Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai semua $ x $ yang memenuhi $ {}^a \log ^2 x \geq 8 + 2 {}^a \log x $ , dengan bilangan $ a > 1 $ , adalah ....
A). $ a^2 \leq x \leq a^4 \, $
B). $ x \leq a^2 \, $ atau $ x \geq a^4 $
C). $ x \leq \frac{1}{a^4} \, $ atau $ x \geq a^2 $
D). $ x \leq \frac{1}{a^2} \, $ atau $ x \geq a^4 $
E). $ x \leq -2 \, $ atau $ x \geq 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar (pembuat nol),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya ($+$ atau $ - $)
3). Tentukan daerah penyelesaian :
Jika $ > 0 $ , maka arsir positif
Jika $ < 0 $ , maka arsir negatif
4). Buat himpunan penyelesaian sesuai daerah arsiran.
*). Definisi logaritma
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
Syaratnya : $ a > 0 , a \neq 1 , b > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ = {}^a \log x $ :
$\begin{align} {}^a \log ^2 x & \geq 8 + 2 {}^a \log x \\ ({}^a \log x )^2 & \geq 8 + 2 {}^a \log x \\ (p)^2 & \geq 8 + 2 p \\ p^2 - 2p - 8 & \geq 0 \\ (p+2)(p-4) & \geq 0 \\ p = -2 \vee p & = 4 \\ p=-2 \rightarrow {}^a \log x & = -2 \rightarrow x = a^{-2} = \frac{1}{a^2} \\ p=4 \rightarrow {}^a \log x & = 4 \rightarrow x = a^4 \end{align} $
Garis bilangannya :
 

Sehingga $ HP_1 = \{ x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} $
*). Dari $ {}^a \log x \, $ maka syaratnya $ x > 0 $ .
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap \{ x > 0 \} \\ HP & = \{ x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} \cap \{ x > 0 \} \\ & = \{ 0 < x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} \end{align} $
Jadi, solusinya $ \{ 0 < x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban yang tepat di optionnya)

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sistem persamaan linear
$ \begin{align} & 3x - 5y = m \\ & 2x + 4y = n \end{align} $
Jika $ y = \frac{b}{22} $ , maka $ b = .... $
A). $ 2m - 3n \, $
B). $ 2m + 3n \, $
C). $ -3m + 2n \, $
D). $ 3m + 2n $
E). $ -2m + 3n \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan teknik eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x - 5y = m & \times 2 & 6x - 10 y = 2m & \\ 2x + 4y = n & \times 3 & 6x + 12 y = 3n & - \\ \hline & & -22y = 2m - 3n & \\ & & 22y = -2m + 3n & \end{array} $
Kita peroleh persamaan $ 22y = -2m + 3n \, $ ....(iii)
*). Substitusi $ y = \frac{b}{22} \, $ ke pers(iii) :
$\begin{align} 22y & = -2m + 3n \\ 22 \times \frac{b}{22} & = -2m + 3n \\ b & = -2m + 3n \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ b = -2m + 3n . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Tetangga baru yang belum anda kenal katanya mempunyai 2 anak. Anda tahu salah satunya adalah laki-laki. Peluang kedua anak tetangga baru anda semuanya laki-laki adalah ....
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Peluang kejadian A :
$ \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan,
$ n(S) = \, $ banyak semua kejadian yang mungkin.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ n(S) $ :
Salah satu anaknya laki-laki sehingga semua kemungkinan anaknya yaitu $ S=\{ LL, PL, LP \} $, artinya nilai $ n(S) = 3 $.
*). Menentukan nilai $ n(A) $ :
A = kejadian kedua anak laki-laki
$ A = \{ LL \} $, sehingga $ n(A) = 1 $
*). Menentukan peluang kejadian A :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, peluang semua laki-laki adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Tiga kelas A, B, dan C berturut-turut terdiri dari 15 siswa, 10 siswa, dan 25 siswa. Rata-rata nilai gabungan dari ketiga kelas adalah 58,6. Jika rata-rata nilai kelas A dan C berturut-turut 62 dan 60, maka rata-rata nilai kelas B adalah ....
A). $ 50 \, $ B). $ 56 \, $ C). $ 61 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 65 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika
*). Rumus rata-rata gabungan :
$ \overline{X}_{gb} = \frac{n_A.\overline{X}_A + n_B.\overline{X}_B+n_C.\overline{X}_C}{n_A+n_B+n_C} $
Keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan,
$ \overline{X}_{A} = \, $ rata-rata kelas A,
$ n_A = \, $ banyak siswa kelas A,
dan seterusnya untuk simbol lainnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
$ n_A = 15, n_B=10, n_C = 25 $
$ \overline{X}_{gb} = 58,6 ; \overline{X}_A = 62, \overline{X}_C = 60 , \overline{X}_B = x $
*). Menentukan nilai $ x $ atau rata-rata kelas B :
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{X}_A + n_B.\overline{X}_B+n_C.\overline{X}_C}{n_A+n_B+n_C} \\ 58,6 & = \frac{15.62+10x+25.60}{15+10+25} \\ 58,6 & = \frac{930+10x+1500}{50} \\ 58,6 \times 50 & = 2430 + 10x \\ 2930 & = 2430 + 10x \\ 10x & = 500 \\ x & = 50 \end{align} $
Jadi, rata-rata kelas B adalah $ 50 . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \frac{(\sqrt[6]{x^2})(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x+1}}}{x\sqrt[6]{x+1}} = .... $
A). $ x\sqrt{x+1} \, $ B). $ x \, $ C). $1 \, $
D). $ \frac{1}{\sqrt[6]{x^2}} \, $ E). $ \frac{x}{\sqrt{x+1}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat bentuk akar pada eksponen :
1). $ a^m . a^n = a^{m+n} $
2). $ (a.b)^n = a^n . b^n $
3). $ \sqrt[n]{a^m} = a^ \frac{m}{n} $
4). $ (a^m)^n = a^{m.n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \frac{(\sqrt[6]{x^2})(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x+1}}}{x\sqrt[6]{x+1}} & = \frac{x^\frac{2}{6} \left( x^2. (x+1)^\frac{1}{2} \right)^\frac{1}{3}}{x. (x+1)^\frac{1}{6}} \\ & = \frac{x^\frac{1}{3} ( x^2)^\frac{1}{3} . \left((x+1)^\frac{1}{2} \right)^\frac{1}{3}}{x. (x+1)^\frac{1}{6}} \\ & = \frac{x^\frac{1}{3} x^\frac{2}{3} . (x+1)^\frac{1}{6} }{x. (x+1)^\frac{1}{6}} \\ & = \frac{x^\frac{1}{3} x^\frac{2}{3} }{x} \\ & = \frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} } }{x} \\ & = \frac{x^{1} }{x} = \frac{x}{x} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{(\sqrt[6]{x^2})(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x+1}}}{x\sqrt[6]{x+1}} = 1 . \, \heartsuit $