Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 10, dan jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah 6. Suku ke-2 deret tersebut adalah ...
A). $ \frac{20}{3} \, $ B). $ \frac{20}{6} \, $ C). $ \frac{20}{9} \, $ D). $ \frac{20}{11} \, $ E). $ \frac{20}{13} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ \, \, \, \, \, U_n = ar^{n-1} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Jumlah deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1-r} $
*). Jumlah deret geometri tak hingga bernomor ganjil :
$ S_{\infty \, \text{ganjil}} = \frac{a}{1-r^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ S_\infty = 10 \, $ dan $ S_{\infty \, \text{ganjil}} = 6 $
-). Menyusun persamaan pertama :
$\begin{align} S_\infty & = 10 \\ \frac{a}{1-r} & = 10 \\ a & = 10(1-r) \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Menyusun persamaan kedua :
$\begin{align} S_{\infty \, \text{ganjil}} & = 6 \\ \frac{a}{1-r^2} & = 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} \frac{a}{1-r^2} & = 6 \\ \frac{10(1-r)}{1-r^2} & = 6 \\ \frac{10(1-r)}{(1-r)(1+r)} & = 6 \\ \frac{10 }{ (1+r)} & = 6 \\ 10 & = 6(1+r) \\ 10 & = 6 + 6r \\ 4 & = 6r \\ r & = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{align} $
Pers(i): $ a = 10 (1-r) = 10. (1 - \frac{2}{3}) = 10 . \frac{1}{3} = \frac{10}{3} $
*). Menentukan nilai $ U_2 $ :
$\begin{align} U_2 & = ar = \frac{10}{3} . \frac{2}{3} = \frac{20}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ U_2 = \frac{20}{9} . \, \heartsuit $

Pembahasan Teorema Sisa UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Suku banyak $ P(x) = ax^5+x^4+bx^3+x^2+cx+d $ berturut-turut bersisa $ 3 $ dan $ -7 $ ketika dibagi $ x+1 $ dan $ x-1 $. Sisa pembagian $ P(x) $ oleh $ x $ adalah ...
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema SISA :
Misalkan ada suku banyak $ f(x) $ jika dibagi $ x + a $ bersisa b, maka dapat ditulis $ f(-a) = b $. (Substitusikan akar dari pembaginya dan hasilnya adalah sisanya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui suku banyak $ P(x) = ax^5+x^4+bx^3+x^2+cx+d $ berturut-turut bersisa $ 3 $ dan $ -7 $ ketika dibagi $ x+1 $ dan $ x-1 $ , dapat kita tulis dan susun persamaannya :
-). Pertama, $ P(x) $ dibagi $ (x+1) $ bersisa $ 3 $, artinya :
$\begin{align} P(-1) & = 3 \\ a.(-1)^5+(-1)^4+b.(-1)^3+(-1)^2+c.(-1)+d & = 3 \\ a.(-1) +1+b.(-1) +1 +c.(-1)+d & = 3 \\ -a + 1 - b +1 -c+d & = 3 \\ -a - b -c+d & = 1 \end{align} $
-). Kedua, $ P(x) $ dibagi $ (x-1) $ bersisa $ -7 $, artinya :
$\begin{align} P(1) & = -7 \\ a.(1)^5+(1)^4+b.(1)^3+(1)^2+c.(1)+d & = -7 \\ a +1+b +1 +c +d & = -7 \\ a + b + c+d & = -9 \end{align} $
*). Jumlahkan kedua persamaan yang kita peroleh :
$\begin{array}{cc} -a - b -c+d = 1 & \\ a + b + c+d = -9 & + \\ \hline 2d = -8 & \\ d = -4 & \end{array} $
*). Sisa pembagian $ P(x) $ oleh $ x $ yaitu sisa $ = P(0) $ :
$\begin{align} \text{Sisa } & = P(0) \\ & = a.0^5+0^4+b.0^3+0^2+c.0+d \\ & = d \\ & = -4 \end{align} $
Jadi, sisa $ P(x) $ dibagi $ x $ adalah $ -4 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan suku banyak $ p(x)= ax^3 + bx^2 + a $ dengan $ a \neq 0 $. Jika $ x^2+nx+1 $ merupakan faktor $ p(x) $ , maka $ n = ... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan suku banyak : suku sejenis nilainya sama
Misalkan : $ ax^3 + bx^2 + cx + d = px^3 + qx^2+rx + t $
maka $ a = p , \, b = q, \, c = r \, $ dan $ d = t $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui suku banyak $ p(x)= ax^3 + bx^2 + a $ dengan $ a \neq 0 $ memiliki faktor $ x^2+nx+1 $ , sehingga faktor yang lainnya adalah $ (ax+a) $ agar jika dikalikan menghasilkan $ ax^3 $ dan $ a $. Berikut bentuk pemfaktorannya :
$\begin{align} ax^3 + bx^2 + a & = (x^2 + nx + 1)(ax+a) \\ ax^3 + bx^2 + a & = ax^3 + ax^2 + nax^2 + nax + ax + a \\ ax^3 + bx^2 + 0x + a & = ax^3 + (a + na)x^2 + ( na + a)x + a \end{align} $
-). Dari kesamaan di atas, maka suku-suku yang sejenis nilainya sama, misalkan kita pilih suku yang pangkat satu yaitu :
$\begin{align} (na + a)x & = 0x \\ na + a & = 0 \\ na & = -a \\ n & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan suku banyak $ p(x)= ax^3 + bx^2 + a $ dengan $ a \neq 0 $. Jika $ x^2+nx+1 $ merupakan faktor $ p(x) $ , maka $ n = ... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku banyak $ f(x) $ memiliki faktor $ g(x) $ , maka $ f(x) $ habis dibagi oleh $ g(x) $ atau sisanya nol.
*). Jika pembaginya berderajat dua , maka sisa pembagianya akan berderajat satu.
Berderajat satu artinya pangkat tertingginya satu, contoh : $ ax + b $
Berderajat dua artinya pangkat tertingginya dua, contoh : $ ax^2 + bx + c $
*). Salah satu cara pembagian pada suku banyak adalah "Cara Bersusun".
*). Persamaan suku banyak : suku sejenis nilainya sama
Misalkan : $ ax + b = px + q $ maka $ a = p $ dan $ b = q $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui suku banyak $ p(x)= ax^3 + bx^2 + a $ dengan $ a \neq 0 $ dan $ x^2+nx+1 $ merupakan faktor dari $ p(x) $, sehingga sisa pembagiannya adalah nol. Berikut pembagian cara bersusun :
 

*). Sisa pembagiannya adalah $ 0 $ , namun karena sisa pembagiannya berderajat satu maka sisanya dapat kita tulis menjadi sisa $ = 0x + 0 $. Sehingga kita peroleh :
Sisa pembagiannya $ = [-a-n(b-na)]x + [a-(b-na)] $ dan sisanya juga harus $ 0x + 0 $, artinya berlaku kesamaan :
$ [-a-n(b-na)]x + [a-(b-na)] = 0x + 0 $
Sehingga :
$\begin{align} [a-(b-na)] & = 0 \rightarrow (b-na) = a \\ [-a-n(b-na)] & = 0 \\ [-a-n(a)] & = 0 \\ -na & = a \\ n & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = -1 . \, \heartsuit $