Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Jika jumlah empat suku pertama dan jumlah enam suku pertama suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 56 dan 108, maka jumlah ke sepuluh suku pertama deret itu adalah ....
A). $ 164 \, $ B). $ 176 \, $ C). $ 200 \, $ D). $ 216 \, $ E). $ 260 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama deret aritmetika :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Pertama : $ S_4 = 56 $
$ \begin{align} S_4 & = 56 \\ \frac{4}{2}(2a + (4-1)b) & = 56 \\ 2(2a + 3b) & = 56 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a + 3b & = 28 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). Kedua : $ S_6 = 108 $
$ \begin{align} S_6 & = 108 \\ \frac{6}{2}(2a + (6-1)b) & = 108 \\ 3(2a + 5b) & = 108 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 2a + 5b & = 36 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} 2a + 5b = 36 & \\ 2a + 3b = 28 & - \\ \hline 2b = 8 & \\ b = 4 & \end{array} $
Pers(i) : $ 2a + 3. 4 = 28 \rightarrow a = 8 $
*). Menentukan nilai $ S_{10} $ :
$ \begin{align} S_{10} & = \frac{10}{2}(2a + 9b) \\ & = 5(2.8 + 9.4) \\ & = 5( 16 + 36) \\ & = 5 . ( 52) 260 \end{align} $
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah $ 260 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Maksimum UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah segitiga siku-siku kelilingnya $ 3\sqrt{2} $. Nilai minimum panjang sisi miringnya adalah ....
A). $ 7\frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \, $
B). $ 7 - 3\sqrt{2} \, $
C). $ 7 - 4\sqrt{2} \, $
D). $ 6 - 3\sqrt{2} \, $
E). $ 6 - 4\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ y = A\cos f(x) + c $ memiliki nilai maksimum $ A + c $
*). Bentuk $ a \sin x + b \cos x = k \cos ( x - \theta ) $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } $ dan $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
sehingga $ \sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos (x - \theta ) $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $.
*). Untuk merasionalkan penyebut bentuk akar dapat dilakukan dengan mengalikan bentuk sekawannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar segitiganya :
 

Dari gambar kita peroleh perbandingan trigonometrinya :
$ \sin x = \frac{a}{c} \rightarrow a = c\sin x $
$ \cos x = \frac{b}{c} \rightarrow b = c\cos x $
*). dari keliling segitiganya dan perbandingan trigonometri :
$ \begin{align} a + b + c & = 3\sqrt{2} \\ c\sin x + c\cos x + c & = 3\sqrt{2} \\ c(\sin x + \cos x + 1) & = 3\sqrt{2} \\ c & = \frac{3\sqrt{2}}{\sin x + \cos x + 1} \\ c & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1} \end{align} $
*). Agar bentuk $ \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1} $ minimum, maka penyebutnya harus maksimum. Bentuk $ \sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1 $ memiliki nilai maksimum yaitu $ \sqrt{2} + 1 $. Sehingga $ c $ minimum dengan nilai :
$ \begin{align} c & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1} \\ & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \, \, \, \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} \\ & = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{2 - 1} = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{1} = 6 - 3\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai minimum sisi miringnya adalah $ 6 - 3\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Maksimum UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah segitiga siku-siku kelilingnya $ 3\sqrt{2} $. Nilai minimum panjang sisi miringnya adalah ....
A). $ 7\frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \, $
B). $ 7 - 3\sqrt{2} \, $
C). $ 7 - 4\sqrt{2} \, $
D). $ 6 - 3\sqrt{2} \, $
E). $ 6 - 4\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi $ y = f(x) $ tercapai untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ . (Turunan pertama fungsi = 0 ).
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar segitiganya :
 

Berlaku teorema pythagoras yaitu
$ c^2 = a^2 + b^2 \, $ .....pers(i).
Pada soal diketahui keliling segitiga $ = 3\sqrt{2} $
$ a + b + c = 3\sqrt{2} \rightarrow a = 3\sqrt{2} - (b+c) \, $ ....(ii)
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} c^2 & = a^2 + b^2 \\ c^2 & = [3\sqrt{2} - (b+c)]^2 + b^2 \\ c^2 & = 18 - 6\sqrt{2}(b+c) + (b+c)^2 + b^2 \\ c^2 & = 18 - 6\sqrt{2}b - 6\sqrt{2}c + b^2 + 2bc + c^2 + b^2 \\ 0 & = 18 - 6\sqrt{2}b - 6\sqrt{2}c + 2b^2 + 2bc \\ 6\sqrt{2}c - 2bc & = 2b^2 - 6\sqrt{2}b + 18 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 3\sqrt{2}c - bc & = b^2 - 3\sqrt{2}b + 9 \\ (3\sqrt{2} - b)c & = b^2 - 3\sqrt{2}b + 9 \\ c & = \frac{b^2 - 3\sqrt{2}b + 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = \frac{b(b - 3\sqrt{2}) + 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = \frac{b(b - 3\sqrt{2}) }{(3\sqrt{2} - b)} + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = -b + 9(3\sqrt{2} - b)^{-1} \\ c^\prime & = -1 + 9(3\sqrt{2} - b)^{-2} \\ c^\prime & = -1 + \frac{9}{(3\sqrt{2} - b)^2} \\ 0 & = -1 + \frac{9}{(3\sqrt{2} - b)^2} \, \, \, \, \, \text{(syarat)} \\ 1 & = \frac{9}{(3\sqrt{2} - b)^2} \\ 9 & = (3\sqrt{2} - b)^2 \\ \pm \sqrt{9} & = 3\sqrt{2} - b \\ \pm 3 & = 3\sqrt{2} - b \\ b & = 3\sqrt{2} \pm 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ dengan $ c = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} $
-). Untuk $ b = 3\sqrt{2} + 3 $
$ \begin{align} c & = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ & = -(3\sqrt{2} + 3 ) + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - (3\sqrt{2} + 3 ))} \\ & = -3\sqrt{2} - 3 + \frac{ 9}{-3} \\ & = -3\sqrt{2} - 3 -3 \\ & = -3\sqrt{2} - 6 \end{align} $
-). Untuk $ b = 3\sqrt{2} - 3 $
$ \begin{align} c & = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ & = -(3\sqrt{2} - 3 ) + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - (3\sqrt{2} - 3 ))} \\ & = -3\sqrt{2} + 3 + \frac{ 9}{3} \\ & = -3\sqrt{2} + 3 + 3 \\ & = -3\sqrt{2} + 6 \\ & = 6 - 3\sqrt{2} \end{align} $
-). Karena panjang sisi-sisi segitiga selalu positif, maka yang memenuhi adalah $ c = 6 - 3\sqrt{2} $.
Jadi, nilai minimum sisi miringnya adalah $ 6 - 3\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\left(x - \frac{\pi}{4} \right) \tan \left(3x - \frac{3\pi}{4} \right)}{2(1 - \sin 2x)} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{3}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ -\frac{3}{4} \, $ E). $ \frac{3}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $ dan $ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\tan ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $
*). RUmus dasar trigonometri :
$ 1 - \cos 2A = 2 \sin A . \sin A $
$ \sin (\frac{\pi}{2} + A) = \cos A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ y = x - \frac{\pi}{4} $ sehingga $ x = y + \frac{\pi}{4} $
untuk $ x $ mendekati $ \frac{\pi}{4} $ maka $ y $ mendekati nol.
*). Menyelesaikan soal
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\left(x - \frac{\pi}{4} \right) \tan \left(3x - \frac{3\pi}{4} \right)}{2(1 - \sin 2x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\left(x - \frac{\pi}{4} \right) \tan 3 \left(x - \frac{\pi}{4} \right)}{2(1 - \sin 2x)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{y . \tan 3 y}{2(1 - \sin 2 \left(y + \frac{\pi}{4} \right) )} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{y . \tan 3 y}{2(1 - \sin \left(2y + \frac{\pi}{2} \right) )} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{y . \tan 3 y}{2(1 - \cos 2y )} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{y . \tan 3 y}{2( 2\sin y . \sin y) } \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{1}{4} . \frac{y }{ \sin y } . \frac{\tan 3 y}{ \sin y } \\ & = \frac{1}{4} . \frac{1 }{ 1 } . \frac{3}{ 1 } = \frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian pertidaksamaan $ 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x < 3 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , adalah ....
A). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi $
B). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{3} \, $ atau $ \frac{7\pi}{12} < x \leq \pi $
C). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{\pi}{3} < x \leq \pi $
D). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{6} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi $
E). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{7\pi}{12} < x \leq \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \, \, \, \, a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos ( f(x) - \theta ) $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2} $ dan $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
*). Persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k.2\pi $ atau $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ( + atau $ - $ )
3). Arsir daerah yang diinginkan
4). Buat himpunan penyelesaiannya

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
dari bentuk $ 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x $ ,
$ a = 3 , b = -\sqrt{3} $ dan $ f(x) = 2x $
$ k = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
$ \tan \theta = \frac{3}{-\sqrt{3}} \rightarrow \tan \theta = -\sqrt{3} \rightarrow \theta = 120^\circ $
Sehingga bentuknya menjadi :
$ \begin{align} 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x & = k \cos ( f(x) - \theta ) \\ & = 2\sqrt{3} \cos ( 2x - 120^\circ ) \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya
$ \begin{align} 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x & < 3 \\ 2\sqrt{3} \cos ( 2x - 120^\circ ) & < 3 \\ \cos ( 2x - 120^\circ ) & < \frac{3}{2\sqrt{3}} \\ \cos ( 2x - 120^\circ ) & < \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos ( 2x - 120^\circ ) & = \cos 30^\circ \\ f(x) = 2x - 120^\circ , \theta & = 30^\circ \end{align} $
memiliki penyelesaian (akar-akar) :
i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $
$ \begin{align} 2x - 120^\circ & = 30^\circ + k.2\pi \\ 2x & = 150^\circ + k.2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 75^\circ + k.\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = -105^\circ = -\frac{7\pi}{12} \\ k = 0 \rightarrow x & = 75^\circ = \frac{5\pi}{12} \\ k = 1 \rightarrow x & = 255^\circ = \frac{17\pi}{12} \end{align} $
$ x = \{ -\frac{7\pi}{12} , \frac{5\pi}{12} , \frac{17\pi}{12} \} $
ii). $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
$ \begin{align} 2x - 120^\circ & = -30^\circ + k.2\pi \\ 2x & = 90^\circ + k.2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 45^\circ + k.\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = -135^\circ = -\frac{3\pi}{4} \\ k = 0 \rightarrow x & = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \\ k = 1 \rightarrow x & = 225^\circ = \frac{5\pi}{4} \end{align} $
$ x = \{ -\frac{3\pi}{4} , \frac{\pi}{4} , \frac{5\pi}{4} \} $
Solusi kita ambil yang memenuhi $ 0 \leq x \leq \pi $.
Garis bilangannya:
 

Karena yang diminta $ < $ , maka penyelesaiannya adalah daerah yang negatif. Namun kita cari di dalam interval $ 0 \leq x \leq \pi $, sehingga solusinya : $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi $.
Jadi, penyelesaiannya $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi . \, \heartsuit $