Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ a, b $ , dan $ c $ adalah bilangan real dimana $ \frac{a}{b} > 1 $ dan $ \frac{a}{c} < -1 $ . Pernyataan berikut yang BENAR adalah .....
A). $ a + b - c > 0 \, $
B). $ a > b \, $
C). $ (a-c)(b-c) > 0 \, $
D). $ a - b + c > 0 \, $
E). $ abc > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan pecahan :
Misalkan terdapat bilangan real $ A $ dan $ B $ :
(i). Jika $ \frac{A}{B} > 0 $ , maka ($ A > 0 $ dan $ B > 0 $) atau ($A < 0 $ dan $ B < 0$).
(ii). Jika $ \frac{A}{B} < 0 $ , maka ($ A > 0 $ dan $ B < 0 $) atau ($A < 0 $ dan $ B > 0$).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Modifikasi yang diketahui :
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a}{b} > 1 \rightarrow \frac{a}{b} - 1 > 0 \rightarrow \frac{a-b}{b} > 0 $
-). Pertidaksamaan kedua :
$ \frac{a}{c} < -1 \rightarrow \frac{a}{c} + 1 < 0 \rightarrow \frac{a + c}{c} < 0 $
*). Kita analisa pertidaksamaannya dari bentuk yang pertama (boleh juga dari pertidaksamaan yang kedua), ada dua kemungkinan yaitu :

*). Kemungkinan pertama : untuk $ b < 0 $
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a-b}{b} > 0 \rightarrow a - b < 0 \rightarrow a < b $
artinya $ a $ dan $ b $ negatif dengan $ a < b $
-). Pertidaksamaan kedua dengan $ a < 0 $ yaitu $ \frac{a + c}{c} < 0 $
Jika $ c > 0 $ , maka $ a + c < 0 \rightarrow |a| > |c| $
Jika $ c < 0 $ , maka $ a + c > 0 $ (Salah karena $ a < 0 $ dan $ c < 0 $)
-). Dari kemungkinan pertama kita peroleh $ a < 0 $ , $ b < 0 $ , $ c > 0 $ , $ a < b $ , dan $ |a| > |c| $. Sehingga option yang memenuhi kemungkinan pertama ini hanya option (C). $ (a-c)(b-c) > 0 $ dan (E). $ abc > 0 $ .

*). Kemungkinan kedua : untuk $ b > 0 $
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a-b}{b} > 0 \rightarrow a - b > 0 \rightarrow a > b $
artinya $ a $ dan $ b $ positif dengan $ a > b $
-). Pertidaksamaan kedua dengan $ a > 0 $ yaitu $ \frac{a + c}{c} < 0 $
Jika $ c > 0 $ , maka $ a + c < 0 $ (Salah karena $ a > 0 $ dan $ c > 0 $)
Jika $ c < 0 $ , maka $ a + c > 0 \rightarrow |a| > |c| $
-). Dari kemungkinan kedua kita peroleh $ a > 0 $ , $ b > 0 $ , $ c < 0 $ , $ a > b $ , dan $ |a| > |c| $. Sehingga option yang memenuhi kemungkinan kedua ini hanya option A, B, dan C.

*). Option yang memenuhi keduanya (semuanya) adalah option C yaitu $ (a-c)(b-c) > 0 $
Jadi, yang BENAR adalah (C). $ (a-c)(b-c) > 0 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_0 $ dan $ y_0 $ adalah nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan : $ 2^{x+1} - 3^y = 7 $ dan $ -(2^{x-1}) - 3^{y+1} = -5 $ , maka $ x_0 + y_0 $ adalah ......
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, cukup kita gunakan metode eliminasi dan substitusi.
*). Persamaan eksponen :
$ a^m = a^n \rightarrow m = n $
*). Sifat eksponen :
$ a^{m+n} = a^m.a^n $ dan $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ A = 2^x $ dan $ B = 3^y $
*). Mengubah sistem persamaannya :
$\begin{align} 2^{x+1} - 3^y & = 7 \\ 2^1.2^x - 3^y & = 7 \\ 2A - B & = 7 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ -(2^{x-1}) - 3^{y+1} & = -5 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 2^{x-1} + 3^{y+1} & = 5 \\ \frac{2^x}{2^1} + 3^1.3^y & = 5 \\ \frac{A}{2 } + 3B & = 5 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$\begin{array}{c|c|cc} 2A - B = 7 & \times 1 & 2A - B = 7 & \\ \frac{A}{2 } + 3B = 5 & \times 4 & 2A + 12 B = 20 & - \\ \hline & & -13B = -13 & \\ & & B = 1 & \end{array} $
Pers(i): $ 2A - B = 7 \rightarrow 2A - 1 = 7 \rightarrow A = 4 $.
*). Menentuan nilai $ x $ dan $ y $ :
$\begin{align} A & = 2 \rightarrow 2^x = 4 \rightarrow x = x_0 = 2 \\ B & = 1 \rightarrow 3^y = 1 \rightarrow y = y_0 = 0 \end{align} $
Sehingga nilai $ x_0 + y_0 = 2 + 0 = 2 $.
Jadi, nilai $ x_0 + y_0 = 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ melalui titik $ (0,3) $ dan mencapai minimum di titik $ (-2,1) $ , maka $ a - b + c $ sama dengan .....
A). $ \frac{9}{2} \, $ B). $ \frac{5}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{2}{9} \, $ E). $ -\frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $ (x_p , y_p) $ :
$ y = a(x- x_p)^2 + y_p $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik puncaknya : $ ( x_p,y_p) = (-2,1) $
*). Menyusun fungsi kuadratnya :
$\begin{align} y & = a(x - x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x - (-2))^2 + 1 \\ y & = a(x + 2)^2 + 1 \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui yaitu $ (0,3) $ :
$\begin{align} y & = a(x + 2)^2 + 1 \\ 3 & = a(0 + 2)^2 + 1 \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga FK menjadi :
$ y = a(x + 2)^2 + 1 \rightarrow y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 + 1 $
$ y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 3 $
yang sama dengan $ f(x) = ax^2 + bx + c $
Artinya $ a = \frac{1}{2} , b = 2, $ dan $ c = 3 $
*). Menentukan nilai $ a - b + c $ :
$\begin{align} a - b + c & = \frac{1}{2} - 2 + 3 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ a - b + c = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan selisih akar-akar $ x^2 + 2x - a = 0 $ dan selisih akar-akar $ x^2-8x+(a-1)=0 $ bernilai sama, maka perkalian seluruh akar-akar kedua persamaan tersebut adalah .....
A). $ -56 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 56 \, $ E). $ 72 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $
memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Operasi akar-akarnya :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ dan $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memisalkan akar-akar dari masing-masing PK dan operasinya :
-). PK1 : $ x^2 + 2x - a = 0 $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $ .
$ x_1.x_2 = \frac{-a}{1} = -a $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{4 + 4a}}{1} = \sqrt{4 + 4a} $
-). PK2 : $ x^2 - 8x + (a-1) = 0 $ akar-akarnya $ x_3 $ dan $ x_4 $ .
$ x_3.x_4 = \frac{a-1}{1} = a-1 $
$ x_3 - x_4 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{64 - 4(a-1)}}{1} = \sqrt{68 - 4a} $
*). Selisih akar-akar kedua PK sama :
$\begin{align} x_1 - x_2 & = x_3 - x_4 \\ \sqrt{4 + 4a} & = \sqrt{68 - 4a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4 + 4a & = 68 - 4a \\ 8a & = 64 \\ a & = 8 \end{align} $
*). perkalian seluruh akar-akar kedua PK :
$\begin{align} (x_1.x_2) . (x_3.x_4) & = -a. (a-1) \\ x_1.x_2.x_3.x_4 & = -8 . (8-1) \\ & = -8.7 = -56 \end{align} $
Jadi, hasil perkalian seluruh akar-akar adalah $ -56 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x + \frac{1}{x} = 5 $ , maka nilai dari $ x^3 + \frac{1}{x^3} = ..... $
A). $ 140 \, $ B). $ 125 \, $ C). $ 110 \, $ D). $ 75 \, $ E). $ 15 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk perpangkatan 3 :
$ (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan dipangkatkan 3 :
$\begin{align} x + \frac{1}{x} & = 5 \\ \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 & = 5^3 \\ x^3 + 3.x^2.\frac{1}{x} + 3.x.\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} & = 125 \\ x^3 + 3x + 3.\frac{1}{x } + \frac{1}{x^3} & = 125 \\ x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \left( x + \frac{1}{x } \right) & = 125 \\ x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 . 5 & = 125 \\ x^3 + \frac{1}{x^3} + 15 & = 125 \\ x^3 + \frac{1}{x^3} & = 125 - 15 \\ x^3 + \frac{1}{x^3} & = 110 \end{align} $
Jadi, nilai $ x^3 + \frac{1}{x^3} = 110 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Logaritma Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
$ \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 2) + ({}^4 \log 9)({}^8 \log 3)} $ sama dengan .....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{3}{4} \, $ C). $ \frac{4}{3} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat logaritma :
(i). $ \frac{1}{{}^a \log b} = {}^b \log a $
(ii). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
(iii). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
(iv). $ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 2) + ({}^4 \log 9)({}^8 \log 3)} \\ & = \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 2 + {}^8 \log 3)} \\ & = \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 2.3)} \\ & = \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 6)} \\ & = ({}^4 \log 3)({}^4 \log 6) ({}^9 \log 4)({}^6 \log 8) \\ & = ({}^9 \log 4 . {}^4 \log 3)({}^4 \log 6. {}^6 \log 8) \\ & = ({}^9 \log 3)({}^4 \log 8) \\ & = ({}^{3^2} \log 3)({}^{2^2} \log 2^3) \\ & = \frac{1}{2}. ({}^3 \log 3).\frac{3}{2} . ({}^2 \log 2) \\ & = \frac{1}{2}. 1.\frac{3}{2} . 1 = \frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Geometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan diberikan $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5 $ adalah lima suku pertama deret geometri. Jika $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5 \log 3 $ , maka $ u_3 $ sama dengan ......
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{1}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
*). Sifat logaritma :
$ \log a + \log b = \log ab $ dan $ n \log b = \log b^n $
*). Persamaan logaritma :
$ log a = \log b \rightarrow a = b $
*). Sifat eksponen :
$ a^n = b^n \rightarrow a = b $ dengan $ n $ ganjil.
$ a^m.a^n = a^{m+n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 & = 5 \log 3 \\ \log (u_1 u_2 u_3 u_4 u_5 ) & = \log 3^5 \\ u_1 u_2 u_3 u_4 u_5 & = 3^5 \\ a.ar.ar^2.ar^3.ar^4 & = 3^5 \\ a^5.r^{1+2+3+4} & = 3^5 \\ a^5.r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ ar^2 & = 3 \\ u_3 & = 3 \end{align} $
Jadi, jadi nilai $ u_3 = 3 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Statistika Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Data berikut adalah hasil ujian suatu kelas di SMU yang nilai rata-ratanya adalah $ \overline{x}$.
$ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline \text{Nilai} & 3& 4 &5 &6& 7& 8 \\ \hline \text{Frekuensi} & 2 &4 &8& 13& 16& 7 \\ \hline \end{array} $
Siswa dinyatakan lulus jika nilainya lebih besar atau sama dengan $ \overline{x} - 1$. Banyaknya siswa yang lulus dari ujian ini adalah ....
A). $ 50 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 44 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 23 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata $ \overline{x} $ :
$\overline{x} = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{total frekuensi}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan rata-rata dari tabel :
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{2.3 + 4.4 + 8.5 + 13.6 + 16.7 + 7.8}{2 + 4 + 8 + 13 + 16 + 7} \\ & = \frac{6 + 16 + 40 + 78 + 112 + 56}{50} \\ & = \frac{308}{50} = 6,16 \end{align} $
*). Batas syarat lulus :
Lulus $ \geq \overline{x} - 1 = 6,16 - 1 = 5,16 $
*). Banyak siswa yang lulus :
$ = 13 + 16 + 7 = 36 $ .
Jadi, banyak yang lulus ada 36 siswa $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Empat tahun yang lalu, jumlah umur kakak dan adiknya dalam sebuah keluarga adalah empat kali selisihnya. Sekarang umur kakak adalah $ \frac{9}{7} $ umur adiknya. Maka 10 tahun yang akan datang umur kakak dan adiknya adalah ....
A). 17 dan 19 B). 20 dan 18
C). 18 dan 20 D). 19 dan 17
E). 21 dan 19

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, cukup kita gunakan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Misalkan :
K = umur kakak yang sekarang
A = umur adik yang sekaran.
*). Menyusun persamaan :
-). Empat tahun yang lalu :
umur kakak = K - 4 dan umur adik = A - 4 .
kakak + adik = 4(kakak - adik)
$\begin{align} K - 4 + A - 4 & = 4[(K-4) - (A-4)] \\ -3K + 5A & = 8 \, \, \, \, \, \, ....(i) \end{align} $
-). Sekarang umur kakak = $ \frac{9}{7} $ adik :
$ K = \frac{9}{7}A \, $ .....(ii)
*). Substitusi (ii) ke (i) :
$ \begin{align} -3K + 5A & = 8 \\ -3. \frac{9}{7}A + 5A & = 8 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 7)} \\ -27A + 35A & = 56 \\ 8A & = 56 \\ A & = 7 \end{align} $
Pers(ii): $ K = \frac{9}{7}A = \frac{9}{7} \times 7 = 9 $
*). 10 tahun yang akan datang :
umur kakak = $ K + 10 = 9 + 10 = 19 $
umur adik = $ A + 10 = 7 + 10 = 17 $
Jadi, umurnya 19 dan 17 $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)