2 = 3 . \heartsuit $
Nomor 5
Penyelesaian $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (2x) - \sin ^2 x = 0 $ , dengan $ 0 < x < \frac{\pi }{2} $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\sin 2x = 2 \sin x \cos x $
$\spadesuit \, $ Interval nilai $x$ harus : $ 0 < x < \frac{\pi }{2} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaiakan persamaan
$\begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (2x) - \sin ^2 x & = 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sin x \cos x ) - \sin ^2 x & = 0 \\ \sqrt{3}\sin x \cos x - \sin x \sin x & = 0 \\ \sin x (\sqrt{3} \cos x - \sin x ) & = 0 \\ \sin x = 0 & \vee \sqrt{3} \cos x - \sin x = 0 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x$
$\begin{align*} \sin x = 0 \rightarrow x = 0 & \vee x = \pi \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ \sqrt{3} \cos x - \sin x = 0 \rightarrow & \sqrt{3} \cos x = \sin x \\ \rightarrow & \frac{\sin x }{\cos x } = \sqrt{3} \\ \rightarrow & \tan x = \sqrt{3} \rightarrow x = 60^o = \frac{\pi }{3} \end{align*}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $ x = \frac{\pi }{3} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh 8 komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)