Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi kuadrat $ f(x) = 9x^2 + ax - b $ yang melalui titik $ (a,-b) $ dan $ (b, -a) $ dengan $ a \neq b $. Nilai minimum $ f(x) $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ -\frac{1}{9} \, $ D). $ -\frac{1}{3} \, $ E). $ -1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Fungsi kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $
Nilai maksimum/minimum :
$ \, \, \, \, y_{maks/min} = \frac{D}{-4a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
Jika $ a > 0 $ , maka diperoleh nilai minimum
Jika $ a < 0 $ , maka diperoleh nilai maksimum.
*). Setiap titik yang dilalui oleh kurva, titik tersebut boleh disubstitusikan ke persamaan kurvanya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusikan titik $ (a,-b) $ dan $ (b, -a) $ ke fungsi $ y = 9x^2 + ax - b $ :
$\begin{align} (x,y)= & (a,-b) \rightarrow \text{substitusi} \\ -b & = 9.a^2 + a.a - b \\ -b & = 9a^2 + a^2 -b \\ 10a^2 & = 0 \\ a & = 0 \\ (x,y)= & (b,-a) \rightarrow \text{substitusi} \\ -a & = 9.b^2 + a.b - b \\ 0 & = 9b^2 + 0 - b \\ 9b^2 - b & = 0 \\ b(9b - 1) & = 0 \\ b = 0 \vee b & = \frac{1}{9} \end{align} $
-). Karena $ a \neq b $ , sementara kita sudah memperoleh $ a = 0 $ , maka $ b \neq 0 $ , sehingga $ b = \frac{1}{9} $ yang memenuhi. Fungsinya menjadi $ f(x) = 9x^2 - \frac{1}{9} $
*). Menentukan nilai minimum dari $ f(x) = 9x^2 - \frac{1}{9} $ dengan $ a = 9, b = 0 , c = -\frac{1}{9} $ :
$\begin{align} f_{min} & = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} \\ & = \frac{0^2 - 4.9. -\frac{1}{9}}{-4.9} \\ & = \frac{4}{-36} = -\frac{1}{9} \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsinya adalah $ -\frac{1}{9} . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat, bisa juga mencari nilai $ x_p = \frac{-b}{2a} $, sehingga $ f_{maks/min} = f(x_p) $
$ f(x) = 9x^2 - \frac{1}{9} \rightarrow x_p = \frac{-0}{2.9} = 0 $
$ f_{min} = f(x_p) = f(0) = 9.0^2 - \frac{1}{9} = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9} $
-). Bisa juga menggunakan konsep turunan untuk menentukan nilai $ x $ yaitu $ f^\prime (x) = 0 $.

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p $ dan $ q $ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-7x+1=0$ , maka persamaan yang akar-akarnya $ \sqrt{p} + \sqrt{q} $ dan $ p^2+q^2 $ adalah ....
A). $ x^2 - 50x + 131 = 0 \, $ B). $ x^2 - 50x + 138 = 0 \, $
C). $ x^2 - 50x + 141 = 0 \, $ D). $ x^2 - 51x + 141 = 0 \, $
E). $ x^2 - 51x + 148 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Menyusun persamaan kuadrat baru (PKB) :
$ x^2 - (HJ)x + HK = 0 $
dengan
HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali
*). Rumus bantu :
$ p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq $
$ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 = (p+q) + 2\sqrt{pq} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ $ x^2-7x+1=0$ $ akar-akarnya $ p $ dan $ q $
Operasi akar-akarnya : $ a = 1, b = -7, c = 1 $
$ p + q = \frac{-b}{a} = \frac{-(-7)}{1} = 7 $
$ p.q = \frac{c}{a} = \frac{7}{1} = 7 $
*). Menentukan nilai $ \sqrt{p} + \sqrt{q} $ dan $ p^2 + q^2 $ dengan rumus bantu :
$\begin{align} p^2 + q^2 & = (p+q)^2 - 2pq \\ & = (7)^2 - 2.1 \\ & = 49 - 2 = 47 \\ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 & = (p+q) + 2\sqrt{pq} \\ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 & = (7) + 2\sqrt{1} \\ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 & = 9 \\ \sqrt{p} + \sqrt{q} & = \sqrt{9} = 3 \end{align} $
*). Menyusun PKB yang akar-akarnya $ \sqrt{p} + \sqrt{q} $ dan $ p^2 + q^2 $ :
$\begin{align} HJ & = (\sqrt{p} + \sqrt{q}) + (p^2+q^2) \\ & = 3 + 47 = 50 \\ HK & = (\sqrt{p} + \sqrt{q}) . (p^2+q^2) \\ & = 3 . 47 = 141 \\ \text{PKB : } x^2 & - (HJ)x + HK = 0 \\ x^2 & -50x + 141 = 0 \end{align} $
Jadi, PKB nya adalah $ x^2-50x + 141 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) = \frac{{}^2\log 5}{{}^3\log \sqrt{5} . {}^2\log 81} $, maka $ 4p^2 = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 12 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi Logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat-sifat Logaritma :
(i). $ \frac{1}{{}^a \log b} = {}^b \log a $
(ii). $ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} .{}^a \log b $
(iii). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) & = \frac{{}^2\log 5}{{}^3\log \sqrt{5} . {}^2\log 81} \\ {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) & = {}^2\log 5. {}^\sqrt{5} \log 3 . {}^{81} \log 2 \\ {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) & = {}^2\log 5. {}^{5^\frac{1}{2}} \log 3 . {}^{3^4} \log 2 \\ {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) & = ({}^2\log 5). \frac{1}{\frac{1}{2}} .( {}^{5} \log 3) . \frac{1}{4} . ({}^{3 } \log 2 ) \\ {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) & = ({}^2\log 5). 2 . ({}^{5} \log 3 ). \frac{1}{4} . ({}^{3 } \log 2 ) \\ {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) & = \frac{2}{4} . ({}^2\log 5). ({}^{5} \log 3 ) . ({}^{3 } \log 2 ) \\ {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) & = \frac{1}{2} . ({}^2\log 2) \\ {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) & = \frac{1}{2} . 1 \\ {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) & = \frac{1}{2} \\ (p+1) & = (p^2 + 4) ^ \frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (p+1)^2 & = (p^2 + 4) \\ p^2 + 2p + 1 & = p^2 + 4 \\ 2p & = 3 \\ p & = \frac{3}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 4p^2 $ :
$\begin{align} 4p^2 & = 4. (\frac{3}{2})^2 = 4 \times \frac{9}{4} = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ 4p^2 = 9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \frac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} = 4^x $, maka $ x = .... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{5}{12} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{7}{12} \, $ E). $ \frac{2}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat-sifat eksponen :
(i). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
(ii). $ a^m. a^n = a^{m+n} $
(iii). $ (a^m)^n = a^{mn} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Operasi pecahan :
$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a +b}{ab} $
$ a : \frac{b}{c} = a . \frac{c}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} \frac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} & = 4^x \\ \frac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} +\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}} & = 4^x \\ \frac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{\frac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{2}} .2^{\frac{1}{3}}} } & = 4^x \\ (2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}) . \frac{2^{\frac{1}{2}} .2^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}} & = 4^x \\ 2^{\frac{1}{2}} .2^{\frac{1}{3}} & = 4^x \\ 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} & = (2^2)^x \\ 2^{\frac{5}{6}} & = 2^{2x} \\ \frac{5}{6} & = 2x \\ x & = \frac{5}{6} . \frac{1}{2} \\ x & = \frac{5}{12} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \frac{5}{12} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633


Nomor 1
Jika $ \frac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}} = 4^x $, maka $ x = .... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{5}{12} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{7}{12} \, $ E). $ \frac{2}{3} \, $
Nomor 2
Jika $ {}^{(p^2 + 4)} \log (p+1) = \frac{{}^2\log 5}{{}^3\log \sqrt{5} . {}^2\log 81} $, maka $ 4p^2 = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 12 $
Nomor 3
Jika $ p $ dan $ q $ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-7x+1=0$ , maka persamaan yang akar-akarnya $ \sqrt{p} + \sqrt{q} $ dan $ p^2+q^2 $ adalah ....
A). $ x^2 - 50x + 131 = 0 \, $ B). $ x^2 - 50x + 138 = 0 \, $
C). $ x^2 - 50x + 141 = 0 \, $ D). $ x^2 - 51x + 141 = 0 \, $
E). $ x^2 - 51x + 148 = 0 $
Nomor 4
Diberikan fungsi kuadrat $ f(x) = 9x^2 + ax - b $ yang melalui titik $ (a,-b) $ dan $ (b, -a) $ dengan $ a \neq b $. Nilai minimum $ f(x) $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ -\frac{1}{9} \, $ D). $ -\frac{1}{3} \, $ E). $ -1 \, $
Nomor 5
Diberikan sistem persamaan linear
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x+3y=a \\ \frac{1}{7}x+\frac{1}{5}y = 5 \end{array} \right. $
Jika $ x + y = 2a + 3 $ , maka $ a = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 32 \, $ C). $ 38 \, $ D). $ 40 \, $ E). $ 43 \, $

Nomor 6
Diberikan bilangan real $ a $. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $ (2x-1)^2 - a^2 \leq 1 - 4x $ adalah $ \{ a : x \text{ bilangan real }, p \leq x \leq q \} $, maka $ p + q = .... $
A). $ -a \, $ B). $ -1 $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $
Nomor 7
Seorang Apoteker mencoba meracik obat baru yang berbahan dasar zat A dan zat B. Racikan pertama membutuhkan 400 mg zat A dan 300 mg zat B. Racikan kedua membutuhkan 200 mg zat A dan 100 mg zat B. Obat racikan pertama dijual Rp8000,- dan obat racikan kedua dijual Rp3200,-. Jika persediaan yang ada hanya 6 gram zat A dan 4 gram zat B, maka pendapatan maksimum Apoteker tersebut adalah Rp....
A). $ 60.800 \, $ B). $ 72.000 \, $ C). $ 96.000 \, $
D). $ 112.000 \, $ E). $ 120.000 $
Nomor 8
Jumlah tiga suku pertama barisan geometri adalah 91. Jika suku ketiga dikurangi 13, maka ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika. Suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). 4 atau 43 B). 7 atau 46
C). 10 atau 49 D). 13 atau 52
E). 16 atau 55
Nomor 9
Tiga bilangan real $ a, b, $ dan $ c $ dengan $ c < a $ membentuk barisan geometri yang hasil jumlahnya adalah $ -14 $ dan hasil perkaliannya adalah 216. Nilai $ c $ adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -14 \, $ D). $ -18 \, $ E). $ -20 $
Nomor 10
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 1 & x \\ y & z \end{matrix} \right) $ dan $ k $ merupakan skalar sehingga $ A + kA^T = \left( \begin{matrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right) $ , maka $ x + y + z = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

Nomor 11
Jika $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $ , maka $ \frac{\sin ( \pi + \alpha ) + \sin \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) } {\tan \alpha} = .... $
A). $ \frac{\sqrt{2}-4}{12} \, $ B). $ \frac{\sqrt{2}-4}{6} \, $ C). $ \frac{\sqrt{2}-4}{3} \, $
D). $ \sqrt{2}-4 \, $ E). $ \sqrt{2} $
Nomor 12
Dari angka 0, 1, 2, ..., 9 disusun bilangan ratusan sehingga tidak ada angka yang muncul berulang. Peluang bilangan yang terbentuk merupakan kelipatan 5 adalah ....
A). $ \frac{19}{81} \, $ B). $ \frac{17}{81} \, $ C). $ \frac{16}{81} \, $ D). $ \frac{13}{81} \, $ E). $ \frac{11}{81} $
Nomor 13
Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah $ 1 : 9 $. Jika penghasilan rata-rata tahunan pegawi tetap Rp2,4 juta dan penghasilan tahunan rata-rata pegawai tidak tetap Rp1,8 juta, maka penghasilan tahunan rata-rata seluruh pegawai adalah Rp.... juta
A). $ 1,82 \, $ B). $ 1,84 \, $ C). $ 1,86 \, $ D). $ 1,88 \, $ E). $ 1,90 $
Nomor 14
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} $. Nilai $(f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 15
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $
Nomor 16
Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ . Jika $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -9 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $
Nomor 17
Diberikan bilangan positif $ m $ dan $ n $. Jika $ mx + ny = 1 $ , maka nilai maksimum $ xy $ adalah ....
A). $ \frac{1}{4mn} \, $ B). $ \frac{1}{2mn} \, $ C). $ \frac{1}{mn} \, $ D). $ \frac{2}{mn} \, $ E). $ \frac{4}{mn} $
Nomor 18
Jika $ ({}^9 \log (x-1) )^2 - {}^9 \log (x-1)^2 = a $ mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu $ x = b $, maka $ a + b = .... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 27 \, $
Nomor 19
Jika $ \left\{ \begin{array}{c} 2a+b = {}^2 \log 45 \\ a+2b = {}^2 \log 75 \end{array} \right. $ , maka $ a + b = .... $
A). $ {}^2 \log 3 \, $ B). $ {}^2 \log 5 \, $ C). $ {}^2 \log 9 \, $
D). $ {}^2 \log 15 \, $ E). $ {}^2 \log 25 $
Nomor 20
Diketahui $ (u_n ) $ adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $ a $ dan beda $ b $, dengan $ b > 0 $. Jika $ a - b = 1 $ dan determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ -2 $, maka $ a^2 + b^2 = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 9 $


Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Grafik fungsi kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $ mempunyai puncak di $ (1,1) $ dan menyinggung garis $ y = x + 1 $. Nilai $ 8a - 4b = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Fungsi kuadrat (PK) : $ y = ax^2 + bx + c $
-). Titik puncaknya $ (x_p,y_p) $
dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p = \frac{D}{-4a} $
dimana $ D = b^2 - 4ac $.
*). Syarat garis dan parabola bersinggungan yaitu $ D = 0 $
*). Titik yang dilalui kurva boleh disubstitusikan ke persamaan kurvanya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ y = ax^2 + bx + c $ mempunyai puncak di $ (1,1) $
artinya $ x_p = 1 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 1 \rightarrow b = -2a \, $ ....(i)
*). Substitusi titik $ (x-y) = (1,1) $ ke parabola :
$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \\ 1 & = a.1^2 + b.1 + c \\ 1 & = a + b + c \\ 1 & = a + (-2a) + c \\ 1 & = -a + c \\ c & = a + 1 \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). garis $ y = x + 1 $ menyinggung $ y = ax^2 + bx + c $ :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ ax^2 + bx + c & = x + 1 \\ ax^2 + bx - x + c - 1 & = 0 \\ ax^2 + (b-1)x + (c - 1) & = 0 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (b-1)^2 - 4.a.(c-1) & = 0 \\ (-2a-1)^2 - 4.a.((a+1)-1) & = 0 \\ 4a^2 + 4a + 1 - 4.a.(a) & = 0 \\ 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 & = 0 \\ 4a + 1 & = 0 \\ 4a & = -1 \\ a & = \frac{-1}{4} \end{align} $
Pers(i): $ b = -2a = -2. (\frac{-1}{4}) = \frac{1}{2} $
*). Menentukan nilai $ 8a - 4b $ :
$\begin{align} 8a - 4b & = 8(\frac{-1}{4}) - 4 . (\frac{1}{2}) \\ & = -2 - 2 \\ & = -4 \end{align} $
Jadi, nilai $ 8a - 4b = -4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3a-5)x+3 = 0 $ adalah tiga kali akar yang lainnya. Perkalian dari nilai-nilai $ a $ yang memenuhi persamaan tersebut adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Akar-akar bisa disubstitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - (3a-5)x+3 = 0 $ misalkan memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Salah satu akarnya tiga kali akar yang lainnya :
Misalkan $ x_1 = 3x_2 \, $ ....(i)
*). Operasi perkalian dan $ x_1 = 3x_2 $ :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ 3x_2 . x_2 & = \frac{3}{1} \\ 3x_2^2 & = 3 \\ x_2^2 & = 1 \\ x_2 & = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{align} $
*). Substitusi $ x_2 = 1 $ dan $ x_2 = -1 $ ke PK $ x^2 - (3a-5)x+3 = 0 $ :
$\begin{align} x_2 = 1 \rightarrow & \\ 1^2 - (3a-5).1+3 & = 0 \\ 1 - 3a + 5 + 3 & = 0 \\ -3a & = -9 \\ a_1 & = 3 \\ x_2 = -1 \rightarrow & \\ (-1)^2 - (3a-5).(-1)+3 & = 0 \\ 1 + 3a - 5 + 3 & = 0 \\ 3a & = 1 \\ a_2 & = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan pekalian semua nilai $ a $ :
$\begin{align} a_1.a_2 & = 3. \frac{1}{3} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a $ adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjumlahan semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ x^{4\log x} = \frac{x^{12}}{10^8} $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 101 \, $ D). $ 110 \, $ E). $ 1100 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
*). Sifat logartima :
$ {}^a \log ( \frac{b}{c}) = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). Untuk logaritma yang tidak ditulis basisnya berarti berbasis 10
contoh : $ \log b = {}^{10} \log b $
(ini sudah kesepakatan international)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = \log x = {}^{10} \log x $ :
*). Mengubah persamaannya dengan memberi log kedua ruas :
$\begin{align} x^{4\log x} & = \frac{x^{12}}{10^8} \\ \log \left( x^{4\log x} \right) & = \log \left( \frac{x^{12}}{10^8} \right) \\ 4\log x . \log x & = \log x^{12} - \log 10^8 \\ 4(\log x )^2 & = 12\log x - 8\log 10 \\ 4(\log x )^2 & = 12\log x - 8 \\ 4p^2 & = 12p - 8 \\ 4p^2 - 12p + 8 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ p^2 - 3p + 2 & = 0 \\ (p-1)(p-2) & = 0 \\ p = 1 & \vee p = 2 \\ {}^{10} \log x = 1 & \vee {}^{10} \log x = 2 \\ x = 10^1 & \vee x = 10^2 \\ x_1 = 10 & \vee x_2 = 100 \end{align} $
*). Menentukan Jumlah semua nilai $ x $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 10 + 100 = 110 \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai $ x $ adalah $ 110 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjumlahan semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ x^{4\log x} = \frac{x^{12}}{10^8} $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 101 \, $ D). $ 110 \, $ E). $ 1100 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
atau dapat kita tulis $ a^c = b $ menjadi $ c = {}^a \log b $
*). Sifat logartima :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $ (dibalik $ a $ dan $ b $ nya)
$ {}^a \log ( \frac{b}{c}) = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). Untuk logaritma yang tidak ditulis basisnya berarti berbasis 10
contoh : $ \log b = {}^{10} \log b $
(ini sudah kesepakatan international)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = \log x = {}^{10} \log x $ :
Bentuk $ x^{4\log x} = \frac{x^{12}}{10^8} $ kita anggap $ a = x, c = 4\log x $ dan $ b = \frac{x^{12}}{10^8} $ sehingga bentuknya sama saja dengan $ a^c = b $, lalu kita gunakan definisi logaritma.
*). Mengubah persamaannya dengan defini logaritma :
$\begin{align} x^{4\log x} & = \frac{x^{12}}{10^8} \\ a^c & = b \\ c & = {}^a \log b \\ 4\log x & = {}^x \log \frac{x^{12}}{10^8} \\ 4\log x & = {}^x \log x^{12} - {}^x \log 10^8 \\ 4\log x & = 12 . {}^x \log x - 8. {}^x \log 10 \\ 4\log x & = 12 . 1 - 8. \frac{1}{{}^{10} \log x } \\ 4\log x & = 12 - \frac{8}{{}^{10} \log x } \\ 4p & = 12 - \frac{8}{p} \, \, \, \, \, (\text{ kali } p ) \\ 4p^2 & = 12p - 8 \\ 4p^2 - 12p + 8 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ p^2 - 3p + 2 & = 0 \\ (p-1)(p-2) & = 0 \\ p = 1 & \vee p = 2 \\ {}^{10} \log x = 1 & \vee {}^{10} \log x = 2 \\ x = 10^1 & \vee x = 10^2 \\ x_1 = 10 & \vee x_2 = 100 \end{align} $
*). Menentukan Jumlah semua nilai $ x $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 10 + 100 = 110 \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai $ x $ adalah $ 110 . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang merupakan penyelesaian dari $ -2^{2x+1} + 4^x + 8^{x+\frac{1}{3}} - 8^{\frac{2x-1}{3}}- 16^{\frac{2x-1}{4}} > 0 $ adalah .....
A). $ -1 \leq x < 0 \, $ B). $ x > 0 \, $
C). $ x<0 atau="" x=""> 1 $
D). $ 0 \leq x < 1 \, $ E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^{m+n} = a^m.a^n $
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 2^x = p > 0 $ (nilai $ p $ selalu positif) :
*). Mengubah ke dalam bentuk $ p $ :
$ 2^{2x+1} = 2^{2x}. 2^1 = (2^x)^2 . 2 = p^2 . 2 = 2p^2 $
$ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = p^2 $
$ 8^{x+\frac{1}{3}} = (2^3)^{x+\frac{1}{3}} = 2^{3x+1} = 2^{3x}.2^1 = (2^x)^3.2 = p^3 . 2 = 2p^3 $
$ 8^{\frac{2x-1}{3}} = (2^3)^{\frac{2x-1}{3}} = 2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2^1} = \frac{p^2}{2} $
$ 16^{\frac{2x-1}{4}} = (2^4)^{\frac{2x-1}{4}} = 2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2^1} = \frac{p^2}{2} $
*). Menyelesaikan ketaksamaannya :
$\begin{align} -2^{2x+1} + 4^x + 8^{x+\frac{1}{3}} - 8^{\frac{2x-1}{3}}- 16^{\frac{2x-1}{4}} & > 0 \\ -2p^2 + p^2 + 2p^3 - \frac{p^2}{2} - \frac{p^2}{2} & > 0 \\ 2p^3- 2p^2 & > 0 \\ 2p^2(p-1) & > 0 \\ p = 0 \vee p & = 1 \end{align} $
karena $ p > 0 $ , yang memenuhi $ p = 1 $
$ p = 1 \rightarrow 2^x = 1 \rightarrow x = 0 $
gambar garis bilangan untuk nilai $ x = 0 $ :
 

Penyelesaiannya : $ x > 0 $
Jadi, solusinya adalah $ x > 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan barisan geometri tak konstan $ a, b, c , ... $ Jika $ abc = 27 $ dan $ 9a + b + c = 33 $ , maka $ 6a + 7b = .... $
A). $ 39 \, $ B). $ 30 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Ciri-ciri barisan geometri :
Misalkan ada $ u_1, u_2, u_3, .... $ adalah barisan geometri,
Barisan geometri memiliki perbandingan suku berdekatan sama.
$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3}= .... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Barisan geometri : $ a, b, c , ... $
Perbandingan sama yaitu :
$ \frac{b}{a} = \frac{c}{b} \rightarrow ac = b^2 \, $ .....(i)
*). Diketahui juga persamaan :
$ abc = 27 \, $ .....(ii)
$ 9a + b + c = 33 \, $ ......(iii)
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ abc = 27 \rightarrow ac.b = 27 \rightarrow b^2.b = 27 $
$ \rightarrow b^3 = 27 \rightarrow b = 3 $
pers (ii) :
$ abc = 27 \rightarrow a.3.c=27 \rightarrow ac = 9 $
pers(iii) :
$ 9a + b + c = 33 \rightarrow 9a + 3 + c = 33 $
$ \rightarrow c = 30 - 9a $
*). Substitusi $ c = 30 - 9a $ ke $ ac = 9 $ :
$\begin{align} ac & = 9 \\ a(30 - 9a) & = 9 \\ 30a - 9a^2 & = 9 \\ 9a^2 - 30a + 9 & = 0 \\ 3a^2 - 10a + 3 & = 0 \\ (3a-1)(a-3) & = 0 \\ a = \frac{1}{3} \vee a & = 3 \end{align} $
-). Sebelumnya kita telah memperoleh $ b = 3 $, sementara disoal haruslah $ a, b, c, ...$ tidak konstan (harus berbeda semuanya), artinya nilai $ a $ tidak boleh sama dengan 3 juga. Sehingga yang memenuhi $ a = \frac{1}{3} $.
*). Menentukan nilai $ 6a + 7b $ :
$\begin{align} 6a + 7b & = 6(\frac{1}{3} ) + 7. 3 \\ & = 2 + 21 \\ & = 23 \end{align} $
Jadi, nilai $ 6a + 7b = 23 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah buku dibeli dengan harga Rp1.000,00 dan dijual Rp1.100,00. Sebuah pena dibeli dengan harga Rp1.500,00 dan dijual Rp1.700,00. Seorang pedagang yang memiliki modal Rp300.000,00 dan tokonya dapat memuat paling banyak 250 buku dan pena akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar .....
A). Rp30.000,00 B). Rp40.000,00
C). Rp50.000,00 D). Rp60.000,00
E). Rp70.000,00

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalan :
$ x = \, $ menyatakan harga sebuah buku
$ y = \, $ menyatakan harga sebuah pena
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ x + y \leq 250 \rightarrow (0,250) , \, (250,0) $
Garis II : $ 2x + 3y \leq 600 \rightarrow (0,200), \, (300,0) $
dan $ x \geq 0 , \, \, \, \, y \geq 0 $
Fungsi tujuan : $ f(x,y) = 100x + 200y $
 

*). Menentukan titik pojok B :
pers(i) : $ x + y = 250 \rightarrow x = 250 - y $
Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} 2x + 3y & = 600 \\ 2(250 - y) + 3y & = 600 \\ 500 - 2y + 3y & = 600 \\ y & = 100 \end{align} $.
pers(i) : $ x = 250 - y = 250 - 100 = 150 $
Sehingga titik B(150, 100)
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $ f(x,y) = 100x + 200y $
$ \begin{align} A(250,0) \rightarrow f & = 100 \times 250 + 200 \times 0 = 25.000 \\ B(150,100) \rightarrow f & = 100 \times 150 + 200 \times 100 = 35.000 \\ C(0,200) \rightarrow f & = 100 \times 0 + 200 \times 200 = 40.000 \\ \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah Rp40.000 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Akar UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $ \sqrt{x^2-x+1} \leq \sqrt{x+1} $ adalah $ \{ x|x \text{ bilangan real }, a \leq x \leq b \} $ , maka $ a + b = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat bentuk akar :
$ \sqrt{f(x)} \rightarrow f(x) \geq 0 $
*). Solusi total adalah irisan semua solusinya.
*). Untuk bentuk $ ax^2 + bx + c \geq 0 $ dengan $ a > 0 $ dan $ D < 0 $ , maka disebut definit positif yang terpenuhi untuk semua $ x $ bilangan real.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pertidaksamaan $ \sqrt{x^2-x+1} \leq \sqrt{x+1} $
*). Menentukan Solusi syaratnya :
-). Syarat pertama : $ x^2-x+1 \geq 0 $
$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4.1.1 = 1 - 4 = -3 $
Bentuk $ x^2-x+1 $ tidak bisa difaktorkan karena nilai $ D < 0 $. Karena $ D < 0 $ dan $ a > 0 $ , maka bentuk $ x^2-x+1 $ adalah definit positif (selalu positif untuk semua $ x $), serta $ x^2-x+1 \geq 0 $ (positif lebih besar dari 0) adalah benar, maka untuk syarat pertamanya terpenuhi untuk semua $ x $ bilangan real.
-). Syarat kedua : $ x + 1 \geq 0 $
$ x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 $
Sehingga HP1 = $ \{ x \geq -1 \} $
*). Menentukan solusi pokok dengan dikuadratkan :
$\begin{align} \sqrt{x^2-x+1} & \leq \sqrt{x+1} \\ (\sqrt{x^2-x+1})^2 & \leq (\sqrt{x+1})^2 \\ x^2 - x + 1 \geq x + 1 \\ x^2 - 2x \geq 0 \\ x(x-2) \geq 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $
gambar garis bilangan
 

HP2 = $ \{ 0 \leq x \leq 2 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x \geq -1 \} \cap \{ 0 \leq x \leq 2 \} \\ & = \{ 0 \leq x \leq 2 \} \end{align} $
Solusi akhirnya $ \{ 0 \leq x \leq 2 \} $ sama dengan $ a \leq x \leq b $
ini artinya $ a = 0 $ dan $ b = 2 $
Sehingga $ a + b = 0 + 2 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Pada sistem persamaan berikut
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, x^2 + xy + xz & = 1 \\ y^2 + yz + yx & = 6 \\ z^2 + zx + zy & = 9 \end{align} $
nilai $ z $ adalah ....
A). $ \frac{2}{3} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{9}{4} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan metode substitusi.
*). Sifat distributif :
$ ab + cb + db = (a + c + d) b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita ubah sistem persamaan dengan sifat distributif yaitu :
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, x( x+ y+ z) & = 1 \\ y(x+y+z) & = 6 \\ z(x+y+z) & = 9 \end{align} $
*). Kita misalkan $ x + y + z = p $ agar lebih sederhana, sistemnya menjadi :
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, xp & = 1 \\ yp & = 6 \\ zp & = 9 \end{align} $
*). Jumlahkan ketiga persamaannya :
$\begin{align} xp + yp + zp & = 1 + 6 + 9 \\ (x+y+z)p & = 16 \\ (x+y+z)(x+y+z) & = 16 \\ (x+y+z)^2 & = 16 \\ (x+y+z) & = 4 \end{align} $
*). Persamaan (iii) dengan $ x + y + z = 4 $ :
$\begin{align} z(x+y+z) & = 9 \\ z.4 & = 9 \\ z & = \frac{9}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ z = \frac{9}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan $ \angle BAC = \alpha $. Titik $ C_1 $ merupakan titik sehingga $ \Delta ACC_1 $ siku-siku di C dan $ \angle CAC_1 = \alpha $. Titik $ C_2 $ dipilih sehingga $ \Delta AC_1C_2 $ siku-siku di $ C_1 $ dan $ \angle C_1AC_2 = \alpha $ , dan seterusnya. Panjang $ AC_1 $ , $ AC_2 $ , $ AC_3 $ , ..., merupakan barisan geometri dengan suku pertama $ a $ dan rasio $ r $. Nilai $ \frac{a}{r} $ adalah ....

A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \cos x = \frac{samping}{miring} $
*). Barisan geometri : $ u_1, u_2, u_3, .... $
Rasionya ($r$) : $ r = \frac{u_2}{u_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan segitiga ABC siku-siku di B :
$\begin{align} AC & = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \end{align} $
Nilai $ \cos \alpha = \frac{AB}{AC} \rightarrow \cos \alpha = \frac{4}{5} $
Nilai $ \cos \alpha $ ini kita gunakan juga pada segitiga $ACC_1$ dan $ AC_1C_2 $.
*). Perhatikan segitiga $ ACC_1$ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{AC}{AC_1} \\ \frac{4}{5} & = \frac{5}{AC_1} \\ AC_1 & = \frac{25}{4} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga $ AC_1C_2$ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{AC_1}{AC_2} \\ \frac{4}{5} & = \frac{\frac{25}{4}}{AC_2} \\ AC_2 & = \frac{125}{16} \end{align} $
*). Barisan geometrinya : $ AC_1 $ , $ AC_2 $ , $ AC_3 $ , ....
Sehingga $ a = u_1 = AC_1 = \frac{25}{4} $
$ u_2 = AC_2 = \frac{125}{16} $
*). Menentukan nilai $ r $ (rasionya) :
$\begin{align} r & = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\frac{125}{16}}{\frac{25}{4}} = \frac{125}{16} . \frac{4}{25} = \frac{5}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \frac{a}{r} $ :
$\begin{align} \frac{a}{r} & = \frac{\frac{25}{4} }{ \frac{5}{4}} = \frac{25}{4} . \frac{4}{5} = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{a}{r} = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Apabila $ x $ dan $ y $ memenuhi
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, \log x^2 - \log y & = 1 \\ \log x + \log y & = 8 , \end{align} $
maka nilai $ y - x = .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 99 \, $ C). $ 990 \, $ D). $ 9900 \, $ E). $ 99000 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
*). Untuk bentuk logaritma yang tidak ditulis basisnya, maka basisnya dianggap 10. Misalkan : $ \log a $ sama saja dengan $ {}^{10} \log a $
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dengan sifat logaritma, kita ubah persamaan (i) : $ \log x^2 - \log y = 1 $ menjadi $ 2\log x - \log y = 1 $.
*). Untuk memudahkan, kita misalkan $ \log x = p $ dan $ \log y = q $ :
Sistem persamaannya menjadi :
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, 2p - q & = 1 \\ p + q & = 8 , \end{align} $
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} 2p - q = 1 & \\ p + q = 8 & + \\ \hline 3p = 9 & \\ p = 3 \end{array} $
Untuk $ p = 3 \rightarrow {}^{10} \log x = 3 \rightarrow x = 10^3 = 1000 $
*). Persamaan (ii) :
$ p + q = 8 \rightarrow 3 + q = 8 \rightarrow q = 5 $
Untuk $ q = 5 \rightarrow {}^{10} \log y = 5 \rightarrow y = 10^5 = 100.000 $
*). Menenetukan nilai $ y - x $ :
$\begin{align} y - x & = 100.000 - 1000 \\ & = 99.000 \end{align} $
Jadi, nilai $ y - x = 99.000 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Sebenarnya sistem persamaan di atas bisa langsung kita eliminasi dengan menjumlahkan kedua persamaan sehingga tidak perlu memisalkan lagi seperti di atas. Silahkan di coba ya sahabat dunia informa.

Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ adalah sudut, dengan $ 90^\circ < x < 180^\circ $, dan $ 4 - 2\cos ^2 x = 5\sin x $ , maka $ \cos x = .... $
A). $ -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2\sqrt{2} } \, $ E). $ -\frac{1}{2\sqrt{3} } $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Rentangan nilai $ \sin x $ yaitu :
$ -1 \leq \sin x \leq 1 $
*). Hubungan kuadran :
$ \cos ( 180^\circ - \theta ) = - \cos \theta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan $ 4 - 2\cos ^2 x = 5\sin x $ dengan $ 90^\circ < x < 180^\circ $ (Kuadran II).
*). Menyelesaikan persamaannya dengan pemfaktoran :
$\begin{align} 4 - 2\cos ^2 x & = 5\sin x \\ 4 - 2(1 - \sin ^2 x ) & = 5\sin x \\ 4 - 2 + 2 \sin ^2 x & = 5\sin x \\ 2 \sin ^2 x - 5\sin x + 2 & = 0 \\ (2\sin x - 1)(\sin x - 2) & = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \vee \sin x & = 2 \end{align} $
-). Karena nilai $ \sin x $ paling besar 1, maka $ \sin x = 2 $ tidak memenuhi. Sehingga kita peroleh $ \sin x = \frac{1}{2} $ .
-). Untuk $ \sin x = \frac{1}{2} $ , maka $ x = 150^\circ $ (Kuadran II).
*). Menentukan nilai $ \cos x $ dengan $ x = 150^\circ $ :
$\begin{align} \cos x & = \cos 150^\circ \\ & = \cos (180^\circ - 30^\circ ) \\ & = -\cos 30^\circ \\ & = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos x = -\frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Penggunaan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ m $ dan $ M $ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + a $ , dengan $ M + m = 3 $ , maka $ f(2) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Uji turunan kedua :
Misalkan $ x_1 $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ , Cek ke $ f^{\prime \prime }(x) $ yaitu :
Jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka $ x_1 $ menyebabkan minimum
Jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka $ x_1 $ sebagai titik belok
Jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka $ x_1 $ menyebabkan maksimum

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = 2x^3 - 3x^2 + a \\ f^\prime (x) & = 6x^2 - 6x \\ f^{\prime \prime } (x) & = 12x - 6 \end{align} $
*). Syarat $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 6x^2 - 6x & = 0 \\ 6x(x-1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Cek ke turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 12x - 6 $
$\begin{align} x & = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 12.0 - 6 = -6 <0 \\ & \text{(jenisnya maksimum)} \\ x & = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (1) = 12.1 - 6 = 6 > 0 \\ & \text{(jenisnya minimum)} \end{align} $
Artinya kita peroleh $ f(x) $ minimum saat $ x = 1 $ dan maksimum saat $ x = 0 $.
*). Menentukan bentuk $ m $ dan $ M $ :
$\begin{align} f(x) & = 2x^3 - 3x^2 + a \\ m = f(1) & = 2.1^3 - 3.1^2 + a \\ & = -1 + a \\ M = f(0) & = 2.0^3 - 3.0^2 + a \\ & = a \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ M + m = 3 $ :
$\begin{align} M + m & = 3 \\ a + (-1 + a) & = 3 \\ 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align} $
sehingga $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + a = 2x^3 - 3x^2 + 2 $
*). Menentukan nilai $ f(2) $ :
$\begin{align} f(2) & = 2.2^3 - 3.2^2 + 2 \\ & = 16 - 12 + 2 = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(2) = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Di dalam sebuah kotak terdapat sembilan bola yang diberi nomor 1 sampai dengan 9. Diambil tiga bola satu-persatu tanpa pengembalian. Peluang bola pertama genap, bola ke-2 ganjil, dan bola ke-3 genap adalah ....
A). $ \frac{7}{252} \, $ B). $ \frac{8}{252} \, $ C). $ \frac{5}{42} \, $ D). $ \frac{6}{41} \, $ E). $ \frac{9}{43} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus peluang kejadian A :
$ \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kemungkinan terjadi
*). Peluang total kejadian yang semua kejadian harus terjadi yaitu dikalikan semua.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan : 1, 2, 3, ..., 9 (ada 9 pilihan)
genap : 2, 4, 6, 8 (ada 4 pilihan)
ganjil : 1, 3, 5, 7, 9 (ada 5 pilihan)
*). Tidak dikembalikan, sehingga jumlah bola berkurang terus.
*). Menentukan peluangnya :
-). Pengambilan pertama genap, genap ada 4 pilihan, sehingga peluangnya : $ P(I) = \frac{4}{9} $
-). Pengambilan kedua ganjil, ganjil ada 5 pilihan dan genap tersisa 3, sehingga peluangnya $ P(II) = \frac{5}{8} $
-). Pengambilan ketiga genap, genap ada 3 pilihan dan ganjil tersisa 4, sehingga peluangnya $ P(III) = \frac{3}{7} $
-). Peluang total ketiga kejadian :
$\begin{align} \text{Peluang } & = P(I). P(II).P(III) \\ & = \frac{4}{9} . \frac{5}{8} . \frac{3}{7} \\ & = \frac{1}{3} . \frac{5}{2} . \frac{1}{7} \\ & = \frac{5}{42} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{5}{42} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan x = 2 $ , maka $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}=... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri :
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \tan x = 2 $
*). Menentukan hasil akhir dengan membagi $ \cos x $ :
$\begin{align} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} & = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} : \frac{\cos x}{\cos x} \\ & = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} }{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} } \\ & = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1} \\ & = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = 3. \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Dasar UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan x = 2 $ , maka $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}=... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri :
Pada segitiga siku-siku berlaku :
$ \tan x = \frac{depan}{samping} $ , $ \sin x = \frac{depan}{miring} $ , dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $
*). Pythagoras pada segitiga siku-siku :
$ \, \, \, \, mi^2 = de^2 + sa^2 $
Keterangan :
mi = sisi miring
de = sisi depan
sa = samping

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \tan x = 2 = \frac{2}{1} = \frac{de}{sa} $
depan = 2 dan samping = 1
dengan pythagoras :
$ miring = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} $
 

Sehingga nilai
$ \sin x = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $
$ \cos x = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{5}} $
*). Menentukan hasil akhir :
$\begin{align} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} & = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} }{\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} } \\ & = \frac{\frac{3}{\sqrt{5}} }{\frac{1}{\sqrt{5}} } \\ & = \frac{3}{\sqrt{5}} . \frac{\sqrt{5}}{1} = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = 3. \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) $ , $ B = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ , maka determinan dari $ A^TA + BB^T $ adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 $ C). $ 0 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Transpose matriks A : $ A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
Determinan matriks A : $ |A| = ad - bc $
*). Operasi perkalian dan penjumlahan :
Penjumlahan dua matriks : jumlahkan unsur-unsur yang seletak
Perkalian dua matriks : Kalikan Baris dan Kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan tranpose matriksnya :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} \right) $
$ B = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \rightarrow B^T = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bentuk $ A^TA + BB^T $ :
$\begin{align} A^TA + BB^T & = \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan determinan $ A^TA + BB^T $ :
$\begin{align} A^TA + BB^T & = \left( \begin{matrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right) \\ |A^TA + BB^T | & = 3.10 - 5.5 = 30 - 25 = 5 \end{align} $
Jadi, determinannya adalah $ 5. \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ r $, dengan $ 0 < r < 1 $. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio $ \frac{1}{1+r} $ adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio $ r $ adalah ....
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 18 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar deret geometri tak hingga
$ \, \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{U_1}{1-\text{rasio}} $
Keterangan :
$ S_\infty = \, $ jumlah deret geometri tak hingga
$ U_1 = \, $ suku pertamanya

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio $ \frac{1}{1+r} $ adalah 8 , menentukan nilai $ r $ nya :
$\begin{align} S_\infty & = 8 \\ \frac{U_1}{1-\text{rasio}} & = 8 \\ \frac{2}{1-\frac{1}{1+r}} & = 8 \\ \frac{2}{\frac{1+r}{1+r}-\frac{1}{1+r}} & = 8 \\ \frac{2}{\frac{r}{1+r}} & = 8 \\ \frac{2(1+r)}{r} & = 8 \\ 2 + 2r & = 8r \\ 6r & = 2 \\ r & = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio $ r = \frac{1}{3} $ :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{U_1}{1-\text{rasio}} \\ & = \frac{8}{1-\frac{1}{3}} = \frac{8}{\frac{3}{3}-\frac{1}{3}} \\ & = \frac{8}{\frac{2}{3}} = 8 . \frac{3}{2} = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 12 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberika $ f(x) = (ax^2+bx+c)(x^2+x) $ . Jika $ f^\prime (0) = 3 $ dan $ f^\prime (-1) = 10 $ , maka $ f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) = .... $
A). $ -\frac{15}{4} \, $ B). $ -\frac{13}{4} \, $ C). $ -\frac{11}{4} \, $ D). $ -\frac{9}{4} \, $ E). $ -\frac{7}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar turunan :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Turunan :
$\begin{align} f(x) & = (ax^2+bx+c)(x^2+x) = U.V \\ U & = ax^2+bx+c \rightarrow U^\prime = 2ax + b \\ V & = x^2+x \rightarrow V^\prime = 2x + 1 \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ f^\prime (x) & = (2ax+b)(x^2+x) + (ax^2+bx+c)(2x+1) \end{align} $
*). Bentuk $ f^\prime (0) = 3 $ :
$\begin{align} f^\prime (0) & = 3 \\ (2a.0+b)(0^2+0) + (a.0^2+b.0+c)(2.0+1) & = 3 \\ 0 + c & = 3 \\ c & = 3 \end{align} $
*). Bentuk $ f^\prime (-1) = 10 $
$\begin{align} f^\prime (-1) & = 10 \\ (2a(-1)+b)((-1)^2+(-1)) + \, \, \, & \\ (a(-1)^2+b(-1)+c)(2(-1)+1) & = 10 \\ (-2a+b)(1-1) + (a-b+c)(-2+1) & = 10 \\ (-2a+b)(0) + (a-b+3)(-1) & = 10 \\ 0 -a + b - 3 & = 10 \\ -a + b & = 13 \\ a - b & = -13 \end{align} $
*). Menentukan Nilai $ f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) $ dengan $ c = 3 $ dan $ a - b = -13 $ :
$\begin{align} f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) & = (2a\left( -\frac{1}{2} \right)+b)(\left( -\frac{1}{2} \right)^2+\left( -\frac{1}{2} \right)) \\ & \, \, \, \, \, \, \, \, + (a\left( -\frac{1}{2} \right)^2+b\left( -\frac{1}{2} \right)+c)(2\left( -\frac{1}{2} \right)+1) \\ & = (-a+b)\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{a}{4} - \frac{b}{2} + 3 \right)(-1+1) \\ & = (-a+b)\left( -\frac{1}{4} \right) + \left( \frac{a}{4} - \frac{b}{2} + 3 \right)(0) \\ & = \frac{a-b}{4} + 0 = \frac{-13}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{13}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^2}} $ adalah ....
A). $ -\sqrt[3]{2} \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \, $ D). $ \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \, $ E). $ \sqrt[3]{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Salah satu cara untuk menyelesaikan limit yaitu dengan pemfaktoran
*). Bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a.b} = \sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} $
$ A = \sqrt[n]{A} . \sqrt[n]{A^{n-1}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memfaktorkan bentuk $ (1-x) $ :
Bentuk : $ A = \sqrt[n]{A} . \sqrt[n]{A^{n-1}} $
$\begin{align} 1 - x & = \sqrt[3]{1-x}.\sqrt[3]{(1-x)^2} \end{align} $
*). Menentukan nilai limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-(1-x)+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-\sqrt[3]{1-x}\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}\sqrt[3]{1-x}} \\ & \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan, coret } \sqrt[3]{1-x} \, ) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-\sqrt[3]{(1-x)^2}+1}{\sqrt[3]{1+x}} \\ & = \frac{-\sqrt[3]{(1-1)^2}+1}{\sqrt[3]{1+1}} \\ & = \frac{-\sqrt[3]{0}+1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{0+1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Fungsi UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = x^2 + 1 $ dan $ g(x) = ax + 2 $ , dengan $ a \neq 0 $ . Jika $ ( f\circ g^{-1} )(1) = 5 $ , maka $ 4a^2 - 3 = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}{y} $
*). Komposisi fungsi :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan ivers fungsi $ g(x) = ax+2 $ :
$\begin{align} g(x) = ax+2 \rightarrow y & = ax+2 \\ ax & = y - 2 \\ x & = \frac{y-2}{a} \\ g^{-1} (x) & = \frac{x-2}{a} \end{align} $
Sehingga $ g^{-1}(1) = \frac{1-2}{a} = -\frac{1}{a} $
*). Menetukan nilai $ a^2 $ dengan $ f(x) = x^2 + 1 $ :
$\begin{align} (f \circ g^{-1})(1) & = 5 \\ f (g^{-1}(1) ) & = 5 \\ f \left( -\frac{1}{a} \right) & = 5 \\ \left( -\frac{1}{a} \right)^2 + 1 & = 5 \\ \frac{1}{a^2} & = 4 \\ 1 & = 4a^2 \\ a^2 & = \frac{1}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 4a^2 - 3 $ :
$\begin{align} 4a^2 - 3 & = 4 \left( \frac{1}{4} \right) - 3 = 1 - 3 = -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ 4a^2 - 3 = -2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika rata-rata dari $ a, b, c $ dan $ a^2, b^2, c^2 $ berturut-turut adalah 2 dan 4, maka rata-rata dari $ ab, bc, ca $ adalah ....
A). $ \frac{10}{3} \, $ B). $ \frac{11}{3} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ \frac{13}{3} \, $ E). $ \frac{14}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus rata-rata bilangan $ ( \overline{x} ) $ :
$ \overline{x} = \frac{\text{Jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Bentuk perpangkatan :
$ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ a, b, c $ memiliki rata-rata 2 :
$\begin{align} \overline{x} & = 2 \\ \frac{a+b+c}{3} & = 2 \\ a + b + c & = 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{.....(i)} \end{align} $
*). $ a^2, b^2, c^2 $ memiliki rata-rata 4 :
$\begin{align} \overline{x} & = 4 \\ \frac{a^2+b^2+c^2}{3} & = 4 \\ a^2+b^2+c^2 & = 12 \, \, \, \, \, \, \, \text{.....(ii)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ ab + bc + ca $ :
$\begin{align} (a+b+c)^2 & = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \\ (6)^2 & = 12 + 2(ab + bc + ca) \\ 36 & = 12 + 2(ab + bc + ca) \\ 2(ab + bc + ca) & = 24 \\ ab + bc + ca & = 12 \end{align} $
*). Menentukan rata-rata $ ab, bc, ca $ :
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{ab+bc+ca}{3} \\ & = \frac{12}{3} = 4 \end{align} $
Jadi, rata-rata $ ab, bc, ca $ adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934


Nomor 1
Jika rata-rata dari $ a, b, c $ dan $ a^2, b^2, c^2 $ berturut-turut adalah 2 dan 4, maka rata-rata dari $ ab, bc, ca $ adalah ....
A). $ \frac{10}{3} \, $ B). $ \frac{11}{3} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ \frac{13}{3} \, $ E). $ \frac{14}{3} \, $
Nomor 2
Diketahui $ f(x) = x^2 + 1 $ dan $ g(x) = ax + 2 $ , dengan $ a \neq 0 $ . Jika $ ( f\circ g^{-1} )(1) = 5 $ , maka $ 4a^2 - 3 = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 3
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^2}} $ adalah ....
A). $ -\sqrt[3]{2} \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \, $ D). $ \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \, $ E). $ \sqrt[3]{2} $
Nomor 4
Diberika $ f(x) = (ax^2+bx+c)(x^2+x) $ . Jika $ f^\prime (0) = 3 $ dan $ f^\prime (-1) = 10 $ , maka $ f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) = .... $
A). $ -\frac{15}{4} \, $ B). $ -\frac{13}{4} \, $ C). $ -\frac{11}{4} \, $ D). $ -\frac{9}{4} \, $ E). $ -\frac{7}{4} \, $
Nomor 5
Diberikan bilangan real $ r $, dengan $ 0 < r < 1 $. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio $ \frac{1}{1+r} $ adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio $ r $ adalah ....
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 18 \, $

Nomor 6
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) $ , $ B = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ , maka determinan dari $ A^TA + BB^T $ adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 $ C). $ 0 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 7
Jika $ \tan x = 2 $ , maka $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}=... $
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 8
Di dalam sebuah kotak terdapat sembilan bola yang diberi nomor 1 sampai dengan 9. Diambil tiga bola satu-persatu tanpa pengembalian. Peluang bola pertama genap, bola ke-2 ganjil, dan bola ke-3 genap adalah ....
A). $ \frac{7}{252} \, $ B). $ \frac{8}{252} \, $ C). $ \frac{5}{42} \, $ D). $ \frac{6}{41} \, $ E). $ \frac{9}{43} $
Nomor 9
Jika $ m $ dan $ M $ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + a $ , dengan $ M + m = 3 $ , maka $ f(2) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika $ x $ adalah sudut, dengan $ 90^\circ < x < 180^\circ $, dan $ 4 - 2\cos ^2 x = 5\sin x $ , maka $ \cos x = .... $
A). $ -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2\sqrt{2} } \, $ E). $ -\frac{1}{2\sqrt{3} } $

Nomor 11
Apabila $ x $ dan $ y $ memenuhi
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, \log x^2 - \log y & = 1 \\ \log x + \log y & = 8 , \end{align} $
maka nilai $ y - x = .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 99 \, $ C). $ 990 \, $ D). $ 9900 \, $ E). $ 99000 $
Nomor 12
Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan $ \angle BAC = \alpha $. Titik $ C_1 $ merupakan titik sehingga $ \Delta ACC_1 $ siku-siku di C dan $ \angle CAC_1 = \alpha $. Titik $ C_2 $ dipilih sehingga $ \Delta AC_1C_2 $ siku-siku di $ C_1 $ dan $ \angle C_1AC_2 = \alpha $ , dan seterusnya. Panjang $ AC_1 $ , $ AC_2 $ , $ AC_3 $ , ..., merupakan barisan geometri dengan suku pertama $ a $ dan rasio $ r $. Nilai $ \frac{a}{r} $ adalah ....

A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $
Nomor 13
Pada sistem persamaan berikut
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, x^2 + xy + xz & = 1 \\ y^2 + yz + yx & = 6 \\ z^2 + zx + zy & = 9 \end{align} $
nilai $ z $ adalah ....
A). $ \frac{2}{3} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{9}{4} \, $ E). $ 3 $
Nomor 14
Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $ \sqrt{x^2-x+1} \leq \sqrt{x+1} $ adalah $ \{ x|x \text{ bilangan real }, a \leq x \leq b \} $ , maka $ a + b = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 15
Sebuah buku dibeli dengan harga Rp1.000,00 dan dijual Rp1.100,00. Sebuah pena dibeli dengan harga Rp1.500,00 dan dijual Rp1.700,00. Seorang pedagang yang memiliki modal Rp300.000,00 dan tokonya dapat memuat paling banyak 250 buku dan pena akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar .....
A). Rp30.000,00 B). Rp40.000,00
C). Rp50.000,00 D). Rp60.000,00
E). Rp70.000,00
Nomor 16
Diberikan barisan geometri tak konstan $ a, b, c , ... $ Jika $ abc = 27 $ dan $ 9a + b + c = 33 $ , maka $ 6a + 7b = .... $
A). $ 39 \, $ B). $ 30 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 9 $
Nomor 17
Nilai $ x $ yang merupakan penyelesaian dari $ -2^{2x+1} + 4^x + 8^{x+\frac{1}{3}} - 8^{\frac{2x-1}{3}}- 16^{\frac{2x-1}{4}} > 0 $ adalah .....
A). $ -1 \leq x < 0 \, $ B). $ x > 0 \, $
C). $ x<0 \, $ atau $ x > 1 $
D). $ 0 \leq x < 1 \, $ E). $ x > 1 $
Nomor 18
Hasil penjumlahan semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ x^{4\log x} = \frac{x^{12}}{10^8} $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 101 \, $ D). $ 110 \, $ E). $ 1100 \, $
Nomor 19
Salah satu akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3a-5)x+3 = 0 $ adalah tiga kali akar yang lainnya. Perkalian dari