Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 641

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $ , maka ...
(1). $ f $ terdefinisi di $ x \geq 0 $
(2). $ f^\prime (2) = \frac{2}{3} $
(3). $ y = \frac{2}{3}x-\frac{1}{3} $ adalah garis singgung di $ x = 2 $
(4). $ f $ selalu mempunyai turunan di setiap titik

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Suatu fungsi $ f(x) $ mempunyai turunan di $ x = a $ jika $ f(x) $ mempunyai nilai limit di $ x = a $.
*). Fungsi $ f(x) $ mempunyai nilai limit di $ x = a $ jika nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanannya yaitu :
$ \displaystyle \lim_{x \to a^- } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^+ } f(x) $
*). Fungsi $ f(x) $ terdefinisi di $ x = a $ jika $ f(a) \neq \frac{b}{0} $
(penyebutnya tidak boleh nol).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = (x-1)^\frac{2}{3} \\ f ^\prime (x) & = \frac{2}{3} . (x-1)^{\frac{2}{3} - 1} \\ & = \frac{2}{3} . (x-1)^{- \frac{1}{3} } \\ & = \frac{2}{3(x-1)^\frac{1}{3}} \end{align} $
*). Kita cek setiap pernyataan :
(1). $ f $ terdefinisi di $ x \geq 0 $ ?
$ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $ , terdefinisi untuk $ x \geq 0 $ karena hasilnya tidak berbentuk $ \frac{b}{0} $
Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ f^\prime (2) = \frac{2}{3} $ ?
$ f ^\prime (x) = \frac{2}{3(x-1)^\frac{1}{3}} $
$ f ^\prime (2) = \frac{2}{3(2-1)^\frac{1}{3}} = \frac{2}{3.1} = \frac{2}{3} $
Pernyataan (2) BENAR.

(3). $ y = \frac{2}{3}x-\frac{1}{3} $ adalah garis singgung di $ x = 2 $ ?
-). Menentukan titik singgung $ (x_1, y_1) $ :
$ x = 2 \rightarrow y = f(2) = (1-1)^\frac{2}{3} = 1 $
sehingga $ (x_1, y_1) = ( 2,1) $
-). Menentukan gradien di $ x_1 = 2 $ :
$ m = f^\prime (2) = \frac{2}{3} \, $ (dari pernyataan (2))
-). Menyusun garis singgungnya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - 1 & = \frac{2}{3}(x - 2) \\ y - 1 & = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \\ y & = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 1 \\ y & = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} + 1 \end{align} $
Pernyataan (3) BENAR.

(4). $ f $ selalu mempunyai turunan di setiap titik ?
Fungsi $ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $ selalu mempunyai nilai limit untuk semua $ x $ sehingga $ f(x) $ juga mempunyai turunan untuk semua $ x $ (semua titik).
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga semua pernyataan BENAR, jawabannya E.
Jadi, semua pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 641

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $ , maka nilai $ ( g \circ h)(3) $ adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers FUngsi $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} $ yaitu $ f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a} $
*). Sifat invers fungsi dan komposisi :
$ (f \circ f^{-1} )(x) = ( f^{-1} \circ f)(x) = x $
Misalkan $ (f \circ f^{-1} )(4) = ( f^{-1} \circ f)(4) = 4 $
(sifat saling invers dua fungsi).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $
$ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{-(-4)x - 3}{-x - (-a)} = \frac{4x - 3}{-x+a} $
$ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} \rightarrow h^{-1} (x) = \frac{-ax - 3}{-x - 4} $
-). Dari penjabaran di atas, kita peroleh bahwa invers dari $ g(x) $ adalah $ h(x) $ dan berlaku sebaliknya. Ini kita sebut $ g(x) $ dan $ h(x) $ saling invers dan berlaku sifat invers komposisi yaitu $ (g \circ h)(x) = (h \circ g)(x) = x $
-). Hasil akhir :
$ ( g \circ h)(3) = 3 $ begitu juga $ (h \circ g)(3) = 3 $.
Jadi, nilai $ ( g \circ h)(3) = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Komposisi Fungsi Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 641

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $ , maka nilai $ ( g \circ h)(3) $ adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi Fungsi :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi yang di kiri)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $
*). Menentukan hasil $ ( g \circ h)(3) $
$\begin{align} ( g \circ h)(3) & = g ( h(3)) \\ & = g \left( \frac{4.3-3}{-3+a} \right) \\ & = g \left( \frac{9}{a - 3} \right) \\ & = \frac{-a.\frac{9}{a - 3}-3}{-\frac{9}{a - 3}-4} \\ & = \frac{-a.\frac{9}{a - 3}-3}{-\frac{9}{a - 3}-4} \times \frac{(a-3)}{(a-3)} \\ & = \frac{-9a - 3(a-3)}{-9 - 4(a-3)} \\ & = \frac{-9a -3a + 9}{-9 - 4a + 12} \\ & = \frac{-12a + 9}{ - 4a + 3} \\ & = \frac{3(-4a + 3)}{ (- 4a + 3)} \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ ( g \circ h)(3) = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 641

Soal yang Akan Dibahas
Banyak cara menyusun 3 bola merah dan 9 bola hitam dalam bentuk dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada 2 bola hitam di antara 2 bola merah yang berdekatan adalah ....
A). $ 180 \times 8! \, $ B). $ 240 \times 7! \, $ C). $ 364 \times 6! \, $ D). $ 282 \times 4! \, $ E). $ 144 \times 5! $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan penyusunan tempat duduk menggunakan PERMUTASI karena memperhatikan URUTAN.
*). Permutasi siklis (tempat duduk melingkar)
Misalkan ada $ n $ orang duduk melingkar, maka total cara ada $ (n-1)! $
*). Pemilihan $ r $ unsur dari $ n $ unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutan yaitu $ P_r^n $ dengan rumus : $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun 3 bola merah dan 9 bola hitam dalam bentuk dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada 2 bola hitam di antara 2 bola merah yang berdekatan. Agar kondisi ini terpenuhi, maka berikut susunan yang bisa kita tentukan yaitu :
-). Setiap bola merah kita letakkan di tengah dua bola hitam, sehingga kita blok tiga bola jadi satu susunan yaitu HMH, HMH, dan HMH. Sementara 3 bola hitam lainnya bebas untuk mengisi celah yang ada. Perhatikan ilustrasi gambar berikut.


*). Menghitung cara penyusunannya :
-). Setelah kita blok seperti pada gambar, sekarang ada 6 bagian yang kita susun duduk melingkar dengan banyak cara penyusunan : $ (6-1)! = 5! $
-). Banyak cara pemilihan 6 bola hitam untuk diletakkan berdampingan dengan bola merah yaitu kita memilih 6 bola hitam dari 9 bola hitam yang tersedia yaitu sebanyak $ P_6^9 $.
$ P_6^9 = \frac{9!}{(9-6)!} = \frac{9!}{3!} = 9.8.7.6.5.4 $
*). Total cara :
$\begin{align} \text{total } & = 5! \times (9.8.7.6.5.4) \\ & = 9.5.4.(8.7.6.5!) \\ & = 180 \times 8! \end{align} $

*). Catatan :
Susunan yang bisa kita pilih agar memenuhi permintaan di soal yaitu seperti gambar berikut :



Jadi, total penyusunan sebanyak $ 180 \times 8!. \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 641

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sistem $ a^2x-3y=1 $ , $ \frac{4}{3}\left( a + \frac{3}{2} \right) x + \left( \frac{1}{a} + 1 \right) y = 6 $. Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka $ a = ... $
A). $ \{ a \in R : a = 12 \text{ dan } a = 2 \} \, $
B). $ \{ a \in R : a = 6 \text{ dan } a = 4 \} \, $
C). $ \{ a \in R : a = 3 \text{ dan } a = -2 \} \, $
D). $ \{ a \in R : a = -5 \text{ dan } a = 2 \} \, $
E). $ \{ a \in R : a = -2 \text{ dan } a = -3 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian sistem persamaan :
Sistem persamaan $ ax + by = c $ dan $ px + qy = r $ tidak memiliki tepat satu solusi jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} $
(bandingkan koefisien $ x $ sendiri dan koefisien $ y $ sendiri).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). sistem persamaan $ a^2x-3y=1 $ , $ \frac{4}{3}\left( a + \frac{3}{2} \right) x + \left( \frac{1}{a} + 1 \right) y = 6 $ tidak memiliki tepat satu penyelesaian jika memenuhi :
$\begin{align} \frac{a^2}{ \frac{4}{3}\left( a + \frac{3}{2} \right)} & = \frac{-3}{\left( \frac{1}{a} + 1 \right)} \\ a^2 . \left( \frac{1}{a} + 1 \right) & = (-3). \frac{4}{3}\left( a + \frac{3}{2} \right) \\ a + a^2 & = (-4). \left( a + \frac{3}{2} \right) \\ a + a^2 & = -4a -6 \\ a^2 + 5a + 6 & = 0 \\ (a + 2)(a + 3) & = 0 \\ a = -2 \vee a & = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = -2 \text{ dan } a = -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 641

Soal yang Akan Dibahas
Jika persamaan kuadrat $ x^2 - px + q = 0 $ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $ p - q $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). FUngsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum/minimum saat $ f^\prime (x) = 0 $
*). Untuk cek jenis maksimum atau minimum, kita gunakan turunan ke dua :
Misalkan dari bentuk $ f^\prime (x) = 0 $ kita peroleh $ x_1 $.
Cek apakah $ x_1 $ menyebabkan $ f(x) $ maksimum atau minimum.
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 \, $ maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 \, $ maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 \, $ maka jenisnya maksimum
*). RUmus turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan kuadrat $ x^2 - px + q = 0 $ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif. Kita misalkan akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 = k $ dan $ x_2 = \frac{1}{k} $ (saling berkebalikan) serta $ k < 0 $ karena akar bernilai negatif.
*). Operasi akar-akar :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ k + \frac{1}{k} & = \frac{-(-p)}{1} \\ k + \frac{1}{k} & = p \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ k . \frac{1}{k} & = \frac{q}{1} \\ 1 & = q \end{align} $
Kita peroleh $ p = k + \frac{1}{k} $ dan $ q = 1 $
Sehingga $ p - q = k + \frac{1}{k} - 1 = k + k^{-1} - 1 $
Kita misalkan $ p - q = y $ , sehingga $ y = k + \frac{1}{k} - 1 = k + k^{-1} - 1 $
*). Nilai $ p - q $ akan maksimum/minimum saat $ y^\prime = 0 $ :
$\begin{align} y & = k + k^{-1} - 1 \\ y^\prime & = 1 + (-1)k^{-2} = 1 - \frac{1}{k^2} \\ y^{ \prime \prime } & = (-2). (-1)k^{-3} = \frac{2}{k^3} \\ \text{Syarat : } y^\prime & = 0 \\ 1 - \frac{1}{k^2} & = 0 \\ k^2 & = 1 \\ k & = \pm 1 \end{align} $
*). Ujia turunan kedua :
$\begin{align} k = 1 \rightarrow y^{ \prime \prime } & = \frac{2}{1^3} = 2 > 0 \, \, \text{(minimum)} \\ k = -1 \rightarrow y^{ \prime \prime } & = \frac{2}{(-1)^3} = -2 < 0 \, \, \text{(maksimum)} \end{align} $
Artinya bentuk $ y = k + \frac{1}{k} - 1 $ akan maksimum pada saat $ k = -1 $ dan ini sesuai dengan syarat yaitu $ k < 0 $.
*). Menentukan nilai maksimum $ p - q $ dengan $ k = -1 $ :
$\begin{align} p - q & = k + \frac{1}{k} - 1 \\ & = (-1) + \frac{1}{-1} - 1 \\ & = (-1) + (-1) - 1 \\ & = -3 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum $ p -q $ adalah $ -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 641

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^7 \log ( {}^3 \log ( {}^2 \log x )) = 0 $ , maka nilai $ 2x + {}^4 \log x^2 $ adalah ....
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 19 \, $ D). $ 21 \, $ E). $ 24 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi Logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat Logaritma :
$ {}^a \log a = 1 $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Nilai $ x $ dengan definisi logaritma :
$\begin{align} {}^7 \log ( {}^3 \log ( {}^2 \log x )) & = 0 \\ {}^3 \log ( {}^2 \log x ) & = 7^0 \\ {}^3 \log ( {}^2 \log x ) & = 1 \\ {}^2 \log x & = 3^1 \\ {}^2 \log x & = 3 \\ x & = 2^3 \\ x & = 8 \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} 2x + {}^4 \log x^2 & = 2 . 8 + {}^4 \log 8^2 \\ & = 16 + {}^4 \log 64 \\ & = 16 + {}^4 \log 4^3 \\ & = 16 + 3.{}^4 \log 4 \\ & = 16 + 3.1 \\ & = 16 + 3 = 19 \end{align} $
Jadi, nilai $ 2x + {}^4 \log x^2 = 19 . \, \heartsuit $