Pembahasan Penggunaan Turunan SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui persegi panjang ABCD dengan ukuran panjang 12 cm dan lebar 8 cm. Pada masing-masing sisi, ditetapkan sebuah titik sejauh $ x $ cm dari setiap titik sudut, sehingga terbentuk sebuah segiempat PQRS seperti tampak pada gambar. Luas terkecil yang mungkin dari segiempat PQRS adalah ... cm$^2$.
A). $ 40 \, $ B). $ 46 \, $ C). $ 64 \, $ D). $ 72 \, $ E). $ 85 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep penggunaan turunan :
Nilai maksimum/minimum fungsi $ y = f(x) $ diperoleh pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
(Turunan pertama $ = 0 $).
*). Luas bangun datar :
Luas persegi panjang $ = $ panjang $ \, \times \, $ lebar
Luas segitiga $ = \frac{\text{alas} \times \text{tinggi}}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar detailnya :

*). Menentukan fungsi luas PQRS :
-). Luas PQRS diperoleh dengan mengurangkan luas persegi panjang ABCD dengan empat segitiga-segitiga kecil.
$\begin{align} L_{PQRS} & = L_{ABCD} - \left( 2L_{BSR} + 2L_{APS} \right) \\ & = 12 \times 8 - \left( 2\times \frac{(12-x).x}{2} + 2\times \frac{(8-x).x}{2} \right) \\ & = 96 - \left( (12-x).x + (8-x).x \right) \\ & = 96 - \left( 12x - x^2 + 8x - x^2 \right) \\ & = 96 - \left( 20x - 2x^2 \right) \\ L_{PQRS} & = 2x^2 - 20x + 96 \\ L_{PQRS} & = 2x^2 - 20x + 96 \\ L^\prime _{PQRS} & = 4x - 20 \, \, \, \, \, \text{(turunannya)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan $ L^\prime _{PQRS} = 0 $ :
$\begin{align} L^\prime _{PQRS} & = 0 \\ 4x - 20 & = 0 \\ 4x & = 20 \\ x & = \frac{20}{4} = 5 \end{align} $
Artinya $ L_{PQRS} $ minimum pada saat $ x = 5 $.
*). Menentukan luas minimum PQRS dengan $ x = 5 $ :
$\begin{align} L_{PQRS} & = 2x^2 - 20x + 96 \\ & = 2.5^2 - 20.5 + 96 \\ & = 50 - 100 + 96 \\ & = 46 \end{align} $
Jadi, luas terkecil PQRS adalah 46 cm$^2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x)=x^2 + ax $ dan $ g(x) = x^2 - 2x + a $. Jika $ h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $ dengan $ h(1) = -2 $ , maka nilai $ h^\prime (0) $ adalah ...
A). $ -\frac{3}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{6} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar turunan :
(1). $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
(2). $ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
(3). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
(4). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V - U . V^\prime}{V^2} $


$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui :
$ f(x)= x^2 + ax \rightarrow f^\prime (x) = 2x + a $
$ g(x) = x^2 - 2x + a \rightarrow g^\prime (x) = 2x - 2 $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ h(1) = -2 $ :
$\begin{align} h(x) & = \frac{f(x)}{g(x)} \\ h(x) & = \frac{x^2 + ax}{x^2 - 2x + a} \\ h(1) & = \frac{1^2 + a.1}{1^2 - 2.1 + a} \\ -2 & = \frac{1 + a}{-1 + a} \\ 1 + a & = -2a + 2 \\ 3a & = 1 \\ a & = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ h^\prime (0) $ :
$\begin{align} h(x) & = \frac{f(x)}{g(x)} \\ h^\prime (x) & = \frac{f^\prime (x) . g(x) - f(x) . g^\prime (x)}{[g(x)]^2} \\ h^\prime (x) & = \frac{(2x+a).(x^2 - 2x + a) - (x^2 + ax ). (2x-2)}{(x^2 - 2x + a)^2} \\ h^\prime (0) & = \frac{(2.0+a).(0^2 - 2.0 + a) - (0^2 + a.0 ). (2.0-2)}{(0^2 - 2.0 + a)^2} \\ & = \frac{(a).(a) - (0). (-2)}{(a)^2} \\ & = \frac{a^2 - 0}{a^2} = \frac{a^2}{a^2} = 1 \end{align} $
(ternyata nilai $ a $ tidak dipakai untuk menentukan nilai $ h^\prime (0) $)
Jadi, nilai $ h^\prime (0) = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \left( \frac{-16-6x^4}{x^2} \right) dx = .... $
A). $ \frac{16}{x} + 2x^3 + C \, $
B). $ \frac{16}{x} - 2x^3 + C \, $
C). $ -\frac{16}{x} - x^3 + C \, $
D). $ -\frac{8}{x} + 2x^3 + C \, $
E). $ \frac{8}{x} - 2x^3 + C $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar integral :
$ \int \, ax^n \, dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c $
*). Sifat eksponen :
$ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \, $ dan $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil integralnya :
$\begin{align} & \int \left( \frac{-16-6x^4}{x^2} \right) dx \\ & = \int \left( \frac{-16}{x^2} - \frac{6x^4}{x^2}\right) dx \\ & = \int \left( -16x^{-2} - 6x^2 \right) dx \\ & = \frac{-16}{-2+1}x^{-2+1} - \frac{6}{2+1}x^{2+1} + c \\ & = \frac{-16}{-1}x^{-1} - \frac{6}{3}x^{3} + c \\ & = 16. \frac{1}{x} - 2x^{3} + c \\ & = \frac{16}{x} - 2x^{3} + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int \left( \frac{-16-6x^4}{x^2} \right) dx = \frac{16}{x} - 2x^{3} + c . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Invers SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers. Jika $ g(2f(x)) = 2x -1 $ dan $ f(x-2) = x+ 3 $ , maka nilai $ f^{-1}(-1). g^{-1}(-1) $ adalah ...
A). $ -60 \, $ B). $ -50 \, $ C). $ -40 \, $ D). $ -30 \, $ E). $ -20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 - 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x-2) = x + 3 $ :
$\begin{align} f(x-2) & = x + 3 \\ f^{-1}(x+3) & = x - 2 \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(-1) $ , maka $ x + 3 = -1 \rightarrow x = -4 $ :
$\begin{align} x = -4 \rightarrow f^{-1}(x+3) & = x - 2 \\ f^{-1}(-4+3) & = -4 - 2 \\ f^{-1}(-1) & = -6 \end{align} $
*). Fungsi $ g(2f(x)) = 2x -1 $ :
$\begin{align} g(2f(x)) & = 2x -1 \\ g^{-1}(2x - 1) & = 2f(x) \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ g^{-1}(-1) $ , maka $ 2x-1 = -1 \rightarrow x = 0 $ :
-). Dari bentuk $ f(x-2) = x + 3 $, agar memperoleh nilai $ f(0) $ , maka $ x - 2 = 0 \rightarrow x = 2 $
$ f(x-2) = x + 3 \rightarrow f(2-2) = 2 + 3 \rightarrow f(0) = 5 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow g^{-1}(2x - 1) & = 2f(x) \\ g^{-1}(2.0 - 1) & = 2f(0) \\ g^{-1}( - 1) & = 2\times 5 \\ g^{-1}( - 1) & = 10 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) $ :
$\begin{align} f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) & = (-6) \times 10 = -60 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) = -60 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Invers SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers. Jika $ g(2f(x)) = 2x -1 $ dan $ f(x-2) = x+ 3 $ , maka nilai $ f^{-1}(-1). g^{-1}(-1) $ adalah ...
A). $ -60 \, $ B). $ -50 \, $ C). $ -40 \, $ D). $ -30 \, $ E). $ -20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Untuk mengubah fungsi menjadi $ f(x) $ atau $ g(x) $, bisa menggunakan permisalan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x-2) = x + 3 $ :
-). Mengubah menjadi $ f(x) $
Misalkan $ x - 2 = p \rightarrow x = p + 2 $
$\begin{align} f(x-2) & = x + 3 \\ f(p) & = (p+2) + 3 \\ f(p) & = p + 5 \\ f(x) & = x + 5 \end{align} $
-). Menentukan invers dari $ f(x) = x + 5 $ :
$\begin{align} f(x) & = x + 5 \\ y & = x + 5 \\ x & = y - 5 \\ f^{-1}(x) & = x - 5 \end{align} $
Nilai $ f^{-1}(-1) = -1 - 5 = -6 $
*). Menentukan fungsi $ g(x) $ :
$\begin{align} g(2f(x)) & = 2x -1 \\ g(2(x+5)) & = 2x -1 \\ g(2x+10) & = 2x -1 \end{align} $
Misalkan $ 2x+10 = q \rightarrow 2x = q - 10 $
$\begin{align} g(2x+10) & = 2x -1 \\ g(q) & = (q-10) -1 \\ g(q) & = q - 11 \\ g(x) & = x - 11 \\ \end{align} $
-). Menentukan invers dari $ g(x) = x - 11 $ :
$\begin{align} g(x) & = x - 11 \\ y & = x - 11 \\ x & = y + 11 \\ g^{-1}(x) & = x + 11 \end{align} $
Nilai $ g^{-1}(-1) = -1 + 11 = 10 $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) $ :
$\begin{align} f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) & = (-6) \times 10 = -60 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(-1).g^{-1}(-1) = -60 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Komposisi SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f(x) = \frac{1}{x+a} $ , $ g(x) = x^2 + b $, $ (f \circ g) (1) = \frac{1}{2} $ , dan $ (g \circ f)(1) = 2 $ , maka nilai $ ab $ adalah ...
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi pengerjaannya dari kanan ke kiri :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Sifat eksponen :
$ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} $
$ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ f(x) = \frac{1}{x+a} $ dan $ g(x) = x^2 + b $
Kita peroleh :
$ g(1) = 1^2 + b = 1 + b $
$ f(1+b) = \frac{1}{1+b+a} $
$ f(1) = \frac{1}{1+a} $
$ g \left( \frac{1}{1+a} \right) = \left( \frac{1}{1+a} \right)^2 + b = \frac{1}{(1+a)^2} +b $
*). Menyusun persamaan pertama :
$\begin{align} (f \circ g)(1) & = \frac{1}{2} \\ f (g(1)) & = \frac{1}{2} \\ f (1+b) & = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{1+b+a} & = \frac{1}{2} \\ 1+b+a & = 2 \\ b & = 1 - a \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menyusun persamaan Kedua:
$\begin{align} (g \circ f)(1) & = 2 \\ g(f(1)) & = 2 \\ g\left( \frac{1}{1+a} \right) & = 2 \\ \frac{1}{(1+a)^2} +b & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke (ii) :
$\begin{align} \frac{1}{(1+a)^2} +b & = 2 \\ \frac{1}{(1+a)^2} +(1-a) & = 2 \\ \frac{1}{(1+a)^2} & = 1 + a \\ 1 & = (1+a)^3 \\ 1 + a & = \sqrt[3]{1} \\ 1 + a & = 1 \\ a & = 0 \end{align} $
Pers(i) : $ b = 1 - a = 1 - 0 = 1 $
Sehingga nilai $ ab = 0 \times 1 = 0 $
Jadi, nilai $ ab = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x^2+a^2x+b^2 = 0 $ dengan $ a > 0 $ , $ b > 0 $. Jika jumlah akar persamaan tersebut sama dengan $ -(b+1) $ dan hasil perkalian akar-akarnya $ a^2 + 5 $ , maka nilai $ a+b - ab $ adalah ...
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) $ \, \, \, ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Operasi akar-akar PK :
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2+a^2x+b^2 = 0 $
*). Menyusun persamaan :
-). jumlah akar-akar $ = -(b+1) $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ -(b+1) & = \frac{-a^2}{1} \\ -(b+1) & = -a^2 \\ a^2 -b-1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). hasil perkalian akar-akar $ = a^2 + 5 $
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ a^2 + 5 & = \frac{b^2}{1} \\ a^2 + 5 & = b^2 \\ a^2 & = b^2 - 5 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke (i) :
$\begin{align} a^2 -b-1 & = 0 \\ (b^2 - 5) -b-1 & = 0 \\ b^2 - b- 6 & = 0 \\ (b+2)(b-3) & = 0 \\ b= -2 \vee b & = 3 \end{align} $
Karena syaratnya $ b > 0 $ , maka nilai $ b = 3 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dari Pers(ii):
$ a^2 = b^2 - 5 \rightarrow a^2 = 3^2 - 5 \rightarrow a^2 = 4 \rightarrow a = \pm 2 $.
Karena syaratnya $ a > 0 $ , maka nilai $ a=2 $.
*). Menentukan nilai $ a+b - ab $ :
$\begin{align} a+b - ab & = 2 + 3 - 2.3 \\ & = 5 - 6 = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a+b - ab = -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 517

Soal yang Akan Dibahas
Titik $ (a,b) $ terletak pada grafik $ y = bx^2 + (1-b^2)x - 49 $. Jika $ ab=6 $ , maka nilai $ a - b $ adalah ...
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika suatu titik dilalui oleh grafik/kurva (atau titik berada pada kurva) , maka titik tersebut bisa langsung disubstitusikan ke fungsinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (a,b) $ ke fungsinya dan gunakan $ ab = 6 $ :
$\begin{align} (x,y)=(a,b) \rightarrow y & = bx^2 + (1-b^2)x - 49 \\ b & = b.a^2 + (1-b^2).a - 49 \\ b & = ba^2 + a - ab^2 - 49 \\ b & = (ab).a + a - (ab).b - 49 \\ b & = 6.a + a - 6.b - 49 \\ b & = 6a + a - 6b - 49 \\ 0 & = 7a -7b - 49 \\ 49 & = 7a -7b \, \, \, \, \, \text{(bagi 7)} \\ 7 & = a -b \end{align} $
Jadi, nilai $ a-b = 7 . \, \heartsuit $