Nomor 11
$ f(x) = 1 + \cos x + \cos ^2 x + \cos ^3 x + ..... \, $ untuk $ 0 < x < \pi $
A. merupakan fungsi naik
B. merupakan fungsi turun
C. mempunyai maksimum saja
D. mempunyai minimum saja
E. mempunyai maksimum dan minimum
A. merupakan fungsi naik
B. merupakan fungsi turun
C. mempunyai maksimum saja
D. mempunyai minimum saja
E. mempunyai maksimum dan minimum
$\clubsuit \, $ Geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$s_\infty = 1 + \cos x + \cos ^2 x + \cos ^3 x + ..... \, $
dengan $ \, a = 1, r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\cos x }{1} = \cos x $
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\cos x} $
sehingga : $ f(x) = 1 + \cos x + \cos ^2 x + \cos ^3 x + ..... $
$ f(x) = \frac{1}{1-\cos x} = (1 - \cos x )^{-1}$
$\clubsuit \, $ Konsep turunan
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1}.f^\prime (x) $
$ y = \cos x \rightarrow y^\prime = - \sin x $
untuk $ f^\prime (x) < 0 , \, $ artinya fungsi $ f(x) \, $ selalu turun.
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = (1 - \cos x )^{-1} \\ f^\prime (x) & = (-1). (1 - \cos x )^{-2} . -(-\sin x) \\ f^\prime (x) & = \frac{-\sin x}{(1 - \cos x )^{2} } \end{align}$
untuk interval $ 0 < x < \pi , \, $ maka nilai $ f^\prime (x) \, $ selalu negatif $ (f^\prime (x) < 0 ), \, $ artinya fungsi $ f(x) \, $ selalu turun pada interval tersebut.
Jadi, pada interval $ 0 < x < \pi , \, $ fungsi $ f(x) \, $ merupakan fungsi turun. $ \heartsuit $
$s_\infty = 1 + \cos x + \cos ^2 x + \cos ^3 x + ..... \, $
dengan $ \, a = 1, r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\cos x }{1} = \cos x $
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\cos x} $
sehingga : $ f(x) = 1 + \cos x + \cos ^2 x + \cos ^3 x + ..... $
$ f(x) = \frac{1}{1-\cos x} = (1 - \cos x )^{-1}$
$\clubsuit \, $ Konsep turunan
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1}.f^\prime (x) $
$ y = \cos x \rightarrow y^\prime = - \sin x $
untuk $ f^\prime (x) < 0 , \, $ artinya fungsi $ f(x) \, $ selalu turun.
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = (1 - \cos x )^{-1} \\ f^\prime (x) & = (-1). (1 - \cos x )^{-2} . -(-\sin x) \\ f^\prime (x) & = \frac{-\sin x}{(1 - \cos x )^{2} } \end{align}$
untuk interval $ 0 < x < \pi , \, $ maka nilai $ f^\prime (x) \, $ selalu negatif $ (f^\prime (x) < 0 ), \, $ artinya fungsi $ f(x) \, $ selalu turun pada interval tersebut.
Jadi, pada interval $ 0 < x < \pi , \, $ fungsi $ f(x) \, $ merupakan fungsi turun. $ \heartsuit $
Nomor 12
Suatu benda bergerak dengan persamaan gerak yang dinyatakan oleh $ s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 6t + 3, \, $ satuan jarak $ s(t) $
dinyatakan dalam meter dan satuan waktu $ t $ dinyatakan dalam detik. Apabila pada saat percepatan menjadi 0, maka kecepatan benda
tersebut pada saat itu adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar ,
diketahui fungsi jarak : $ s(t) $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) \, $ (turunan jaraknya)
Percepatan : $ a(t) = v^\prime (t) \, $ (turunan kecepatannya)
$\spadesuit \, $ mementukan kecepatan dan percepatan
$ s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 6t + 3 $
$v(t) = s^\prime (t) \rightarrow v(t) = t^2 - 4t + 6 $
$ a(t) = v^\prime (t) \rightarrow a(t) = 2t-4 $
$\spadesuit \, $ mementukan $ t $ saat percepatan = 0
$ a(t) = 0 \rightarrow 2t-4 = 0 \rightarrow t = 2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan kecepatan saat $ t = 2 $
$\begin{align} t=2 \rightarrow v(t) & = t^2 - 4t + 6 \\ v(2) & = 2^2 - 4.2 + 6 \\ v(2) & = 2 \end{align}$
Jadi, kecepatannya adalah 2 m/detik . $ \heartsuit $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) \, $ (turunan jaraknya)
Percepatan : $ a(t) = v^\prime (t) \, $ (turunan kecepatannya)
$\spadesuit \, $ mementukan kecepatan dan percepatan
$ s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 6t + 3 $
$v(t) = s^\prime (t) \rightarrow v(t) = t^2 - 4t + 6 $
$ a(t) = v^\prime (t) \rightarrow a(t) = 2t-4 $
$\spadesuit \, $ mementukan $ t $ saat percepatan = 0
$ a(t) = 0 \rightarrow 2t-4 = 0 \rightarrow t = 2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan kecepatan saat $ t = 2 $
$\begin{align} t=2 \rightarrow v(t) & = t^2 - 4t + 6 \\ v(2) & = 2^2 - 4.2 + 6 \\ v(2) & = 2 \end{align}$
Jadi, kecepatannya adalah 2 m/detik . $ \heartsuit $
Nomor 13
O adalah titik awal, jika
$ \vec{a} \, $ adalah vektor posisi A
$ \vec{b} \, $ adalah vektor posisi B
$ \vec{c} \, $ adalah vektor posisi C
$ \vec{CD} = \vec{b} , \, \vec{BE} = \vec{a} , \, \vec{DP} = \vec{OE} $
Maka vektor posisi titik P adalah .....
$ \vec{a} \, $ adalah vektor posisi A
$ \vec{b} \, $ adalah vektor posisi B
$ \vec{c} \, $ adalah vektor posisi C
$ \vec{CD} = \vec{b} , \, \vec{BE} = \vec{a} , \, \vec{DP} = \vec{OE} $
Maka vektor posisi titik P adalah .....
$\spadesuit \, $ konsep dasar
*). Vektor posisi adalah vektor yang pusat/pangkalnya pada pusat koordinat
*). Vektor posisi titik A ditulis $ \vec{OA} \, $ atau $ \vec{a} $
*). Konsep vektor titik A ke B ($\vec{AB}$) :
$ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor posisi $ \vec{d} \, $ dan $ \vec{e} $
$\vec{CD} = \vec{b} \rightarrow \vec{d} - \vec{c} = \vec{b} \rightarrow \vec{d} = \vec{b} + \vec{c} $
$\vec{BE} = \vec{a} \rightarrow \vec{e} - \vec{b} = \vec{a} \rightarrow \vec{e} = \vec{a} + \vec{b} $
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor posisi $ \vec{p} \, $
$\begin{align} \vec{DP} & = \vec{OE} \\ \vec{p} - \vec{d} & = \vec{e} \\ \vec{p} & = \vec{d} + \vec{e} \\ \vec{p} & = (\vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a} + \vec{b}) \\ \vec{p} & = \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} . \heartsuit $
*). Vektor posisi adalah vektor yang pusat/pangkalnya pada pusat koordinat
*). Vektor posisi titik A ditulis $ \vec{OA} \, $ atau $ \vec{a} $
*). Konsep vektor titik A ke B ($\vec{AB}$) :
$ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor posisi $ \vec{d} \, $ dan $ \vec{e} $
$\vec{CD} = \vec{b} \rightarrow \vec{d} - \vec{c} = \vec{b} \rightarrow \vec{d} = \vec{b} + \vec{c} $
$\vec{BE} = \vec{a} \rightarrow \vec{e} - \vec{b} = \vec{a} \rightarrow \vec{e} = \vec{a} + \vec{b} $
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor posisi $ \vec{p} \, $
$\begin{align} \vec{DP} & = \vec{OE} \\ \vec{p} - \vec{d} & = \vec{e} \\ \vec{p} & = \vec{d} + \vec{e} \\ \vec{p} & = (\vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a} + \vec{b}) \\ \vec{p} & = \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} . \heartsuit $
Nomor 14
Dari 10 orang siswa yang terdiri 7 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan
anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada 7 putra dan 3 putri akan dibentuk tim beranggotakan 5 orang. Pada kasus ini urutan tidak diperhatikan sehingga menggunakan kmbinasi
$\spadesuit \, $ Banyaknya cara penyusunan tim dengan paling banyak 2 putri, dibagi menjadi beberapa kemungkinan :
1). 2 putri dan 3 putra
Cara I = $ C_2^3.C_3^7 = 3.35 = 105 $
2). 1 putri dan 4 putra
Cara II = $ C_1^3.C_4^7 = 3.35 = 105 $
3). 0 putri dan 5 putra
Cara III = $ C_0^3.C_5^7 = 1.21 = 21 $
Sehingga total caranya :
$\begin{align} \text{Total} \, & = \text{cara I} \, + \text{cara II} \, + \text{cara III} \\ & = 105 + 105 + 21 \\ & = 231 \, \, \text{cara } \end{align}$
Jadi, banyak tim yang dapat dibentuk ada 231 tim. $ \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Banyaknya cara penyusunan tim dengan paling banyak 2 putri, dibagi menjadi beberapa kemungkinan :
1). 2 putri dan 3 putra
Cara I = $ C_2^3.C_3^7 = 3.35 = 105 $
2). 1 putri dan 4 putra
Cara II = $ C_1^3.C_4^7 = 3.35 = 105 $
3). 0 putri dan 5 putra
Cara III = $ C_0^3.C_5^7 = 1.21 = 21 $
Sehingga total caranya :
$\begin{align} \text{Total} \, & = \text{cara I} \, + \text{cara II} \, + \text{cara III} \\ & = 105 + 105 + 21 \\ & = 231 \, \, \text{cara } \end{align}$
Jadi, banyak tim yang dapat dibentuk ada 231 tim. $ \heartsuit $
Nomor 15
Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 \, $ dan menyinggung garis $ 3x-4y + 7 = 0 \, $
mempunyai persamaan .....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar :
*). Jarak titik ($m,n$) ke garis $ px+qy+c=0 \, $ adalah
Jarak = $ \left| \frac{p.m+q.n+c}{\sqrt{p^2+q^2}} \right| $
*). Persamaan lingkaran $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $ memiliki pusat ($a,b$) dengan $ a = \frac{-A}{2} \, $ dan $ b=\frac{-B}{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan pusat lingkaran
$ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 \, $ dengan $ A = -4, B = 6 $
$ a = \frac{-(-4)}{2} = 2\, $ dan $ b=\frac{-6}{2} = -3$
sehingga pusatnya ($a,b$) = ( 2, -3 )
Karena lingkaran yang akan dicari persamaannya sepusat, maka pusatnya juga sama yaitu ($a,b$) = ( 2, -3 )
$\clubsuit \, $ Menentukan jari-jari lingkaran
jari - jari lingkaran sama dengan jarak pusat lingkaran ke garis $ 3x-4y+7=0 $
$ r $ = jarak = $ \left| \frac{3.2-4.(-3)+7}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right| = \left| \frac{6 + 12 + 7}{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{25}{5} \right| = 5 $
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan lingkaran
$\begin{align} (x-a)^2+(y-b)^2 & = r^2 \\ (x-2)^2+(y-(-3))^2 & = 5^2 \\ (x-2)^2+(y+3)^2 & = 25 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-2)^2+(y+3)^2 = 25 . \heartsuit $
*). Jarak titik ($m,n$) ke garis $ px+qy+c=0 \, $ adalah
Jarak = $ \left| \frac{p.m+q.n+c}{\sqrt{p^2+q^2}} \right| $
*). Persamaan lingkaran $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $ memiliki pusat ($a,b$) dengan $ a = \frac{-A}{2} \, $ dan $ b=\frac{-B}{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan pusat lingkaran
$ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 \, $ dengan $ A = -4, B = 6 $
$ a = \frac{-(-4)}{2} = 2\, $ dan $ b=\frac{-6}{2} = -3$
sehingga pusatnya ($a,b$) = ( 2, -3 )
Karena lingkaran yang akan dicari persamaannya sepusat, maka pusatnya juga sama yaitu ($a,b$) = ( 2, -3 )
$\clubsuit \, $ Menentukan jari-jari lingkaran
jari - jari lingkaran sama dengan jarak pusat lingkaran ke garis $ 3x-4y+7=0 $
$ r $ = jarak = $ \left| \frac{3.2-4.(-3)+7}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right| = \left| \frac{6 + 12 + 7}{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{25}{5} \right| = 5 $
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan lingkaran
$\begin{align} (x-a)^2+(y-b)^2 & = r^2 \\ (x-2)^2+(y-(-3))^2 & = 5^2 \\ (x-2)^2+(y+3)^2 & = 25 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-2)^2+(y+3)^2 = 25 . \heartsuit $
