Pembahasan Logaritma Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Nilai dari
$ \log (\tan 2^\circ) + \log (\tan 3^\circ) + ... + \log (\tan 88^\circ) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 45 \, $ D). $ 89 \, $ E). $ 90 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ \log a + \log b = \log ab \, $ dan $ \log 1 = 0 $.
*). Sudut komplemen pada trigonometri :
$ \tan x = \cot (90^\circ - x ) = \frac{1}{\tan (90^\circ - x ) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \log (\tan 2^\circ) + \log (\tan 3^\circ) + ... + \log (\tan 88^\circ) \\ & = \log (\tan 2^\circ. \tan 3^\circ ... \tan 45^\circ ... \tan 87^\circ \tan 88^\circ) \\ & = \log \left( \frac{1}{\tan (90^\circ -2^\circ)}. \frac{1}{\tan (90^\circ -3^\circ)} ... \tan 45^\circ ... \tan 87^\circ .\tan 88^\circ \right) \\ & = \log \left( \frac{1}{\tan 88^\circ }. \frac{1}{\tan 87^\circ } ... \tan 45^\circ ... \tan 87^\circ . \tan 88^\circ \right) \\ & = \log \left( \frac{1}{\tan 88^\circ }.\tan 88^\circ . \frac{1}{\tan 87^\circ } . \tan 87^\circ ... \tan 45^\circ \right) \\ & = \log \left( \underbrace{1.1.1...1.1}_{45 \text{kali}} . \tan 45^\circ \right) \\ & = \log \left( \underbrace{1.1.1...1.1}_{45 \text{kali}} . 1 \right) \\ & = \log 1 = 0 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Laju Perubahan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan luas sebuah segitiga sama sisi adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling segitiga adalah $ x $, maka laju perubahan luas terhadap kelilingnya sama dengan .....
A). $ \frac{\sqrt{2}}{36} x \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{36} x \, $ C). $ \frac{\sqrt{3}}{36} x^2 \, $ D). $ \frac{2\sqrt{3}}{36} x \, $ E). $ \frac{\sqrt{3}}{4} x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Laju perubahan luas adalah turunan dari rumus luasnya
*). Luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi $ a $ :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2}a.a.\sin 60^\circ = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan sisi segitiganya $ a $
-). Keliling segitiga $ = 3a $ .
$ 3a = x \rightarrow a = \frac{x}{3} $
-). Luas segitiganya (L) : $ L = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3} $
$\begin{align} L & = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3} \\ & = \frac{1}{4} \left( \frac{x}{3} \right)^2\sqrt{3} \\ & = \frac{1}{4} \left( \frac{x^2}{9} \right) \sqrt{3} \\ & = \frac{x^2}{36} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 \end{align} $
*). Menentukan laju perubahan luas dengan turunan pertama luasnya :
$\begin{align} L & = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 \\ L^\prime & = 2. \frac{\sqrt{3}}{36}x \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{36}x \\ \end{align} $
Jadi, laju perubahan luasnya adalah $ \frac{2\sqrt{3}}{36}x . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Grafik Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan grafik di atas adalah .....
A). $ y = -2 \cos 2x \, $ B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \, $
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \, $ D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \, $
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui suatu grafik, maka cara termudah untuk menentukan fungsinya adalah dengan substitusi titik yang dilalui oleh grafik ke opsionnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Grafik melalui titik $ (0,-2) $ artinya $ x = 0 $ dan $ y = -2 $ , substitusi ke fungsi pada optionnya :
A). $ y = -2 \cos 2x \rightarrow y = -2 \cos 2.0 = -2 \, $ (BENAR)
B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \rightarrow y = 2 \cos\frac{3}{2}. 0 = 2 \, $ (SALAH)
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \rightarrow y = -2 \cos \frac{3}{2} . 0 = -2 \, $ (BENAR)
D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \rightarrow y = 2 \sin \frac{3}{2}. 0 = 0 \, $ (SALAH)
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x \rightarrow y = -2 \sin \frac{3}{2} . 0 = 0 \, $ (SALAH)
Yang tersisa opsion A dan C.
*). Grafik melalui titik $ (\pi , 0) $ artinya $ x = \pi $ dan $ y = 0 $ , substitusi ke fungsi pada option A dan C :
A). $ y = -2 \cos 2x \rightarrow y = -2 \cos 2. \pi = -2 \, $ (SALAH)
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \rightarrow y = -2 \cos \frac{3}{2} . \pi = 0 \, $ (BENAR)
Yang tersisa opsion C, artinya fungsi $ y = -2\cos \frac{3}{2} x $ yang memenuhi.
Jadi, fungsinya adalah $ y = -2\cos \frac{3}{2} x . \, \heartsuit $

Pembahasan Grafik Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan grafik di atas adalah .....
A). $ y = -2 \cos 2x \, $ B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \, $
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \, $ D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \, $
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Grafik fungsi trigonometri kosinus : $ y = a\cos kx $
-). Periode $ = \frac{2\pi}{k} $
-). 1 periode terdiri dari satu bukit dan 1 lembah.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan fungsinya : $ y = a\cos kx $
*). Grafik melalui titik $ (0,-2) $ , substitusi ke fungsinya :
$\begin{align} y & = a\cos kx \\ -2 & = a\cos k.0 \\ -2 & = a\cos 0 \\ -2 & = a. 1 \\ -2 & = a \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ y = -2\cos kx $
*). Grafik pada memotong sumbu X di $ \pi $ dimana dari $ 0 $ sampai $ \pi $ terbentuk $ \frac{3}{4} $ periode, sehingga $ \frac{3}{4} \text{periode } = \pi \rightarrow \text{periode } = \frac{4\pi}{3} $ .
*). Menentukan nilai $ k $ dengan periode $ \frac{4\pi}{3} $ .
$\begin{align} \text{periode } & = \frac{2\pi}{k} \\ \frac{4\pi}{3} & = \frac{2\pi}{k} \\ k & = \frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ y = -2\cos \frac{3}{2} x $
Jadi, fungsinya adalah $ y = -2\cos \frac{3}{2} x . \, \heartsuit $