Pembahasan Statistika Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Rata-rata tiga bilangan adalah 10 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan 8 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut adalah 14, maka ...
(1). jangkauannya adalah 18
(2). variansinya adalah 84
(3). jumlahnya adalah 36
(4). simpangan rata-ratanya adalah $ \frac{20}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus hitungan pada statistika :
-). Jangkauan = nilai terbesar $ - $ nilai terkecil
-). Variansi data sampel :
$ V = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ... + (x_n - \overline{x})^2}{n-1} $
-). Simpangan rata-rata :
$ SR = \frac{|x_1-\overline{x}| + |x_2-\overline{x}| + ... + |x_n-\overline{x}| }{n} $
Keterangan :
$ n = \, $ banyak data atau banyak nilai
$ \overline{x} = \, $ rata-rata
$ x_1 = \, $ nilai pertama
$ x_2 = \, $ nilai kedua
$ |a| = \, $ nilai mutlak dari $ a $ (selalu positif)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilainya $ a, b, c $ yang sudah diurutkan.
*). Menyusun persamaannya :
-). Persamaan pertama : Rata-rata tiga bilangan adalah 10 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil
$ \frac{a+b+c}{3} = a + 10 \, $ .....(i)
-). Persamaan kedua : Rata-rata tiga bilangan adalah 8 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar
$ \frac{a+b+c}{3} = c - 8 \, $ .....(ii)
-). Median = 14 artinya $ b = 14 $
*). Dari pers(i) dan pers(ii) :
$ a + 10 = c - 8 \rightarrow c = a + 18 \, $ .....(iii)
*). Pers(i) beserta $ b = 14 $ dan pers(iii) :
$\begin{align} \frac{a+b+c}{3} & = a + 10 \\ \frac{a+14+ (a + 18) }{3} & = a + 10 \\ 2a + 32 & = 3a + 30 \\ a & = 2 \end{align} $
Sehingga $ c = a + 18 = 2 + 18 = 20 $
Datanya yaitu $ 2, \, 14, \, 20 $
rata-ratanya : $ \overline = \frac{2 + 14 + 20}{3} = \frac{36}{3} = 12 $

*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). jangkauannya adalah 18?
Jangkauan $ = 20 - 2 = 18 $
Pernyataan (1) BENAR.

-). Pernyataan (2). variansinya adalah 84 ?
$ v = \frac{(2-12)^2 + (14-12)^2 + (20 -12)^2}{3 -1} = \frac{168}{2} = 84 $
Pernyataan (2) BENAR.

-). Pernyataan (3). jumlahnya adalah 36 ?
Jumlahnya $ = 2 + 14 + 20 = 36 $
Pernyataan (3) BENAR.

-). Pernyataan (4). simpangan rata-ratanya adalah $ \frac{20}{3} $ ?
$ SR = \frac{|2-12| + |14-12| + |20-12|}{3} = \frac{20}{3} $
Pernyataan (4) BENAR.

Karena yang Semua Pernyataan BENAR), jawabannya E.
Jadi, semua pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} $ , maka ...
(1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada
(2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $
(3). fungsi naik untuk $ x > 0 $
(4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Suatu fungsi $ f(x) $ atau $ f^\prime (x) $ tidak ada di $ a $ jika hasilnya $ f(a) = \frac{b}{0} $ dan $ f^\prime (a) = \frac{c}{0} $ , dimana $ a, b, c $ adalah bilangan real.
*). Interval fungsi $ f(x) $ naik ketika $ f^\prime (x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} = (x^2 + 4)^{-1} $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = (x^2 + 4)^{-1} \\ f ^\prime (x) & = -1. (x^2 + 4)^{-1-1} . 2x \\ f ^\prime (x) & = (x^2 + 4)^{-2} .(- 2x) \\ f ^\prime (x) & = \frac{-2x}{(x^2+4)^2} \end{align} $
*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada ?
$ f ^\prime (0) = \frac{-2.0}{(0^2+4)^2} = \frac{0}{16} = 0 $ ($f^\prime (0) \, $ ada)
Pernyataan (1) SALAH.

-). Pernyataan (2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $ ?
$ f ^\prime (-1) = \frac{-2.(-1)}{((-1)^2+4)^2} = \frac{2}{25} $
Pernyataan (2) SALAH.

-). Pernyataan (3). fungsi naik untuk $ x > 0 $ ?
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat naik)} \\ \frac{-2x}{(x^2+4)^2} & > 0 \end{align} $
Karena $ x^2 + 4 $ selalu bernilai positif, agar $ \frac{-2x}{(x^2+4)^2} > 0 $ maka haruslah $ -2x > 0 $ juga.
$ -2x > 0 \rightarrow x < 0 $.
Artinya $ f(x) $ naik pada interval $ x < 0 $.
Pernyataan (3) SALAH.

-). Pernyataan (4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $ ?
Gradien : $ m = f^\prime (1) = \frac{-2.1}{(1^2+4)^2} = \frac{-2}{25} $
Nilai $ y_1 = f(1) = \frac{1}{1^2 + 4} = \frac{1}{5} $
Menyusun garis singgung di $ (x_1,y_1) = (1, \frac{1}{5}) $ dan $ m = \frac{-2}{25} $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - \frac{1}{5} & = \frac{-2}{25} ( x - 1) \\ y - \frac{1}{5} & = \frac{-2}{25} x + \frac{2}{25} \\ y & = \frac{-2}{25} x + \frac{2}{25} + \frac{1}{5} \\ y & = \frac{-2}{25} x + \frac{7}{25} \end{align} $
Garis singgungnya adalah $ y = \frac{-2}{25} x + \frac{7}{25} $
Pernyataan (4) BENAR.

Karena yang BENAR pernyataan (4), jawabannya D.
Jadi, yang BENAR pernyataan (4) $ . \, \heartsuit $