Pembahasan Komposisi Fungsi Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x+1) = 2x $ dan $ (f \circ g)(x+1) = 2x^2+4x-2 $ , maka $ g(x) = ..... $
A). $ x^2 - 1 \, $ B). $ x^2 - 2 \, $ C). $ x^2 + 2x \, $
D). $ x^2+2x-1 \, $ E). $ x^2 + 2x - 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi fungsi : $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
(Fungsi kanan masuk ke fungsi kirinya)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = x + 1 \rightarrow x = p -1 $ :
-). Fungsi pertama : $ f(x+1) = 2x $
$ \begin{align} f(x+1) & = 2x \\ f(p) & = 2(p - 1) \\ f(p) & = 2 p - 2 \end{align} $
atau $ f(x) = 2x - 2 $.
-). Fungsi kedua : $ (f \circ g)(x+1) = 2x^2+4x-2 $
$ \begin{align} (f \circ g)(x+1) & = 2x^2+4x-2 \\ (f \circ g)(p) & = 2(p-1)^2+4(p-1)-2 \\ (f \circ g)(p) & = 2p^2 - 4 \end{align} $
atau $ (f \circ g)(x) = 2x^2 - 4 $
*). Menentukan $ g(x) $ :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = 2x^2 - 4 \\ f(g(x)) & = 2x^2 - 4 \\ 2g(x) - 2 & = 2x^2 - 4 \\ 2g(x) & = 2x^2 - 2 \\ g(x) & = x^2 - 1 \end{align} $
Jadi, fungsi $ g(x) = x^2 - 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{3\cos x + 1}{\cos x} \geq 5 $ dengan $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ adalah .....
A). $ -\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{3} \, $
B). $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \, $
C). $ \frac{\pi}{3} \leq x < \frac{\pi}{2} \, $
D). $ -\frac{\pi}{2} < x \leq - \frac{\pi}{3} \, $ atau $ \frac{\pi}{3} \leq x < \frac{\pi}{2} \, $
E). $ x \leq -\frac{\pi}{3} \, $ atau $ x \geq \frac{\pi}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar pembilang dan penyebutnya :
$ \begin{align} \frac{3\cos x + 1}{\cos x} & \geq 5 \\ \frac{3\cos x + 1}{\cos x} - 5 & \geq 0 \\ \frac{3\cos x + 1}{\cos x} - \frac{5\cos x}{\cos x} & \geq 0 \\ \frac{-2\cos x + 1}{\cos x} & \geq 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
Pembilang :
$-2\cos x + 1 = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \rightarrow x = -\frac{\pi}{3} , \frac{\pi}{3} $
Penyebutnya :
$ \cos x = 0 \rightarrow x = -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} $.
Garis bilangannya :
 

*). Karena yang diminta $ \geq 0 $ , maka solusinya adalah daerah positif.
HP $ = \{ -\frac{\pi}{2} < x \leq \frac{\pi}{3} \vee \frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2} \} $ .
Jadi, HP $ = \{ -\frac{\pi}{2} < x \leq \frac{\pi}{3} \vee \frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Bangun Datar Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Dari titik B ditarik garis ke sisi AC sehingga $ AD = DC $. Jika luas segitiga ABC $ = 2p^2 $ , maka $ BD = ..... $
A). $ \frac{p}{2} \, $ B). $ \frac{p}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ p\sqrt{2} \, $ D). $ 2p \, $ E). $ 2p\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga :
Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{ alas } \times \text{ tinggi } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena segitiga ABC siku-siku sama kaki, maka $ AB = BC $.
*). Misalkan $ AB = BC = x $ , dengan pythagoras pada segitiga ABC kita peroleh $ AC = x\sqrt{2} $.
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = 2p^2 \\ \frac{1}{2}.AB.BC & = 2p^2 \\ AB.BC & = 4p^2 \\ x . x & = 4p^2 \\ x^2 & = 4p^2 \\ x & = 2p \end{align} $
Sehingga $ AC = x\sqrt{2} = 2p\sqrt{2} $
*). Menentukan BD :
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = 2p^2 \\ \frac{1}{2}.AC.BD & = 2p^2 \\ \frac{1}{2}.2p\sqrt{2}.BD & = 2p^2 \\ p\sqrt{2}.BD & = 2p^2 \\ BD & = \frac{ 2p^2}{p\sqrt{2}} \\ BD & = p\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang BD $ = p\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A =\left( \begin{matrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{matrix} \right) $
Jika $ B^T $ adalah transpos dari B, maka nilai $ c $ yang memenuhi $ A = 2B^T $ , adalah .... cm.
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Transpose matriks : baris jadi kolom (atau sebaliknya).
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
*). Kesamaan dua matriks : unsur seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan transpose matriks B :
$ B = \left( \begin{matrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{matrix} \right) \rightarrow B^T = B = \left( \begin{matrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{matrix} \right) $
*). Menyusun persamaan :
$ \begin{align} A & = 2B^T \\ \left( \begin{matrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{matrix} \right) & = 2\left( \begin{matrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4c-12b & 2a \\ 4a+2 & 2b+14 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh :
$ 2a = 4 \rightarrow a = 2 $
$ 2b = 4a + 2 \rightarrow 2b = 4.2 + 2 \rightarrow b = 5 $
$ 3c = 2b + 14 \rightarrow 3c = 2.5 + 14 \rightarrow c = 8 $.
Jadi, nilai $ c = 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Pecahan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sistem persamaan :
$ \begin{align} y + \frac{2}{x+z} & = 4 \\ 5y + \frac{18}{2x+y+z} & = 18 \\ \frac{8}{x+z}-\frac{6}{2x+y+z} & = 3 \end{align} $
Nilai dari $ y + \sqrt{x^2-2xz+z^2} \, $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu bentuk sistem persamaan, kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita misalkan : $ p = \frac{1}{x + z} $ dan $ q = \frac{1}{2x + y + z} $. Sistem persamaannya menjadi :
$ \begin{align} y + 2p & = 4 \rightarrow p = \frac{4-y}{2} \\ 5y + 18q & = 18 \rightarrow q = \frac{18 - 5y}{18} \\ 8p-6q & = 3 \end{align} $
*). Substitusi pers(i) dan pers(ii) ke pers(iii) :
$ \begin{align} 8p-6q & = 3 \\ 8.\frac{4-y}{2}-6.\frac{18 - 5y}{18} & = 3 \\ (16 - 4y) - \frac{18 - 5y}{3} & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ (48 - 12y) - (18 - 5y) & = 9 \\ -7y & = -21 \\ y & = 3 \end{align} $
*). Mengubah pers(ii) dan pers(i) :
pers(i):
$ p = \frac{4-y}{2} \rightarrow \frac{1}{x + z} = \frac{4-3}{2} \rightarrow \frac{1}{x + z} = \frac{1}{2} \rightarrow x + z = 2 $
Pers(ii) :
$ q = \frac{18 - 5y}{18} \rightarrow \frac{1}{2x + y + z} = \frac{18 - 5.3}{18} \rightarrow \frac{1}{2x + 3 + z} = \frac{1}{6} $
$ \rightarrow 2x + 3 + z = 6 \rightarrow 2x + z = 3 $
*). Selesaikan bentuk $ x + z = 2 $ dan $ 2x + z = 3 $, kita peroleh nilai $ x = 1 $ dan $ z = 1 $.
*). Menentukan nilai $ y + \sqrt{x^2-2xz+z^2} $ :
$ y + \sqrt{x^2-2xz+z^2} = 3 + \sqrt{1^2-2.1.1+1^2} = 3 + 0 = 3 $
Jadi, nilai $ y + \sqrt{x^2-2xz+z^2} = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Penyusunan Huruf Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Dari huruf S, I, M, A, dan K dapat dibuat 120 "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIMAK" akan berada pada urutan ke- .....
A). $ 105 \, $ B). $ 106 \, $ C). $ 107 \, $ D). $ 115 \, $ E). $ 116 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kaidah pencacahan aturan perkalian :
Misalkan ada $ n $ objek berbeda yang akan ditempatkan pada $ n $ kotak, maka total penyusunannya ada $ n! $ cara.
Keterangan :
$ n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 $
Contoh :
$ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 \, $ dan $ 4! = 4.3.2.1 = 24 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Penyusunan secara alfabetikal artinya huruf yang paling depan (paling kiri) harus mengikuti urutan huruf pada abjad A sampai Z.
*). Penyusunan kata yang terbentuk dari huruf S, I, M, A, dan K yang diurut secara alfabetikal akan dimulai dari huruf A didepannya . Nah kita diminta menentukan letak kata "SIMAK" akan berada pada urutan keberapa?, mari kita urutkan susunan katanya berikut ini :
-). Kita tentukan huruf yang paling depan terlebih dahulu.
-). untuk posisi berikutnya kita buatkan kotak yang akan diisi oleh huruf tersisa yang belum terpakai.
-). Yang kita hitung adalah banyak cara pengisian huruf yang tersisa pada kotak yang tersedia. Berikut kemungkinannya :
$A \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & & \\ \hline \end{array} = 4! = 24 $
$I \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & & \\ \hline \end{array} = 4! = 24 $
$K \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & & \\ \hline \end{array} = 4! = 24 $
$M \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & & \\ \hline \end{array} = 4! = 24 $
$SA \begin{array}{|c|c|c| } \hline & & \\ \hline \end{array} = 3! = 6 $
$SIA \begin{array}{|c|c| } \hline & \\ \hline \end{array} = 2! = 2 $
$SIK \begin{array}{|c|c| } \hline & \\ \hline \end{array} = 2! = 2 $
$ SIMAK = 1 $
Artinya kata SIMAK terletak pada urutan :
$ 24 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 2 + 1 = 107 $ .
Jadi, kata "SIMAK" ada pada urutan ke $ \, 107 . \, \heartsuit $

Keterangan :
Berikut sedikit penjelasan salah satunya :
Bentuk $A \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & & \\ \hline \end{array} = 4! = 24 \, $ artinya kita meletakkan huruf A pada bagian pertama sehingga tersisa 4 kotak yang harus kita isi dengan 4 huruf yang tersisa yaitu S, I, M, dan K. Kita susun secara alfabetikal sebagai berikut :
AIKMS, AIKSM, AIMKS, AIMSK, AISKM, AISMK
AKIMS, AKISM, AKMIS, AKMSI, AKSIM, AKSMI
AMIKS, AMISK, AMKIS, AMKSI, AMSIK, AMSKI
ASIKM, ASIMK, ASKMI, ASKIM, ASMIK, ASMKI
totalnya ada 24 susunan kata jika diawali dengan huruf A. Misalkan kita ditanya, kata "AKISM" ada pada urutan ke berapa? jawabannya ada pada urutan ke-8. Silahkan coba untuk susunan lainnya. Kira-kira seperti itu penjelasan cara penyusunannya.

Pembahasan Pertidaksamaan Pecahan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
$ \frac{3}{x^2-3x+2} < \frac{5}{x^2-4x+3} $ , benar untuk .....
A). $ x > \frac{1}{2} \, $ B). $ x > 2 \, $ C). $ x > 3 \, $
D). $ \frac{1}{2} < x < 3 \, $ E). $ 2 < x < 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar pembilang dan penyebutnya :
$ \begin{align} \frac{3}{x^2-3x+2} & < \frac{5}{x^2-4x+3} \\ \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{5}{(x-1)(x-3)} & < 0 \\ \frac{3(x-3) - 5(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} & < 0 \\ \frac{-2x + 1}{(x-1)(x-2)(x-3)} & < 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
Pembilang : $ -2x + 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} $
Penyebutnya :
$ (x-1)(x-2)(x-3) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = 2 \vee x = 3 $.
Garis bilangannya :


*). Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya adalah daerah negatif.
HP $ = \{ x < \frac{1}{2} \vee 1 < x < 2 \vee x > 3 \} $ .
Jadi, yang ada dan cocok pada pilihannya adalah $ \{ x > 3 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ x $ dan $ y $ dari solusi $ (x,y) $ yang memenuhi sistem persamaan
$ \begin{align} x - y & = a \\ x^2 + 5x - y & = 2 \end{align} $
adalah ......
A). $ -12 \, $ B). $ -10 \, $ C). $ -6 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat Sistem persamaan linear dan kuadrat mempunyai penyelesaian yaitu : $ D \geq 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ .
Catatan :
Jika kita gunakan syarat $ D \geq 0 $ , maka sistem persamaannya akan memiliki banyak penyelesaian tak hingga. Sehingga kita pilih salah satunya yaitu syarat $ D = 0 $ yang artinya kita berharap hanya ada satu penyelesaian saja pada sistem persamaan tersebut.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \begin{align} x - y & = a \\ x^2 + 5x - y & = 2 \end{align} $
persamaan (i) : $ x - y = a \rightarrow y = x - a $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) dan syarat $ D = 0 $ :
$ \begin{align} x^2 + 5x - (x - a) & = 2 \\ x^2 + 4x + (a - 2) & = 0 \\ \text{Syarat } : D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ 4^2 - 4.1.(a-2) & = 0 \\ 16 - 4a + 8 & = 0 \\ a & = 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} x^2 + 4x + (a - 2) & = 0 \\ x^2 + 4x + (6 - 2) & = 0 \\ x^2 + 4x + 4 & = 0 \\ (x + 2)^2 & = 0 \\ x & = -2 \end{align} $
sehingga nilai $ y $ :
$ y = x - a = -2 - 6 = -8 $.
Nilai $ x + y = -2 + (-8) = -10 $.
Jadi, nilai $ x + y = -10 . \, \heartsuit $