Pembahasan Statistika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terkahir yang mungkin ada sebanyak ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata ($\overline{X}$)
$ \overline{X} = \frac{\text{jmlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Median (Me) = nilai tengah.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai terakhir ujiannya adalah $ a $, sehingga rata-rata nilai keseluruhan :
$ \overline{X} = \frac{6 + 4 + 8 + 5 + 7 + a}{6} = \frac{30+a}{6} = \frac{30}{6} + \frac{a}{6} = 5 + \frac{a}{6} $
*). semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10, artinya $ 0 < a < 10 $.
*). Data kita urutkan menjadi : 4, 5, 6, 7, 8 dan $ a $ mengikuti.
*). Syarat : rata-rata kurang dari median atau $ \overline{X} < Me $.
*). Ada tiga kemungkinan nilai median yang terbentuk
-). Untuk $ a \leq 5 \rightarrow Me = \frac{5 + 6}{2} = 5,5 $
$ \overline{X} < Me \rightarrow 5 + \frac{a}{6} < 5,5 \rightarrow \frac{a}{6} < 0,5 \rightarrow a < 3 $
Nilai $ a $ yang memenuhi $ a = \{ 1, 2 \} $
-). Untuk $ a = 6 \rightarrow Me = \frac{6 + 6}{2} = 6 $
$ \overline{X} < Me \rightarrow 5 + \frac{6}{6} < 6 \rightarrow 6 < 6 \, $ (SALAH)
Nilai $ a = 6 $ tidak memenuhi syarat.
-). Untuk $ a \geq 7 \rightarrow Me = \frac{6 + 7}{2} = 6,5 $
$ \overline{X} < Me \rightarrow 5 + \frac{a}{6} < 6,5 \rightarrow \frac{a}{6} < 1,5 \rightarrow a < 9 $
Nilai $ a $ yang memenuhi $ a = \{ 7, 8 \} $
Sehingga nilai $ a $ keseluruhan adalah $ a = \{1, 2, 7, 8\} $.
Jadi, nilai akhir yang mungkin ada sebanyak $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bangun datar SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, lengkungan BD dan BE berturut-turut adalah busur lingkaran yang berpusat di C dan A seperti pada gambar. Jika $ AB = BC = 2 $ , maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$.
A). $ 4 - \pi \, $ B). $ 2 - \pi \, $ C). $ 2 \, $
D). $ 2 + \pi \, $ E). $ 4 + \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas juring lingkaran :
Luas $ = \frac{\text{sudut}}{360^\circ} \times \pi r^2 $ ,
Sehingga luas seperempat lingkaran yaitu :
Luas seperempat lingkaran $ = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{1}{4}\pi r^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Dengan membuat garis bantuan sehingga terbentuk persegi dan menggeser daerah arsiran bagian kanan bawah ke atas, maka terbentuk daerah arsiran diluar seperempat lingkaran di dalam persegi. Luas daerah yang diarsir adalah luas persegi dikurangi luas seperempat luas lingkaran dengan $ r = 2 $.
*). Menyusun Luas daerah arsiran :
$ \begin{align} \text{Luas arsiran } & = \text{Luas persegi} - \text{Luas seperempat lingkaran} \\ & = 2.2 - \frac{1}{4}. \pi . 2^2 \\ & = 4 - \pi \end{align} $
Jadi, luas arsiran adalah $ 4 - \pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ U_k $ dan $ S_k $ berturut-turut menyatakan suku ke-$k$ dan jumlah $ k $ suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika $ U_2 + U_4 + U_6+U_8 + U_{10}+U_{12} = 72 $, maka $ S_{13} = .... $
A). $ 81 \, $ B). $ 144 \, $ C). $ 156 \, $ D). $ 194 \, $ E). $ 312 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). RUmus suku ke-$n $ : $ U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama : $ S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan dalam $ a $ dan $ b $ :
$ \begin{align} U_2 + U_4 + U_6+U_8 + U_{10}+U_{12} & = 72 \\ (a + b) + (a + 3b) + (a + 5b) + & \\ (a + 7b) + (a + 9b) +(a + 11b) & = 72 \\ 6a + 36b & = 72 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 2a + 12b & = 24 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ S_{13} $ berdasarka $ 2a + 12b = 24 $ :
$ \begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ S_{13} & = \frac{13}{2}(2a+(13-1)b) \\ & = \frac{13}{2}(2a+12b) \\ & = \frac{13}{2}(24) \\ & = 13 . 12 = 156 \end{align} $
Jadi, nilai $ S_{13} = 156 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ A = \left( \begin{matrix} 8 & a \\ a & 1 \end{matrix} \right) $ , $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ b & 1 \end{matrix} \right) $ , dan C adalah matriks berukuran $ 2 \times 2 $ yang mempunyai invers. Jika AC dan BC tidak memiliki invers, maka $ 3a^2 + 4b^3 = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 28 \, $ E). $ 36 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ adalah $ det(A) = |A| = ad -bc $
*). Sifat determinan : $ |AB| = |A|. |B| $
*). Syarat Matriks A tidak mempunyai invers yaitu $ |A| = 0 $.
*). Syarat Matriks C mempunyai invers yaitu $ |C| \neq 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks C mempunyai invers sehingga $ |C| \neq 0 $
$ A = \left( \begin{matrix} 8 & a \\ a & 1 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = 8 - a^2 $
$ B = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ b & 1 \end{matrix} \right) \rightarrow |B| = 1 - (-b) = 1 + b $
*). AC tidak memeiliki invers, maka :
$ \begin{align} |AC| & = 0 \rightarrow |A|.|C| = 0 \end{align} $
Karena $ |C| \neq 0 $ , maka haruslah $ |A| = 0 $ ,
$ |A| = 0 \rightarrow 8 - a^2 = 0 \rightarrow a^2 = 8 $
*). BC tidak memeiliki invers, maka :
$ \begin{align} |BC| & = 0 \rightarrow |B|.|C| = 0 \end{align} $
Karena $ |C| \neq 0 $ , maka haruslah $ |B| = 0 $ ,
$ |B| = 0 \rightarrow 1 - (-b) = 0 \rightarrow b = -1 $
*). Menentukan nilai $ 3a^2 + 4b^3 $ :
$ \begin{align} 3a^2 + 4b^3 & = 3.8 + 4.(-1)^3 \\ & = 24 - 4 \\ & = 20 \end{align} $
Jadi, nilai $ 3a^2 + 4b^3 = 20 . \, \heartsuit $