Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 526 tahun 2010 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Rumah di jalan Veteran dinomori secara urut mulai 1 sampai dengan 150. Berapa banyak rumah yang nomornya menggunakan angka 8 sekurang-kurangnya satu kali?
$\clubsuit \, $ Dibagi perkasus
* 1-79 yang memuat angka 8 ada 8 yaitu 8, 18, 28, ... , 78
* 80-90 yang memuat angka 8 ada 10 yaitu 80, 81, 82, ... , 89
* 91-150 yang memuat angka 8 ada 6 yaitu 98, 108, 118, 128, 138, 148
Jadi, total yang memuat angka 8 ada 8 + 10 + 6 = 24 angka. $ \heartsuit $
Nomor 12
Suatu kelas terdiri atas 10 pelajar pria dan 20 pelajar wanita. Separuh pelajar pria memakai arloji dan separuh pelajar wanita juga memakai arloji. Jika dipilih satu pelajar, maka peluang yang terpilih wanita atau memakai arloji adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada 10P 20W , sehingga $n(S) = 10+20 = 30 $
memakai arloji : 5P dan 10W , total memakai arloji = 15
$\spadesuit \, $ Harapannya terpilih seorang wanita atau memakai arloji
$\begin{align*} n(W \cup Ar) & = n(W) + n(Ar) - n(W\cap Ar) \\ & = 20 + 15 - 10 \\ & = 25 \end{align*}$
Keterangan :
$n(W\cup Ar ) $ = banyak wanita atau memakai arloji
$n(W) $ = banyak wanita
$n(Ar ) $ = banyak memakai arloji (total)
$n(W\cap Ar ) $ = banyak wanita yang sekaligus memakai arloji
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya : $P(W\cup Ar) $
$P(W\cup Ar) = \frac{n(W\cup Ar)}{n(S)} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} $
Jadi, peluang terpilih wanita atau memakai arloji adalah $\frac{5}{6} . \heartsuit $
Nomor 13
Diberikan barisan $U_n=\left\langle -1,1,-1,1,... \right\rangle $ dengan $n$ bilangan asli. Semua yang berikut merupakan rumus umum untuk barisan itu, kecuali ....
(A) $U_n=(-1)^n $
(B) $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi $
(C) $U_n=-\cos (n-1)\pi $
(D) $U_n=-\sin (n-1)\pi $
(E) $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Cek setiap pilihan dengan menggantikan nilai $n$
$U_n=\left\langle -1,1,-1,1,... \right\rangle $
artinya : $U_1 = -1, U_2=1, U_3=-1, ....$
Cukup dicek untuk $n=1$ dan hasilnya harus $ \, -1 \, $ karena $U_1=-1$
A. $U_n=(-1)^n \rightarrow U_1=(-1)^1 = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
B. $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-\frac{1}{2})\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
C. $U_n=-\cos (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\cos (1-1)\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
D. $U_n=-\sin (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-1)\pi = 0 \, \, \, \, \, \, $ (salah)
E. $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. \rightarrow U_1= -1 $ karena $n$ ganjil (benar)
Jadi, opsi yang salah adalah opsi D. $ \heartsuit $
Nomor 14
Luas daerah pada bidang $XOY$ yang memenuhi hubungan $|x|+|y| \leq 2 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Definisi harga mutlak
$|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. \, \, \, $ dan $ \, \, \, |y| = \left\{ \begin{array}{cc} y & , y \geq 0 \\ -y & , y < 0 \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Menghilangkan harga mutlak dari bentuk $|x|+|y| \leq 2 $
* untuk $x \geq 0 , y \geq 0 \rightarrow |x| = x , |y|=y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, x+y \leq 2 \rightarrow (0,2)\, (2,0) $
* untuk $x \geq 0 , y < 0 \rightarrow |x| = x , |y|=-y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, x-y \leq 2 \rightarrow (0,-2)\, (2,0) $
* untuk $x < 0 , y \geq 0 \rightarrow |x| = -x , |y|=y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, -x+y \leq 2 \rightarrow (0,2)\, (-2,0) $
* untuk $x < 0 , y < 0 \rightarrow |x| = -x , |y|=-y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, -x-y \leq 2 \rightarrow (0,-2)\, (-2,0) $
$\spadesuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_k526_5_2010.png
Daerah arsiran membentuk belah ketupat
Luas arsir = $\frac{d_1.d_2}{2} = \frac{4\times 4 }{2} = 8 $
Jadi, luasnya adalah 8. $ \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^2-1}{x-1} & , x \neq 1 \\ 3 & , x = 1 \end{array} \right. $
Semua pernyataan berikut benar, kecuali ...
(A) $\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = 2 $
(B) $\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
(C) $f$ kontinu di $x=0$
(D) $f$ tidak kontinu di $x=1$
(E) $f$ mempunyai turunan di $x=1$
$\clubsuit \, $ Fungsi $f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^2-1}{x-1} & , x \neq 1 \\ 3 & , x = 1 \end{array} \right. $
maksudnya, untuk $x=1$ maka $f(1) = 3 $ , dan untuk $x\neq 1 $ maka $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} $
$\clubsuit \, $ Cek setiap pilihan
(A). limit $x$ mendekati 1, artinya $x\neq 1 $ sehingga $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} $
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2-1}{x-1} \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{2x}{1} \\ & = 2\times 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) & = 2 \, \, \text{(Benar)} \\ \end{align*}$
(B). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = 2 , \, f(1) = 3 $
$\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) \, \, \, $ (Benar)
(C). $f$ kontinu di $x=0$ , harus dibuktikan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = f(0) $
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{0^2-1}{0-1} = 1 $
Nilai $ f(0) = \frac{0^2-1}{0-1} = 1 $
Karena $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = f(0) $ , maka $f$ kontinu di $x=0 \, \, $ (Benar)
(D). $f$ tidak kontinu di $x=1$ , harus dibuktikan $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
Berdasarkan opsi B, benar bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
(E). Konsep dasar turunan di $x=a$ : $f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $
Artinya : suatu fungsi $f$ mempunyai turunan di $x=a$ jika nilai fungsi $f^\prime (a) $ ada (terdefinisi) yaitu hasilnya bukan $\infty $ atau $-\infty $
* Menghitung nilai $f^\prime (1) $
$f(1+h) = \frac{(1+h)^2-1}{(1+h)-1} = \frac{h^2+2h}{h} = h +2 \, \, $ dan $\, f(1) = 3 $
$\begin{align*} f^\prime (a) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ f^\prime (1) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{(h+2)-3}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{h-1}{h} = \frac{0-1}{0} = \frac{-1}{0} \\ f^\prime (1) & = -\infty \end{align*}$
Karena nilai $f^\prime (1) = -\infty \, \, $ (tidak terdefinisi), maka $f$ tidak punya turunan di $x=1$ . (Salah)
Jadi, yang salah adalah opsi E. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 526 tahun 2010 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\frac{2-\sin \theta}{\cos \theta} \leq \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $ untuk $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Ruas kanan di nol kan
$\begin{align} \frac{2-\sin \theta}{\cos \theta} & \leq \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \\ \frac{2-\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}& \leq 0 \\ \frac{2\sin \theta - \sin ^2 \theta - \cos ^2 \theta}{\cos \theta \sin \theta}& \leq 0 \\ \frac{2\sin \theta - ( \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta ) }{\cos \theta \sin \theta}& \leq 0 \\ \frac{2\sin \theta - 1 }{\cos \theta \sin \theta}& \leq 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\theta$
$2\sin \theta - 1 \rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2} \rightarrow \theta = \frac{\pi}{6} , \frac{5\pi}{6} $
$ \cos \theta = 0 \rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} $
$\sin \theta = 0 \rightarrow \theta = 0 , \pi $
sbmptn_mat_ipa_k526_2_2010.png
$\spadesuit \, $ Karena $\theta$ pada interval $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ , maka solusi yang memenuhi adalah $0 < \theta \leq \frac{\pi}{6} $
Jadi, HP = $ 0 < \theta \leq \frac{\pi}{6} . \heartsuit $
Nomor 7
Panjang dua sisi suatu segitiga adalah 10 cm dan 8 cm. Semua nilai berikut dapat menjadi nilai keliling segitiga tersebut, kecuali ...
$\clubsuit \, $ Pertidaksamaan pada sisi segitiga
sbmptn_mat_ipa_k526_3a_2010.png
$\clubsuit \, $ Deskripsi gambar
sbmptn_mat_ipa_k526_3b_2010.png
artinya nilai $x$ terbesar adalah kurang dari 18 .
$\clubsuit \, $ Keliling segitiga
$\begin{align} \text{Keliling} \, \Delta & = 10 + 8 + x \\ \text{Keliling} \, \Delta & < 10 + 8 + 18 \\ \text{Keliling} \, \Delta & < 36 \end{align}$
sehingga keliling yang mungkin kurang dari 36.
Jadi, keliling yang tidak mungkin lebih besar sama dengan 36, yaitu opsi E. $ \heartsuit$

Cara II
$\clubsuit \, $ Jika diketahui dua sisi pada segitiga , misalkan $a$ dan $b$ dengan $a \geq b $ , maka rentang keliling segitiga yang mungkin adalah $2a < K \Delta < 2(a+b) $
$\clubsuit \, $ diketahui panjang sisi segitiga, $a=10$ , dan $b=8$ , Rentang kelilingnya :
$\begin{align} 2a < & \text{Keliling} \, \Delta < 2 (a+b) \\ 2.10 < & \text{Keliling} \, \Delta < 2 (10+8) \\ 20 < & \text{Keliling} \, \Delta < 36 \end{align}$
Jadi, keliling yang tidak mungkin diluar interval di atas, yaitu 36, opsi E. $ \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui fungsi $g$ kontinu di $ x = 3 $ dan $\displaystyle \lim_{x \to 3} g(x) = 2 $ .
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 3} \left( g(x)\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x).g(x) = \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) . \displaystyle \lim_{x \to a} g(x)$ .
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan limitnya
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 3} \left( g(x)\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} (\sqrt{x}+\sqrt{3}) \\ & = 2 \times (\sqrt{3} + \sqrt{3}) \\ & = 2 \times 2\sqrt{3} \\ & = 4\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, hasilnya adalah $ 4\sqrt{3} . \heartsuit$

Cara II
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x).g(x) = \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) . \displaystyle \lim_{x \to a} g(x)$ .
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan limitnya
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 3} \left( g(x)\frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} g(x). \displaystyle \lim_{x \to 3} 2\sqrt{x} \\ & = 2 \times 2\sqrt{3} \\ & = 4\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, hasilnya adalah $ 4\sqrt{3} . \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $g(x)=f(x^2+2) $ . Jika diketahui bahwa $g^\prime (1) = 8 $ , maka nilai $f^\prime (3) $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
$y=f\left[ h(x) \right] \rightarrow y^\prime = f^\prime \left[ h(x) \right] . h^\prime (x) $
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsinya dan substitusi $x=1$
$\begin{align*} g(x) & =f(x^2+2) \\ g^\prime (x) & = f^\prime (x^2+2) . (2x) \\ x=1 \rightarrow g^\prime (1) & = f^\prime (1^2+2) . (2.1) \\ 8 & = f^\prime (3) . 2 \\ f^\prime (3) & = \frac{8}{2} \\ f^\prime (3) & = 4 \end{align*}$
Jadi, nilai $ f^\prime (3) = 4 . \heartsuit $
Nomor 10
Daerah R di kuadran satu, dibatasi oleh grafik $y=x^2, \, y=x+2 $ dan $y=0 $ . Integral yang menyatakan luas daerah R adalah ...
$\spadesuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_k526_4_2010.png
$\spadesuit \, $ Titik potong kedua kurva
$\begin{align*} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = x + 2 \\ x^2 - x- 2 & = 0 \\ (x+1)(x-2) & = 0 \\ x=-1 & \vee x =2 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Luas daerah arsiran
$\begin{align*} \text{L}_\text{arsir} & = L_A + L_B \\ & = \int \limits_{-2}^{-1} (x+2) dx + \int \limits_{-1}^0 x^2 dx \end{align*}$
Jadi, Luasnya adalah $\int \limits_{-2}^{-1} (x+2) dx + \int \limits_{-1}^0 x^2 dx . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh 2 komentar:

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 526 tahun 2010


Nomor 1
Nilai $p$ agar vektor $\, \, pi+2j-6k \, \, $ dan $\, \, 4i-3j+k \, \, $ saling tegak lurus adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan vektor-vektornya
$\vec{u} = (p \, \, \, 2 \, \, \, -6) $ dan $\vec{v} = (4 \, \, \, -3 \, \, \, 1) $
$\clubsuit \, $ Vektor $\vec{u} $ tegak lurus vekor $\vec{v}$ , syarat : $\vec{u}.\vec{v} = 0 $
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v} & = 0 \\ \, \, \, p.4 + 2.(-3) + (-6).1 & = 0 \\ 4p-6-6 & = 0 \\ 4p & = 12 \\ p & = 3 \end{align*}$
Jadi, nilai $p=3 .\heartsuit $
Nomor 2
Jika garis singgung kurva $y=2x\cos 3x $ di titik ($\pi , -2\pi $ ) tegak lurus dengan garis $g$ , maka persamaan garis $g$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung di titik ($\pi , -2\pi $ ), $m = f^\prime (\pi ) $
$\begin{align} y & =2x\cos 3x \\ y^\prime & = 2\cos 3x - 6x\sin 3x \\ m_1 & = f^\prime (\pi ) \\ m_1 & = 2\cos 3\pi - 6\pi . \sin 3\pi \\ & = 2.(-1) - 6\pi . (0) \\ m_1 & = -2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Garis $g$ tegak lurus garis singgung, sehingga gradiennya
$m_1.m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} $
sehingga gradien garis $g$ adalah $m = \frac{1}{2} $
$\spadesuit \, $ Persamaan garis $g$
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(-2\pi) & = \frac{1}{2} (x- \pi) \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y + 4\pi & = (x- \pi) \\ y & = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\pi \end{align}$
Jadi, persamaan garis $g$ adalah $ y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\pi . \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui suku banyak $P(x) = x^4+2x^3-9x^2-2x+k $ habis dibagi $x-2 $ . Jika $P(x) $ dibagi $x-1 $ sisanya adalah ...
$\clubsuit \, $ Teorema sisa : $\frac{P(x)}{x-a} \rightarrow $ Sisa = $P(a)$
$\clubsuit \, P(x) $ habis dibagi $x-2$ , maka sisanya nol
$\begin{align} P(2) & = \text{sisa} \\ 2^4+2.2^3-9.2^2-2.2+k & = 0 \\ -8 + k & = 0 \\ k & = 8 \end{align}$
Sehingga $P(x) = x^4+2x^3-9x^2-2x+8 $
$\spadesuit \, P(x) $ dibagi $x-1 \rightarrow $ sisa = $P(1)$
Sisa = $p(1) = 1^4+2.1^3-9.1^2-2.1+8 = 0 $
Jadi, sisanya adalah 0 . $ \heartsuit $
Nomor 4
Persamaan kuadrat yang mempunyai akar $a$ dan $b$ sehingga $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{7}{10} $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} & = \frac{7}{10} \\ \frac{a+b}{ab} & = \frac{7}{10} \\ \frac{a+b}{ab} & = \frac{7}{10} = \frac{14}{20} = \frac{21}{30} = \frac{28}{40} = .... \end{align}$
artinya nilai terkecil dari $a+b = 7 $ dan $ab=10$
$\spadesuit \, $ Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $a$ dan $b$
$\begin{align} x^2 - (a+b)x+ab & = 0 \\ x^2 - 7x+ 10 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 - 7x+ 10 = 0 . \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P pada CT sehingga TP : PC = 2 : 1. Jarak P ke bidang BDT adalah ...
$\clubsuit \, $ Gambarnya :
sbmptn_mat_ipa_k526_1_2010.png sbmptn_mat_ipa_k526_1a_2010.png
$\clubsuit \, $ Jarak P ke bidang BDT sama dengan jarak Pke garis TN atau panjang PM
$\clubsuit \, $ Konsep kesebangunan, $\Delta$TPM sebangun dengan $\Delta$TCN
$\begin{align} \frac{PM}{NC} & = \frac{TP}{TC} \\ \frac{PM}{3\sqrt{2}} & = \frac{4}{6} \\ PM & = \frac{4}{6} . 3\sqrt{2} \\ PM & = 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jaraknya adalah $ 2\sqrt{2} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)