Soal yang Akan Dibahas
Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 10, dan jumlah suku-suku bernomor
ganjil adalah 6. Suku ke-2 deret tersebut adalah ...
A). $ \frac{20}{3} \, $ B). $ \frac{20}{6} \, $ C). $ \frac{20}{9} \, $ D). $ \frac{20}{11} \, $ E). $ \frac{20}{13} \, $
A). $ \frac{20}{3} \, $ B). $ \frac{20}{6} \, $ C). $ \frac{20}{9} \, $ D). $ \frac{20}{11} \, $ E). $ \frac{20}{13} \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ \, \, \, \, \, U_n = ar^{n-1} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Jumlah deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1-r} $
*). Jumlah deret geometri tak hingga bernomor ganjil :
$ S_{\infty \, \text{ganjil}} = \frac{a}{1-r^2} $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ \, \, \, \, \, U_n = ar^{n-1} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Jumlah deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1-r} $
*). Jumlah deret geometri tak hingga bernomor ganjil :
$ S_{\infty \, \text{ganjil}} = \frac{a}{1-r^2} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ S_\infty = 10 \, $ dan $ S_{\infty \, \text{ganjil}} = 6 $
-). Menyusun persamaan pertama :
$\begin{align} S_\infty & = 10 \\ \frac{a}{1-r} & = 10 \\ a & = 10(1-r) \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Menyusun persamaan kedua :
$\begin{align} S_{\infty \, \text{ganjil}} & = 6 \\ \frac{a}{1-r^2} & = 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} \frac{a}{1-r^2} & = 6 \\ \frac{10(1-r)}{1-r^2} & = 6 \\ \frac{10(1-r)}{(1-r)(1+r)} & = 6 \\ \frac{10 }{ (1+r)} & = 6 \\ 10 & = 6(1+r) \\ 10 & = 6 + 6r \\ 4 & = 6r \\ r & = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{align} $
Pers(i): $ a = 10 (1-r) = 10. (1 - \frac{2}{3}) = 10 . \frac{1}{3} = \frac{10}{3} $
*). Menentukan nilai $ U_2 $ :
$\begin{align} U_2 & = ar = \frac{10}{3} . \frac{2}{3} = \frac{20}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ U_2 = \frac{20}{9} . \, \heartsuit $
*). Diketahui $ S_\infty = 10 \, $ dan $ S_{\infty \, \text{ganjil}} = 6 $
-). Menyusun persamaan pertama :
$\begin{align} S_\infty & = 10 \\ \frac{a}{1-r} & = 10 \\ a & = 10(1-r) \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Menyusun persamaan kedua :
$\begin{align} S_{\infty \, \text{ganjil}} & = 6 \\ \frac{a}{1-r^2} & = 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} \frac{a}{1-r^2} & = 6 \\ \frac{10(1-r)}{1-r^2} & = 6 \\ \frac{10(1-r)}{(1-r)(1+r)} & = 6 \\ \frac{10 }{ (1+r)} & = 6 \\ 10 & = 6(1+r) \\ 10 & = 6 + 6r \\ 4 & = 6r \\ r & = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{align} $
Pers(i): $ a = 10 (1-r) = 10. (1 - \frac{2}{3}) = 10 . \frac{1}{3} = \frac{10}{3} $
*). Menentukan nilai $ U_2 $ :
$\begin{align} U_2 & = ar = \frac{10}{3} . \frac{2}{3} = \frac{20}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ U_2 = \frac{20}{9} . \, \heartsuit $