Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 91 tahun 2009 nomor 11 sampai 15


         Pembahasan soal SPMK UB Matematika IPA tahun 2009 ini agak ribet sobat, kenapa? karena soalnya menggunakan Petunjuk B dan Petunjuk C dalam menjawab soal, pasti dijamin panjang jawabannya karena harus diisi banyak alasan untuk setiap pernyataan.
Nomor 11
Petunjuk B digunakan untuk menjawab soal nomor 10 dan 11.
Sebuah kotak berisi 5 bola putih dan 6 bola hitam. Jika diambil 4 bola dari kotak tersebut, maka peluang terambilnya tepat 2 bola hitam pada pengambilan tersebut adalah $ \frac{5}{11} \, $ .
                            SEBAB
Banyaknya cara untuk mengambil 4 bola dari 11 bola dalam kotak adalah 330 cara.
$\clubsuit \,$ ada 5P dan 6H, artinya total ada 11 bola . Pada kasus pengambilan bola menggunakan kombinasi karena urutan tidak diperhatikan.
Konsep kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
$\clubsuit \,$ diambil 4 bola dari 11 bola, total cara pengambilan :
$ n(S) = C_4^{11} = \frac{11!}{(11-4)!.4!} = \frac{11!}{7!.4!} = 330 $
$\clubsuit \,$ Harapannya terambil 2 bola hitam, karena harus terambil 4 bola maka sisanya harus terambil 2 bola putih. Sehingga harapannya terambil 2 bola putih dan 2 bola hitam. Total harapannya : $ n(A) = C_2^5.C_2^6 = 150 $
$\clubsuit \,$ Menentukan peluang terambil 2 hitam dan 2 putih
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{150}{330} = \frac{5}{11} $
$\clubsuit \,$ Berdasarkan petunjuk B
*) Pernyataan pertama :
peluangnya = $ \frac{5}{11} \, $ (benar)
*) Pernyataan kedua :
banyak cara mengambil 4 bola dari 11 bola [ $n(S)$ ] adalah 330 cara. (benar)
karena kedua pernyataan benar dan ada hubungan sebab akibat, maka berdasarkan petunjuk B jawabannya adalah A.
Jadi, jawabannya A. $ \heartsuit $
Nomor 12
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 12 sampai 15.
Diketahui $ f(x) = \int \limits_a^x t \, dt \, $ dengan $ a > 0 \, $ . Jika $ f(2)=0, \, $ maka kurva tersebut memotong sumbu X pada titik ....
(1). (-4,0)       (2). (2,0)       (3). (4,0)       (4). (-2,0)
$\spadesuit \, $ Konsep integral : $ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c $
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) \, $ dan substitusi $ f(2) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = \int \limits_a^x t \, dt \\ f(x) & = \frac{1}{2}t^2 |_a^x \\ f(x) & = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}a^2 \\ f(2) & = 0 \\ \frac{1}{2}.2^2 - \frac{1}{2}a^2 & = 0 \\ a^2 & = 4 \rightarrow a = \pm 2 \end{align}$
karena $ a > 0, \, $ maka yang memenuhi adalah $ a = 2 \, $ , sehingga fungsinya menjadi :
$ f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}a^2 \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}.2^2 $
$ f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$\begin{align} y = 0 \rightarrow f(x) & = \frac{1}{2}x^2 - 2 \\ 0 & = \frac{1}{2}x^2 - 2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align}$
artinya titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (-2,0), sehingga yang benar adalah pernyataan (2) dan (4) yaitu opsi C.
Jadi, jawabannya adalah C. $ \heartsuit $
Nomor 13
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 12 sampai 15.
Jika $ p, \, q \, $ dan $ r \, $ bilangan bulat dan memenuhi $ p-2r=q(p-1) , \, $ maka pernyataan berikut yang benar adalah ....
(1). Jika $ q \neq 1 \, $ maka $ p(1-q)=2r-q $
(2). Jika $ q =0 \, $ dan $ p \neq 1 \, $ maka $ r=2 $
(3). Jika $ r = 1/2 \, $ dan $ p \neq 0 \, $ maka $ q=1 $
(4). Jika $ p \neq 2r \, $ maka $ q = 0 $
$\clubsuit \,$ Konsep logika matematika
*) $ p \Rightarrow q \, $ bernilai salah jika p bernilai benar (ruas kiri) dan q bernilai salah (ruas kanan), atau bentuknya $ B \Rightarrow S \, $ , ketarangan : B = Benar dan S = Salah.
*) $ p \Rightarrow q \, $ dibaca jika p maka q.
*) Dari pernyataan (1) sampai (4), kita anggap ruas kiri semuanya benar, sehingga kita tinggal cek ruas kanannya.
$\clubsuit \,$ Cek semua pernyataan
(1). Jika $ q \neq 1 \, $ maka $ p(1-q)=2r-q \, $
dapat ditulis : $ q \neq 1 \Rightarrow p(1-q)=2r-q $
$\begin{align} p-2r & = q(p-1) \, \, \, \, \text{(persamaan awal)} \\ p-2r & = qp-q \\ p-qp & = 2r-q \\ p(1-q) & = 2r - q \end{align}$
untuk $ q \neq 1 \, $ , maka nilai $ 1-q \neq 0 \, $ , artinya $ p(1-q) = 2r - q \, $ (ruas kanan) bernilai benar. Karena ruas kanan benar, maka pernyataan (1) benar.
(2). Jika $ q =0 \, $ dan $ p \neq 1 \, $ maka $ r=2 $
dapat ditulis : $ (q= 0 \wedge p\neq 1) \Rightarrow r = 2 $
$\begin{align} q = 0 \rightarrow p-2r & = q(p-1) \, \, \, \, \text{(persamaan awal)} \\ p-2r & = 0.(p-1) \\ p-2r & = 0 \\ r & = \frac{p}{2} \end{align}$
untuk $ p\neq 0 \, $ , maka nilai $ r = \frac{p}{2} \, $ nilainya tidak selalu $ r = 2 \, $ karena nilai $ p \, $ banyak sekali, ini artinya pernyataan (2) salah. catatan : kebenaran ini berlaku umum.
(3). Jika $ r = 1/2 \, $ dan $ p \neq 0 \, $ maka $ q=1 $
dapat ditulis : $ (r = 1/2 \wedge p \neq 0 ) \Rightarrow q = 1 $
$\begin{align} r = 1/2 \rightarrow p-2r & = q(p-1) \, \, \, \, \text{(persamaan awal)} \\ p-2.\frac{1}{2} & = q(p-1) \\ p-1 & = q(p-1) \\ q & = \frac{p-1}{p-1} = 1 \end{align}$
artinya $ q = 1 \, $ (ruas kanan) bernilai benar, sehingga pernyataan (3) benar.
(4). Jika $ p \neq 2r \, $ maka $ q = 0 $
dapat ditulis : $ p \neq 2r \Rightarrow q = 0 $
$\begin{align} p-2r & = q(p-1) \, \, \, \, \text{(persamaan awal)} \\ q & = \frac{p-2r}{p-1} \end{align}$
nilai $ q = 0 \, $ diperoleh jika nilai $ p = 2r \, $ , artinya jika $ p\neq 2r \, $ maka nilai $ q \neq 0 \, $ (ruas kanan salah). Sehingga pernyataan (4) salah.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3) , sehingga jawabannya B . $ \heartsuit $
Nomor 14
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 12 sampai 15.
Diketahui pernyataan $ p \, $ dan $ q . \, $ Pernyataan berikut yang dapat bernilai salah adalah ....
(1). $ ( p \wedge q ) \Rightarrow p $
(2). $ ( p \wedge q ) \Rightarrow q $
(3). $ q \Rightarrow ( p \vee q ) $
(4). $ ( p \vee q ) \Rightarrow p $
$\spadesuit \, $ Tabel kebenaran logika matematika
spmk_ub_2_2009
Keterangan : B = Benar dan S = Salah
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa implikasi $(\Rightarrow) \, $ akan bernilai salah jika ruas kiri bernilai benar (B) dan ruas kanan bernilai salah (S) atau bentuknya $ B \Rightarrow S $ . Sehingga patokannya ruas kanan dulu harus bernilai salah (S) kemudian ruas kiri bernilai benar (B).
$\spadesuit \, $ Kita cek semua pernyataan apakah benar atau salah
(1). $ ( p \wedge q ) \Rightarrow p $
Pilih nilai p = S (ruas kanan) , maka otomatis nilai $ ( p \wedge q ) = \, $ S (ruas kiri), sehingga $ ( p \wedge q ) \Rightarrow p \equiv S \Rightarrow S \, $ (bernilai benar). Artinya pernyataan (1) benar.
(2). $ ( p \wedge q ) \Rightarrow q $
Pernyataan (2) juga benar karena mirip dengan pernyataan (1).
(3). $ q \Rightarrow ( p \vee q ) $
pilih nilai p = S dan q = S agar nilai $ ( p \vee q ) \, $ = S (ruas kanan), sehingga $ q \Rightarrow ( p \vee q ) \equiv S \Rightarrow S \, $ (bernilai benar). Artinya pernyataan (3) benar.
(4). $ ( p \vee q ) \Rightarrow p $
Pilih nilai p = S (ruas kanan) dan q = B , maka $ ( p \vee q ) \, $ = B (ruas kiri), sehingga $ ( p \vee q ) \Rightarrow p \equiv B \Rightarrow S \, $ (bernilai salah). artinya pernyataan (4) bisa salah.
Jadi, pernyataan yang benar (tidak salah) adalah (1), (2), dan (3), sehingga jawabannya A. $ \heartsuit $
Nomor 15
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 12 sampai 15.
Diketahui fungsi $ f(x)=\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 10x \, $. Pernyataan yang benar untuk fungsi tersebut adalah ....
(1). Mempunyai nilai maksimum lokal di $ x = -5 \, $ dan minimum lokal di $ x = 1 $
(2). Mempunyai titik belok di $ x= -2 $
(3). Turun pada interval $ -5 < x < 1 $
(4). Melewati titik (0,0)
$\clubsuit \,$ konsep turunan
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow \, $ nilai maksimum/minimum
$ f^\prime (x) > 0 \rightarrow \, $ fungsi naik
$ f^\prime (x) < 0 \rightarrow \, $ fungsi turun
$ f^{\prime \prime } (x) = 0 \rightarrow \, $ titik belok
$\clubsuit \,$ Menentukan turunan fungsinya
$\begin{align} f(x) & =\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 10x \\ f^\prime (x) & = 2x^2 + 8x - 10 \\ f^{\prime \prime} (x) & = 4x + 8 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai maksimum/minimum : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 2x^2 + 8x - 10 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + 4x - 5 & = 0 \\ (x-1)(x+5) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = - 5 \end{align}$
Garis bilangan turunannya :
spmk_ub_3_2009
keterangan :
*) Fungsi $ f(x) \, $ maksimum lokal di $ x = -5 \, $ dan minimum lokal di $ x = 1 $ . artinya pernyataan (1) benar.
*) Fungsi turun pada interval $ -5 < x < 1 \, $
artinya pernyataan (3) benar.
$\clubsuit \,$ Menentukan titik belok : $ f^{\prime \prime } (x) = 0 $
$\begin{align} f^{\prime \prime} (x) & = 0 \rightarrow 4x + 8 = 0 \rightarrow x = -2 \end{align}$
artinya $ f(x) \, $ mempunyai titik belok di $ x = -2 \, $ , pernyataan (2) benar.
$\clubsuit \,$ Substitusi $ x =0 \, $ ke fungsi
$\begin{align} x =0 \rightarrow f(x) & = \frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 10x \\ f(0) & = \frac{2}{3}.0^3 + 4.0^2 - 10.0 = 0 \end{align}$
artinya fungsi $ f(x) \, $ melewati titik (0,0), pernyataan (4) benar.
Jadi, semua pernyataan benar, sehingga jawabannya E. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 91 tahun 2009 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui bahwa persamaan kuadrat $ x^2 + ax + b = 0 \, $ mempunyai akar-akar real $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 \, $ . Jika $ x_1, \, x_2, \, x_1^2 x_2 \, $ , membentuk deret geometri dengan rasio 4, maka $ \frac{a}{b} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ PK : $ x^2 + ax + b = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
*) $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-a}{1} = -a $
artinya : $ x_1 + x_2 = -a \rightarrow a = -(x_1+x_2) $
*) $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{b}{1} = b $
artinya : $ x_1 . x_2 = b \rightarrow b = x_1.x_2 $
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ x_1, \, x_2, \, x_1^2 x_2 $
Rasionya ($r$) sama dengan 4 :
$\begin{align} r & = \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2 x_2}{x_2} = 4 \\ *) \, & \frac{x_1^2 x_2}{x_2} = 4 \rightarrow x_1^2 = 4 \rightarrow x_1 = 2 \\ *) \, & \frac{x_2}{x_1} = 4 \rightarrow x_2 = 4x_1 = 4.2 = 8 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \frac{a}{b} $
$\begin{align} \frac{a}{b} & = \frac{-(x_1+x_2)}{x_1.x_2} = \frac{-(2 + 8)}{2.8} = \frac{-10}{16} \\ \frac{a}{b} & = \frac{-5}{8} \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{a}{b} = \frac{-5}{8} . \heartsuit $
Nomor 7
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{2}x \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar limit
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil limitnya dengan modifikasi
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{2}x & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{(\sqrt{2}x)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{2x^2} \\ & b = 0 , \, p = 0 , \, a = 2 \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{0-0}{2\sqrt{2}} = 0 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 0 . $ \heartsuit $
Nomor 8
Nilai maksimum $ f(x,y) = 8x+5y \, $ untuk $ x \, $ dan $ y \, $ di daerah yang diarsir adalah ....
spmk_ub_1_2009
$\spadesuit \, $ Konsep persamaan garis
spmk_ub_1a_2009
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garisnya
spmk_ub_1b_2009
garis I : $ 9x + 3y = 9.3 \rightarrow 3x+y = 9 $
garis II : $ 6x+4y=6.4 \rightarrow 3x+2y=12 $
$\spadesuit \, $ Eliminasi kedua persamaan untuk menentukan titik B
$\begin{array}{cc} 3x+2y=12 & \\ 3x+y = 9 & - \\ \hline y = 3 & \end{array}$
pers(i) : $ 3x+y = 9 \rightarrow 3x+3 = 9 \rightarrow x = 2 $
sehingga titik B(2,3)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum $ f(x,y) = 8x+5y \, $ dengan substitusi semua titik pojoknya
$\begin{align} A(3,0) \rightarrow f & = 8.3+5.0 = 24 \\ B(2,3) \rightarrow f & = 8.2+5.3 = 16+15=31 \\ C(0,6) \rightarrow f & = 8.0+5.6 = 30 \end{align}$
Jadi, nilai maksimumnya adalah 31. $ \heartsuit $
Nomor 9
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \left( 8^{x + \frac{1}{3}} \right)^2 = 0,5\sqrt[3]{2^x} \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep eksponen
*) sifat eksponen
$ (a^m)^n = a^{m.n}, \, \, \, \, a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a)^{-n} = \frac{1}{a^n}, \, \, \, \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
*) Persamaan : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \left( 8^{x + \frac{1}{3}} \right)^2 & = 0,5\sqrt[3]{2^x} \\ 8^{2x + \frac{2}{3}} & = \frac{1}{2}.2^\frac{x}{3} \\ (2^3)^{2x + \frac{2}{3}} & = 2^{-1}.2^\frac{x}{3} \\ 2^{6x + 2} & = 2^{-1 + \frac{x}{3}} \\ 6x + 2 & = -1 + \frac{x}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 18x + 6 & = -3 + x \\ 17x & = -9 \\ x & = \frac{-9}{17} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{-9}{17} . \heartsuit $
Nomor 10
Petunjuk B digunakan untuk menjawab soal nomor 10 dan 11.
Grafik $ y=px^2 +qx+4 \, $ melalui titik $ (x,y)=(0,4) \, $ untuk semua nilai $ p \, $ dan $ q \, $ . Jika grafik tersebut juga melewati (1,3) dan (2,6) , maka nilai $ 3p+q=3 \, $.
                            SEBAB
$ p =3 \, $ dan $ q = -6 $ .
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (1,3) dan (2,6) ke $ y=px^2 +qx+4 $
$\begin{align} (x,y)=(1,3) \rightarrow y & =px^2 +qx+4 \\ 3 & =p.1^2 +q.1+4 \\ p+q & = -1 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(2,6) \rightarrow y & =px^2 +qx+4 \\ 6 & =p.2^2 +q.2+4 \\ 4p+2q & = 2 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2p+q & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 2p+q = 1 & \\ p+q = -1 & - \\ \hline p = 2 & \end{array}$
pers(i) : $ p+q = -1 \rightarrow 2+q = -1 \rightarrow q = -3 $
sehingga nilai $ 3p+q = 3.2 + (-3) = 3 $
$\spadesuit \, $ Berdasarkan petunjuk B
*) Pernyataan pertama : $ 3p + q = 3 \, $ (benar)
*) Pernyataan kedua : $ p = 3 \, $ dan $ q = -6 \, $ salah karena seharusnya nilai $ p = 2 \, $ dan $ q = -3 $
Karena pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah, maka berdasarkan petunjuk B jawabannya opsi C.
Jadi, jawabannya C. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 91 tahun 2009


Nomor 1
Matriks $ \left[ \begin{matrix} 2x & 2x+y \\ 2x-y & 2x \end{matrix} \right] \, \, $ tidak memiliki invers jika ....
A. $ x=y $
B. $ x = -y $
C. $ x = 0 \, $ dan $ y \, $ sembarang
D. $ y = 0 \, $ dan $ x \, $ sembarang
E. $ x \, $ dan $ y \, $ sembarang
$\spadesuit \, $ Konsep matriks
*) Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Det(A)= $ ad-bc $
*) Matriks tidak punya invers, syaratnya Det = 0
$\spadesuit \, $ Menentukan Determinan matriks A
$\begin{align} A & = \left[ \begin{matrix} 2x & 2x+y \\ 2x-y & 2x \end{matrix} \right] \\ Det(A) & = 2x.2x - (2x-y)(2x+y) \\ & = 4x^2 - (4x^2 - y^2) \\ Det(A) & = y^2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Syarat tidak mempunyai invers
$\begin{align} Det(A) & = 0 \\ y^2 & = 0 \\ y & = 0 \end{align}$
Artinya matriks A tidak mempunyai invers jika $ y = 0 \, $ dan $ x \, $ sembarang.
Jadi, syaratnya $ y = 0 \, $ dan $ x \, $ sembarang. $ \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui $ f(x) = x+5 \, $ dan $ g(x) = x^\frac{1}{3} \, $ , maka $ (f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar
*) inves : $ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $
*) eksponen : $ b = a^\frac{1}{n} \rightarrow a = b^n $
$\clubsuit \,$ Menentukan invers kedua fungsi
*) fungsi $ f(x) = x + 5 $
$ y = x + 5 \rightarrow x = y-5 $
artinya invernya : $ f^{-1} (x) = x-5 $
*) fungsi $ g(x) = x^\frac{1}{3} $
$ y = x^\frac{1}{3} \rightarrow x = y^3 $
artinya inversnya : $ g^{-1} (x) = x^3 $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya
$\begin{align} (f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) & = f^{-1} (g^{-1}(3)) \\ & = f^{-1} (3^3) \\ & = f^{-1} (27) \\ & = 27 - 5 \\ & = 22 \end{align}$
Jadi, nilai $ (f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) = 22. \heartsuit $
Nomor 3
Jika $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ dan $ \cos x = \tan x \, $ , maka nilai dari $ \sin x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar trigonometri
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \, $ dan $ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \sin x $
Diketahui : $ \cos x = \tan x \, $ dan misalkan $ p = \sin x $
$\begin{align} \cos x & = \tan x \\ \cos x & = \frac{\sin x}{\cos x} \\ \cos ^2 x & = \sin x \\ 1 - \sin ^2 x & = \sin x \\ \sin ^2 x + \sin x - 1 & = 0 \, \, \, \, \text{(substitusi } \, p = \sin x ) \\ p^2 + p - 1 & = 0 \rightarrow a = 1, b = 1, c = -1 \\ \text{Gunakan } \, & \, \text{ rumus ABC} & \\ p & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ p & = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4.1.(-1)}}{2.1} \\ p & = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align}$
sehingga nilai $ \sin x = p = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $
Karena $ x \, $ pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ (kuadran I), maka nilai $ \sin x \, $ positif, dan yang memenuhi adalah $ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $
Jadi, nilai $ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} . \heartsuit $
Nomor 4
Sebuah persegipanjang yang terbuat dari kawat besi mengalami pemuaian sehingga panjangnya bertambah 25% dari panjang mula-mula dan lebarnya bertambah sebesar 40% dari lebarnya semula. Berapa persen pertambahan luas persegipanjang tersebut dengan adanya pemuaian?
$\clubsuit \,$ Permisalan
$ p_a \, $ = panjang awal , $ \, l_a \, $ = lebar awal
$ L_a \, $ = Luas awal = $ p_a.l_a $
$ p_p \, $ = panjang adanya pemuaian , $ \, l_p \, $ = lebar adanya pemuaian
$ L_p \, $ = Luas adanya pemuaian = $ p_p.l_p $
$\clubsuit \,$ Menentukan panjang dan lebar ada pemuaiannya
*) panjang bertambah 25%
$ p_p = p_a + 25\% p_a = p_a + 0,25p_a $
$ p_p = 1,25p_a \, $ ....(i)
*) lebar bertambah 40%
$ l_p = l_a + 40\% l_a = l_a + 0,4l_a $
$ l_p = 1,4l_a \, $ ....(ii)
$\clubsuit \,$ Luas adanya pemuaian dari bentuk (i) dan (ii)
$\begin{align} L_p & = p_p . l_p \\ & = (1,25p_a).(1,4l_a ) \\ & = 1,75 p_a.l_a \\ & = 1,75L_a \\ & = L_a + 0,75L_a = L_a + 0,75 \times 100\% L_a\\ & = L_a + 75\% L_a \end{align}$
artinya luas bertambah 75% setelah adanya pemuaian.
Jadi, luasnya bertambah 75% . $ \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui $ {}^2 \log a > 1 \, $ dan $ {}^3 \log b > 1 \, $ dengan $ a,b > 0 \, $ dan $ a \neq b \, $ . Hubungan antara $ a \, $ dan $ b \, $ yang berlaku adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep pertidaksamaan logaritma
$ {}^c \log f(x) > {}^c \log g(x) \rightarrow f(x) > g(x) $
dengan syarat : $ c > 1 \, $ (basisnya > 1)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} {}^2 \log a > 1 \rightarrow {}^2 \log a & > {}^2 \log 2 \\ a & > 2 \, \, \, \, \text{...(i)} \\ {}^3 \log b > 1 \rightarrow {}^3 \log b & > {}^3 \log 3 \\ b & > 3 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align}$
Dari (i) dan (ii) diperoleh :
$ a.b > 2.3 \rightarrow a.b > 6 $
Jadi, hubungannya adalah $ ab > 6 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15