Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) $ fungsi kontinu di interval $ [1,30] $ dan $ \int \limits_6^{30} f(x) dx =
30 $ , maka $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 27 \, $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 27 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teknik integral substitusi :
Misalkan ada bentuk $ \int \limits_a^b f(g(x)) dx $,
Misalkan $ u = g(x) \rightarrow \frac{du}{dx} g^\prime (x) $
kita peroleh $ dx = \frac{du}{g^\prime (x)} $
-). Mengubah batas :
$ x = a \rightarrow u = g(a) $
$ x = b \rightarrow u = g(b) $
-). Sehingga bentuk integralnya menjadi :
$ \int \limits_a^b f(g(x)) dx = \int \limits_{g(a)}^{g(b)} f(u) \frac{du}{g^\prime (x)} $
*). Sifat integral :
$ \int \limits_a^b kf(g(x)) dx = k \int \limits_a^b f(g(x)) dx $
dengan $ k $ suatu bilangan real.
*). Teknik integral substitusi :
Misalkan ada bentuk $ \int \limits_a^b f(g(x)) dx $,
Misalkan $ u = g(x) \rightarrow \frac{du}{dx} g^\prime (x) $
kita peroleh $ dx = \frac{du}{g^\prime (x)} $
-). Mengubah batas :
$ x = a \rightarrow u = g(a) $
$ x = b \rightarrow u = g(b) $
-). Sehingga bentuk integralnya menjadi :
$ \int \limits_a^b f(g(x)) dx = \int \limits_{g(a)}^{g(b)} f(u) \frac{du}{g^\prime (x)} $
*). Sifat integral :
$ \int \limits_a^b kf(g(x)) dx = k \int \limits_a^b f(g(x)) dx $
dengan $ k $ suatu bilangan real.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ :
*). Mengubah bentuk $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy $ :
-). Misalkan $ u = 3y + 3 \rightarrow \frac{du}{dy} = 3 \rightarrow dy = \frac{1}{3}du $.
-). Mengubah batasnya :
$ y = 1 \rightarrow u = 3.1 + 3 = 6 $
$ y = 9 \rightarrow u = 3.9 + 3 = 30 $
-). Bentuk integralnya menjadi :
$\begin{align} \int \limits_1^9 f(3y+3) dy & = \int \limits_6^{30} f(u) . \frac{1}{3}du \\ & = \frac{1}{3} \int \limits_6^{30} f(u) du \\ & = \frac{1}{3} . 30 \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = 10 . \, \heartsuit $
*). Diketahui $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ :
*). Mengubah bentuk $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy $ :
-). Misalkan $ u = 3y + 3 \rightarrow \frac{du}{dy} = 3 \rightarrow dy = \frac{1}{3}du $.
-). Mengubah batasnya :
$ y = 1 \rightarrow u = 3.1 + 3 = 6 $
$ y = 9 \rightarrow u = 3.9 + 3 = 30 $
-). Bentuk integralnya menjadi :
$\begin{align} \int \limits_1^9 f(3y+3) dy & = \int \limits_6^{30} f(u) . \frac{1}{3}du \\ & = \frac{1}{3} \int \limits_6^{30} f(u) du \\ & = \frac{1}{3} . 30 \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = 10 . \, \heartsuit $