Pembahasan Vektor Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{a} = (3, -2, -5) $ , $ \vec{b} = (1,4,-4) $ , dan $ \vec{c} = (0, 3, 2) $, maka ....
(1). $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ membentuk jajaran genjang
(2). $ \vec{a}.(\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{b} \times \vec{c}).\vec{a} $
(3). volume jajaran genjang = 49
(4). $ \vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a} ) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat perkalian dot dan perkalian cross (silang) :
i). $ \vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} $
ii). $ \vec{a} \times \vec{b} = -( \vec{b} \times \vec{a} ) $
iii). $ \vec{a} . ( \vec{b} \times \vec{c} ) = ( \vec{b} \times \vec{c} ) . \vec{a} $
*). Tiga vektor $ \vec{a} , \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ membentuk sebuah bangun ruang bersisi 6 yang sisi-sisi sejajarnya kongruen dan masing-masing sisi-sisi berbentuk jajaran genjang (biasa disebut Paralel Epipedum). Berikut ilustrasi gambarnya.

*). Rumus volume Paralel Epipedum yang dibentuk oleh tiga vektor $ \vec{a}, \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ :
Volume $ = |\vec{a} . (\vec{b} \times \vec{c})| $ (selalu positif).
*). RUmus perkalian dot (titik) dan perkalian silang :
Misalkan terdapat vektor :
$ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $ , dan $ \vec{c} = (c_1, c_2, c_3) $
-). Rumus $ \vec{a} . \vec{b} $
$ \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
-). Rumus perkalian silang : (determinan Sarrus)
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3i + a_3b_1j+a_1b_2k) - (a_3b_2i+a_1b_3j+a_2b_1k) \end{align} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mari kita cek setiap pernyataan :
(1). $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ membentuk jajaran genjang ?
Pernyataan (1) ini maksudnya adalah ketiga vektor membentuk bangun ruang dimana sisi-sisinya berbentuk jajaran genjang yang biasa disebut Paralel Epipedum
Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ \vec{a}.(\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{b} \times \vec{c}).\vec{a} $ ?
Sesuai dengan sifat perkalian dot, pernyataan (2) ini BENAR.

(3). volume jajaran genjang = 49 ?
Ketiga vektor membentuk Paralel Epipedum, dengan ketiga vektornya yaitu $ \vec{a} = (3, -2, -5) $ , $ \vec{b} = (1,4,-4) $ , dan $ \vec{c} = (0, 3, 2) $.
-). Menentukan $ \vec{b} \times \vec{c} $ :
$ \begin{align} \vec{b} \times \vec{c} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 4 & -4 \\ 0 & 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (8i + 0+ 3k) - (-12i + 2j + 0) \\ & = 20i - 2j + 3k \\ & = ( 20, -2, 3) \end{align} $
-). Volumenya :
$ \begin{align} \text{volume } & = | \vec{a} . (\vec{b} \times \vec{c}) | \\ & = | (3, -2, -5) . ( 20, -2, 3) | \\ & = | 3.20 + (-2). (-2) + (-5). 3 | \\ & = | 60 + 4 - 15| = 49 \end{align} $
Sehingga volumenya adalah 49.
Pernyataan (3) BENAR.

(4). $ \vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a} ) $ ?
Berdasarkan sifat perkalian cross, pernyataan (4) BENAR.

Semua pernyataan BENAR, jawabannya E.
Jadi, semua pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $