Kode 249 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{3x^5 + 4 \sin ^4 x}} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{\sqrt{7}} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{1}{\sqrt{3}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{x} = 1 $ dan $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin ^n x}{x^n} = 1 $
*). Sifat eksponen :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{3x^5 + 4 \sin ^4 x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{3x^5 + 4 \sin ^4 x}} . \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 1}{\sqrt{x^2 + 1} + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(x^2 + 1) - 1}{\sqrt{3x^5 + 4 \sin ^4 x} . (\sqrt{x^2 + 1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{x^4(3x + \frac{4 \sin ^4 x}{x^4})} . (\sqrt{x^2 + 1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{x^4}\sqrt{3x + \frac{4 \sin ^4 x}{x^4}} . (\sqrt{x^2 + 1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2\sqrt{3x + \frac{4 \sin ^4 x}{x^4}} . (\sqrt{x^2 + 1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{3x + 4.\frac{ \sin ^4 x}{x^4}} . (\sqrt{x^2 + 1} + 1)} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3.0 + 4.1} . (\sqrt{0^2 + 1} + 1)} \\ & = \frac{1}{\sqrt{0 + 4} . (\sqrt{0 + 1} + 1)} \\ & = \frac{1}{\sqrt{4} . (\sqrt{ 1} + 1)} = \frac{1}{2 . (2)} = \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{4}. \, \heartsuit $



Kode 249 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 satuan. Titik K adalah titik tengah CD. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara AK dan BH, maka $ \cos \alpha = .... $
A). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{1}{15}\sqrt{15} \, $ D). $ \frac{1}{5}\sqrt{15} \, $ E). $ \frac{1}{3}\sqrt{15} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Cosinus pada segitiga
Pada segitiga ABC di atas berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \, $ atau $ \cos A =\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
*). Dua buah garis membentuk sudut jika kedua garis berpotongan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

*). Garis AK kita geser ke bidang BMNC sehingga berimpit dengan BO dimana $ BO = AK $.
*). Sudut antara AK dan BH adalah sudut HBO.
*). Panjang $ BH = 2\sqrt{3} \, $ (diagonal ruang kubus)
Perhatikan segitiga BCO siku-siku di C :
$ BO = \sqrt{BC^2 + CO^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
Perhatikan segitiga HDO siku-siku di D :
$ HO = \sqrt{HD^2 + DO^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $
*). Aturan Cosinus pada segitiga HBO :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{HB^2 + BO^2 - HO^2}{2 . HB.BO} \\ & = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{13})^2}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}} \\ & = \frac{12 + 5 - 13}{4\sqrt{15}} = \frac{4}{4\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{1}{15}\sqrt{15} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{1}{15}\sqrt{15} . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 249 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x^2+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a + b + c = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ -44 \, $ C). $ 54 \, $ D). $ -64 \, $ E). $ -74 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
atau dapat dipersingkat menjadi :
$ f = ph + s $
Keterangan :
$ f(x) = f \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = p \, $ pembagi,
$ h(x) = h \, $ hasil bagi,
$ s(x) = s \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s_1(x) = 3x^2 - 2 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, $ ....(i)
atau $ f = p.h_1 + s_1 $
*). $ [x^2 +f(x)]^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s_2(x) = ax^2 + bx + c $ dan hasil bagi $ h_2(x) $
*). Menentukan bentuk $ [ x^2 + f(x)]^2 \, $ atau $ [ x^2 + f]^2 $
$\begin{align} [x^2 + f(x)]^2 & = [x^2 + f]^2 \\ & = [ x^2 + p.h_1 + s_1]^2 \\ & = p(2h_1x^2+2h_1s_1+ph_1^2) + x^4+2s_1x^2+s_1^2 \end{align} $
Bentuk $ p(2h_1x^2+2h_1s_1+ph_1^2) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , sehingga tinggal mencari sisa pembagian $ x^4+2s_1x^2+s_1^2 $ oleh $ p $.
*). Menentukan bentuk $ x^4+2s_1x^2+s_1^2 $ :
$\begin{align} x^4+2s_1x^2+s_1^2 & = x^4+2(3x^2 - 2)x^2+(3x^2 - 2)^2 \\ & = x^4+6x^4 - 4x^2+ 9x^4 - 12x^2 + 4 \\ & = 16x^4 - 16x^2 + 4 \end{align} $
Dengan cara pembagian bersusun, sisa pembagian $ 16x^4 - 16x^2 + 4 $ oleh $ p(x) = x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 32x^2 - 80x + 4 $ .
artinya kita peroleh sisa pembagian $ [x^2+f(x)]^2 $ oleh $ p(x)=x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 32x^2 - 80x + 4 $ yang bentuknya sama dengan $ s_2(x) = ax^2 + bx + c $ . Sehingga $ 32x^2 - 80x + 4 = ax^2 + bx + c $ kita peroleh $ a = 32, b = -80, $ dan $ c = 4 $.
*). Menentukan hasil :
$ a + b + c = 32 + (-80) + 4 = -44 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = -44 . \, \heartsuit $



Kode 249 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x^2+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a + b + c = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ -44 \, $ C). $ 54 \, $ D). $ -64 \, $ E). $ -74 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s(x) = 3x^2 - 2 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, $ ....(i)
*). $ [x^2 +f(x)]^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s(x) = ax^2 + bx + c $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ [x^2 +f(x)]^2 = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \, $ ....(ii)
*). Agar kedua persamaan bisa diselesaikan, maka kita harus substitusi nilai $ x $ yang merupakan akar-akar dari pembaginya yaitu $ p(x) = x^3 - 3x + 5 $. Misalkan salah satu akarnya adalah $ x = z $, maka $ p(z) = z^3 - 3z + 5 = 0 $.
*). Dari bentuk $ z^3 - 3z + 5 = 0 $, kita peroleh :
$ z^3 - 3z + 5 = 0 \rightarrow z^3 = 3z - 5 $.
kita kalikan dengan $ z $ :
$ z^3 . z = (3z - 5) . z \rightarrow z^4 = 3z^2 - 5z $.
*). Substitusi $ x = z \, $ ke pers(i) dan $ p(z) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \\ f(z) & = p(z).h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 0.h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 3z^2 - 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align} $
*). Substitusi $ x = z $ ke pers(ii), dan $ p(z) = 0 $ , serta $ z^3 = 3z - 5 , \, z^4 = 3z^2 - 5z $ serta kita gunakan $ f(z) = 3z^2 - 2 $
$\begin{align} [x^2 +f(x)]^2 & = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \\ [z^2 +f(z)]^2 & = p(z).h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [z^2 + 3z^2 - 2 ]^2 & = 0.h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [4z^2 - 2 ]^2 & = az^2 + bz + c \\ 16z^4 - 16z^2 + 4 & = az^2 + bz + c \\ 16(3z^2 - 5z) - 16z^2 + 4 & = az^2 + bz + c \\ 48z^2 - 80z - 16z^2 + 4 & = az^2 + bz + c \\ 32z^2 - 80z + 4 & = az^2 + bz + c \\ \end{align} $
dari persamaan $ 32z^2 - 80z + 4 = az^2 + bz + c $ kita peroleh $ a = 32, b = -80, $ dan $ c = 4 $.
*). Menentukan hasil :
$ a + b + c = 32 + (-80) + 4 = -44 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = -44 . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 249 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 3x - 4 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{32}{5} \, $ B). $ 7 \, $ C). $ \frac{44}{6} \, $ D). $ 8 \, $ E). $ \frac{58}{7} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Konsep Dasar Transformasi :
Pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ sama dengan Rotasi pusat $P(0,c) $ dan matriksnya $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{matrix} \right) $ dimana $ \tan \theta = m $
*). Rotasi dengan pusat $ (m,n) $ dan matriks rotasinya MT :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = MT . \left( \begin{matrix} x - m \\ y-n \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) $
*). Rumus Trogonometri :
$ \sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta $
$ \cos 2 \theta = 1 - 2 \sin ^2 \theta $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 : Konsep Transformasi
*). Pencerminan terhadap garis $ y = 3x - 4 $ sama dengan Rotasi dengan pusat $(m,n) = (0,-4) $ ,
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 3 \tan \theta = \frac{3}{1} = \frac{de}{sa} $
 

Sehingga nilai :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{3}{\sqrt{10}} $
$ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
*). Menentukan nilai $ \sin 2 \theta , \, \cos 2 \theta $ dan matriks transformasinya :
$ \sin 2 \theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 . \frac{3}{\sqrt{10}} . \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
$ \cos 2 \theta = 1 - 2\sin ^2 \theta = 1 - 2 . (\frac{3}{\sqrt{10}})^2 = -\frac{4}{5} $
Matriks transformasinya :
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ dari transformasinya :
Awalnya titik $A(0,0) $ dan bayangannya $ (x^\prime , y^\prime ) = (a,b) $ dengan pusat rotasi $ (m,n) = (0,3) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} x - m \\ y-n \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 - 0 \\ 0- (-4) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{12}{5} \\ \frac{16}{5} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{12}{5} \\ -\frac{4}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
artinya nilai $ a = \frac{12}{5} $ dan $ b = -\frac{4}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( \frac{12}{5} \right)^2 + \left( -\frac{4}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{16}{25} \right) \\ & = \frac{160}{25} = \frac{32}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{32}{5} . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 249 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 3x - 4 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{32}{5} \, $ B). $ 7 \, $ C). $ \frac{44}{6} \, $ D). $ 8 \, $ E). $ \frac{58}{7} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Jarak titik $ (p,q)$ ke garis $ mx + ny + c = 0 $ :
Jarak $ = \left| \frac{m.p + n.q + c }{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : dengan Konsep Jarak
*). Ilustrasi gambar,
garis $ y = 3x - 4 $ memotong sumbu X dan Y di $(\frac{4}{3},0) $ dan $ (0,-4) $.
 

Karena titik B adalah hasil pencerminan titik A terhadap garis $ y = 3x - 4 $ atau $ 3x - y - 4 = 0 $ , maka titik C adalah titik tengah antara A dan B serta jarak AC sama dengan jarak BC.
*). Jarak titik $ A(0,0) $ ke garis $ 3x - y - 4 = 0 $ (panjang AC) :
$ \begin{align} \text{Panjang AC } & = \left| \frac{3.0 - 0 - 4 }{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{ -4 }{\sqrt{9 + 1}} \right| = \frac{ 4 }{\sqrt{10}} \end{align} $
*). Jarak A ke B (panjang AB) :
$ \begin{align} \text{Panjang AB } & = \sqrt{ (a-0)^2 + (b-0)^2 } = \sqrt{a^2 + b^2 } \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} \text{Panjang AB } & = 2 \times \text{Panjang AC} \\ \sqrt{a^2 + b^2 } & = 2 \times \frac{ 4 }{\sqrt{10}} \\ \sqrt{a^2 + b^2 } & = \frac{ 8 }{\sqrt{10}} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{a^2 + b^2 })^2 & = \left( \frac{ 8 }{\sqrt{10}} \right)^2 \\ a^2 + b^2 & = \frac{ 64 }{10} = \frac{32}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{32}{5} . \, \heartsuit $



Kode 249 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 3x - 4 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{32}{5} \, $ B). $ 7 \, $ C). $ \frac{44}{6} \, $ D). $ 8 \, $ E). $ \frac{58}{7} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis lurus : $ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $
*). Hubungan dua garis tegak lurus :
dua garis tegak lurus, berlaku $ m_1 . m_2 = -1 $
(perkalian kedua gradien garis hasilnya $-1 $ ).
*). Titik tengah antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $ (x_2,y_2)$ adalah :
Titik tengah $ = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan : Cara I,
*). Ilustrasi gambar,
garis $ y = 3x - 4 $ memotong sumbu X dan Y di $(\frac{4}{3},0) $ dan $ (0,-4) $.
 

Karena titik B adalah hasil pencerminan titik A terhadap garis $ y = 3x - 4 $, maka titik C adalah titik tengah antara A dan B serta garis AB tegak lurus dengan garis $ y = 3x - 4 $ (sebagai cerminnya).
*). Menentukan persamaan pertama dari gradien :
-). gradien garis AB dengan $A(0,0)$ dan $ B(a,b) $ ,
$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{b - 0 }{a-0} = \frac{b}{a} $
-). gradien garis $ y = 3x - 4 $ adalah $ m = 3 $.
-). Kedua garis tegak lurus sehingga :
$ m_{AB}.m = -1 \rightarrow \frac{b}{a} . 3 = -1 \rightarrow a = -3b \, $ ....pers(i)
*). Menenentukan titik tengah AB yaitu titik C yang juga dilalui oleh garis $ y = 3x - 4 $ :
$ C = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) = \left( \frac{a + 0}{2} , \frac{b +0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \right) $ .
*). Substitusi titik C ke garis $ y = 3x - 4 $ (karena dilalui) :
$ \begin{align} y & = 3x - 4 \\ \frac{b}{2} & = 3 . \frac{a}{2} -4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ b & = 3 a - 8 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} b & = 3a - 8 \\ b & = 3 . (-3b) - 8 \\ b & = -9b - 8 \\ 10b & = -8 \\ b & = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} \end{align} $
Pers(i) : $ a = -3b = -3 . \frac{-4}{5} = \frac{12}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{-4}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{16}{25} \right) \\ & = \frac{160}{25} = \frac{32}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{32}{5} . \, \heartsuit $



Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 249 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ....
A). $ 9\sqrt{2} \, $ B). $ 13 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 9\sqrt{3} \, $ E). $ 16 $
Nomor 2
Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. JIka panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut adalah $ a, \, b, \, c $ , maka $ \cos 2A = .... $
A). $ \frac{b^2 - a^2}{c^2} \, $ B). $ \frac{a^2 - b^2}{c^2} \, $
C). $ \frac{b^2 - c^2}{a^2} \, $ D). $ \frac{c^2 - a^2}{b^2} \, $
E). $ \frac{a^2 - b^2}{b^2} $
Nomor 3
Banyaknya nilai $ x $ ketika $ 0 \leq x \leq 5\pi $ yang memenuhi persamaan
$ \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4\cos ^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 0 $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 3x - 4 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{32}{5} \, $ B). $ 7 \, $ C). $ \frac{44}{6} \, $ D). $ 8 \, $ E). $ \frac{58}{7} \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 satuan. Titik K adalah titik tengah CD. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara AK dan BH, maka $ \cos \alpha = .... $
A). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{1}{15}\sqrt{15} \, $ D). $ \frac{1}{5}\sqrt{15} \, $ E). $ \frac{1}{3}\sqrt{15} \, $
Nomor 6
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x^2+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a + b + c = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ -44 \, $ C). $ 54 \, $ D). $ -64 \, $ E). $ -74 $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{\sqrt{3x^5 + 4 \sin ^4 x}} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{\sqrt{7}} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{1}{\sqrt{3}} $
Nomor 9
Diketahui barisan geometri $(a_n) $ dengan deret tak hingganya bernilai 6. Jika barisan geometri $(a_n^2) $ mempunyai deret tak hingga bernilai 18, maka suku pertama dari barisan $(a_n) $ adalah .....
A). $ 4 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $
Nomor 10
Jika $ f(x) = x^3 - 3x^2 + a $ memotong sumbu Y di titik (0,10), maka nilai minimum $ f(x) $ untuk $ x \in [0,1]$ adalah ....
A). $ 10 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 3 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f(x) = x^2 $ dan $ g(x) = ax, \, a >0 $. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva $ f $ dan $ y = 4 $. Jika kurva $ g $ membagi daerah D dengan perbandingan luas $ 1 : 7 $, maka $ a = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Diketahui $ x_1, x_2 $ adalah akar-akar dari persamaan $ x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0 $. Nilai $ a $ sehingga $ x_1 + x_1x_2 +x_2 $ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah ...
A). $ -3 \, $ B). $ -\sqrt{3} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \sqrt{3} \, $ E). $ 3 $



Kode 248 Pembahasan Campuran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = Ax^2 + Bx $ sehingga $ f^\prime (0), \, \int_0^2 f(x) dx $ dan $ f(2) $ berturut-turut membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ \frac{A}{B} = ..... $
A). $ -\frac{4}{5} \, $ B). $ -\frac{5}{3} \, $ C). $ -\frac{3}{5} \, $ D). $ -\frac{4}{3} \, $ E). $ -\frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Turunan Fungsi :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
dengan $ a $ adalah konstanta.
*). Rumus Integral :
$ \int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c $
$ \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $
*). Ciri-ciri barisan aritmatika : Selisih dua suku berdekatan sama
Misalkan ada tiga suku barisan aritmatika : $ u_1, \, u_2, \, $ dan $ u_3 $,
maka berlaku : $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menyusun barisan aritmatikanya :
$\begin{align} f(x) & = Ax^2 + Bx \rightarrow f(2) = 4A + 2B \\ f^\prime (x) & = 2Ax + B \rightarrow f^\prime (0) = B \\ \int_0^2 f(x) dx & = \int_0^2 (Ax^2 + Bx) dx \\ & = [\frac{A}{3}x^3 + \frac{B}{2}x^2 ]_0^2 \\ & = \frac{8}{3}A + 2B \end{align} $
Sehingga barisan aritmatikanya :
$ f^\prime (0), \, \int_0^2 f(x) dx $ dan $ f(2) $ yaitu
$ u_1 = B, \, u_2 = \frac{8}{3}A + 2B , \, u_3 = 4A + 2B $
*). Menentukan nilai $ \frac{A}{B} $ dengan ciri-ciri barisan aritmatika :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ (\frac{8}{3}A + 2B) - B & = ( 4A + 2B ) - (\frac{8}{3}A + 2B) \\ \frac{8}{3}A + B & = \frac{4}{3}A \\ \frac{8}{3}A + - \frac{4}{3}A & = -B \\ \frac{4}{3}A & = -B \\ \frac{A}{B} & = \frac{-1}{\frac{4}{3}} \\ \frac{A}{B} & = - \frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{A}{B} = - \frac{3}{4} . \, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = x^3 - ax + \frac{2}{3}a $ dan $ f(x) $ memotong sumbu x di titik $ x = 1 $ . Nilai maksimum $ f(x) $ untuk $ 0 \leq x \leq 1 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Fungsi $ f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ (turunan pertaman = 0) dan nilai $ x $ pada batas intervalnya.
*). Fungsi $ f(x) $ memotong sumbu X di $ x = b $, artinya $ f(b) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ f(x) = x^3 - ax + \frac{2}{3}a $ memotong sumbu X di $ x = 1 $, artinya :
$ f(1) = 0 \rightarrow 1^3 - a.1 + \frac{2}{3}a = 0 \rightarrow a = 3 $.
Sehingga fungsi $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $.
dan $ f^\prime (x) = 3x^2 - 3 $.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 - 3 & = 0 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ x = -1 \vee x & = 1 \end{align} $
Karena interval yang diminta $ 0 \leq x \leq 1 $ , nilai $ x $ yang dipakai adalah $ x = 0 $ dan $ x = 1 $.
*). Menentukan nilai fungsi $ f(x) $ untuk $ x = 0 $ dan $ x = 1 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow f(x) & = x^3 - 3x + 2 \\ f(0) & = 0^3 - 3.0 + 2 = 2 \\ x = 1 \rightarrow f(x) & = x^3 - 3x + 2 \\ f(1) & = 1^3 - 3.1 + 2 = 0 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum $ f(x) $ pada interval $ 0 \leq x \leq 1 $ adalah $ 2 . \, \heartsuit $


Kode 248 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika dalam suatu barisan geometri $ u_1 = \frac{1}{5} $ dan $ u_1 + u_2 + ... + u_8 = 51 $ , maka $ u_{251} : u_{250} = .... $
A). $ 2 : 1 \, $ B). $ 4 : 1 \, $ C). $ 3 : 2 \, $ D). $ 4 : 3 \, $ E). $ 5 : 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai rasio ($r$) dengan $ u_1 = a = \frac{1}{5} $
$\begin{align} u_1 + u_2 + .... + u_8 & = 51 \\ s_8 & = 51 \\ \frac{a(r^8 - 1)}{r-1} & = 51 \\ \frac{\frac{1}{5}(r^8 - 1)}{r-1} & = 51 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan 5)} \\ \frac{r^8 - 1}{r-1} & = 255 \end{align} $
Yang terpenuhi untuk $ r = 2 $.
*). Menentukan Hasilnya :
$\begin{align} \frac{u_{251}}{u_{250}} & = \frac{ar^{250}}{ar^{249}} = \frac{r}{1} = \frac{2}{1} \end{align} $
Jadi, nilai $ u_{251} : u_{250} = 2 : 1 . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 248 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Rumus Cepat Limit Trigonometri
$ 1 - \cos px = \frac{1}{2} (px)^2 \, $ sehingga :
$ 1 - cos x = \frac{1}{2} x^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} . \frac{(\sqrt{x+1} + 1)}{(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1).(\sqrt{x+1} + 1)}{(1 - cos x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x((x + 1) - 1)}{\frac{1}{2}x^2.(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x.x}{\frac{1}{2}x^2.(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{x+1} + 1} \\ & = \frac{2}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{2}{2} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos p x = 1 - 2 \sin^2 \frac{1}{2} (px) \, $ sehingga :
$ 1 - \cos x = 1 - ( 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} x ) = 2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} . \frac{(\sqrt{x+1} + 1)}{(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1).(\sqrt{x+1} + 1)}{(1 - \cos x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x((x + 1) - 1)}{(2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x.x}{(2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{1}{2} x } . \frac{x}{\sin \frac{1}{2} x } . \frac{1}{2 (\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} } . \frac{1}{ \frac{1}{2} } . \frac{1}{2 (\sqrt{0+1} + 1)} \\ & = 2. 2 . \frac{1}{2 (1 + 1)} \\ & = 2. 2 . \frac{1}{4} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ adalah fungsi dengan sifat $ f(-x) = f(x) $ dan $ g(-x) = g(x) $. Jika sisa pembagian $(x-1)f(x) $ oleh $ x^2 - 2x - 3 $ adalah $ x + 3 $ dan sisa pembagian $ (x+2)g(x) $ oleh $ x^2 + 2x - 3 $ adalah $ x + 5 $ , maka sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2+4x+3$ adalah .....
A). $ -10x - 8 \, $ B). $ -8x - 6 \, $
C). $ -6x - 4 \, $ D). $ -5x - 3 \, $
E). $ -4x - 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ (x-1)f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 - 2x - 3 $ bersisa $ s(x) = x + 3 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ (x-1)f(x) = (x^2 - 2x - 3).h_1(x) + (x + 3) $
$ (x-1)f(x) = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x-3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 3 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow (x-1)f(x) & = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) \\ (-1-1)f(-1) & = (-1+1)(-1-3)).h_1(-1) + (-1 + 3) \\ -2. f(-1) & = 2 \\ f(-1) & = -1 \\ x = 3 \rightarrow (x-1)f(x) & = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) \\ (3-1)f(3) & = (3+1)(3-3)).h_1(3) + (3 + 3) \\ 2. f(3) & = 6 \\ f(3) & = 3 \end{align} $
Karena $ f(x) = f(-x) $ , maka $ f(-3) = f(3) \rightarrow f(-3) = 3 $.

*). $ (x+2)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 +2x -3 $ dengan sisa $ s(x) = x + 5 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ (x+2)g(x) = (x^2 +2x -3).h_2(x) + (x + 5) $
$ (x+2)g(x) = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x-1)(x+3)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow (x+2)g(x) & = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) \\ (1+2)g(1) & = (1-1)(1+3).h_2(1) + (1 + 5) \\ 3.g(1) & = 6 \\ g(1) & = 2 \\ x = -3 \rightarrow (x+2)g(x) & = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) \\ (-3+2)g(1) & = (-3-1)(-3+3).h_2(-3) + (-3 + 5) \\ -1.g(-3) & = 2 \\ g(-3) & = -2 \end{align} $
Karena $ g(x) = g(-x) $ , maka $ g(-1) = g(1) \rightarrow g(-1) = 2 $.

*). $ xf(x)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + 4x + 3 $ misalkan sisanya $ s(x) = ax + b $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$ xf(x)g(x) = (x^2 + 4x + 3).h_3(x) + (ax+b) $
$ xf(x)g(x) = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x+3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow xf(x)g(x) & = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) \\ -1.f(-1)g(-1) & = (-1+1)(-1+3).h_3(-1) + (a.(-1)+b) \\ -1.(-1). 2 & = -a + b \\ 2 & = -a + b \\ b & = a + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ x = -3 \rightarrow xf(x)g(x) & = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) \\ -3.f(-3)g(-3) & = (-3+1)(-3+3).h_3(-3) + (a.(-3)+b) \\ -3.(3). (-2) & = -3a + b \\ -3a + b & = 18 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $

*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} b = a + 2 \rightarrow -3a + b & = 18 \\ -3a + (a + 2) & = 18 \\ -2a & = 16 \\ a & = -8 \\ \end{align} $
pers(i) : $ b = a + 2 = -8 + 2 = -6 $.
Sehingga sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2 + 4x + 3 $ adalah $ ax + b = -8x - 6 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ -8x - 6 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.



Kode 248 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga $ AM : MD = 1 : 2 $. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga $ CN : ND = 1 : 2 $ . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga $ DP : PH = 2 : 1 $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang MNP dan garis PB, maka nilai $ \cos \alpha = .... $
A). $ \frac{5}{44} \sqrt{44} \, $ B). $ \frac{5}{33} \sqrt{33} \, $ C). $ \frac{5}{22} \sqrt{22} \, $ D). $ \frac{1}{13} \sqrt{13} \, $ E). $ \frac{1}{11} \sqrt{11} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus :
Dari gambar segitiga di atas berlaku aturan Cosinus yaitu :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \, $ atau
$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
Misalkan panjang rusuk kubusnya adalah 6.
 

$ \angle (MNP, PB) = \angle (OP, PB) = \alpha $
*). Diagonal sisi DB dibagi menjadi 6 bagian sama panjang sehingga $ BO = 4\sqrt{2} $.
Panjang PO pada $ \Delta PDO $ :
$ PO = \sqrt{PD^2 + DO^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2 } = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} $
Panjang PB pada $ \Delta PDB $ :
$ PB = \sqrt{PD^2 + DB^2} = \sqrt{4^2 + (6\sqrt{2})^2 } = \sqrt{16 + 72} = \sqrt{88} $
*). Menentukan nilai $ \cos \alpha $ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{PO^2 + PB^2 - OB^2}{2.PO.PB} \\ & = \frac{(\sqrt{24})^2 + (\sqrt{88})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2.\sqrt{24}.\sqrt{88}} \\ & = \frac{24 + 88 - 32}{2.(2 . \sqrt{2} . \sqrt{3}).(2.\sqrt{2}.\sqrt{11})} \\ & = \frac{80}{16\sqrt{33}} = \frac{5}{\sqrt{33}} = \frac{5}{33} \sqrt{33} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{5}{33} \sqrt{33} . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 248 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Konsep Dasar Transformasi :
Pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ sama dengan Rotasi pusat $P(0,c) $ dan matriksnya $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{matrix} \right) $ dimana $ \tan \theta = m $
*). Rotasi dengan pusat $ (m,n) $ dan matriks rotasinya MT :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = MT . \left( \begin{matrix} x - m \\ y-n \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) $
*). Rumus Trogonometri :
$ \sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta $
$ \cos 2 \theta = 1 - 2 \sin ^2 \theta $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 : Konsep Transformasi
*). Pencerminan terhadap garis $ y = 2x + 3 $ sama dengan Rotasi dengan pusat $(m,n) = (0,3) $ ,
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 2 \tan \theta = \frac{2}{1} = \frac{de}{sa} $
 

Sehingga nilai :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $
$ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{5}} $
*). Menentukan nilai $ \sin 2 \theta , \, \cos 2 \theta $ dan matriks transformasinya :
$ \sin 2 \theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 . \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5} $
$ \cos 2 \theta = 1 - 2\sin ^2 \theta = 1 - 2 . (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = -\frac{3}{5} $
Matriks transformasinya :
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ dari transformasinya :
Awalnya titik $A(0,0) $ dan bayangannya $ (x^\prime , y^\prime ) = (a,b) $ dengan pusat rotasi $ (m,n) = (0,3) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} x - m \\ y-n \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 - 0 \\ 0-3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{12}{5} \\ -\frac{9}{5} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{12}{5} \\ \frac{6}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
artinya nilai $ a = -\frac{12}{5} $ dan $ b = \frac{6}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( - \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{36}{25} \right) \\ & = \frac{180}{25} = \frac{36}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 248 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Jarak titik $ (p,q)$ ke garis $ mx + ny + c = 0 $ :
Jarak $ = \left| \frac{m.p + n.q + c }{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : dengan Konsep Jarak
*). Ilustrasi gambar,
garis $ y = 2x + 3 $ memotong sumbu X dan Y di $(-\frac{3}{2},0) $ dan $ (0,3) $.
 

Karena titik B adalah hasil pencerminan titik A terhadap garis $ y = 2x + 3 $, maka titik C adalah titik tengah antara A dan B serta jarak AC sama dengan jarak BC.
*). Jarak titik $ A(0,0) $ ke garis $ 2x - y + 3 = 0 $ (panjang AC) :
$ \begin{align} \text{Panjang AC } & = \left| \frac{2.0 - 0 + 3 }{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{ 3 }{\sqrt{4 + 1}} \right| = \frac{ 3 }{\sqrt{5}} \end{align} $
*). Jarak A ke B (panjang AB) :
$ \begin{align} \text{Panjang AB } & = \sqrt{ (a-0)^2 + (b-0)^2 } = \sqrt{a^2 + b^2 } \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} \text{Panjang AB } & = 2 \times \text{Panjang AC} \\ \sqrt{a^2 + b^2 } & = 2 \times \frac{ 3 }{\sqrt{5}} \\ \sqrt{a^2 + b^2 } & = \frac{ 6 }{\sqrt{5}} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{a^2 + b^2 })^2 & = \left( \frac{ 6 }{\sqrt{5}} \right)^2 \\ a^2 + b^2 & = \frac{ 36 }{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis lurus : $ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $
*). Hubungan dua garis tegak lurus :
dua garis tegak lurus, berlaku $ m_1 . m_2 = -1 $
(perkalian kedua gradien garis hasilnya $-1 $ ).
*). Titik tengah antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $ (x_2,y_2)$ adalah :
Titik tengah $ = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan : Cara I,
*). Ilustrasi gambar,
garis $ y = 2x + 3 $ memotong sumbu X dan Y di $(-\frac{3}{2},0) $ dan $ (0,3) $.
 

Karena titik B adalah hasil pencerminan titik A terhadap garis $ y = 2x + 3 $, maka titik C adalah titik tengah antara A dan B serta garis AB tegak lurus dengan garis $ y = 2x + 3 $ (sebagai cerminnya).
*). Menentukan persamaan pertama dari gradien :
-). gradien garis AB dengan $A(0,0)$ dan $ B(a,b) $ ,
$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{b - 0 }{a-0} = \frac{b}{a} $
-). gradien garis $ y = 2x = 3 $ adalah $ m = 2 $.
-). Kedua garis tegak lurus sehingga :
$ m_{AB}.m = -1 \rightarrow \frac{b}{a} . 2 = -1 \rightarrow a = -2b \, $ ....pers(i)
*). Menenentukan titik tengah AB yaitu titik C yang juga dilalui oleh garis $ y = 2x + 3 $ :
$ C = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) = \left( \frac{a + 0}{2} , \frac{b +0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \right) $ .
*). Substitusi titik C ke garis $ y = 2x + 3 $ (karena dilalui) :
$ \begin{align} y & = 2x + 3 \\ \frac{b}{2} & = 2 . \frac{a}{2} + 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ b & = 2 a + 6 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} b & = 2 a + 6 \\ b & = 2 . (-2b) + 6 \\ b & = -4b + 6 \\ 5b & = 6 \\ b & = \frac{6}{5} \end{align} $
Pers(i) : $ a = -2b = -2 . \frac{6}{5} = -\frac{12}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( - \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{36}{25} \right) \\ & = \frac{180}{25} = \frac{36}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Persamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\sin ^2 2x + \cos ^2 2x)(\sin ^2 2x - \cos ^2 2x) = 1 $, $0 \leq x \leq 2\pi \, $ , adalah ....
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus Dasar pada Trigonometri
$ \cos 2A = \cos ^2 A - \sin ^2 A $
Sehingga :
$ \begin{align} \sin ^2 2x - \cos ^2 2x & = - ( \cos ^2 2x - \sin ^2 2x ) \\ & = - \cos 4x \end{align} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
*). Persamaan Trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta $ , solusinya yaitu :
i). $ f(x) = \theta + k 2\pi $
ii). $ f(x) = - \theta + k 2\pi $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} (\sin ^2 2x + \cos ^2 2x)(\sin ^2 2x - \cos ^2 2x) & = 1 \\ 1 . ( - \cos 4x ) & = 1 \\ \cos 4x & = -1 \\ \cos 4x & = \cos 180^\circ \end{align} $
artinya $ f(x) = 4x $ dan $ \theta = 180^\circ $
Solusinya :
i). $ f(x) = \theta + k 2\pi $ ,
$ \begin{align} 4x & = 180^\circ + k 2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ x & = 45^\circ + k . 90^\circ \\ k = 0 \rightarrow x & = 45^\circ + 0. 90^\circ = 45^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = 45^\circ + 1. 90^\circ = 135^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = 45^\circ + 2. 90^\circ = 225^\circ \\ k = 3 \rightarrow x & = 45^\circ + 3. 90^\circ = 315^\circ \\ \end{align} $
sehingga $ x = \{ 45^\circ , \, 135^\circ , \, 225^\circ , \, 315^\circ \} $
ii). $ f(x) = -\theta + k 2\pi $ ,
$ \begin{align} 4x & = -180^\circ + k 2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ x & = -45^\circ + k . 90^\circ \end{align} $
hasilnya sama dengan sebelumnya.
Jadi, ada 4 nilai $ x $ yang memenuhi persamaan . $\, \heartsuit $



Kode 248 Pembahasan Trigonometri Rangkap SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. JIka panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut adalah $ a, \, b, \, c $ , maka $ \cos 2A = .... $
A). $ \frac{b^2 - a^2}{c^2} \, $ B). $ \frac{a^2 - b^2}{c^2} \, $
C). $ \frac{b^2 - c^2}{a^2} \, $ D). $ \frac{c^2 - a^2}{b^2} \, $
E). $ \frac{a^2 - b^2}{b^2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri Sudut Rangkap
$ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar. 


Dari gambar kita peroleh nilai :
$ \sin A = \frac{depan}{miring} = \frac{a}{c} $
$ \cos A = \frac{samping}{miring} = \frac{b}{c} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2A $ :
$\begin{align} \cos 2A & = \cos ^2A - \sin ^2 A \\ & = (\frac{b}{c})^2 - (\frac{a}{c})^2 \\ & = \frac{b^2}{c^2} - \frac{a^2}{c^2} \\ & = \frac{b^2 - a^2}{c^2} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 2A = \frac{b^2 - a^2}{c^2} . \, \heartsuit $




Kode 248 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $L_1 $ dan $ L_2 $ berpusat pada sumbu X dengan radius $ R_1 = 2 $ dan $ R_2 = 4 $. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung $ L_1 $ di F dan menyinggung $ L_2 $ di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu X di Q sehingga luas segitiga AFQ adalah 5 satuan luas dengan A sebagai titik pusat $ L_1 $. Jika garis singgung dalam tersebut mempunyai gradien positif, maka besar gradiennya adalah .....
A). $ \frac{2}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{5} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ -\frac{1}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Gradien garis
*). Perhatika gambar garis berikut ini dengan sudut $ \theta $ terhadap sumbu X positif,
Gradien garis $(m)$ adalah $ m = \tan \theta $.
*). Rumus perbandingan trigonometri :
$ \tan \theta = \frac{depan}{samping} $
$\clubsuit $ Pembahasan
 

*). Menentukan panjang FQ dengan luas $\Delta AFQ = 5 $ :
$ \begin{align} \text{Luas } \, \Delta AFQ &= 5 \\ \frac{1}{2} . FQ . AF &= 5 \\ \frac{1}{2} . FQ . 2 &= 5 \\ FQ &= 5 \end{align} $
*). Pada gambar di atas, segitiga AFQ sebangun dengan segitiga BQG, sehingga perbandingan sisinya sama yaitu $ \frac{BG}{GQ} = \frac{AF}{FQ} = \frac{2}{5} $
*). Menentukan gradien garis singgung $ (m)$ :
Perhatikan segitiga BQG, sudut garis singgung sama dengan sudut BQG $ = \theta $
$\begin{align} m & = \tan \theta \\ & = \frac{depan}{samping} \\ & = \frac{BG}{GQ} \\ & = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, gradien garis singgungnya adalah $ \frac{2}{5} . \, \heartsuit $



Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 248 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Diketahui $L_1 $ dan $ L_2 $ berpusat pada sumbu X dengan radius $ R_1 = 2 $ dan $ R_2 = 4 $. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung $ L_1 $ di F dan menyinggung $ L_2 $ di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu X di Q sehingga luas segitiga AFQ adalah 5 satuan luas dengan A sebagai titik pusat $ L_1 $. Jika garis singgung dalam tersebut mempunyai gradien positif, maka besar gradiennya adalah .....
A). $ \frac{2}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{5} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ -\frac{1}{3} $
Nomor 2
Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. JIka panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut adalah $ a, \, b, \, c $ , maka $ \cos 2A = .... $
A). $ \frac{b^2 - a^2}{c^2} \, $ B). $ \frac{a^2 - b^2}{c^2} \, $
C). $ \frac{b^2 - c^2}{a^2} \, $ D). $ \frac{c^2 - a^2}{b^2} \, $
E). $ \frac{a^2 - b^2}{b^2} $
Nomor 3
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\sin ^2 2x + \cos ^2 2x)(\sin ^2 2x - \cos ^2 2x) = 1 $, $0 \leq x \leq 2\pi \, $ , adalah ....
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH, Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga $ AM : MD = 1 : 2 $. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga $ CN : ND = 1 : 2 $ . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga $ DP : PH = 2 : 1 $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang MNP dan garis PB, maka nilai $ \cos \alpha = .... $
A). $ \frac{5}{44} \sqrt{44} \, $ B). $ \frac{5}{33} \sqrt{33} \, $ C). $ \frac{5}{22} \sqrt{22} \, $ D). $ \frac{1}{13} \sqrt{13} \, $ E). $ \frac{1}{11} \sqrt{11} \, $
Nomor 6
Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ adalah fungsi dengan sifat $ f(-x) = f(x) $ dan $ g(-x) = g(x) $. Jika sisa pembagian $(x-1)f(x) $ oleh $ x^2 - 2x - 3 $ adalah $ x + 3 $ dan sisa pembagian $ (x+2)g(x) $ oleh $ x^2 + 2x - 3 $ adalah $ x + 5 $ , maka sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2+4x+3$ adalah .....
A). $ -10x - 8 \, $ B). $ -8x - 6 \, $
C). $ -6x - 4 \, $ D). $ -5x - 3 \, $
E). $ -4x - 2 $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $
Nomor 9
Jika dalam suatu barisan geometri $ u_1 = \frac{1}{5} $ dan $ u_1 + u_2 + ... + u_8 = 51 $ , maka $ u_{251} : u_{250} = .... $
A). $ 2 : 1 \, $ B). $ 4 : 1 \, $ C). $ 3 : 2 \, $ D). $ 4 : 3 \, $ E). $ 5 : 3 $
Nomor 10
Diketahui $ f(x) = x^3 - ax + \frac{2}{3}a $ dan $ f(x) $ memotong sumbu x di titik $ x = 1 $ . Nilai maksimum $ f(x) $ untuk $ 0 \leq x \leq 1 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x) = f(x+a) $ , $ f(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ 0 < x < a $ , dan $ g(x) = g(x+2a) $ , $ g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ -a < x \leq a $ , dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $. Nilai dari $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ adalah ....
A). $ 2a \, $ B). $ 3a \, $ C). $ 4b \, $ D). $ 5b \, $ E). $ 6b $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Jika $ f(x) = Ax^2 + Bx $ sehingga $ f^\prime (0), \, \int_0^2 f(x) dx $ dan $ f(2) $ berturut-turut membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ \frac{A}{B} = ..... $
A). $ -\frac{4}{5} \, $ B). $ -\frac{5}{3} \, $ C). $ -\frac{3}{5} \, $ D). $ -\frac{4}{3} \, $ E). $ -\frac{3}{4} $