Pembahasan Integral Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) $ fungsi kontinu di interval $ [1,30] $ dan $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ , maka $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 27 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teknik integral substitusi :
Misalkan ada bentuk $ \int \limits_a^b f(g(x)) dx $,
Misalkan $ u = g(x) \rightarrow \frac{du}{dx} g^\prime (x) $
kita peroleh $ dx = \frac{du}{g^\prime (x)} $
-). Mengubah batas :
$ x = a \rightarrow u = g(a) $
$ x = b \rightarrow u = g(b) $
-). Sehingga bentuk integralnya menjadi :
$ \int \limits_a^b f(g(x)) dx = \int \limits_{g(a)}^{g(b)} f(u) \frac{du}{g^\prime (x)} $
*). Sifat integral :
$ \int \limits_a^b kf(g(x)) dx = k \int \limits_a^b f(g(x)) dx $
dengan $ k $ suatu bilangan real.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ :
*). Mengubah bentuk $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy $ :
-). Misalkan $ u = 3y + 3 \rightarrow \frac{du}{dy} = 3 \rightarrow dy = \frac{1}{3}du $.
-). Mengubah batasnya :
$ y = 1 \rightarrow u = 3.1 + 3 = 6 $
$ y = 9 \rightarrow u = 3.9 + 3 = 30 $
-). Bentuk integralnya menjadi :
$\begin{align} \int \limits_1^9 f(3y+3) dy & = \int \limits_6^{30} f(u) . \frac{1}{3}du \\ & = \frac{1}{3} \int \limits_6^{30} f(u) du \\ & = \frac{1}{3} . 30 \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^3+27} = -\frac{1}{3^5} $ , maka nilai $ a + b $ untuk $ a $ dan $ b $ bulat positif adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit, wajib substitusi nilai variabelnya.
*). Sifat eksponen :
$ a^{m+n} = a^m.a^n $ dan $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^3+27} & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{\frac{1}{a.(-3)}+\frac{1}{3}}{b.(-3)^3+27} & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{\frac{1}{-3a}+\frac{1}{3}}{-27b+27} & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{a} \right) }{-27( b - 1) } & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) }{-27 . 3 ( b - 1) } & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) }{-3^4 ( b - 1) } & = -\frac{1}{3^5} \\ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) & = ( -3^4 ( b - 1)) . \left( -\frac{1}{3^5} \right) \\ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) & = \frac{1}{3}(b-1) \end{align} $
*). Bentuk kesamaan $ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) = \frac{1}{3}(b-1) $ berlaku hanya untuk nilai $ a = 1 $ dan $ b = 1 $.
Sehingga nilai $ a + b = 1 + 1 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
*). Nilai $ \pi = 180^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaannya :
$\begin{align} 2\sin ^2 x - \cos x & = 1 \\ 2(1 - \cos ^2 x ) - \cos x & = 1 \\ 2 - 2\cos ^2 x - \cos x & = 1 \\ - 2\cos ^2 x - \cos x + 1 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ 2\cos ^2 x + \cos x - 1 & = 0 \\ (2\cos x - 1) ( \cos x + 1 ) & = 0 \\ (2\cos x - 1) = 0 \vee ( \cos x + 1 ) & = 0 \\ \cos x = \frac{1}{2} \vee \cos x & = -1 \end{align} $
-). Untuk $ x $ pada interval $ 0 \leq x \leq \pi $ :
$ \cos x = \frac{1}{2} \rightarrow x = 60^\circ = \frac{\pi}{3} $
$ \cos x = -1 \rightarrow x = 180^\circ = \pi $
*). Menentukan jumlah nilai $ x $ nya :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{\pi}{3} + \pi \\ & = \frac{4}{3} \pi \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{4}{3} \pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ b > a $, nilai $ x $ yang memenuhi $ |x-2a| + a \leq b $ adalah ....
A). $ 3a \leq x \leq 2b + a \, $
B). $ x \geq -b + 3a \, $
C). $ x \leq b + a \, $
D). $ b-3a \leq x \leq -b + a \, $
E). $ -b+3a \leq x \leq b + a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan mutlak :
$ |f(x)| \leq k \rightarrow -k \leq f(x) \leq k $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} |x-2a| + a & \leq b \\ |x-2a| & \leq b - a \\ -(b-a) \leq & x-2a \leq b - a \\ -b + a \leq & x-2a \leq b - a \, \, \, \, \, \, (+2a) \\ -b + a + 2a \leq & x-2a + 2a \leq b - a + 2a \\ - b + 3a \leq & x \leq b + a \end{align} $
sehingga penyelesaiannya : $ -b + 3a \leq x \leq b + a $
Jadi, solusinya $ -b + 3a \leq x \leq b + a . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ 2x^2 - x - 1 $ bersisa $ 4ax-b $ dan dibagi $ 2x^2 + 3x + 1 $ bersisa $ -2bx+a-11$. Jika $ f(x-2) $ habis dibagi oleh $ x-3 $, maka $ a + 2b + 6 = .... $
A). $ 18 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 12 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa :
$ f(x) \, $ dibagi $ \, (x-a)(x-b) \, $ bersisa $ px + q $
Maka berlaku :
$ f(a) = pa + q $ dan $ f(b) = pb + q $
(substitusi akar-akar pembaginya).
*). $ f(x) $ habis dibagi $ (x-a) $ artinya sisa = 0
atau bisa kita tulis $ f(a) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertama : Diketahui suku banyak $ f(x) $
Pembaginya : $ 2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1)=0 \rightarrow x = -\frac{1}{2} \vee x = 1 $
Sisa : $ s(x) = 4ax-b $
-). Menyusun persamaan :
Akar-akar pembaginya adalah $ -\frac{1}{2} $ dan $ 1 $
$\begin{align} x = -\frac{1}{2} \rightarrow f\left( -\frac{1}{2} \right) & = s\left( -\frac{1}{2} \right) \\ f\left( -\frac{1}{2} \right) & = 4a.\left( -\frac{1}{2} \right) - b \\ f\left( -\frac{1}{2} \right) & = -2a - b \, \, \, \, \, ....\text{(i)} \\ x = 1 \rightarrow f\left( 1 \right) & = s\left( 1 \right) \\ f\left( 1 \right) & = 4a.1 - b \\ f\left( 1 \right) & = 4a - b \, \, \, \, \, ....\text{(ii)} \end{align} $
*). Kedua : Diketahui suku banyak $ f(x) $
Pembaginya : $ 2x^2 + 3x + 1 = (2x+1)(x+1)=0 \rightarrow x = -\frac{1}{2} \vee x = -1 $
Sisa : $ s(x) = -2bx+a-11 $
-). Akar-akar pembaginya adalah $ -\frac{1}{2} $ dan $ -1 $
$\begin{align} x = -\frac{1}{2} \rightarrow f\left( -\frac{1}{2} \right) & = s\left( -\frac{1}{2} \right) \\ f\left( -\frac{1}{2} \right) & = -2b.\left( -\frac{1}{2} \right) + a - 11 \\ f\left( -\frac{1}{2} \right) & = a + b - 11 \, \, \, \, \, ....\text{(iii)} \end{align} $
*). Ketiga : $ f(x-2) $ habis dibagi oleh $ x-3 $
Pembaginya : $ x - 3 = 0 \rightarrow x = 3 $
Sisa : $ s(x) = 0 \, $ (karena habis dibagi)
$\begin{align} x = 3 \rightarrow f(x-2) & = 0 \\ f(3-2) & = 0 \\ f(1) & = 0 \, \, \, \, \, ....\text{(iv)} \end{align} $
*). Dari pers(ii) dan (iv) :
$ f(1) = f(1) \rightarrow 4a - b = 0 \rightarrow b = 4a $ ....(v)
*). Dari pers (i) dan (iii) , serta $ b = 4a $ :
$\begin{align} f\left( -\frac{1}{2} \right) & = f\left( -\frac{1}{2} \right) \\ a + b - 11 & = -2a - b \\ 3a + 2b & = 11 \\ 3a + 2(4a) & = 11 \\ 3a + 8a & = 11 \\ 11a & = 11 \\ a & = 1 \end{align} $
Nilai $ b = 4a = 4.1 = 4 $
Sehingga nilai :
$ a + 2b + 6 = 1+ 2.4 + 6 = 1 + 8 + 6 = 15 $
Jadi, nilai $ a + 2b + 6 = 15. \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Ipa Kode 412


Nomor 1
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ 2x^2 - x - 1 $ bersisa $ 4ax-b $ dan dibagi $ 2x^2 + 3x + 1 $ bersisa $ -2bx+a-11$. Jika $ f(x-2) $ habis dibagi oleh $ x-3 $, maka $ a + 2b + 6 = .... $
A). $ 18 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 12 $
Nomor 2
Jika $ b > a $, nilai $ x $ yang memenuhi $ |x-2a| + a \leq b $ adalah ....
A). $ 3a \leq x \leq 2b + a \, $
B). $ x \geq -b + 3a \, $
C). $ x \leq b + a \, $
D). $ b-3a \leq x \leq -b + a \, $
E). $ -b+3a \leq x \leq b + a $
Nomor 3
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $
Nomor 4
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^3+27} = -\frac{1}{3^5} $ , maka nilai $ a + b $ untuk $ a $ dan $ b $ bulat positif adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $
Nomor 5
Jika $ f(x) $ fungsi kontinu di interval $ [1,30] $ dan $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ , maka $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 27 \, $

Nomor 6
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan permukaan berbahan karton. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP : PG = 4:3 $. Jika bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian, perbandingan luas permukaan karton adalah ....
A). $ 23:7 \, $ B). $ 23:6 \, $ C). $ 23:5 \, $ D). $ 23:4 \, $ E). $ 23:3 $
Nomor 7
DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=2:3$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \tan \alpha = .... $
A). $ -\frac{2\sqrt{2}}{5} \, $ B). $ -\frac{5\sqrt{2}}{4} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{2}}{5} \, $ D). $ \frac{5\sqrt{2}}{4} \, $ E). $ \frac{\sqrt{2}}{5} $
Nomor 8
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $
Nomor 9
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 11
Jika diberikan $ 2a-b+3c = 8 $ , $ a^2 - 2b^2 = 15 $ , dan $ 7b^2+12ac=16b $ , maka nilai $ c $ adalah ....
A). $ -\frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 12
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{12}} \, $ C). $ \frac{3}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{3}{2^{12}} \, $ E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{a} = (3, -2, -5) $ , $ \vec{b} = (1,4,-4) $ , dan $ \vec{c} = (0, 3, 2) $, maka ....
(1). $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ membentuk jajaran genjang
(2). $ \vec{a}.(\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{b} \times \vec{c}).\vec{a} $
(3). volume jajaran genjang = 49
(4). $ \vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a} ) $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 , $ maka ....
(1). $ f $ selalu naik pada $ R $
(2). $ f $ tidak pernah turun
(3). $ f $ tidak memiliki maksimum relatif
(4). $ f $ minimum relatif pada $ x = \frac{3}{2} $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{15}{32}\sqrt{3} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{3}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $