Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Suku banyak berderajat tiga $ P(x) = x^3 + 2x^2 + mx + n $ dibagi dengan $ x^2 - 4x + 3 $ mempunyai sisa $ 3x + 2 $ , maka nilai $ n = .... $
A). $ -20 \, $ B). $ -16 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep dasar pembagian pada suku banyak :
$ \, \, \, \, \, P(x) = g(x).H(x) + S(x) $
Keterangan :
$ P(x) = \, $ Suku banyak yang mau dibagi,
$ g(x) = \, $ pembaginya,
$ H(x) = \, $ Hasil bagi,
$ S(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari soal kita peroleh dan substitusi akar-akar pembaginya :
$ \begin{align} P(x) & = g(x).H(x) + S(x) \\ x^3 + 2x^2 + mx + n & = (x^2 - 4x + 3).H(x) + (3x + 2) \\ x^3 + 2x^2 + mx + n & = (x-1)(x-3).H(x) + (3x + 2) \\ \text{Substitusi } x & = 1 \\ 1^3 + 2.1^2 + m.1 + n & = (1-1)(1-3).H(1) + (3.1 + 2) \\ 1 + 2 + m + n & = 0 + (5) \\ m + n & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ 3^3 + 2.3^2 + m.3 + n & = (3-1)(3-3).H(3) + (3.3 + 2) \\ \text{Substitusi } x & = 3 \\ 27 + 18 + 3m + n & = 0 + (11) \\ 45 + 3m + n & = 11 \\ 3m + n & = -34 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). ELiminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} m + n = 2 & \\ 3m + n = -34 & - \\ \hline -2m = 36 & \\ m = -18 & \end{array} $
Pers(i): $ m + n = 2 \rightarrow -18 + n = 2 \rightarrow n = 20 $
Jadi, nilai $ n = 20 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \frac{1}{{}^2 \log p + {}^4 \log q } = 4 $ , maka $ p^2 q = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \sqrt{3} \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log b = {}^{a^n} \log b^n $
2). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c) $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow a^c = b $
*). Sifat-sifat eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \frac{1}{{}^2 \log p + {}^4 \log q } & = 4 \\ \frac{1}{{}^{2^2} \log p^2 + {}^4 \log q } & = 4 \\ \frac{1}{{}^4 \log p^2 + {}^4 \log q } & = 4 \\ \frac{1}{{}^4 \log (p^2 .q) } & = 4 \\ {}^4 \log (p^2 .q) & = \frac{1}{4} \\ p^2 .q & = 4^ \frac{1}{4} \\ p^2q = (2^2)^ \frac{1}{4} = ( 2)^ \frac{1}{2} & = \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ p^2q = \sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan GeoArit UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dan jumlahnya $ -48 $. Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmetika, maka nilai bilangan ke-2 dari barisan semula adalah ....
A). $ -32 \, $ B). $ -28 \, $ C). $ 28 \, $ D). $ 32 \, $ E). $ 36 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan Geometri : Perbandingan sama,
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan barisan awalnya : $ a, b, c $
-). Jumlah = $ - 48 \rightarrow a + b + c = -48 \, $ ....(i)
-). Perbandingan sama :
$ \frac{b}{a} = \frac{c}{b} \rightarrow b^2 = ac \, $ ....(ii)
*). Bilangan kedua dan ketiga ditukar :
$ a, c, b \, $ membentuk barisan aritmetika.
-). Selisih sama :
$ c - a = b - c \rightarrow 2c = a + b \, $ ....(iii)
*). Substitusi pers(iii) ke pers(i) :
$ \begin{align} a + b + c & = -48 \\ 2c + c & = -48 \\ 3c & = -48 \\ c & = -16 \end{align} $
Pers(iii): $ 2c = a + b \rightarrow 2.(-16) = a + b \rightarrow a = -b - 32 $
Pers(ii): $ b^2 = ac \rightarrow b^2 = -16a $
*). Substitusi pers(iii) ke pers(ii) :
$ \begin{align} b^2 & = -16a \\ b^2 & = -16(-b - 32) \\ b^2 & = 16b + 16 \times 32 \\ b^2 - 16b - 16 \times 32 & = 0 \\ (b + 16)(b - 32) & = 0 \\ b = -16 \vee b & = 32 \end{align} $
Jadi, bilangan ke-2 barisan geometrinya adalah $ 32 . \, \heartsuit $
(pilih yang ada dioption)

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku ke-3 bernilai $ 2p $ dan suku ke-2 dikurangi suku ke-4 sama dengan $ p\sqrt{2} $ , maka rasio barisan tersebut adalah ....
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ 2\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{1}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan pertama :
$ U_3 = 2p \rightarrow ar^2 = 2p \rightarrow a = \frac{2p}{r^2} \, $ ....(i)
*). Persamaan kedua :
$ \begin{align} U_2 - U_4 & = p\sqrt{2} \\ ar - ar^3 & = p\sqrt{2} \\ ar( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} ar( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \\ \frac{2p}{r^2}. r( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \\ \frac{2p}{r }( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } p) \\ \frac{2}{r }( 1 - r^2) & = \sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } r) \\ 2( 1 - r^2) & = \sqrt{2}r \\ 2 - 2r^2 & = \sqrt{2}r \\ 2r^2 + \sqrt{2}r - 2 & = 0 \\ (2r - \sqrt{2} )( r + \sqrt{2} ) & = 0 \\ (2r - \sqrt{2} )& = 0 \rightarrow r = \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ ( r + \sqrt{2} ) & = 0 \rightarrow r = -\sqrt{2} \end{align} $
Karena rasio positif, maka $ r = \frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ yang memenuhi.
Jadi, rasio barisannya adalah $ \frac{1}{2}\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Catatan : Jika sulit dalam memfaktorkan langsung, teman-teman bisa menggunakan rumus ABC yaitu $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

Pembahasan Limit UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - x - 1 \right) = .... $
A). $ \frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ -\frac{1}{3} \, $ D). $ -\frac{2}{3} \, $ E). $ -\frac{5}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{ax^n + bx^{n-1}+ ...}- \sqrt[n]{ax^n + px^{n-1}+ ...} = \frac{b-p}{n.(a)^\frac{n-1}{n}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan modifikasi :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - x - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - (x + 1) \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - \sqrt[3]{(x + 1)^3} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 1} \right) \\ & a = 1 , b = -2 , p = 3 \\ & = \frac{b-p}{n.(a)^\frac{n-1}{n}} = \frac{-2-3}{3.(1)^\frac{3-1}{3}} = \frac{-5}{3} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ - \frac{5}{3} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2007 Matematika IPA


Nomor 1
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 2x^2} - x - 1 \right) = .... $
A). $ \frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ -\frac{1}{3} \, $ D). $ -\frac{2}{3} \, $ E). $ -\frac{5}{3} $
Nomor 2
Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku ke-3 bernilai $ 2p $ dan suku ke-2 dikurangi suku ke-4 sama dengan $ p\sqrt{2} $ , maka rasio barisan tersebut adalah ....
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ 2\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{1}{2} \, $
Nomor 3
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dan jumlahnya $ -48 $. Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmetika, maka nilai bilangan ke-2 dari barisan semula adalah ....
A). $ -32 \, $ B). $ -28 \, $ C). $ 28 \, $ D). $ 32 \, $ E). $ 36 $
Nomor 4
Jika $ \frac{1}{{}^2 \log p + {}^4 \log q } = 4 $ , maka $ p^2 q = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \sqrt{3} \, $ E). $ 4 \, $
Nomor 5
Suku banyak berderajat tiga $ P(x) = x^3 + 2x^2 + mx + n $ dibagi dengan $ x^2 - 4x + 3 $ mempunyai sisa $ 3x + 2 $ , maka nilai $ n = .... $
A). $ -20 \, $ B). $ -16 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 20 $

Nomor 6
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ x|x-2| < x - 2 $ adalah ....
A). $ x < -1\, $ atau $ 1 < x < 2 $
B). $ x < -2 $
C). $ -2 < x < -1 $
D). $ x < -1 $
E). $ -2 < x < 1 \, $
Nomor 7
Alas bidang empat D.ABC berbentuk segitiga siku-siku dama kaki dengan $ \angle BAC = 90^\circ $. Proyeksi D pada segitiga ABC adalah E sehingga E merupakan titik tengah BC. Jika $ AB = AC = p $ dan $ DE = 2p $ , maka $ AD = .... $
A). $ \frac{3}{2}p\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{3}{2}p\sqrt{3} \, $ C). $ 3p \, $ D). $ p\sqrt{6} \, $ E). $ p\sqrt{5} $
Nomor 8
Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} = (2,2,z) $ , $ \vec{b}= (-8,y,-5 ) $ dan $ \vec{d} = (2x,22-z,8) $ . Jika vektor $ \vec{ a } $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{b } $ dan vektor $ \vec{ c } $ sejajar dengan $ \vec{ d} $ , maka $ y + z = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ -5 $
Nomor 9
Diketahui segitiga PQR siku-siku di P. Jika $ \sin Q \sin R = \frac{3}{10} $ dan $ \sin (Q- R) = \frac{5}{2}a $ , maka nilai $ a = .... $
A). $ \frac{2}{7} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{5} \, $ D). $ \frac{8}{25} \, $ E). $ \frac{4}{25} \, $
Nomor 10
Suatu hiperbola mempunyai titik fokus pada sumbu Y. Hiperbola tersebut simetri terhadap sumbu X. Diketahui jarak kedua titik fokus adalah 10 satuan dan jarak kedua titik puncak adalah 8 satuan. Hiperbola tersebut mempunyai persamaan ....
A). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \, $
B). $ -\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \, $
C). $ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \, $
D). $ -\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \, $
E). $ -\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1 \, $

Nomor 11
Jumlah tiga buah bilangan adalah 135. Diketahui bilangan ke-2 sama dengan dua kali bilangan ke-1. Agar hasil kali ketiga bilangan maksimum, maka selisih bilangan ke-1 dan bilangan ke-3 adalah ....
A). $ 95 \, $ B). $ 55 \, $ C). $ 35 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 5 $
Nomor 12
Perhatikan gambar di atas. Jika $ P\left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right) $ maka luas daerah terarsir adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{5}{8} \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{3}{4} $
Nomor 13
Dua orang pergi nonton sepak bola ke suatu stadion. Stadion itu mempunyai 3 pintu dan mereka masuk lewat pintu yang sama tetapi keluar lewat pintu yang berlainan. Banyaknya cara mereka masuk dan keluar pintu stadion adalah ....
A). $ 60 \, $ B). $ 24 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 9 $
Nomor 14
Jika dalam suatu deret berlaku
$ {}^3 \log x + {}^3 \log ^2 x + {}^3 \log ^3 x + .... = 1 $
maka nilai $ x $ adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{3} \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \frac{2}{9} \, $ E). $ \frac{1}{9} \, $
Nomor 15
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ x^2 - 2x + k = 0 $ dan $ 2x_1, x_2, x_2^2 - 1 $ adalah 3 suku berturutan suatu deret aritmetika dengan beda positif, maka $ x_1^2 + x_2^2 = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 12 $