Tampilkan postingan dengan label matipa undip 2017. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa undip 2017. Tampilkan semua postingan

Cara 2 Pembahasan Integral UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx = .... $
A). $ x^2\sqrt{x-1} + c \, $
B). $ x\sqrt{x-1} + c \, $
C). $ x^3\sqrt{x-1} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} + c \, $
D). $ x^3\sqrt{x-1} + c \, $
E). $ x^3\sqrt{x-1} - \sqrt{x-1} + c $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Integral adalah anti turunan (kebalikan dari turunan).
*). Turunan dari fungsi $ y = f(x).g(x) $ adalah $ y^\prime = f^\prime (x).g(x) + f(x).g^\prime (x) $
sehingga $ \int y^\prime dx = y + c $ atau $ \int (f^\prime (x).g(x) + f(x).g^\prime (x)) dx = f(x).g(x) + c $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan soalnya : $ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx $
dimana bisa kita misalkan :
$ f(x) = x^3 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 $
$ g(x) = \sqrt{x-1} \rightarrow g^\prime (x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} $
*). Bentuk soal dapat diubah menjadi :
$ \begin{align} \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx & = \int x^3.\frac{1}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 . \sqrt{x-1} \, dx \\ & = \int 3x^2 . \sqrt{x-1} + x^3.\frac{1}{2\sqrt{x-1}} \, dx \\ & = \int ( f^\prime (x).g(x) + f(x).g^\prime (x) ) \, dx \\ & = f(x).g(x) + c \\ & = x^3 . \sqrt{x-1} + c \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ x^3\sqrt{x-1} + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx = .... $
A). $ x^2\sqrt{x-1} + c \, $
B). $ x\sqrt{x-1} + c \, $
C). $ x^3\sqrt{x-1} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} + c \, $
D). $ x^3\sqrt{x-1} + c \, $
E). $ x^3\sqrt{x-1} - \sqrt{x-1} + c $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara menyelesaikan integral yaitu bisa menggunakan teknik parsial atau tanzalin. Untuk penjelasan teknik integral parsial, silahkan baca artikelnya pada link "Teknik integral parsial".
*). RUmus dasar integral :
$ \int (x + b)^n dx = \frac{1}{n + 1} (x + b)^{n+1} + c $
*). Sifat integral :
$ \int (f(x) + g(x) ) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk memudahkan dalam pengintegralan, kita pecah integralnya menjadi dua berdasarkan sifat integral :
$ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx = \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} \, dx + \int 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx $
*). Menentukan integral $ \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} \, dx = \int (\frac{1}{2}x^3).(x-1)^{-\frac{1}{2}} \, dx $ dengan tanjalin
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, \frac{1}{2}x^3 \, \, \, & | \, \, \, (x-1)^{-\frac{1}{2}} \\ (-) \, \, \frac{3}{2}x^2 \, \, \, & | \, \, \, 2(x-1)^{\frac{1}{2}} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \frac{8}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{8}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} \\ \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} dx & = \frac{1}{2}x^3 .2(x-1)^{\frac{1}{2}} + (-\frac{3}{2}x^2).\frac{4}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} \\ & \, \, + 3x.\frac{8}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} +(-3). \frac{8}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} + c \\ & = x^3(x-1)^{\frac{1}{2}} - 2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} - \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \end{align} $
*). Menentukan integral $ \int 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx $ dengan tanjalin
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x^2 \, \, \, & | \, \, \, (x-1)^{\frac{1}{2}} \\ (-) \, \, 6x \, \, \, & | \, \, \, \frac{2}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} \\ (+) \, \, 6 \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} \\ (-) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} \\ \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 3x^2 \sqrt{x-1}\, dx & = 3x^2.\frac{2}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} + (-6x).\frac{4}{15} (x-1)^{\frac{5}{2}} +6. \frac{4}{15}. \frac{2}{7} (x-1)^{\frac{7}{2}} + c \\ & = 2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \end{align} $
*). Hasil akhir integralnya adalah penjumlahan dari keduanya :
$ \begin{align} & \int \frac{x^3}{2\sqrt{x-1}} + 3x^2 \sqrt{x-1} \, dx \\ & = \left(x^3(x-1)^{\frac{1}{2}} - 2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} - \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \right) \\ & \, \, + \left(2x^2(x-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{5}x(x-1)^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{35}(x-1)^{\frac{7}{2}} + c \right) \\ & = x^3(x-1)^{\frac{1}{2}} = x^3\sqrt{x-1} + c \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ x^3\sqrt{x-1} + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Luasan UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh setengah lingkaran atas $ x^2 + y^2 = 4 $ dan parabola $ y = x^2 - 4 $ sama dengan .... satuan luas.
A). $ 2\pi + 10\frac{2}{3} \, $ B). $ 2\pi + 9\frac{2}{3} \, $
C). $ 2\pi + 8\frac{2}{3} \, $ D). $ 2\pi + 7\frac{2}{3} \, $
E). $ 2\pi + 6\frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2+r^2 = r^2 $ berjari-jari $ r $ dengan
luas lingkaran $ = \pi r^2 $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ yang ada di bawah sumbu X :
Luas $ = -\int \limits_a^b f(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Luas daerah arsiran diatas adalah daerah yang mau kita hitung luasnya yang kita bagi menjadi dua yaitu daerah pertama di atas sumbu X berupa setengah lingkaran dan daerah kedua di bawah sumbu X yang dibatasi oleh parabola.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 $ memiliki jari-jari $ r^2 = 4 \rightarrow r = 2 $ ,
Luas lingkaran $ = \pi r^2 = \pi .2^2 = 4\pi $
-). Luas daerah I $ = \frac{1}{2} \, $ luas lingkaran $ = \frac{1}{2}. 4\pi = 2\pi $
-). Luas daerah II : dibatasai oleh kurva $ y = x^2 - 4 $ dari $ -2 \leq x \leq 2 $
$ \begin{align} \text{Luas II } & = - \int \limits_{-2}^2 (x^2 - 4) dx \\ & = - [\frac{1}{3}x^3 - 4x]_{-2}^2 \\ & = -([\frac{1}{3}.2^3 - 4.2]- [\frac{1}{3}.(-2)^3 - 4.(-2)]) \\ & = -(\frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 ) \\ & = -(\frac{16}{3} - \frac{24}{3} - \frac{24}{3} ) \\ & = -(- \frac{32}{3} ) = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas total :
Luas total = Luas I + Luas II = $ 2\pi + 10\frac{2}{3} $
Jadi, luasnya adalah $ 2\pi + 10\frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Luas Integral UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran $ x^2 + y^2 = 1 $ dan parabola $ y = -x^2 + 1 $ sama dengan .... satuan luas.
A). $ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \, $
C). $ \frac{\pi}{2} - 1 \, $ D). $ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \, $
E). $ \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2+r^2 = r^2 $ berjari-jari $ r $ dengan
luas lingkaran $ = \pi r^2 $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ :
Luas $ = \int \limits_a^b f(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Perhatikan gambar 3 di atas, daerah yang diarsir yaitu A dan B adalah daerah yang mau kita cari luasnya.
-). Untuk menghitung luas daerah pada gambar 3, kita bagi menjadi dua bagian yaitu daerah P (gambar 1) dan daerah Q (gambar 2), dimana luas daerah A adalah pengurangan luas daerah P dengan daerah Q.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 1 $ memiliki jari-jari 1,
Luas lingkaran $ = \pi r^2 = \pi .1^2 = \pi $
-). Luas daerah P $ = \frac{1}{4} \, $ luas lingkaran $ = \frac{\pi}{4} $
-). Luas daerah Q : dibatasai oleh kurva $ y = -x^2 + 1 $
$ \begin{align} & = \int \limits_0^1 (-x^2 + 1) dx \\ & = [ -\frac{1}{3}x^3 + x ]_0^1 \\ & = (-\frac{1}{3}.1^3 + 1 ) - 0 = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas daerah A :
$ \begin{align} \text{Luas A } & = \text{ Luas P } - \text{ Luas Q} \\ & = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} \end{align} $
*). Luas A sama dengan Luas B, sehingga :
$ \begin{align} \text{Luas Arsir } & = 2\times \text{ Luas A} \\ & = 2\times (\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} ) \\ & = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} $ dan $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{3}{4} $ , maka $ \cos (\alpha - \beta ) = .... $
A). $ \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \, $ B). $ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \, $
C). $ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \, $ D). $ 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \, $
E). $ \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri :
$ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $
$ \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha \sin \beta $ :
$ \begin{align} \alpha + \beta & = \frac{\pi}{4} \\ \cos ( \alpha + \beta ) & = \cos \frac{\pi}{4} \\ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{3}{4} - \sin \alpha \sin \beta & = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \alpha \sin \beta & = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos ( \alpha - \beta ) $ :
$ \begin{align} \cos (\alpha - \beta) & = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ & = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & = \frac{6}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos (\alpha - \beta) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} . \, \heartsuit $
(Tidak ada jawaban pada optionnya)

Cara 2 Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $ cm. Titik P terletak pada diagonal AC, dengan perbandingan $ AP : PC = 3 : 1 $. Maka jarak titik P pada bidang BDG sama dengan ....
A). $ \frac{a}{6}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{a}{6}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{a}{3}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{a}{6}\sqrt{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 

-). Jarak P ke bidang BDG adalah jarak P ke garis GO = panjang PQ.
-). Panjang AC = diagonal sisi = $ a \sqrt{2} $
-). Panjang OP = PC $ = \frac{1}{4} AC = \frac{1}{4}a\sqrt{2} $
-). Panjang PG $ = \sqrt{PC^2+CG^2} = \sqrt{( \frac{1}{4}a\sqrt{2})^2+a^2} = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
-). Panjang GO $ = \sqrt{OC^2+CG^2} = \sqrt{( \frac{1}{2}a\sqrt{2})^2+a^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{6} $
*). Perhatikan segitiga GOC :
$ \begin{align} \sin \angle GOC & = \frac{GC}{GO} = \frac{a}{\frac{1}{2}a\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga POQ :
Nilai $ \sin \angle POQ = \sin \angle GOC = \frac{\sqrt{6}}{3} $
$ \begin{align} \sin \angle POQ & = \frac{\sqrt{6}}{3} \\ \frac{PQ}{OP} & = \frac{\sqrt{6}}{3} \\ PQ & = \frac{\sqrt{6}}{3} . OP \\ & = \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{1}{4}a\sqrt{2} \\ & = \frac{a\sqrt{12}}{12} = \frac{2a\sqrt{3}}{12} = \frac{a}{6}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{a}{6}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $ cm. Titik P terletak pada diagonal AC, dengan perbandingan $ AP : PC = 3 : 1 $. Maka jarak titik P pada bidang BDG sama dengan ....
A). $ \frac{a}{6}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{a}{6}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{a}{3}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{a}{6}\sqrt{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 

-). Jarak P ke bidang BDG adalah jarak P ke garis GO = panjang PQ.
-). Panjang AC = diagonal sisi = $ a \sqrt{2} $
-). Panjang OP = PC $ = \frac{1}{4} AC = \frac{1}{4}a\sqrt{2} $
-). Panjang PG $ = \sqrt{PC^2+CG^2} = \sqrt{( \frac{1}{4}a\sqrt{2})^2+a^2} = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
-). Panjang GO $ = \sqrt{OC^2+CG^2} = \sqrt{( \frac{1}{2}a\sqrt{2})^2+a^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{6} $
*). Luas segitiga POG :
$ \begin{align} Luas \, \Delta POG & = \frac{1}{2} \times PO \times CG \\ & = \frac{1}{2}. \frac{1}{4}a\sqrt{2} . a \\ & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \end{align} $
*). Luas segitiga POG dengan alas GO dan tinggi PQ :
$ \begin{align} Luas \, \Delta POG & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \\ \frac{1}{2} \times GO \times PQ & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \\ \frac{1}{2} .\frac{1}{2}a\sqrt{6}. PQ & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \\ \frac{1}{4}a\sqrt{2}. \sqrt{3}. PQ & = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.a^2\sqrt{2} \\ PQ & = \frac{\frac{1}{4}.\frac{1}{2}.a^2\sqrt{2}}{\frac{1}{4}a\sqrt{2}. \sqrt{3}} \\ & = \frac{a}{2\sqrt{3}} =\frac{a}{6}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{a}{6}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Aritmetika UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui jumlah $ n $ bilangan positif genap pertama adalah 650. Dari bilangan-blangan genap tersebut, jumlah tujuh bilangan yang berada di tengah adalah ....
A). $ 168 \, $ B). $ 176 \, $ C). $ 182 \, $ D). $ 190 \, $ E). $ 196 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ U_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama :
$ S_n = \frac{n}{2} ( 2a + (n-1)b) $
*). Bilangan positif genap adalah contoh barisan aritmetika dengan beda 2.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). jumlah $ n $ bilangan positif genap pertama adalah 650 :
artinya $ a = 2 $ dan $ b = 2 $
*). Menentukan nilai $ n $ (banyak sukunya) :
$ \begin{align} S_n & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 2a + (n-1)b) & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 2.2 + (n-1).2) & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 4 + 2n - 2) & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 2n + 2) & = 650 \\ n( n + 1) & = 650 \\ n^2 + n - 650 & = 0 \\ (n+26)(n-25) & = 0 \\ n = -26 \vee n & = 25 \end{align} $
Karena banyak suku selalu positif, maka $ n = 25 $ yang memenuhi.
*). Untuk mengetahui 7 suku tengah diantara 25 suku yang ada, kita bagi 25 suku menjadi tiga bagian yaitu 9 suku, 7 suku, dan 9 suku, sehingga total sukunya $ 9 + 7 + 9 = 25 \, $ suku. Ini artinya, 7 suku yang ditengah dimulai dari suku ke 10 barisan bilangan genap positif yaitu :
$ U_{10} = a + 9b = 2 + 9.2 = 20 $
Sehingga 7 suku tengahnya yaitu :
20, 22, 24, 26, 28, 30, 32
*). Menentukan jumlah 7 suku tengahnya :
$ \begin{align} S_n & = \frac{n}{2} ( 2a + (n-1)b) \\ S_7 & = \frac{7}{2} ( 2.20 + 6.2) \\ & = \frac{7}{2} (52) \\ & = 7 . 26 = 182 \end{align} $
Jadi, jumlah tujuh bilangan yang berada di tengah adalah 182 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Panjang vektor $ \vec{u}, \vec{v} $ dan $ \vec{u} + \vec{v} $ berturut-turut adalah 15, 7, 13 satuan panjang. Besar sudut yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} $ dan vektor $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ 45^\circ \, $ B). $ 60^\circ \, $ C). $ 90^\circ \, $ D). $ 120^\circ \, $ E). $ 150^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus panjang penjumlahan dua vektor :
$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}|.|\vec{v}| \cos \theta $
dengan $ \theta $ adalah sudut antara vektor $ \vec{u} $ dan vektor $ \vec{v} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
$ |\vec{u}| =15 , |\vec{v}|=7 $ dan $ |\vec{u} + \vec{v}| = 13 $
*). Menentukan sudut kedua vektor :
$ \begin{align} |\vec{u} + \vec{v}|^2 & = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}|.|\vec{v}| \cos \theta \\ 13^2 & = 15^2 + 7^2 + 2.15.7. \cos \theta \\ 169 & = 225 + 49 + 210 \cos \theta \\ -210\cos \theta & = 225 + 49 - 169 \\ -210 \cos \theta & = 105 \\ \cos \theta & = \frac{105}{-210} \\ \cos \theta & = - \frac{1}{2} \\ \theta & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudutnya adalah $ 120^\circ . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Singgung UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $ yang dapat di tarik dari titik $ T(1,6) $ adalah ....
A). $ x - 2y + 11 = 0 \, $
B). $ x + 2y - 11 = 0 \, $
C). $ 2x - y + 8 = 0 \, $
D). $ -2x + y - 8 = 0 \, $
E). $ 2x + y - 11 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
-). Titik pusat : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
-). Jari-jari lingkaran : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } $
*). Persamaan garis singgung yang diketahui gradiennya :
$ y - b = m(x - a) + r\sqrt{m^2 + 1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $
$ A = 2, B = 0, C = -19 $
-). Titik pusat lingkaran
$ (a,b) = \left( -\frac{2}{2}, -\frac{}{2} \right) = (-1,0) $
-). Jari-jari :
$ r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 - (-19) } = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $
*). persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} y - b & = m(x - a) + r\sqrt{m^2 + 1} \\ y - 0 & = m(x - (-1)) + 2\sqrt{5}\sqrt{m^2 + 1} \\ y & = m(x +1) + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \end{align} $
*). Substitusi titik $ T(1,6) $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} y & = m(x +1) + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ 6 & = m(1 +1) + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ 6 & = 2m + 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ -2m + 6 & = 2\sqrt{5(m^2 + 1)} \\ -m + 3 & = \sqrt{5m^2 + 5} \\ (-m + 3)^2 & = (\sqrt{5m^2 + 5})^2 \\ m^2 - 6m + 9 & = 5m^2 + 5 \\ 4m^2 + 6m - 4 & = 0 \\ 2m^2 + 3m - 2 & = 0 \\ 2m^2 + 3m - 2 & = 0 \\ (2m - 1)(m + 2) & = 0 \\ m = \frac{1}{2} \vee m & = -2 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ m $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = \frac{1}{2} & \rightarrow \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 2\sqrt{5((\frac{1}{2} )^2 + 1)} \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 2\sqrt{5(\frac{5}{4} )} \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 2. \frac{5}{2} \\ y & = \frac{1}{2} (x +1) + 5 \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y & = x +1 + 10 \\ 0 & = x - 2y + 11 \\ m = -2 & \rightarrow \\ y & = -2(x +1) + 2\sqrt{5((-2)^2 + 1)} \\ y & = -2x - 2 + 2\sqrt{25} \\ y & = -2x - 2 + 2.5 \\ y & = -2x - 2 + 10 \\ y & = -2x + 8 \\ 0 & = 2x + y - 8 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 $ dan $ 2x + y - 8 = 0 $, dan yang ada pada pilihan adalah $ x - 2y + 11 = 0 $.
Jadi, persamaan singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Singgung UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $ yang dapat di tarik dari titik $ T(1,6) $ adalah ....
A). $ x - 2y + 11 = 0 \, $
B). $ x + 2y - 11 = 0 \, $
C). $ 2x - y + 8 = 0 \, $
D). $ -2x + y - 8 = 0 \, $
E). $ 2x + y - 11 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dimana titiknya ada di luar lingkaran bisa menggunakan koordinat kutub atau polar.
*). Persamaan garis kutub sama dengan persamaan BAGI ADIL, dengan langkah-langkah :
1). Tentukan persamaan BAGI ADIL,
2). Substitusi titik di luar lingkarannya ke persamaan BAGI ADIL, sehingga kita peroleh persamaan kutub,
3). Substitusi persamaan kutub ke persamaan lingkaran, sehingga kita peroleh titik potong antara garis kutub dan lingkaran dimana kedua titik tersebut adalah titik singgung lingkaran,
4). Substitusi titik singgung lingkaran ke persamaan BAGI ADIL, sehingga kita kiperoleh persamaan garis singgung lingkarannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan BAGI ADIL lingkaran : $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 2x - 19 & = 0 \\ x_1.x + y_1.y + 2.\frac{x_1 + x}{2} - 19 & = 0 \\ x_1.x + y_1.y + (x_1 + x) - 19 & = 0 \end{align} $
*). substitusi titik $ (x_1,y_1) = (1,6) $ ke persamaan BAGI ADIL :
$ \begin{align} x_1.x + y_1.y + (x_1 + x) - 19 & = 0 \\ 1.x + 6y + (1 + x) - 19 & = 0 \\ 2x + 6y - 18 & = 0 \\ x + 3y - 9 & = 0 \\ x & = -3y + 9 \end{align} $
*). Substitusi $ x = -3y + 9 $ ke persamaan lingkaran :
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 2x - 19 & = 0 \\ ( -3y + 9)^2 + y^2 + 2( -3y + 9) - 19 & = 0 \\ 10y^2 - 60y + 80 & = 0 \\ y^2 - 6y + 8 & = 0 \\ (y - 2)(y-4) & = 0 \\ y = 2 \vee y & = 4 \end{align} $
Untuk $ y = 2 \rightarrow x = -3y + 9 = -3.2 + 9 = 3 $
Untuk $ y = 4 \rightarrow x = -3y + 9 = -3.4 + 9 = -3 $
Sehingga titik singgungnya : $ (3,2) $ dan $ ( -3, 4) $
*). Substitusi titik singgung ke persamaan
BAGI ADIL $ x_1.x + y_1.y + (x_1 + x) - 19 = 0 $ :
$ \begin{align} (x_1,y_1) & = (3,2) \rightarrow \\ 3.x + 2.y + (3 + x) - 19 & = 0 \\ 3x + 2y + 3 + x - 19 & = 0 \\ 4x + 2y - 16 & = 0 \\ 2x + y - 8 & = 0 \\ (x_1,y_1) & = (-3,4) \rightarrow \\ -3.x + 4.y + (-3 + x) - 19 & = 0 \\ -2x + 4y - 22 & = 0 \\ -x + 2y - 11 & = 0 \\ x - 2y + 11 & = 0 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 $ dan $ 2x + y - 8 = 0 $, dan yang ada pada pilihan adalah $ x - 2y + 11 = 0 $.
Jadi, persamaan singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Singgung Lingkaran UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0 $ yang dapat di tarik dari titik $ T(1,6) $ adalah ....
A). $ x - 2y + 11 = 0 \, $
B). $ x + 2y - 11 = 0 \, $
C). $ 2x - y + 8 = 0 \, $
D). $ -2x + y - 8 = 0 \, $
E). $ 2x + y - 11 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $ :
*). Garis singgung melalui titik $ T (1,6) $, kita substitusi :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ 6 & = m.1 + c \\ c & = 6 - m \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + 6 - m $
*). Substitusi $ y = mx + 6 - m $ ke persamaan lingkaran :
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 2x - 19 & = 0 \\ x^2 + (mx + 6 - m)^2 + 2x - 19 & = 0 \\ x^2 + m^2x^2 + 12mx - 2m^2x + 36 - 12m + m^2 + 2x - 19 & = 0 \\ (m^2 + 1)x^2 + (-2m^2 + 12m + 2)x + (m^2 - 12m + 17) & = 0 \\ a = m^2 + 1, b = -2m^2 + 12m + 2 , c = m^2 - 12m & + 17 \end{align} $
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & = 0 \\ (-2m^2 + 12m + 2)^2 - 4.(m^2 + 1).(m^2 - 12m + 17) & = 0 \\ 64m^2 + 96m - 64 & = 0 \\ 2m^2 + 3m - 2 & = 0 \\ (2m - 1)(m + 2) & = 0 \\ m = \frac{1}{2} \vee m & = -2 \end{align} $
*). Substitusi gradien ke garis singgung $ y = mx + 6 - m $ :
$ \begin{align} m = \frac{1}{2} & \vee m = -2 \\ y = \frac{1}{2}x + 6 - \frac{1}{2} & \vee y = -2x + 6 - (-2) \\ 2y = x + 12 - 1 & \vee y = -2x + 6 + 2 \\ 2y = x + 11 & \vee y = -2x + 8 \\ x - 2y + 11 = 0 & \vee 2x + y - 8 = 0 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 $ dan $ 2x + y - 8 = 0 $, dan yang ada pada pilihan adalah $ x - 2y + 11 = 0 $.
Jadi, persamaan singgungnya adalah $ x - 2y + 11 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
JIka $ \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & -7 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix} \right] $ , maka nilai $ x + y = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} . \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $
*). SIfat invers matriks :
$ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ dan $ y $ :
$ \begin{align} \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & -7 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & -7 \end{matrix} \right]^{-1} . \left[ \begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{2.(-7) - 5.6} \left[ \begin{matrix} -7 & -5 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-44} \left[ \begin{matrix} -7 & -5 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} 9 \\ 5 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-44} \left[ \begin{matrix} -88 \\ -44 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right] \end{align} $
Artinya nilai $ x = 2 $ dan $ y = 1 $
*). Menentukan nilai $ x + y $ :
$ \begin{align} x + y & = 2 + 1 = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran melalui titik $ A(-1,2) $ dan $ B(3,8) $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 2x + 10y + 13 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 13 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 2x - 10y - 13 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 - 10x -2y + 13 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 - 2x + 10y 13 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran titik pusat $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ \, \, \, \, \, \, ( x- a)^2 + ( y - b)^2 = r^2 $
*). Titik tengah antara dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
$ \, \, \, \, \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $
*). Jarak antara dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran melalui titik $ A(-1,2) $ dan $ B(3,8) $, artinya titik A dan B sebagai ujung-ujung diameternya, sehingga :
-). panjang diameternya adalah jarak titik A ke B :
$ \begin{align} d & = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\ & = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (8 - 2)^2} \\ & = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} \\ & = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \end{align} $
jari-jarinya : $ r = \frac{1}{2}d = \frac{1}{2}.2\sqrt{13} = \sqrt{13} $
-). Titik pusatnya adalah titik tengan antara titik A dan B :
$ \begin{align} (a,b) & = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{-1 + 3}{2} , \frac{2 + 8}{2} \right) \\ & = \left( \frac{2}{2} , \frac{10}{2} \right) = \left( 1 , 5 \right) \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkarannya :
$ \begin{align} ( x- a)^2 + ( y - b)^2 & = r^2 \\ ( x- 1)^2 + ( y - 5)^2 & = (\sqrt{13})^2 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 & = 13 \\ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 13 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 13 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui suatu persamaan kuadrat dengan koefisien bulat akar-akarnya adalah $ \cos 72^\circ $ dan $ \cos 144^\circ $. Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah ....
A). $ x^2 + 2x - 4 = 0 \, $
B). $ x^2 - 4x + 2 = 0 $
C). $ 2x^2 + 4x - 1 = 0 $
D). $ 4x^2 + 2x - 1 = 0 $
E). $ 4x^2 - 2x + 1 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun Persamaan Kuadrat :
$ \, \, \, \, x^2 - (HJ)x + HK = 0 $
dengan HJ = hasil jumlah dan HK = hasil kali.
*). Beberapa rumus Trigonometri :
1). $ \cos A . \sin A = \frac{1}{2}\sin 2A $
2). $ \cos ( 180^\circ - x) - \cos x $
3). $ \sin (180^\circ - x ) = \sin x $
4). $ \cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2}. \cos \frac{A-B}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai trigonometri :
$ \cos 108^\circ = \cos ( 180^\circ - 72^\circ) - \cos 72^\circ $
$ \sin 144^\circ = \sin (180^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$
$ \cos 144^\circ = \cos (180^\circ - 36^\circ) = -\cos 36^\circ$
Nilai $ \cos 72^\circ . \cos 36^\circ $ :
$ \begin{align} t & = \cos 72^\circ . \cos 36^\circ \\ & = \cos 72^\circ . \cos 36^\circ \times \frac{ \sin 36^\circ}{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \cos 72^\circ . (\cos 36^\circ. \sin 36^\circ )}{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \cos 72^\circ . \frac{1}{2}. \sin 2.36^\circ }{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \frac{1}{2}. \cos 72^\circ . \sin 72^\circ }{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2. 72^\circ }{\sin 36^\circ} \\ & = \frac{ \frac{1}{4} . \sin 144^\circ }{\sin 36^\circ} = \frac{ \frac{1}{4} \sin 36^\circ }{\sin 36^\circ} = \frac{1}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ \cos 72^\circ . \cos 36^\circ = \frac{1}{4} $
*). Menyusun persamaan kuadrat dengan akar-akar $ \cos 72^\circ $ dan $ \cos 144^\circ $
*). Menentukan HJ dan HK :
$ \begin{align} HJ & = \cos 144^\circ + \cos 72^\circ \\ & = 2[\cos \frac{144^\circ + 72^\circ}{2} . \cos \frac{144^\circ - 72^\circ}{2} ] \\ & = 2\cos 108^\circ . \cos 36^\circ \\ & = - 2\cos 72^\circ . \cos 36^\circ \\ & = - 2. \frac{1}{4} = - \frac{1}{2} \\ HK & = \cos 144^\circ . \cos 72^\circ \\ & = -\cos 36^\circ . \cos 72^\circ \\ & = -\frac{1}{4} \end{align} $
*). Menyusun persamaan kuadratnya :
$ \begin{align} x^2 - (HJ)x + HK & = 0 \\ x^2 - (-\frac{1}{2})x + (-\frac{1}{4}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4x^2 + 2x - 1 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ 4x^2 + 2x - 1 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Logaritma UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) = 1 + {}^2 \log x $ adalah ....
A). $ {}^5 \log 2 \, $ B). $ {}^2 \log 5 \, $ C). $ \log \frac{2}{5} \, $
D). $ -1 \, $ atau $ 5 $
E). $ -5 \, $ atau $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat eksponen :
$ a^{mn} = (a^n)^m $ dan $ a^{m+n} = a^m.a^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^x > 0 \, $ (bernilai positif) :
$ \begin{align} {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = 1 + {}^2 \log x \\ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log x \\ {}^2 \log {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = {}^2 \log 2x \\ {}^2 \log (2^{x+2} + 5) & = 2x \\ 2^{x+2} + 5 & = 2^{2x} \\ 2^2.2^{x } + 5 & = (2^x)^2 \\ 4p + 5 & = p^2 \\ p^2 - 4p - 5 & = 0 \\ (p + 1)(p-5) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 5 \\ p = -1 \rightarrow & \, \text{(tidak memenuhi)} \\ p = 5 \rightarrow 2^x & = 5 \\ x & = {}^2 \log 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ x = {}^2 \log 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Eksponen UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Hasil kali akar-akar persamaan $ 2.4^x - 5.2^x + 2 = 0 $ adalah ....
A). $ -\frac{5}{2} \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 $ D). $ 1 $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat eksponen :
$ (a^m)^n = (a^n)^m $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^x $ :
$ \begin{align} 2.4^x - 5.2^x + 2 & = 0 \\ 2.(2^2)^x - 5.2^x + 2 & = 0 \\ 2.(2^x)^2 - 5.2^x + 2 & = 0 \\ 2p^2 - 5p + 2 & = 0 \\ (2p - 1)(p - 2) & = 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 2 \\ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = 2^{-1} \\ x & = -1 \\ p = 2 \rightarrow 2^x & = 2^1 \\ x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan hail kali akar-akarnya :
$ \begin{align} x_1.x_2 & = -1.1 = -1 \end{align} $
Jadi, hail kali akar-akarnya adalah $ -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Singgung Parabola UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis $ y = x - \frac{3}{4} $ menyinggung parabola $ y = a - 2x - x^2 $ , maka nilai $ a = .... $
A). $ -\frac{1}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -1 \, $
D). $ -2 \, $ E). $ -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat garis menyinggung parabola : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Samakan garis dan parabola :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x - \frac{3}{4} & = a - 2x - x^2 \\ x^2 + 3x - a - \frac{3}{4} & = 0 \\ a = 1 , b = 3, c & = - a - \frac{3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ 3^2 - 4.1. \left( - a - \frac{3}{4} \right) & = 0 \\ 9 + 4a + 3 & = 0 \\ 4a + 12 & = 0 \\ 4a & = - 12 \\ a & = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Parabola Geometri UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Parabola $ y = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 $ memotong sumbu Y di titik $ (0,p) $ serta memotong sumbu X di titik $ (q,0) $ dan $ (r,0) $. Jika $ p, q, $ dan $ r $ membentuk barisan geometri yang jumlahnya 13, maka nilai $ k = .... $
A). $ 3^{-3} \, $ B). $ 3^{-2} \, $ C). $ 3^{-1} \, $ D). $ 3^0 \, $ E). $ 3^1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Parabola $ y = ax^2 + bx + c $ memotong sumbu X di titik $ (q,0) $ dan $ (r,0) $ , artinya $ q $ dan $ r $ adalah akar-akar dari persamaan parabola tersebut, sehingga berlaku operasi akar yaitu $ q.r = \frac{c}{a} $.
*). $ p, q, r $ membentuk barisan geometri, maka perbandingannya sama yaitu :
$ \frac{q}{p} = \frac{r}{q} \rightarrow pr = q^2 $.
*). Suatu kurva melalui titik tertentu, maka titik tersebut bisa kita substitusi ke persamaan kurvanya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (x,y) = (0,p) $ ke parabolanya :
$ \begin{align} y & = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 \\ p & = k.0^2 - \frac{4}{9}.0 + 1 \\ p & = 1 \end{align} $
*). $ q $ dan $ r $ adalah akar-akar dari $ y = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 $ , sehingga :
$ q.r = \frac{c}{a} = \frac{1}{k} \rightarrow k = \frac{1}{qr} \, $ ....(i)
*). $ p, q, r $ membentuk barisan geometri, sehingga :
$ \begin{align} pr & = q^2 \\ 1.r & = q^2 \\ r & = q^2 \end{align} $
Karena $ r = q^2 $ , pers(i): $ k = \frac{1}{qr} = \frac{1}{q.q^2} = q^{-3} $
*). Jumlah $ p,q,r $ adalah 13 :
$ \begin{align} p + q + r & = 13 \\ 1 + q + q^2 & = 13 \\ q^2 + q - 12 & = 0 \\ (q + 4)(q - 3) & = 0 \\ q = -4 \vee q & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ k $ dari pers(i) :
$ \begin{align} q = -4 \rightarrow k & = q^{-3} \\ & = (-4)^{-3} = -(4)^{-3} \\ q = 3 \rightarrow k & = q^{-3} \\ & = 3^{-3} \end{align} $
Sehingga nilai $ k = -(4)^{-3} $ atau $ k = 3^{-3} $
Yang ada di pilihannya adalah $ k = 3^{-3} $.
Jadi, nilai $ k = 3^{-3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sifat Akar UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ a $ agar titik potong parabola $ y = x^2 + ax + a $ dengan sumbu X mengapit titik asal koordinat adalah ....
A). $ -4 < a < 0 $
B). $ a < -4 \, $ atau $ a > 0 $
C). $ a < 0 \, $ atau $ a > 4 $
D). $ 0 < a < 4 $
E). $ a < 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu X dan mengapit titik asal koordinat, artinya fungsi kuadrat memiliki dua akar berbeda dimana ada yang positif dan ada yang negatif. Sehingga syarat agar terpenuhi kondisi ini yaitu :
1). Nilai $ D > 0 \, $ (karena akar berbeda)
2). Nilai $ x_1.x_2 < 0 \, $ (karena positif kali negatif).
Solusi total dari kasus ini adalah irisan dari kedua syarat di atas.
-). RUmus Diskriminan : $ D = b^2 - 4ac $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi kuadratnya : $ y = x^2 + ax + a $
*). Syarat pertama : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ a^2 - 4.1.a & > 0 \\ a^2 - 4a & > 0 \\ a(a - 4) & > 0 \\ a = 0 \vee a & = 4 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusi pertamanya : HP1 = $ \{ a < 0 \vee a > 4 \} $.
*). Syarat kedua : $ x_1.x_2 < 0 $
$ \begin{align} x_1.x_2 & < 0 \\ \frac{c}{a} & < 0 \\ \frac{a}{1} & < 0 \\ a & < 0 \end{align} $
Solusi kedua : HP2 = $ \{ a < 0 \} $
*). Solusi totalnya :
$ \begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ a < 0 \vee a > 4 \} \cap \{ a < 0 \} \\ & = \{ a < 0 \} \end{align} $
Jadi, nilai $ a $ adalah $ \{ a < 0 \} . \, \heartsuit $