Kode 246 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = x^3 + 2x^2 + a $ dan $ g(x) = x + a $ berpotongan di sumbu-x, dengan $ a $ bilangan bulat. Nilai minimum dari $ f(x) $ di interval $ -1\leq x \leq 2 $ adalah ....
A). $ -\frac{4}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ :
*). Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ berpotongan di sumbu X dengan $ a $ bilangan bulat, artinya $ f(x) $ dan $ g(x) $ memotong sumbu X di $ x $ yang sama.
*). $ g(x) $ memotong sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$\begin{align} y = 0 \rightarrow g(x) & = x + a \\ 0 & = x + a \\ x & = -a \end{align} $
Artinya $ f(x) $ juga memotong sumbu X di $ x = -a $, substitusi $ x = -a $ ke $ f(x) $ :
$\begin{align} x = -a , \, y = 0 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 + a \\ (-a)^3 + 2(-a)^2 + a & = 0 \\ -a^3 + 2a^2 + a & = 0 \\ a^3 - 2a^2 - a & = 0 \\ a(a^2 - 2a - 1) & = 0 \\ a = 0 \vee a^2 - 2a - 1 & = 0 \end{align} $
Bentuk $ a^2 - 2a - 1 = 0 $ tidak bisa difaktorkan langsung sehingga kita harus menggunakan rumus ABC, ini artinya nilai $ a $ nya tidak bulat lagi. Sehingga nilai $ a $ yang bulat yang memenuhi adalah $ a = 0 $ .
*). Fungsi $ f(x) $ nya menjadi :
$ f(x) = x^3 + 2x^2 + a = x^3 + 2x^2 + 0 \rightarrow f(x) = x^3 + 2x^2 $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ dan syarat nilai minimum $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = x^3 + 2x^2 \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x \\ \text{syarat } : \, f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 + 4x & = 0 \\ x ( 3x + 4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = - \frac{4}{3} \end{align} $
Karena interval yang diminta $ -1 \leq x \leq 2 $ , maka $ x = 0 \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ f(x) $ untuk $ x = 0 $ , batas interval yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 2 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow f(0) & = 0^3 + 2 . 0^2 \\ & = 0 \\ x = -1 \rightarrow f(-1) & = (-1)^3 + 2 . (-1)^2 \\ & = 1 \\ x = 2 \rightarrow f(2) & = (2)^3 + 2 . (2)^2 \\ & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ -1 \leq x \leq 2 $ adalah $ 0 . \, \heartsuit $



Kode 246 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $ \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4}=\frac{1}{9} \, $ maka $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3}= .... $
A). $ \frac{10}{9} \, $ B). $ 3 \, $ C). $ \frac{10}{3} \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri dan Eksponen
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $
*). Sifat eksponen :
$ a^2 = b \rightarrow a = \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai rasio ($r$) :
$\begin{align} \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4} & = \frac{1}{9} \\ \frac{a+ar}{ar^2+ar^3} & = \frac{1}{9} \\ \frac{a(1+r)}{ar^2( 1 +r)} & = \frac{1}{9} \\ \frac{1}{r^2} & = \frac{1}{9} \\ r^2 & = 9 \\ r & = 3 \end{align} $
*). Menentukan Hasilnya :
$\begin{align} \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3} & = \frac{a + ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2} \\ & = \frac{a (1 + r+r^2+r^3)}{a(r+r^2)} \\ & = \frac{1 + r+r^2+r^3}{r+r^2} \\ & = \frac{1 + 3+3^2+3^3}{3+3^2} \\ & = \frac{1 + 3+9+27}{3+9} \\ & = \frac{40}{12} \\ & = \frac{10}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3} = \frac{10}{3} . \, \heartsuit $



Kode 246 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) \sqrt{x}}{x^\frac{3}{2}} = .... $
A). $ - \infty \, $ B). $ -\frac{7}{2} \, $ C). $ -\frac{5}{2} \, $ D). $ -\frac{3}{2} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{x} = 1 $
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ a^{m+n} = a^m . a^n $
$ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) \sqrt{x}}{x^\frac{3}{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) . x^\frac{1}{2}}{x^{ 1 + \frac{1}{2}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^\frac{3}{2} .x^ \frac{1}{2} \sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) . x^\frac{1}{2}}{x^1 .x^ \frac{1}{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^ \frac{1}{2} \sin (x)[ x^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)]}{x .x^ \frac{1}{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)[ x^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)]}{x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x } \times [ x^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)] \\ & = 1 \times [ 0^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)] \\ & = 1 \times [ 0- \left(\frac{1}{2}\right)] \\ & = 1 \times [ - \frac{1}{2}] \\ & = - \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ - \frac{1}{2}. \, \heartsuit $