Pembahasan Luas Integral UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran $ x^2 + y^2 = 1 $ dan parabola $ y = -x^2 + 1 $ sama dengan .... satuan luas.
A). $ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \, $
C). $ \frac{\pi}{2} - 1 \, $ D). $ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \, $
E). $ \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2+r^2 = r^2 $ berjari-jari $ r $ dengan
luas lingkaran $ = \pi r^2 $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ :
Luas $ = \int \limits_a^b f(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Perhatikan gambar 3 di atas, daerah yang diarsir yaitu A dan B adalah daerah yang mau kita cari luasnya.
-). Untuk menghitung luas daerah pada gambar 3, kita bagi menjadi dua bagian yaitu daerah P (gambar 1) dan daerah Q (gambar 2), dimana luas daerah A adalah pengurangan luas daerah P dengan daerah Q.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 1 $ memiliki jari-jari 1,
Luas lingkaran $ = \pi r^2 = \pi .1^2 = \pi $
-). Luas daerah P $ = \frac{1}{4} \, $ luas lingkaran $ = \frac{\pi}{4} $
-). Luas daerah Q : dibatasai oleh kurva $ y = -x^2 + 1 $
$ \begin{align} & = \int \limits_0^1 (-x^2 + 1) dx \\ & = [ -\frac{1}{3}x^3 + x ]_0^1 \\ & = (-\frac{1}{3}.1^3 + 1 ) - 0 = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas daerah A :
$ \begin{align} \text{Luas A } & = \text{ Luas P } - \text{ Luas Q} \\ & = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} \end{align} $
*). Luas A sama dengan Luas B, sehingga :
$ \begin{align} \text{Luas Arsir } & = 2\times \text{ Luas A} \\ & = 2\times (\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} ) \\ & = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} $ dan $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{3}{4} $ , maka $ \cos (\alpha - \beta ) = .... $
A). $ \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \, $ B). $ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \, $
C). $ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \, $ D). $ 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \, $
E). $ \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri :
$ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $
$ \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha \sin \beta $ :
$ \begin{align} \alpha + \beta & = \frac{\pi}{4} \\ \cos ( \alpha + \beta ) & = \cos \frac{\pi}{4} \\ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{3}{4} - \sin \alpha \sin \beta & = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \alpha \sin \beta & = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos ( \alpha - \beta ) $ :
$ \begin{align} \cos (\alpha - \beta) & = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ & = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & = \frac{6}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos (\alpha - \beta) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} . \, \heartsuit $
(Tidak ada jawaban pada optionnya)

Cara 2 Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $ cm. Titik P terletak pada diagonal AC, dengan perbandingan $ AP : PC = 3 : 1 $. Maka jarak titik P pada bidang BDG sama dengan ....
A). $ \frac{a}{6}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{a}{6}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{a}{3}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{a}{6}\sqrt{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 

-). Jarak P ke bidang BDG adalah jarak P ke garis GO = panjang PQ.
-). Panjang AC = diagonal sisi = $ a \sqrt{2} $
-). Panjang OP = PC $ = \frac{1}{4} AC = \frac{1}{4}a\sqrt{2} $
-). Panjang PG $ = \sqrt{PC^2+CG^2} = \sqrt{( \frac{1}{4}a\sqrt{2})^2+a^2} = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
-). Panjang GO $ = \sqrt{OC^2+CG^2} = \sqrt{( \frac{1}{2}a\sqrt{2})^2+a^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{6} $
*). Perhatikan segitiga GOC :
$ \begin{align} \sin \angle GOC & = \frac{GC}{GO} = \frac{a}{\frac{1}{2}a\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga POQ :
Nilai $ \sin \angle POQ = \sin \angle GOC = \frac{\sqrt{6}}{3} $
$ \begin{align} \sin \angle POQ & = \frac{\sqrt{6}}{3} \\ \frac{PQ}{OP} & = \frac{\sqrt{6}}{3} \\ PQ & = \frac{\sqrt{6}}{3} . OP \\ & = \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{1}{4}a\sqrt{2} \\ & = \frac{a\sqrt{12}}{12} = \frac{2a\sqrt{3}}{12} = \frac{a}{6}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{a}{6}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $ cm. Titik P terletak pada diagonal AC, dengan perbandingan $ AP : PC = 3 : 1 $. Maka jarak titik P pada bidang BDG sama dengan ....
A). $ \frac{a}{6}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{a}{6}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{a}{3}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{a}{6}\sqrt{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 

-). Jarak P ke bidang BDG adalah jarak P ke garis GO = panjang PQ.
-). Panjang AC = diagonal sisi = $ a \sqrt{2} $
-). Panjang OP = PC $ = \frac{1}{4} AC = \frac{1}{4}a\sqrt{2} $
-). Panjang PG $ = \sqrt{PC^2+CG^2} = \sqrt{( \frac{1}{4}a\sqrt{2})^2+a^2} = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
-). Panjang GO $ = \sqrt{OC^2+CG^2} = \sqrt{( \frac{1}{2}a\sqrt{2})^2+a^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{6} $
*). Luas segitiga POG :
$ \begin{align} Luas \, \Delta POG & = \frac{1}{2} \times PO \times CG \\ & = \frac{1}{2}. \frac{1}{4}a\sqrt{2} . a \\ & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \end{align} $
*). Luas segitiga POG dengan alas GO dan tinggi PQ :
$ \begin{align} Luas \, \Delta POG & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \\ \frac{1}{2} \times GO \times PQ & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \\ \frac{1}{2} .\frac{1}{2}a\sqrt{6}. PQ & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \\ \frac{1}{4}a\sqrt{2}. \sqrt{3}. PQ & = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.a^2\sqrt{2} \\ PQ & = \frac{\frac{1}{4}.\frac{1}{2}.a^2\sqrt{2}}{\frac{1}{4}a\sqrt{2}. \sqrt{3}} \\ & = \frac{a}{2\sqrt{3}} =\frac{a}{6}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{a}{6}\sqrt{3} . \, \heartsuit $