Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 226

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P dan Q berturut-turut adalah titik tengah HG dan BC. Jika panjang rusuk kubus tersebut 4 cm, maka jarak P ke Q adalah ... cm.
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ 2\sqrt{6} \, $ C). $ 6\sqrt{2} \, $ D). $ 6\sqrt{3} \, $ E). $ 6\sqrt{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sebuah garis tegak lurus dengan bidang, maka semua garis yang ada di bidang juga tegak lurus dengan garis tersebut.
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan segitiga PQG, siku-siku di G.
$ PG = \frac{1}{2} GH = \frac{1}{2} \times 4 = 2 $
$ GQ^2 = GC^2 + CQ^2 = 4^2 + 2^2 = 20 $
*). Menentukan panjang PQ pada segitiga PQG :
$\begin{align} PQ & = \sqrt{PG^2 + GQ^2} \\ & = \sqrt{2^2 + 20} \\ & = \sqrt{24} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, panjang PQ adalah $ 2\sqrt{6} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Daerah Hasil SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 226

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = 1 - x^2 $ dan $ g(x) = \sqrt{5 - x } $ , maka daerah hasil fungsi komposisi $ f \circ g \, $ adalah ....
A). $\{ y | -\infty < y < \infty \} $
B). $\{ y | y \leq -1 \, \text{ atau } \, y \geq 1 \} $
C). $\{ y | y \leq 5 \, \} $
D). $\{ y | y \leq 1 \} $
B). $\{ y | -1 \leq y \leq 1 \} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Daerah asal fungsi komposisi
*). Daerah hasil (range) suatu fungsi dapat kita tentukan dengan mensubstitusi daerah asalnya.
*). Daerah asal (domain) :
Daerah asal fungsi $ g $ adalah $ D_g $.
Misalkan $ y = (f \circ g)(x) $, daerah asalnya $ D_y$.
Daerah asal fungsi $ f \circ g = \{ D_g \cap D_y \} $
*). Daerah asal adalah nilai variabel awal (biasanya $ x $) yang bisa disubstitusikan ke fungsinya.
*). Komposisi fungsi : $ ( f\circ g)(x) = f(g(x)) $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Daerah asal $ g(x) = \sqrt{5 - x } $.
$ 5 - x \geq 0 \rightarrow -x \geq -5 \rightarrow x \leq 5 $
$ D_f = \{ x \leq 5 \} $.
*). Menentukan nilai $ f \circ g $ :
$\begin{align} y & = (f \circ g)(x) \\ & = f(g(x)) \\ & = f( \sqrt{5 - x } ) \\ & = 1 - (\sqrt{5 - x })^2 \\ & = 1 - (5 - x ) \\ & = x - 4 \end{align} $
Daerah asal dari $ y = x - 4 $ adalah semua bilangan real.
$ D_y = \{ x \in R \} $.
*). Menentukan Daerah asal dari $ f \circ g ) $ :
$\begin{align} D_{f \circ g} & = D_g \cap D_y \\ & = \{ x \leq 5 \} \cap \{ x \in R \} \\ & = \{ x \leq 5 \} \end{align} $
*). Menentukan daerah hasil fungsi $ y = ( f \circ g)(x) = x - 4 $ dengan domain $ \{ x \leq 5 \} $ :
$ \begin{align} y & = x - 4 \rightarrow y \leq 5 - 4 \rightarrow y \leq 1 \end{align} $
Sehingga daerah hasilnya $ R_{f \circ g} = \{ y | y \leq 1 \} $
Jadi, daerah hasil dari $ f \circ g $ adalah $ \{ y | y \leq 1 \} . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Bisa juga menentukan daerah hasilnya seperti berikut ini,
diketahui : $ y = x - 4 \, $ dan $ x \leq 5 $ .
$ x \leq 5 \rightarrow x - 4 \leq 5 - 4 \rightarrow x - 4 \leq 1 \rightarrow y \leq 1 $.

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Deret Geometri SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 226

Soal yang Akan Dibahas
Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri adalah $ \frac{1}{32} $. Jika jumlah sku ke-3 dan suku ke-4 adalah 15, maka jumlah 3 suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ 30 \, $ B). $ 40 \, $ C). $ 50 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 70 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Rumus $S_n$ : $ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} $
*). Sifat-sifat eksponen :
i). $ a^n = b^n \rightarrow a = b $
ii). $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan rasio $(r)$ :
Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama adalah $ \frac{1}{32} $,
$\begin{align} \frac{U_6}{U_1} & = \frac{1}{32} \\ \frac{ar^5}{a} & = \left( \frac{1}{2} \right)^5 \\ r^5 & = \left( \frac{1}{2} \right)^5 \\ r & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan suku pertama $(a)$ :
Jika jumlah sku ke-3 dan suku ke-4 adalah 15,
$\begin{align} U_3 + U_4 & = 15 \\ ar^2 + ar^3 & = 15 \\ a.\left( \frac{1}{2} \right)^2 + a.\left( \frac{1}{2} \right)^3 & = 15 \\ a.\left( \frac{1}{4} \right) + a.\left( \frac{1}{8} \right) & = 15 \, \, \, \, \, \text{(kali 8)} \\ 2a + a & = 120 \\ 3a & = 120 \\ a & = 40 \end{align} $
*). Menentukan jumlah 3 suku pertama barisan $(S_3)$ :
$\begin{align} S_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \\ S_3 & = \frac{40(\left( \frac{1}{2} \right)^3 - 1)}{ \frac{1}{2} - 1} \\ & = \frac{40( \frac{1}{8} - 1)}{ \frac{1}{2} - 1} \times \frac{8}{8} \\ & = \frac{40( 1 - 8)}{ 4 - 8} = \frac{40.( -7)}{-4} = 70 \end{align} $
Jadi, jumlah 3 suku pertama adalah 70 $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)