dunia informa

Cara 2 Pembahasan Integral SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Nilai $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar integral :
$ \int k(ax+b)^n dx = \frac{1}{a}.\frac{k}{n+1}(ax+b)^{n+1} + c $
*). Salah satu teknik integral adalah integral parsial atau Tanzalin.
*). Teknik Tanzalin adalah salah satu fungsi diturunkan dan satunya lagi diintegralkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soal : $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $
*). Teknik Tanzalin :
$ \begin{array}{c|c} \text{Turunan} & \text{integral} \\ (+) 15x & \sqrt{1-x} = (1-x)^\frac{1}{2} \\ (-) 15 & \frac{1}{-1}. \frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} = -\frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} \\ 0 & - \frac{2}{3} . \frac{1}{-1} . \frac{2}{5} (1-x)^\frac{5}{2} = \frac{4}{15} (1-x)^\frac{5}{2} \end{array} $
*). Hasil integralnya :
$ = 15x. -\frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} + (-15). \frac{4}{15} (1-x)^\frac{5}{2} $
$ = -10x (1-x)^\frac{3}{2} -4 (1-x)^\frac{5}{2} $
*). Substitusi batas-batasnya :
$\begin{align} & \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx \\ & = \left[ -10x (1-x)^\frac{3}{2} -4 (1-x)^\frac{5}{2} \right]_0^1 \\ & = \left[ -10.1 (1-1)^\frac{3}{2} -4 (1-1)^\frac{5}{2} \right] - \left[ -10.0 (1-0)^\frac{3}{2} -4 (1-0)^\frac{5}{2} \right] \\ & = \left[ 0 \right] - \left[ 0 - 4 \right] = 4 \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Nilai $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar integral :
$ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
*). Salah satu teknik integral adalah integral subsitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soal : $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $
*). Teknik substitusi :
Misalkan : $ 1 - x = u \rightarrow x = 1 - u $
turunannya : $ \frac{du}{dx} = -1 \rightarrow dx = -du $
*). Menentukan integral dengan teknik substitusi :
$\begin{align} & \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx \\ & = \int 15 (1-u) \sqrt{u} . (-du) \\ & = -15 \int (u^\frac{1}{2} - u^\frac{3}{2} ) du \\ & = -15 (\frac{2}{3} u^\frac{3}{2} - \frac{2}{5} u^\frac{5}{2} ) + C \\ & = -15 \left[ \frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} - \frac{2}{5} (1-x)^\frac{5}{2}\right]_0^1 \\ & = -15 \left[ \left( \frac{2}{3} (1-1)^\frac{3}{2} - \frac{2}{5} (1-1)^\frac{5}{2} \right) - \left( \frac{2}{3} (1-0)^\frac{3}{2} - \frac{2}{5} (1-0)^\frac{5}{2} \right)\right] \\ & = -15 \left[ \left( 0 - 0 \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right)\right] \\ & = -15 \left[ - \frac{2}{3} + \frac{2}{5} \right] \\ & = 10 - 6 = 4 \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan PGS Kurva SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Segitiga yang dibatasi oleh sumbu $ x $ , sumbu $ y $ , dan garis singgung pada kurva $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 $ di titik $ P(a,b) $ pada kuadran II, berbentuk segitiga sama kaki. Nilai $ ab $ adalah .....
A). $ -\frac{2}{3} \, $ B). $ -\frac{23}{48} \, $ C). $ -\frac{86}{243} \, $ D). $ -\frac{191}{768} \, $ E). $ -\frac{374}{1875} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva (PGSV) $ y = f(x) $ di titik singgung $ (x_1,y_1) $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, y-y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Gradien ( $ m $) adalah kemiringan garis dengan $ m = \tan \theta $
dimana $ \theta $ = sudut yang dibentuk oleh garis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan garis singgung di titik $ P(a,b) $ :
Kurva : $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 $
Karena $ P(a,b) $ ada di kuadran II, maka $ a < 0 $ (negatif).
*). Substitusi titik $ P(a,b) $ ke kurva :
$ x = a \rightarrow b = \frac{1}{3}a^3 + 1 $
*). Gradien garis singgung :
$ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (a) = a^2 $
*). Ilustrasi gambar.

*). Karena $ \Delta MNO $ sama kaki, maka MO = NO
sehingga $ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{NO}{MO} \rightarrow \tan \theta = 1 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dari gradien :
$ m = \tan \theta \rightarrow a^2 = 1 \rightarrow a = \pm 1 $
Karena $ a < 0 $ , maka yang memenuhi $ a = -1 $.
sehingga nilai $ b $ :
$ b = \frac{1}{3}a^3 + 1 = \frac{1}{3}.(-1)^3 + 1 = \frac{2}{3} $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = -1. \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = -\frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan PGS Kurva SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva (PGSV) $ y = f(x) $ di titik singgung $ (x_1,y_1) $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, y-y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis singgung di titik $ P(a,b) $ :
Kurva : $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 $
Karena $ P(a,b) $ ada di kuadran II, maka $ a < 0 $ (negatif).
-). Menentukan titik singgungnya :
$ x = a \rightarrow b = \frac{1}{3}a^3 + 1 $
sehingga titik singgungnya :
$ (x_1,y_1) = (a,b) = \left( a, \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) $
-). Menentukan gradien garis singgungnya :
$ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (a) = a^2 $
-). Menentukan persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \end{align} $
*). Menentukan titik potong (tipot) garis singgung terhadap sumbu-sumbu koordinat:
-). Tipot sumbu X : substitusi $ y = 0 $
$\begin{align} y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \\ 0 - \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \\ -\frac{1}{3}a^3 - 1 & = a^2x-a^3 \\ a^2x & = \frac{2}{3}a^3 - 1 \\ x & = \frac{\frac{2}{3}a^3 - 1}{a^2} \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu X : $ M\left(\frac{\frac{2}{3}a^3 - 1}{a^2} ,0 \right) $
-). Tipot sumbu Y : substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \\ y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(0-a) \\ y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = -a^3 \\ y & = -\frac{2}{3}a^3 + 1 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y : $ N\left(0,-\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) $
*). Ilustrasi gambar.

*). Karena $ \Delta MNO $ sama kaku, maka MO = NO :
$\begin{align} MO & = NO \\ 0 - \left(\frac{\frac{2}{3}a^3 - 1}{a^2} \right) & = \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) - 0 \\ \left(\frac{-\frac{2}{3}a^3 + 1}{a^2} \right) & = \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) - 0 \\ \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2 \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) \\ 1 & = a^2 \\ a & = \pm 1 \end{align} $
Karena $ a < 0 $ , maka yang memenuhi $ a = -1 $.
sehingga nilai $ b $ :
$ b = \frac{1}{3}a^3 + 1 = \frac{1}{3}.(-1)^3 + 1 = \frac{2}{3} $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = -1. \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = -\frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Sisa pembagian $ p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C $ oleh $ x + 3 $ adalah 2. Jika $ p(x) $ habis dibagi oleh $ x+1 $ dan $ x-1 $, maka $ A + 2B - 3C = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep pembagian :
Suku banyak $ P(x) $ dibagi $ (x-a) $ berisa $ b $,
dapat kita tulis : $ P(a) = b $.
(substitusi $ x $ dengan akar pembaginya)
*). Habis dibagi artinya sisa = 0.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui suku banyak : $ p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C $
*). $ p(x) : (x + 3) \, $ bersisa 2 , artinya :
$\begin{align} p(-3) & = 2 \\ (-3)^3+A(-3)^2+B.(-3)+C & = 2 \\ -27+9A-3B+C & = 2 \\ 9A-3B+C & = 29 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). $ p(x) $ habis dibagi $ (x+1) $, artinya :
$\begin{align} p(-1) & = 0 \\ (-1)^3+A(-1)^2+B.(-1)+C & = 0 \\ -1+A-B+C & = 0 \\ A-B+C & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). $ p(x) $ habis dibagi $ (x-1) $, artinya :
$\begin{align} p(1) & = 0 \\ (1)^3+A(1)^2+B.(1)+C & = 0 \\ 1+A+B+C & = 0 \\ A+B+C & = -1 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(ii) dan (iii) :
$\begin{array}{cc} A-B+C = 1 & \\ A+B+C = -1 & - \\ \hline -2B = 2 & \\ B = -1 & \end{array} $
Pers(iii): $ A+B+C = -1 $
$ \rightarrow A+(-1)+C = -1 \rightarrow C = -A $
Pers(i) : dengan $ B = -1 $ dan $ C = -A $
$\begin{align} 9A-3B+C & = 29 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ 9A-3.(-1)+ (-A) & = 29 \\ 9A+ 3 - A & = 29 \\ 8A & = 26 \\ A & = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} \end{align} $
Sehingga $ C = -A = - \frac{13}{4} $
*). Menentukan nilai $ A + 2B - 3C $ :
$\begin{align} A + 2B - 3C & = \frac{13}{4} + 2(-1) - 3 \left( - \frac{13}{4} \right) \\ & = \frac{13}{4} -2 + \frac{39}{4} \\ & = \frac{52}{4} -2 = 13-2 = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $A + 2B - 3C = 11 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Jika lingkaran $ x^2 + y^2 -ax - ay + a = 0 $ mempunyai panjang jari-jari $ \frac{1}{2}a $, maka nilai $ a $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Jari-jarinya : $ r = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} -C} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 -ax - ay + a = 0 \rightarrow A = -a , B = -a , C = a $
dengan jari-jari : $ r = \frac{1}{2}a $
dimana $ a \neq 0 $, sebab jika $ a = 0 $ maka tidak terbentuk lingkaran.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r & = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} -C} \\ \frac{1}{2}a & = \sqrt{\frac{(-a)^2}{4} + \frac{(-a)^2}{4} -a} \\ \frac{1}{2}a & = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} -a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{a^2}{4} & = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} -a \\ 0 & = \frac{a^2}{4} -a \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 0 & = a^2 -4a \\ 0 & = a(a-4) \\ a& = 0 \vee a = 4 \end{align} $
yang memenuhi $ a = 4 $.
Jadi, nilai $ a = 4. \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Peluang SBMPTN 2018 Matipa kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah .....
A). $ 7 \times 8! \, $ B). $ 6 \times 8! \, $
C). $ 7 \times 8! \, $ D). $ 7 \times 7! \, $
E). $ 6 \times 7! $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Banyak cara penempatan $ n $ orang pada $ n $ tempat secara berbarisan adalah $ n! $.
*). Banya cara penempatan $ r $ orang pada $ n $ tempat adalah $ P_r^n $
dengan $ P $ = permutasi dan $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
*). Misalkan kejadian I ada $ p $ cara dan kejadian II ada $ q $ cara, maka total cara kejadian I dan II adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan susunan duduk berikut ini :

*). Kejadian I : Kita pilih 7 orang (selain Ari dan Ira) yang kita tempatkan pada posisi tempat yang berwarna biru. Artinya kita menyusun 7 orang pada 7 tempat dengan banyak cara $ 7! $.
*). Kejadian II : Dua orang yang tersisa (Ari dan Ira) bisa kita tempatkan pada kotak warna hijau ( satu kotak satu orang sehingga dijamin Ari dan Ira tidak berdampingan). Artinya kita menyusun 2 orang pada 8 tempat dengan banyak cara $ P_2^8 $.

Sehingga total Cara :
$ = P_2^8 \times 7! = \frac{8!}{6!} \times 7! = \frac{8!}{6!} \times (7 \times 6!) = 7 \times 8! $.
Jadi, total susunan adalah $ 7 \times 8!. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Peluang SBMPTN 2018 Matipa kode 452

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Banyak cara penempatan $ n $ orang pada $ n $ tempat secara berbarisan adalah $ n! $.
*). Misalkan kejadian I ada $ p $ cara dan kejadian II ada $ q $ cara, maka total cara kejadian I dan II adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan susunan duduk berikut ini :

*). Kejadian I : Kita pilih 8 orang (salah satunya Ari atau Ira) yang kita tempatkan pada posisi tempat yang berwarna biru. Artinya kita menyusun 8 orang pada 8 tempat dengan banyak cara $ 8! $.
*). Kejadian II : Satu orang yang tersisa (Ari atau Ira) bisa kita tempatkan pada posisi warna hijau. Kenapa tidak kita tempatkan di posisi warna merah? karena kita misalkan jika warna biru 1 ditempati oleh Ari atau ira , sehingga salah satu dari mereka tidak bisa kita tempatkan di warna merah karena mereka akan berdampingan sementara di soal tidak boleh berdampingan. Pada kejadian II ini ada 7 cara (7 posisi kemungkinan warna hijau yang bisa ditempati oleh satu orang yaitu Ari atau Ira).
Sehingga total Cara $ = 7 \times 8! $.
Jadi, total susunan adalah $ 7 \times 8!. \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Banyak cara penempatan $ n $ orang pada $ n $ tempat secara berbarisan adalah $ n! $.
*). Kejadian komplemen (berlawanan) :
-). Kasus I : Semua kemungkinan kejadian
-). Kasus II : Kejadian A dan B berdampingan
-). Banyaknya kejadian A dan B tidak berdampingan adalah
$ \, \, \, \, \, \, \, = $ Kasus I $ - $ Kasus II.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan banyaknya susunan yang mungkin :
*). Kasus I : Misalkan Ari dan Ira bebas posisinya, artinya ada 9 orang berbaris dengan banyak cara
Kasus I = $ 9! $.
*). Kasus II : Misalkan susunan barisnya dimana Ari dan Ira selalu berdampingan. Agar Ari dan Ira selalu berdampingan, maka kita blok mereka berdua (anggap jadi satu orang) sehingga sekarang ada 8 orang totalnya dengan banyak cara $ 8! $. Posisi Ari dan Ira yang kita blok tadi bisa diacak lagi menjadi 2 cara, sehingga :
Kasus II $ = 2 \times 8! $.
*). Banyak cara agar Ari dan Ira tidak berdampingan :
$\begin{align} \text{total cara } & = \text{Kasus I } - \text{ Kasus II} \\ & = 9! - 2 \times 8! \\ & = 9 \times 8! - 2 \times 8! \\ & = (9 - 2 ) \times 8! \\ & = 7 \times 8! \end{align} $
Jadi, total susunan adalah $ 7 \times 8!. \, \heartsuit $

Pembahasan Volume integral SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Daerah R dibatasi oleh $ y= \sqrt{x} $ , $ y = -x + 6 $ , dan sumbu $ x $. Volume benda padat yang didapat dengan memutar R terhadap sumbu $ x $ adalah ....
A). $ \frac{8\pi}{3} \, $ B). $ \frac{16\pi}{3} \, $ C). $ \frac{24\pi}{3} \, $ D). $ \frac{32\pi}{3} \, $ E). $ \frac{40\pi}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus volume benda putar menggunakan integral :
Misalkan terdapat suatu daerah R yang dibatasi oleh fungsi $ y = f(x) $ untuk $ a \leq x \leq b $ , volume daerah R yang diputar terhadap sumbu X yaitu :
$ V_x = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 dx $
*). Rumus Integral :
1). $ \int kx^n dx = \frac{k}{n+1}x^{n+1} + c $
2). $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{1}{a}.\frac{k}{n+1}(ax+b)^{n+1} + c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :

Volume arsiran kita bagi menjadi dua yaitu $ V_A $ dan $ V_B $.
*). Langkah-langkah menggambar grafik :
-). garis lurus $ y = -x + 6 $
Titik potong sumbu X dan sumbu Y adalah :
$ (0,6) $ dan $ (6,0) $.
-). grafik $ y = \sqrt{x} $ bisa diubah $ x = y^2 $ dengan $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $.
Sehingga bentuk $ x = y^2 $ adalah parabola yang menghadap ke X positif.
*). Titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ (-x+6) & = \sqrt{x} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ x^2 - 12x + 36 & = x \\ x^2 - 13x + 36 & = 0 \\ (x-4)(x-9) & = 0 \\ x = 4 \vee x & = 9 \end{align} $
*). Menentukan volume benda putar :
$\begin{align} V_x & = V_A + V_B \\ & = \pi \int \limits_0^4 (\sqrt{x})^2 dx + \pi \int \limits_4^6 (-x+6)^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^4 x dx + \pi \int \limits_4^6 (-x+6)^2 dx \\ & = \pi . \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^4 + \pi \left[ \frac{1}{-1}. \frac{1}{3} (-x+6)^3 \right]_4^6 \\ & = \pi . \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^4 - \frac{\pi}{3} \left[ (-x+6)^3 \right]_4^6 \\ & = \pi . \left[ \frac{1}{2} 4^2 - 0 \right] - \frac{\pi}{3} \left[ (0)^3 - (2)^3 \right] \\ & = \pi . 8 - \frac{\pi}{3} \left[ 0 - 8 \right] \\ & = 8\pi - \frac{\pi}{3} \left[ -8 \right] \\ & = 8\pi + \frac{8\pi}{3} = \frac{32\pi}{3} \end{align} $
Jadi, volumenya adalah $ \frac{32\pi}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan barisan geometri $ u_n $, dengan $ u_3+u_4 = 4(u_1+u_2) $ dan $ u_1u_4=4u_2 $. Jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 15 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus $ u_n $ dan $ s_n $ barisan geometri :
$ u_n = a.r^{n-1} $ dan $ s_n = \frac{a(r^n - a)}{r-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} u_3 + u_4 & = 4(u_1+u_2) \\ ar^2 + ar^3 & = 4(a + ar) \\ r^2(a + ar) & = 4(a+ar) \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ r^2 & = 4 \\ r & = \pm 2 \end{align} $
-). Persamaan kedua :
$\begin{align} u_1.u_4 & =4u_2 \\ a.ar^3 & = 4 ar \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ ar^2 & = 4 \\ a. 4 & = 4 \\ a & = 1 \end{align} $
*). Menentukan $ s_4 $ :
-). Untuk $ a = 1 $ dan $ r = 2 $
$\begin{align} s_4 & = \frac{a(r^4 - 1)}{r-1} \\ & = \frac{1.(2^4 - 1)}{2-1} = 15 \end{align} $
-). Untuk $ a = 1 $ dan $ r = -2 $
$\begin{align} s_4 & = \frac{a(r^4 - 1)}{r-1} \\ & = \frac{1.((-2)^4 - 1)}{-2-1} \\ & = \frac{15}{-3} = -5 \end{align} $
Yang ada dioption adalah $ s_4 = 15 $.
Jadi, jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah $ 15. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penggunaan turunan pada limit (L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $ .
*). Turunan fungsi :
1). $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
2). $ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) . \cos f(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2\cos (2x-6)}{\frac{-1}{2\sqrt{4-x}}} \\ & = \frac{2\cos 0}{\frac{-1}{2\sqrt{4-3}}} = \frac{2}{\frac{-1}{2}} = -4 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -4. \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin af(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} $ dengan syarat $ f(k)=0 $.
*). Limit bentuk tak tentu $ \left( \frac{0}{0} \right) $ bisa diselesaikan dengan cara pemfaktoran, merasionalkan , dan turunan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} \times \frac{\sqrt{4-x} +1}{\sqrt{4-x} +1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6) . \left( \sqrt{4-x} +1 \right) }{(4-x) -1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin 2(x-3) . \left( \sqrt{4-x} +1 \right) }{3-x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin 2(x-3) }{-(x-3)} . \left( \sqrt{4-x} +1 \right) \\ & = \frac{2 }{-1} . \left( \sqrt{4-3} +1 \right) \\ & = -2 . \left( 2 \right) = -4 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -4. \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 2\sqrt{2} $ cm. Jika titik P di tengah-tengah AB dan titik Q di tengah-tengah BC, maka jarak antara titik H dengan garis PQ adalah ..... cm.
A). $ \sqrt{15} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \sqrt{17} \, $ D). $ 3\sqrt{2} \, $ E). $ \sqrt{19} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat titik tersebut dengan garis yang dimaksud. Agar jaraknya terdekat, maka tarik garis dari titik ke garis sehingga berpotongan tegak lurus.
*). Jarak titik A ke garis PQ, buat garis dari A ke PQ yang berptongan di titik B dan tegak lurus. Jarak terdekatnya adalah panjang garis AB. Untuk memudahkan, silahkan buat segitiga dengan menghubungkan titik A dan ujung-ujung garis PQ sehingga terbentuk segitiga APQ.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :

*). Jarak H ke PQ = jarak H ke R. Karena $ HP = HQ $ , maka segitiga HPQ sama kaki sehingga R ditengah-tengah PQ dan HR tegak lurus PQ.
*). Menentukan panjang masing-masing :
Panjang rusuk kubus : $ s = 2 \sqrt{2} $
$ AP = PB = BQ = \frac{1}{2}s = \sqrt{2} $
$ HA = s\sqrt{2} = 2\sqrt{2}. \sqrt{2} = 4 $
$ PQ = \sqrt{PB^2+BQ^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2 $
$ PR = RQ = \frac{1}{2}PQ = 1 $
Segitiga HAP :
$ HP=\sqrt{HA^2+AP^2} = \sqrt{4^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{18} $
*). Menentukan panjang HR pada $ \Delta HPR $ :
$\begin{align} HR& = \sqrt{HP^2 - PR^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{18})^2 - 1^2} \\ & = \sqrt{17} \end{align} $
Artinya jarak H ke PQ = HR = $ \sqrt{17} $
Jadi, jarak H ke PQ adalah $ \sqrt{17} . \, \heartsuit $

Pembahasan Transformasi SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Pencerminan titik $ P(-2,b) $ terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh 6 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas, mengakibatkan bayangannya menjadi $ P^\prime (-4,7) $ . Nilai $ a + b $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pencerminan terhadap garis $ x = k $ :
Titik awal : $ A(m,n) $ ,
Bayangannya : $ A^\prime (2k - m, n) $.
*). Translasi/pergeseran dengan matriks $ T\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
Titik awal : $ A(m,n) $ ,
Bayangannya : $ A^\prime (m + a, n + b) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Transformasi pertama :
-). Titik $ (-2,b) $ dicerminkan terhadap $ x = a $ :
Titik bayangannya $( x^\prime , y^\prime ) $ yaitu
$\begin{align} ( x^\prime , y^\prime ) & = (2a- (-2) , b) \\ ( x^\prime , y^\prime ) & = (2a+ 2 , b) \end{align} $
*). Dilanjutkan transformasi kedua :
-). Translasi 6 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas,
matriks translasinya : $ T\left( \begin{matrix} -6 \\ 3 \end{matrix} \right) $
-). Titik $ ( x^\prime , y^\prime ) = (2a+ 2 , b) $ ditranslasi oleh $ T\left( \begin{matrix} -6 \\ 3 \end{matrix} \right) $
Bayangannya yaitu :
$\begin{align} ( x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime} ) & = ( x^\prime +(-6) , y^\prime + 3 ) \\ & = ( 2a + 2 - 6 , b + 3 ) \\ & = ( 2a - 4 , b + 3 ) \end{align} $
*). Bayangan akhir yaitu titik $ (2a-4 , b+3 ) $ harus sama dengan titik $ (-4,7) $ , artinya kita peroleh :
$\begin{align} 2a - 4 & = -4 \rightarrow a = 0 \\ b + 3 & = 7 \rightarrow b = 4 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 0 + 4 = 4 $.
Jadi, nilai $ a + b = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Trigonometri SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Jika nilai maksimum dan minimum fungsi $ f(x) = k\sin (x) + c $ berturut-turut adalah 7 dan 3, maka nilai maksimum fungsi $ g(x) = 2k \cos (x) + 5c $ adalah .....
A). $ 7 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 14 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 29 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan terdapat fungsi trigonometri :
$ f(x) = A \sin g(x) + B $ atau $ f(x) = A \cos h(x) + B $
*). Nilai maksimum/minimumnya yaitu :
$ f_{maks} = B + |A| $
$ f_{min} = B - |A| $
dengan $ |A| $ adalah nilai mutlak dari $ A $ dan $ A, B \in R $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi : $ f(x) = k \sin x + c $
dengan $ f_{maks} = 7 $ dan $ f_{min} = 3 $.
dan $ A = k $ , serta $ B = c $.
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} f_{maks} = 7 \rightarrow B + |A| & = 7 \\ c + |k| & = 7 \, \, \, \, \, ....(i) \\ f_{min} = 3 \rightarrow B - |A| & = 3 \\ c - |k| & = 3 \, \, \, \, \, ....(ii) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ dan $ k $ dengan eliminasi kedua persamaan :
$\begin{array}{cc} c + |k| = 7 & \\ c - |k| = 3 & + \\ \hline 2c = 10 & \\ c = 5 & \end{array} $
Pers(i): $ c + |k| = 7 \rightarrow 5 + |k| = 7 \rightarrow |k| = 2 $
Dari bentuk $ |k|=2 $ , artinya $ k = 2 $ atau $ k = -2 $ (pilih salah satu).
Kita pilih nilai $ k = 2 $.
*). Fungsi $ f(x) = 2k\cos x + 5c $ menjadi :
$ f(x) = 2.2 \cos x + 5.5 = 4\cos x + 25 $.
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) = 4\cos x + 25 $ :
$\begin{align} f_{maks} & = B + |A| \\ & = 25 + |4| \\ & = 25 + 4 = 29 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsinya adalah $ 29 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 452

Nomor 1

Nomor 2

Nomor 3

Nomor 4

$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 \, $

Nomor 5

Nomor 6

Nomor 7

Nomor 8

Jika lingkaran $ x^2 + y^2 -ax - ay + a = 0 $ mempunyai panjang jari-jari $ \frac{1}{2}a $, maka nilai $ a $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

Nomor 9

Nomor 10

Nomor 11

Nilai $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

Nomor 12

Diketahui $ (a_n) $ dan $ (b_n) $ adalah dua barisan aritmetika dengan $ a_1=5 $ , $ a_2 = 8 $ , $ b_1 = 3 $ , dan $ b_2 = 7 $. Jika $ A = \{ a_1, a_2, ...,a_{100} \} $ dan $ B = \{ b_1, b_2 , ... , b_{100} \} $ , maka banyaknya anggota $ A \cap B $ adalah .....
A). $ 20 \, $ B). $ 21 \, $ C). $ 22 \, $ D). $ 23 \, $ E). $ 24 $

Nomor 13

Himpunan semua bilangan real $ x $ pada selang $ \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right) $ yang memenuhi $ \sec x ( 1 + \tan x) < 0 $ berbentuk $ ( a,b) $. Nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ \frac{5\pi}{4} \, $ B). $ \frac{7\pi}{4}\, $ C). $ 2\pi \, $ D). $ \frac{9\pi}{4} \, $ E). $ \frac{11\pi}{4} $

Nomor 14

Diketahui $ f(x)=2^{x^2+x-12} $ dan $ g(x)= 4^{2x-7} $ . Jika $ (a, b) $ adalah interval dengan grafik $ y = f(x) $ berada di bawah grafik $ y= g(x) $ , maka nilai $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 17 $

Nomor 15

Diketahui dua lingkaran $ x^2+y^2 = 2 $ dan $ x^2+y^2=4 $. Garis $ l_1 $ menyinggung lingkaran pertama di titik $ (1,-1) $. Garis $ l_2 $ menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis $ l_1 $. Titik potong garis $ l_1 $ dan $ l_2 $ adalah .....
A). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} - 1) \, $ B). $ ( 1-\sqrt{2} , \sqrt{2} - 1) \, $
C). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} + 1) \, $ D). $ ( 1-\sqrt{2} , \sqrt{2} - 2) \, $
E). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} + 2) $

Pages - Menu