Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 554 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui $1+{}^{3}\log (\tan x)+({}^{3}\log (\tan x))^2 + ({}^{3}\log (\tan x))^3+...= \frac{2}{3}$, dengan $0\leq x \leq \pi , x\neq \frac{\pi}{2}$, nilai $\sin 2x$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Deret geometri tak hingga : $s_\infty=\frac{a}{1-r}$
$1+{}^{3}log(tanx)+({}^{3}log(tanx))^2 + ({}^{3}log(tanx))^3+... \, $ memiliki $a=1\,$ dan $r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{{}^{3}log(tanx)}{1}={}^{3}log(tanx)$
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan :
$\begin{align*} 1+{}^{3}log(tanx)+({}^{3}log(tanx))^2 &+ ({}^{3}log(tanx))^3+...= \frac{2}{3} \\ s_\infty=\frac{a}{1-r}&= \frac{2}{3} \\ \frac{1}{1-{}^{3}log(tanx)}&=\frac{2}{3} \\ 2.(1-{}^{3}log(tanx))&=3 \\ 2.{}^{3}log(tanx)&=-1 \\ {}^{3}log(tanx)&=-\frac{1}{2} \\ tanx&=3^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \sqrt{3} = \frac{1}{tanx} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Buat segitiga:
sbmptn_mat_ipa_5_2014.png
$\clubsuit \, $ Menentukan $sin2x$ :
$\begin{align*} sin2x&=2sinx.cosx \\ &=2. \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} \\ sin2x&=\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{1}{tanx}}{2} \\ sin2x&=\frac{1}{2tanx} \end{align*}$
Jadi, nilai $sin2x=\frac{1}{2tanx}. \heartsuit $
Nomor 12
Misalkan $A(t)$ menyatakan luas daerah di bawah kurva $y=bx^2 , 0\leq x \leq t$. Jika titik $P(x_0,0)$ sehingga $A(x_0):A(1)=1:8$, maka perbandingan luas trapesium $ABPQ:DCPQ=...$
sbmptn_mat_ipa_2_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan $A(t)$:
$\begin{align*} A(t)&=\int_0^t bx^2 dx = \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_0^t = \frac{b}{3} (t^3-0^3) =\frac{b}{3} t^3 \\ t=x_0 \rightarrow A(x_0)&=\frac{b}{3} (x_0)^3 \\ t=1 \rightarrow A(1)&=\frac{b}{3} (1)^3 = \frac{b}{3} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x_0 \, $ dari $A(x_0):A(1)=1:8$
$\begin{align*} \frac{A(x_0)}{A(1)}&=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{b}{3} (x_0)^3}{\frac{b}{3}}=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0^3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0= \frac{1}{2} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik A, Q, dan D dengan menggunakan $y=bx^2$
titik A : $x=-1 \Rightarrow y=b(-1)^2 = b. \,$ Jadi titik A(-1, b)
titik Q : $x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=b\left( \frac{1}{2} \right)^2 = b.\,$ Jadi titik Q(1/2, b/4)
titik D : $x=1 \Rightarrow y=b(1)^2 = b.\,$ Jadi titik D(1, b)
sbmptn_mat_ipa_6_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan luas $ABPQ:DCPQ$
$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{\frac{1}{2}(AB+PQ).BP}{\frac{1}{2}(CD+PQ).CP}=\frac{(b+\frac{b}{4}).\frac{3}{2}}{(b+\frac{b}{4}).\frac{1}{2}} = \frac{3}{1} $
Jadi, perbandingan luas $\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{3}{1}. \, \heartsuit $
Nomor 13
Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{(|x|+1)}} \log (2x+3) < 1 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Definisi harga mutlak : $|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x \, , & \text{untuk} \, x\geq 0 \\ -x \, , & \text{untuk} \, x<0 \end{array} \right.$
$\spadesuit \, {}^{f(x)}log [g(x)]=h(x) \, $ syarat logaritma : $f(x)>0, f(x)\neq 1, g(x)>0$

$\spadesuit \, $ Untuk $x \geq 0 \,$ maka $|x|=x:$
${}^{\frac{1}{(|x|+1)}} log (2x+3) < 1 \Leftrightarrow {}^{\frac{1}{(x+1)}} log (2x+3) < 1$
Syarat logaritma:
$(2x+3)>0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \, \text{...HP}_1 $
$\frac{1}{(x+1)} > 0 \Rightarrow x>-1 \, \text{...HP}_2$
$\frac{1}{(x+1)} \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 \, \text{...HP}_3$
untuk $x>0$ , maka $0<\frac{1}{(x+1)}<1 \,$ sehingga tanda pertidaksamaan dibalik :
$\begin{align*} {}^{\frac{1}{(x+1)}} log (2x+3) &< 1 \\ {}^{\frac{1}{(x+1)}} log (2x+3) &< {}^{\frac{1}{(x+1)}} log\frac{1}{(x+1)} \\ (2x+3) &> \frac{1}{(x+1)} \\ \frac{(2x+3)(x+1)-1}{(x+1)} &>0 \\ \frac{2x^2+5x+2}{(x+1)} &>0 \\ \frac{(2x+1)(x+2)}{(x+1)} &>0\\ x=-2, \, x=-1 , \, &\text{atau} \, x=-\frac{1}{2} \end{align*}$
sbmptn_mat_ipa_10_2014.png
$\text{HP}_4 = \{ -2 < x < -1 \, \text{atau} \, x>-\frac{1}{2} \} $
sehingga : $\text{HP}_A = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \cap \text{HP}_3 \cap \text{HP}_4 = \{ x > 0 \}$
$\spadesuit \, $ Untuk $x < 0 \,$ maka $|x|=-x:$
${}^{\frac{1}{(|x|+1)}} log (2x+3) < 1 \Leftrightarrow {}^{\frac{1}{(-x+1)}} log (2x+3) < 1$
Syarat logaritma:
$(2x+3)>0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \, \text{...HP}_1 $
$\frac{1}{(-x+1)} > 0 \Rightarrow x<1 \, \text{...HP}_2$
$\frac{1}{(x+1)} \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 \, \text{...HP}_3$
untuk $x<0$ , maka $0<\frac{1}{(-x+1)}<1 \,$ sehingga tanda pertidaksamaan dibalik :
$\begin{align*} {}^{\frac{1}{(-x+1)}} log (2x+3) &< 1 \\ {}^{\frac{1}{(-x+1)}} log (2x+3) &< {}^{\frac{1}{(-x+1)}} log\frac{1}{(-x+1)} \\ (2x+3) &> \frac{1}{(-x+1)} \\ \frac{(2x+3)(-x+1)-1}{(-x+1)} &>0 \\ \frac{-2x^2-x+2}{(-x+1)} &>0 \\ -2x^2-x+2=0 &\Rightarrow x = \frac{1\pm \sqrt{1+16}}{-4} =\frac{-1 \pm \sqrt{1+16}}{4} \\ -x+1=0 &\Rightarrow x = 1 \end{align*}$
sbmptn_mat_ipa_11_2014.png
$\text{HP}_4 = \{ \frac{-1 - \sqrt{1+16}}{4} < x < \frac{-1 + \sqrt{1+16}}{4} \, \text{atau} \, x>1 \} $
sehingga : $\text{HP}_B = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \cap \text{HP}_3 \cap \text{HP}_4 = \{ -\frac{3}{2}< x < 0 \}$
Jadi, Solusinya : $\text{HP}=\text{HP}_A \cup \text{HP}_B = \{ -\frac{3}{2}< x < 1 \, \text{atau} \, x>0 \} . \heartsuit $

$\spadesuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow {}^{\frac{1}{(|x|+1)}} log (2x+3) &< 1 \\ {}^{\frac{1}{(|1|+1)}} log (2.1+3) &< 1 \\ {}^{\frac{1}{2}} log (5) &< 1 \\ {}^{2^{-1}} log (5) &< 1 \\ -\left( {}^{2} log (5) \right) &< 1 \, \, \text{(benar)} \end{align*}$
yang ada $x=1$ benar, opsi yang salah adalah A dan E.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=-1 \Rightarrow {}^{\frac{1}{(|x|+1)}} log (2x+3) &< 1 \\ {}^{\frac{1}{(|-1|+1)}} log (2.(-1)+3) &< 1 \\ {}^{\frac{1}{2}} log (1) &< 1 \\ 0 &< 1 \, \, \text{(benar)} \end{align*}$
yang ada $x=-1$ benar, opsi yang salah adalah B dan C.
Jadi, opsi yang benar adalah D yaitu $\text{HP}= \{ -\frac{3}{2}< x < 1 \, \text{atau} \, x>0 \} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui $Q(x)$ suatu polinomial. Jika $(xQ(x))^2-6xQ(x)$ dan $Q(x^2-6x)$ berturut-turut memberikan sisa -9 dan 9 apabila masing-masing dibagi $x-1$, maka $Q(x)$ dibagi $x^2+4x-5$ memberikan sisa ...
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
$\spadesuit \, \frac{\left( xQ(x) \right)^2-6xQ(x)}{x-1} \Rightarrow \text{sisa} = -9$
artinya : substitusi $x=1\, $ ke $(xQ(x))^2-6xQ(x)$ hasilnya -9
$\begin{align*} (1.Q(1))^2-6.1.Q(1)&=-9 \\ (Q(1))^2-6Q(1)+9&=0 \\ (Q(1)-3)^2&=0 \\ Q(1)&=3 \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, \frac{Q(x^2-6x)}{x-1} \Rightarrow \text{sisa} = 9$
artinya : substitusi $x=1\, $ ke $Q(x^2-6x)$ hasilnya 9
$\begin{align*} Q(1^2-6.1)&=9 \\ Q(-5)&=9 \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, Q(x) \, $ dibagi dengan $x^2+4x-5$ dengan hasil $h(x)$ dan misalkan sisanya $ax+b$ , serta gunakan pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{align*} Q(x)&=(x^2+4x-5).h(x)+ (ax+b) \\ Q(x)&=(x-1)(x+5).h(x)+ (ax+b) \\ x=1 \Rightarrow Q(1)&=(1-1)(1+5).h(1)+ (a.1+b) \\ &\Leftrightarrow a+b=3 \, \text{...pers(iii)} \\ x=-5 \Rightarrow Q(-5)&=(-5-1)(-5+5).h(-5)+ (a.-5+b) \\ &\Leftrightarrow -5a+b=9 \, \text{...pers(iv)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(iii) dan pers(iv), diperoleh $a=-1 \, $ dan $b=4 \, $.
Jadi, sisanya adalah $ax+b=-x+4 .\, \heartsuit $
Nomor 15
Jika $A$ adalah matriks berukuran 2 x 2 dan $\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] = x^2+5x+8$, maka matriks $A$ yang mungkin adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan matriks $A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \, $:
$\begin{align*} \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2+5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2+5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2+5x+8 \\ ax^2+(b+c)x+d&= x^2+5x+8 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Diperoleh $a=1,d=8, \, $ dan $b+c=5$
Jadi, kemungkinan matriks $A$: $\, \, A=\left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ 8 & 8 \end{matrix} \right]\, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 554 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diberikan limas $T.ABC$. Misalkan $u=\vec{TA}, v=\vec{TB}, w=\vec{TC}$. Jika $P$ titik berat $\Delta ABC$, maka $\vec{TP}=...$
sbmptn_mat_ipa_2014.png
$\spadesuit \, $ Titik P adalah titik berat, sehingga:
$\vec{AP}=\frac{2}{3}\vec{AD} \, $ dan $\vec{BD} : \vec{DC} = 1 : 1$
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor $\vec{TD}$ dari gambar berikut:
sbmptn_mat_ipa_3_2014.png
$\vec{TD}=\frac{1.\vec{v}+1.\vec{w}}{1+1} = \frac{\vec{v}+\vec{w}}{2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor $\vec{AD}$ dan $\vec{AP}$ :
$\begin{align*} \vec{AD}&=\vec{AT}+\vec{TD} \\ &=-\vec{u}+ \left( \frac{\vec{v}+\vec{w}}{2} \right) \\ \vec{AD}&= \frac{\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}}{2} \\ \vec{AP}&=\frac{2}{3}\vec{AD} \\ \vec{AP}&=\frac{2}{3}.\left( \frac{\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}}{2} \right) \\ \vec{AP}&=\frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}) \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor $\vec{TP}$ :
$\begin{align*} \vec{TP}&=\vec{TA}+\vec{AP} \\ &=\vec{u}+ \frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}) \\ &=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \end{align*}$
Jadi, $\vec{TP}=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}). \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis $4x+y=4$. Titik puncak parabola tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan persamaan fungsinya , $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Dengan titik puncak $(x_p,y_p) \, \,$ : $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=f(x_p)$ , serta $f^\prime(x)=2ax+b$.
$\clubsuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
Nomor 8
Semua nilai $a$ sehingga $f(x)=log(4^x+a.2^x+a+3)$ selalu bernilai real adalah ...
$\spadesuit \, $ Syarat kogaritma : ${}^{a}log{b} \, $ syaratnya $a>0, a\neq 1, b>0$.
$\spadesuit \, $ Bentuk $ax^2+bx+c>0 $ adalah definit positif, syaratnya : $a>0\,$ dan $D<0$.
$\spadesuit \, \, f(x)=log(4^x+a.2^x+a+3) \, $ syaratnya ;
$4^x+a.2^x+a+3>0 \Leftrightarrow (2^x)^2+a.2^x+(a+3)>0$ $ \Leftrightarrow (p)^2+ap+(a+3)>0 \, \, \,$ dengan $\, p=2^x>0$
$\spadesuit \, $ Bentuk $(p)^2+ap+(a+3)>0 \, $ termasuk definit positif dengan $a=1,b=a,c=a+3 \, ,$ syaratnya:
$\begin{align*} a&=1>0 \, \, \text{(benar)}\\ D&<0 \Leftrightarrow b^2-4ac<0 \\ a^2-4.1.(a+3)&<0 \\ a^2-4a-12&<0 \\ (a+2)(a-6)&<0 \\ a=-2 \, & \text{atau} \, a=6 \end{align*}$
sbmptn_mat_ipa_4_2014.png
$\text{HP}_1=\{ -2< a < 6 \} $
$\spadesuit \, $ Nilai $p=2^x \, $ selalu positif , sehingga untuk $a$ positif maka nilai $(p)^2+ap+(a+3) \, \, $ juga positif . $\text{HP}_2=\{ a \geq 0 \} $
Jadi, $\text{HP}=\text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 = \{ a > -2 \}. \heartsuit$
Nomor 9
Misalkan diberikan titik A(1, 0) dan B(0, 1) . Jika P bersifat $|\vec{PA}|:|\vec{PB}|=\sqrt{m}:\sqrt{n}$ , maka P terletak pada lingkaran dengan persamaan ...
$\clubsuit \, $ Misalkan titik $P(x,y)$, panjang $\vec{PA}$ dan $\vec{PB}$ :
$|\vec{PA}|=\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$
$|\vec{PB}|=\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2}=\sqrt{x^2+(y-1)^2}$
$\clubsuit \, $ Kuadratkan bentuk $|\vec{PA}|:|\vec{PB}|=\sqrt{m}:\sqrt{n}$
$\begin{align*} |\vec{PA}|:|\vec{PB}|&=\sqrt{m}:\sqrt{n} \\ \left( \frac{|\vec{PA}|}{|\vec{PB}|} \right)^2 &=\left( \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} \right)^2 \\ \left( \frac{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \right)^2 &=\left( \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} \right)^2 \\ \left( \frac{(x-1)^2+y^2}{x^2+(y-1)^2} \right) &=\left( \frac{m}{n} \right) \\ n[x^2+y^2+1-2x]&=m[x^2+y^2+1-2y] \\ n(x^2+y^2+1)-n.2x&=m(x^2+y^2+1)-m.2y \\ n(x^2+y^2+1)-m(x^2+y^2+1)&=2nx-2my \\ (n-m)(x^2+y^2+1)&=2(nx-my) \end{align*}$
Jadi, persamaan lingkarannya: $(n-m)(x^2+y^2+1)=2(nx-my) \, \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui $a , a+b $, dan $a+5b$ merupakan 3 suku pertama suatu barisan geometri. Jika $a, a+b, x, y$, dan $z$ merupakan 5 suku pertama suatu barisan aritmetika dan $x+y+z=-15$, maka suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri (rasio sama): $a, a+b, a+5b$
$\frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2} \Leftrightarrow (u_2)^2=u_1.u_3 \Leftrightarrow (a+b)^2=a.(a+5b)$
$ \Leftrightarrow b^2-3ab=0 \Leftrightarrow b(b-3a)=0 $
$\Leftrightarrow b=0 \, \text{(tidak memenuhi)} \, \text{atau} \, b=3a \, \text{...pers(i)} \, \text{(memenuhi)}$
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika (beda/selisih sama): $a, a+b, x, y$, dan $z$
$y-x=z-y \Leftrightarrow x+z=2y \, \, \text{...pers(ii)}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke $x+y+z=-15$
$x+y+z=-15 \Leftrightarrow (x+z)+y=-15 \Leftrightarrow 2y+y=-15 \Leftrightarrow y=-5$
$\spadesuit \, y \, $ adalah suku ke-4 pada barisan aritmatika, sehingga $u_4=-5$
$u_4=-5 \Leftrightarrow a+3b=-5 \Leftrightarrow a+3(3a)=-5 \Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}$
Pers(i) : $b=3a \Leftrightarrow b=3.-\frac{1}{2} \Leftrightarrow b=-\frac{3}{2}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $u_{10} \, $ pada barisan aritmatika :
$\begin{align*} u_{10}&=a+9b \\ &=-\frac{1}{2} + 9. \left( -\frac{3}{2} \right) \\ u_{10}&= -\frac{28}{2} = -14 \end{align*}$
Jadi, suku ke-10 : $u_{10}=-14. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 554 tahun 2014


Nomor 1
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\clubsuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\clubsuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
$\clubsuit \, $ Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika $C(t)=\frac{1}{t} \int \limits_0^t \left( f(s)+g(s) \right) ds$ dan $\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{C(t_0+a)-C(t_0)}{a}=0$, maka $C(t_0)=...$
$\spadesuit \, $ Misal hasil integral $f(s)$ adalah $F(s)$ dan $g(s)$ adalah $G(s)$.
$\begin{align} C(t)&=\frac{1}{t} \int \limits_0^t \left( f(s)+g(s) \right) ds \\ C(t)&=\frac{1}{t} \left[ F(s)+G(s) \right]_0^t \\ C(t)&=\frac{1}{t} \left[ F(t)+G(t)-F(0)-G(0) \right] \\ t.C(t)&=\left[ F(t)+G(t)-F(0)-G(0) \right] \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, F(0)$ dan $G(0)$ adalah konstanta, sehingga turunannya sama dengan nol, dan turunan $F(t),G(t)$ berturut-turut adalah $f(t)$ dan $g(t)$
$\spadesuit \, $ Turunan pers(i) terhadap $t$:
$\, \, \, 1.C(t)+t.C^\prime(t)=f(t)+g(t)$ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan limit dengan cara diturunkan terhadap $a$:
$\begin{align} \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{C(t_0+a)-C(t_0)}{a}&=0 \\ \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{C^\prime(t_0+a)}{1}&=0 \\ C^\prime(t_0+0) &= 0 \\ C^\prime(t_0) &= 0 \, \text{....pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Gunakan pers(iii) dan substitusikan $t=t_0$ ke pers (ii) :
$\begin{align} 1.C(t)+t.C^\prime(t)&=f(t)+g(t) \\ C(t_0)+t_0.C^\prime(t_0)&=f(t_0)+g(t_0) \\ C(t_0)+t_0.0&=f(t_0)+g(t_0) \\ C(t_0)&=f(t_0)+g(t_0) \end{align}$
Jadi, $C(t_0)=f(t_0)+g(t_0) . \, \heartsuit $
Nomor 3
Banyak cara menyusun 4 buku matematika, 3 buku fisika, dan 2 buku kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah...
$\clubsuit \, $ Ada 3 jenis buku (mat, fis, kim) yang akan disusun dengan susunan sebanyak $3!$ cara = 6 cara
$\clubsuit \, $ Masing-masing buku berkelompok dengan penyusunan :
4 mat $\Rightarrow \, $ 4! cara = 24 cara
3 fis $\Rightarrow \, $ 3! cara = 6 cara
2 kim $\Rightarrow \, $ 2! cara = 2 cara
$\clubsuit \, $ Jadi total penyusunan buku-buku tersebut :
3! . (4! . 3!. 2!) = 6 . 24. 6. 2 = 1728 cara. $\heartsuit $
Nomor 4
Jika $3sinx+4cosy=5$, maka nilai maksimum $3cosx+4siny$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Kuadratkan persamaan $3sinx+4cosy=5$:
$\begin{align} (3sinx+4cosy)^2&=5^2 \\ 9sin^2x+16cos^2y+24sinxcosy&=25 \, \, (sin^2z+cos^2z=1 )\\ 9(1-cos^2x)+16(1-sin^2y)+24sinxcosy&=25 \\ 9-9cos^2x+16-16sin^2y+24sinxcosy&=25 \\ 9cos^2x+16sin^2y&=24sinxcosy \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Misalkan $f=3cosx+4siny$, dikuadratkan:
$\begin{align} f^2&=(3cosx+4siny )^2 \\ f^2&=9cos^2x+16sin^2y+24cosxsiny \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers (i) ke pers(ii) :
$\begin{align} f^2&=9cos^2x+16sin^2y+24cosxsiny \\ &=24sinxcosy + 24cosxsiny \\ &=24(sinxcosy + cosxsiny) \\ f^2&=24sin(x+y) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Nilai maksimum dari , $y=Asinf(x) \Rightarrow y_{max}=|A|$ :
$\begin{align} f^2&=24sin(x+y) \\ f^2_{max}&=|24| \\ f^2_{max}&=24 \\ f_{max}&=\sqrt{24} \\ f_{max}&=2\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, nilai maksimum dari $3cosx+4siny=2\sqrt{6}. \heartsuit $
Nomor 5
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $3p$. Titik-titik P, Q, dan R masing-masing pada FB, FG, dan AD sehingga $BP=GQ=DR=p$. Misalkan $\beta$ adalah irisan bidang yang melalui P, Q, dan R. Luas alas yang berada di bawah bidang $\beta$ adalah ... $p^2$.
$\clubsuit \, $ Gambar bidang irisan (bidang $\beta$):
sbmptn_mat_ipa_7_2014.png sbmptn_mat_ipa_8_2014.png
$\clubsuit \, $ Bidang alas di bawah bidang $\beta$
sbmptn_mat_ipa_9_2014.png
$\begin{align*} L_{\text{alas}}&=L_{ABCD}-(L_{AKR}+L_{LCM}) \\ &= (3p)^2-(\frac{1}{2}.2p.2p+\frac{1}{2}.p.p) \\ L_{\text{alas}}&=9p^2-\frac{5}{2}p^2 = \frac{13}{2}p^2 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Sehingga:
$\frac{L_{\text{alas}}}{L_{ABCD}}=\frac{\frac{13}{2}p^2}{9p^2}=\frac{13}{18}$
Jadi, $ L_{\text{alas}} = \frac{13}{18}L_{ABCD}. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15