Soal dan Pembahasan UTUL UGM Matematika IPA tahun 2010


Nomor 1
Syarat agar garis $ ax + y = 0 $ menyinggung lingkaran dengan pusat $(-1,3)$ dan jari-jari 1 adalah $ a = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{1}{4} $
Nomor 2
Jika $ \tan 2\alpha = 4 \sin \alpha \cos \alpha \, $ untuk $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \, $ , maka $ \cos \alpha = .... $
A). $\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ B). $\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $-\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ E). $-\frac{1}{2} $
Nomor 3
Vektor $\vec{u} = (x, y, 1) $ sejajar $ \vec{v} = (-1,3,z) $. Jika $ \vec{u} $ tegak lurus $ (3,-2,3) $ , maka $ y = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ -\frac{1}{3} \, $ E). $ -1 $
Nomor 4
Diketahui matriks $ X = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
dan $ P = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right] $ , serta $ PX = P^{-1} $. Nilai $ a + b + c + d = .... $
A). $\frac{11}{4} \, $ B). $ 95 \, $ C). $\frac{95}{4} \, $ D). $-\frac{95}{4} \, $ E). $-\frac{11}{4} \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk $ a $, titik P pada perpanjangan DH sehingga $ DP = 2DH $. Jarak titik F ke bidang PAC adalah ....
A). $ \frac{2a}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}a\sqrt{3} \, $ D). $ a \, $ E). $ \frac{3a}{2} \, $

Nomor 6
Salah satu akar persamaan $ ax^2 - (a+5)x + 8 = 0 $ adalah dua kali akar yang lainnya. Apabila $ a_1 $ dan $ a_2 $ nilai-nilai yang cocok untuk $ a $, maka $ a_1 + a_2 = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 15 \, $ C). $ 19 \, $ D). $ 26 \, $ E). $ 32 \, $
Nomor 7
Diketahui persamaan kuadrat $ px^2 + 5x + p = 0 $ memiliki akar-akar positif. Jika selisih kuadrat akar-akar tersebut bernilai $ \frac{15}{4} $ , maka akar-akar tersebut adalah ....
A). $ 1 \, $ dan $ 2 $ B). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 1 $
C). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 2 $ D). $ 1 \, $ dan $ -2 $
E). $ 1 \, $ dan $ \frac{5}{2} $
Nomor 8
Jika $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $ , maka $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) = .... $
A). $ - a \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $
Nomor 9
Jika $ \alpha $ dan $ \beta $ penyelesaian persamaan $ {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) $, maka $ \alpha + \beta = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Sebuah deret geometri mempunyai suku ke-5 dengan nilai 48 dan jumlah nilai suku ke-3 dan ke-4 adalah $ -12 $. Jumlah empat suku pertama deret ini adalah ....
A). $ -6 \, $ B). $ -9 \, $ C). $ -10 \, $ D). $ -15 \, $ E). $ -18 $

Nomor 11
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $
Nomor 12
Diketahui $ f(x) = g\left( x - \sqrt{6x-2} \right) $. Jika $ f^\prime (3) = 6 $ , maka $ g^\prime (-1) = .... $
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 28 $
Nomor 13
Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut akan diduduki 5 anak terdiri dari 3 perempuan dan 2 laki-laki. Jika kursi yang kosong diapit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah ....
A). $ 648 \, $ B). $ 564 \, $ C). $ 432 \, $ D). $ 288 \, $ E). $ 216 $
Nomor 14
Diketahui $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah suku-suku pertama dan kedua barisan geometri dengan rasio 3, yang nilainya merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - 16x + (5k+3) = 0 $ . Syarat agar $ x_1 , x_2, k+y $ merupakan barisan aritmetika adalah $ y = .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 13 $
Nomor 15
Jika matriks $ V = \left[ \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2^p & 2^p - 4 \\ 2 & -2^p \end{matrix} \right] $ tidak mempunyai invers, maka nilai $ 2p^2 - 18 = ... $
A). $ -10 \, $ B). $ 14 \, $ C). $ -16 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 0 $



2009 Pembahasan Persamaan Kuadrat dan Matriks UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $\left| \begin{matrix} 2x-3 & 3 \\ x & x - 2 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| $ , maka $ x_1x_2 = .... $
A). $ -12 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 12 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Operasi akar-akar PK : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Determinan matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun Persamaan Kuadrat dari matriks berupa determinan :
$ \begin{align} \left| \begin{matrix} 2x-3 & 3 \\ x & x - 2 \end{matrix} \right| & = \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| \\ (2x-3)(x-2) - 3.x & = 1.6 - 3.4 \\ 2x^2 - 4x + 6 - 3x & = 6 - 12 \\ 2x^2 - 10x + 12 & = 0 \\ a = 2, \, b = -10 , \, c & = 12 \end{align} $
Sehingga hasil perkalian akar-akarnya :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{12}{2} = 6 $.
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = 6 . \, \heartsuit $



2009 Pembahasan Penggunaan Turunan UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika grafik di bawah merupakan grafik fungsi $ y = f^\prime (x) $ , maka


A). $ f \, $ mencapai maksimum relatif di $ x = -1 $
B). $ f \, $ mencapai minimum relatif di $ x = 1 $
C). $ f \, $ mencapai maksimum relatif di $ x = -3 $ dan $ x = 1 $
D). $ f \, $ mencapai maksimum relatif di $ x = -3 $ dan $ x = 2 $
E). $ f \, $ mencapai minimum relatif di $ x = -3 $ dan $ x = 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi Naik atau FUngsi Turun
Jika $ f^\prime (x) > 0 \, $, maka fungsi naik,
Jika $ f^\prime (x) < 0 \, $, maka fungsi turun.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan grafik fungsi $ y = f^\prime (x) $ di atas :
Untuk $ x < -3 \, $ nilai $ f^\prime (x) < 0 \, $ (negatif).
Untuk $ -3 < x < 1 \, $ nilai $ f^\prime (x) > 0 \, $ (positif).
Untuk $ 1 < x < 2 \, $ nilai $ f^\prime (x) < 0 \, $ (negatif).
Untuk $ x > 2 \, $ nilai $ f^\prime (x) > 0 \, $ (positif).
Sehingga jika disusun garis bilangannya yaitu :
 


Artinya kita peroleh :
$ f(x) $ minimum relatif di $ x = -3 $ dan $ x = 2 $,
$ f(x) $ maksimum relatif di $ x = 1 $.
Jadi, yang sesuai dengan pilihan adalah E. $ \, \heartsuit $



2009 Pembahasan Turunan UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = x\sqrt{1-x} $ , maka nilai $ a $ yang memenuhi $ f^\prime (a) = 1 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{8}{9} \, $ C). $ 0 \, $ dan $ \frac{8}{9} $
D). $ 0 \, $ dan $ -\frac{8}{9} $ E). $ -\frac{8}{9} \, $ dan $ \frac{8}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan :
*). Rumus dasar Turunan :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime$
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = x\sqrt{1-x} $ :
$ \begin{align} f(x) & = x\sqrt{1-x} = U.V \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = \sqrt{1-x} \rightarrow V^\prime = \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ & = 1.\sqrt{1-x} + x. \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \frac{2\sqrt{1-x} . \sqrt{1-x} - x}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}} \end{align} $ .
*). Menentukan nilai $ a $ dari syarat $ f^\prime (a) = 1 $ :
$ \begin{align} f^\prime (a) & = 1 \\ \frac{2 - 3a}{2\sqrt{1-a}} & = 1 \\ 2 - 3a & = 2\sqrt{1-a} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (2 - 3a)^2 & = (2\sqrt{1-a})^2 \\ 9a^2 - 12a + 4 & = 4 (1-a) \\ 9a^2 - 12a + 4 & = 4 - 4a \\ 9a^2 - 8a & = 0 \\ a ( 9a - 8) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = \frac{8}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 0 \vee a = \frac{8}{9} . \, \heartsuit $



2009 Pembahasan Komposisi Fungsi UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = 2x - 1 $ dan $ g(x) = \frac{5x}{x+1} $. Jika $ h $ adalah fungsi sehingga $ (g\circ h)(x)=x-2 $ , maka $ (h \circ f)(x) = .... $
A). $ \frac{2x-3}{2x+8} \, $ B). $ \frac{2x-3}{-2x+6} \, $
C). $ \frac{2x-3}{2x-8} \, $ D). $ \frac{2x-3}{-2x+8} \, $
E). $ \frac{2x-3}{-2x-8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Komposisi Fungsi :
*). Bentuk Komposisi Fungsi
$ (f\circ g)(x) = f[g(x)] $
(Fungsi Kanan masuk ke fungsi kiri).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Fungsi $ h(x) $ dengan $ g(x) = \frac{5x}{x+1} $ :
$ \begin{align} (g\circ h)(x) & =x-2 \\ g[h(x)] & =x-2 \\ \frac{5.h(x)}{h(x)+1} & =x-2 \\ 5.h(x) & =[h(x)+1](x-2) \\ 5.h(x) & = h(x) (x-2) + (x-2) \\ 5.h(x) - h(x) (x-2) & = (x-2) \\ h(x)(5 - (x-2)) & = (x-2) \\ h(x)(- x + 7 ) & = (x-2) \\ h(x) & = \frac{x-2}{- x + 7 } \end{align} $ .
*). Menentukan $(h\circ f)(x) $ dengan $ f(x) = 2x - 1 $ :
$ \begin{align} (h\circ f)(x) & = h[f(x)] \\ & = h[2x-1] \\ & = \frac{(2x-1)-2}{- (2x-1) + 7 } \\ & = \frac{2x-3}{-2x + 8} \end{align} $ .
Jadi, kita peroleh $ (h\circ f)(x) = \frac{2x-3}{-2x + 8} . \, \heartsuit $



2009 Pembahasan Statistika UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai rata-rata tes matematika suatu kelas yang terdiri dari 42 siswa adalah 6,3 dengan jangkauan 4. Jika satu nilai terendah dan satu nilai tertinggi tidak diikutsertakan, maka rata-ratanya menjadi 6,25. Nilai terendah untuk tes tersebut adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 5,03 \, $ C). $ 5,3 \, $ D). $ 5,05 \, $ E). $ 5,5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika :
*). Rumus rata-rata :
$ \overline{X} = \frac{\text{Jumlah Semua Nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Rumus Jangkauan :
Jangkauan $ = X_{maks} - X_{min} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalan : nilai terbesar $ x $ dan nilai terkecil $y $.
Jumlah nilai 40 anak adalah A (selain terbesar dan terkecil).
*). Rata-rata nilai 42 siswa = 6,3
$ \begin{align} \frac{\text{Jumlah Semua Nilai}}{\text{banyak nilai}} & = 6,3 \\ \frac{y + A + x}{42} & = 6,3 \\ y + A + x & = 264,6 \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $ .
*). Jangkauan = 4
$ \begin{align} x - y & = 4 \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $ .
*). Nilai terbesar dan terkecil tidak diikutkan sehingga rata-rata menjadi 6,25
$ \begin{align} \text{Rata-rata nilai 40 siswa } & = 6,25 \\ \frac{\text{Jumlah Semua Nilai}}{\text{banyak nilai}} & = 6,25 \\ \frac{ A }{40} & = 6,25 \\ A & = 250 \end{align} $ .
*). Substitusi $ A = 250 $ ke pers(i) :
$ \begin{align} y + A + x & = 264,6 \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ y + 250 + x & = 264,6 \\ x + y & = 14,6 \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $ .
*). Menentukan nilai terkecil ($y$) dengan eliminasi pers(ii) dan (iii)
$ \begin{array}{cc} x - y = 4 & \\ x + y = 14,6 & - \\ \hline -2y = -10,6 & \\ y = 5,3 & \end{array} $ .
Jadi, nilai terkecilnya adalah $ 5,3 . \, \heartsuit $



2009 Cara 3 Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \sin x - \cos x > 0 $ , $ 0 \leq x \leq 2\pi $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \, $ B). $ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \, $
C). $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} \, $ D). $ \pi < x < 2\pi $
E). $ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} \, $

$\spadesuit $ Metode SUKA adalah suatu metode dimana kita akan langsung menggantikan variabelnya dengan angka tertentu.

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara 3 : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \sin x - \cos x & > 0 \\ \sin 0 - \cos 0 & > 0 \\ 0 - 1 & > 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= 0 $ SALAH, opsi yang salah adalah A.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=60^\circ \Rightarrow \sin x - \cos x & > 0 \\ \sin 60^\circ - \cos 60^\circ & > 0 \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2} & > 0 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= 60^\circ $ BENAR, opsi yang salah adalah B, D, dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah C (yang tersisa) yaitu
$ HP = \{ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} \} . \, \heartsuit $



2009 Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \sin x - \cos x > 0 $ , $ 0 \leq x \leq 2\pi $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \, $ B). $ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \, $
C). $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} \, $ D). $ \pi < x < 2\pi $
E). $ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Grafik Fungsi Trigonometri
*). Berikut adalah grafik fungsi trigonometri :

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Menggunakan Grafiknya
*). Karena $ \sin x - \cos x > 0 \, $ (positif), maka grafik $ \sin x \, $ harus ada di atas grafik $ \cos x $ yang ditunjukkan oleh daerah arsiran berikut ini.
 

Dari grafik di atas, fungsi $ \sin x $ di atas grafik $ \cos x $ pada interval $ 45^\circ < x < 225^\circ \, $ atau $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} $.
Jadi, solusinya $ HP = \{ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} \} . \, \heartsuit $



2009 Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \sin x - \cos x > 0 $ , $ 0 \leq x \leq 2\pi $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \, $ B). $ \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \, $
C). $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} \, $ D). $ \pi < x < 2\pi $
E). $ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Persamaan Trigonometri :
Jika $ \sin f(x) = \cos g(x) \, $, maka solusinya :
$ f(x) + g(x) = 90^\circ + k2\pi $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nol kan ruas kanan pertidaksamaan,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akar),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diminta dan buatlah himpunannya.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan akar-akar :
$ \begin{align} \sin x - \cos x & > 0 \\ \sin x - \cos x & = 0 \\ \sin x & = \cos x \end{align} $
Solusi persamaannya :
$ \begin{align} f(x) + g(x) & = 90^\circ + k2\pi \\ x + x & = 90^\circ + k2\pi \\ 2x & = 90^\circ + k2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 45^\circ + k\pi \\ \end{align} $
$ x = \{ -135^\circ, 45^\circ , 225^\circ , 405^\circ \} $
*). Garis bilangannya :  


Karena batas $ x $ adalah $ 0 \leq x \leq 2\pi $ ,
maka solusinya $ 45^\circ < x < 225^\circ $.
Jadi, solusinya $ HP = \{ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} \} . \, \heartsuit $