Cara 2 Pembahasan Mutlak SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x^2-2x-5|x-1|+7 < 0 \, $ adalah ....
A). $ -4 < x < -3 \, $ atau $ -2 < x < -1 $
B). $ -4 < x < -3 \, $ atau $ 1 < x < 2 $
C). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 0 < x < 4 $
D). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 4 $
E). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, salah satu cara yaitu menggunakan metode substitusi angka (metode SUKA).

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1,5 \Rightarrow x^2-2x-5|x-1|+7 & < 0 \\ (1,5)^2-2.(1,5)-5|1,5-1|+7 & < 0 \\ 2,25-3-2,5+7 & < 0 \\ 3,75 & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=1,5$ SALAH, opsi yang salah adalah B dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=4 \Rightarrow x^2-2x-5|x-1|+7 & < 0 \\ 4^2-2.4-5|4-1|+7 & < 0 \\ 16-8-15+7 & < 0 \\ 0 & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=4$ SALAH, opsi yang salah adalah E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3,5 \Rightarrow x^2-2x-5|x-1|+7 & < 0 \\ (3,5)^2-2.(3,5)-5|3,5-1|+7 & < 0 \\ 12,25-7-12,5+7 & < 0 \\ -0,25 & < 0 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=3,5$ BENAR, opsi yang salah adalah A.
Sehingga yang benar adalah opsion D (yang tersisa).
Jadi, solusinya adalah $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 4 . \heartsuit$

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x^2-2x-5|x-1|+7 < 0 \, $ adalah ....
A). $ -4 < x < -3 \, $ atau $ -2 < x < -1 $
B). $ -4 < x < -3 \, $ atau $ 1 < x < 2 $
C). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 0 < x < 4 $
D). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 4 $
E). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Mutlak
*). Definisi Nilai Mutlak
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x), & f(x) \geq 0 \\ & \, \text{ atau } \\ -f(x), & f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah nilai mutlak $ | x - 1| $ berdasarkan definisi mutlak :
$ |x - 1| = \left\{ \begin{array}{cc} x-1, & x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \\ & \, \text{ atau } \\ -(x-1), & x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |x - 1 | $ dibagi menjadi dua berdasarkan batas nilai $ x $ yaitu $ x \geq 1 $ atau $ x < 1 $.
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ :
-). Untuk $ x \geq 1 $ , maka $ |x-1| = x - 1 $
$ \begin{align} x^2-2x-5|x-1|+7 & < 0 \\ x^2-2x-5(x-1)+7 & < 0 \\ x^2-2x-5x + 5+7 & < 0 \\ x^2-7x + 12 & < 0 \\ (x - 3)(x - 4) & < 0 \\ x = 3 \vee x & = 4 \end{align} $
garis bilangan pertama :
 

Solusi pertaman : HP1 = $ \{ 3 < x < 4 \} $
-). Untuk $ x < 1 $ , maka $ |x-1| = -(x - 1) = -x + 1 $
$ \begin{align} x^2-2x-5|x-1|+7 & < 0 \\ x^2-2x-5(-x+1)+7 & < 0 \\ x^2-2x+5x - 5+7 & < 0 \\ x^2 + 3x + 2 & < 0 \\ (x + 2)(x + 1) & < 0 \\ x = -2 \vee x & = -1 \end{align} $
garis bilangan kedua :
 

Solusi kedua : HP2 = $ \{ -2 < x < -1 \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 (atau sesuai definisi mutlak).
HP $ = -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 4 $
Jadi, solusinya adalah $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 3x + 2y = 4, \, 2x + 5y = -1, \, $ $ ax + by = -6 $ , dan $ ax - by = -2 $, maka $ a - b = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar SPL (Sistem Persamaan Linear)
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, ada beberapa cara yaitu substitusi, eliminasi, dan gabungan (eliminasi dan substitusi). Metode gabungan yang sering digunakan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui empat persamaan :
$ 3x + 2y = 4 \, $ ...pers(i)
$ 2x + 5y = -1 \, $ ...pers(ii)
$ ax + by = -6 \, $ ...pers(iii)
$ ax - by = -2 \, $ ...pers(iv)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x + 2y = 4 & \times 2 & 6x + 4y = 8 & \\ 2x + 5y = -1 & \times 3 & 6x + 15y = -3 & - \\ \hline & & -11y = 11 & \\ & & y = -1 & \end{array} $
Pers(i) : $ 3x + 2y = 4 \rightarrow 3x + 2.(-1) = 4 \rightarrow x = 2 $
Kita peroleh nilai $ (x,y) = (2,-1) $.
*). Substitusi nilai $ (x,y) = (2,-1) \, $ ke persamaan lainnya
$ \begin{array}{cccc} ax + by = -6 & \rightarrow & 2a -b = -6 & \\ ax - by = -2 & \rightarrow & 2a + b = -2 & + \\ \hline & & 4a = -8 & \\ & & a = -2 & \end{array} $
pers(iii): $ 2a -b = -6 \rightarrow 2.(-2) -b = -6 \rightarrow b = 2 $.
*). Menentukan hasil $ a - b $ :
$ a - b = -2 - 2 = -4 $.
Jadi, nilai $ a - b = -4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = x^2 + ax + b $. Jika $ f(3) = 1 $, dan $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{f(x) - f(3)} = \frac{1}{2} $, maka $ a + b = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dalil L'Hopital (penggunaan turunan pada limit)
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ , maka solusinya
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsinya : $ f(x) = x^2 + ax + b \rightarrow f^\prime (x) = 2x + a $
-). Persamaan pertama
$ \begin{align} f(3) & = 1 \\ 3^2 + a.3 + b & = 1 \\ 9 + 3a + b & = 1 \\ 3a + b & = -8 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan Kedua :
Perhatikan limitnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{f(x) - f(3)} = \frac{3 - 3}{f(3) - f(3)} = \frac{0}{0} $
Artinya limitnya diselesaikan dengan dalil L'Hopital karena hasilnya $ \frac{0}{0} $.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{f(x) - f(3)} & = \frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(Turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{f^\prime (x) } & = \frac{1}{2} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{2x + a} & = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2.3 + a} & = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6 + a} & = \frac{1}{2} \\ 6 + a & = 2 \\ a & = -4 \end{align} $
Dari pers(i) : $ 3a + b = -8 \rightarrow 3.(-4) + b = -8 \rightarrow b = 4 $.
Sehingga nilai $ a + b = -4 + 4 = 0 $.
Jadi, nilai $ a + b = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai kuis Aljabar mereka adalah 7. Terdapat hanya 2 orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang o,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih daripada 10, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{Jumlah semua nilai}}{\text{banyaknya nilai}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai terendahnya adalah $ x $ dan tertingginya adalah $ y $, misalkan jumlah nilai 20 siswa selain satu orang dengan nilai terendah dan dua orang dengan nilai tertinggi (nilai tertingginya sama) adalah $ A_{20} $. Rata-rata 23 siswa adalah 7, maka :
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 7 \\ \frac{x + A_{20} + y + y}{23} & = 7 \\ x + A_{20} + 2y & = 23. 7 \\ x + A_{20} + 2y & = 161 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Jika nilai terendah dan tertinggi tidak diikutkan, berarti tersisa 20 siswa saja dengan jumlah kita misalkan $ A_{20} $ seperti sebelumnya, rata-ratanya berkurang 0,1, sehingga rata-rata 20 siswa tersebut :
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 7 - 0,1 \\ \frac{ A_{20}}{20} & = 6,9 \\ A_{20} & = 20 \times 6,9 \\ A_{20} & = 138 \end{align} $
*). Dari pers(i) dan nilai $ A_{20} = 138 $ :
$ \begin{align} x + A_{20} + 2y & = 161 \\ x + 138 + 2y & = 161 \\ x + 2y & = 161 - 138 \\ x + 2y & = 23 \end{align} $
*). Karena rata-rata 23 siswa adalah 7, maka nilai tertinggi yang mungkin (nilai $y$) adalah 8, 9, dan 10, dan nilai terendah yang mungkin harus kurang dari 7. Menentukan nilai terkecil ($x$) yang mungkin :
$ \begin{align} y = 8 \rightarrow x + 2y & = 23 \\ x + 2.8 & = 23 \\ x & = 7 \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ y = 9 \rightarrow x + 2y & = 23 \\ x + 2.9 & = 23 \\ x & = 5 \, \, \, \text{(memenuhi)} \\ y = 10 \rightarrow x + 2y & = 23 \\ x + 2.10 & = 23 \\ x & = 3 \, \, \, \text{(memenuhi)} \end{align} $
Jadi, nilai terendah yang mungkin ada sebanyak dua yaitu 3 dan 5 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang Datar SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Jika ABCD adalah belah ketupat dengan panjang sisi 4 cm dan semua daerah segitiga yang diarsir adalah kongruen seperti pada gambar, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
A). $ 16\sqrt{3} \, $ B). $ 8\sqrt{3} \, $ C). $ 6\sqrt{3} \, $ D). $ 4\sqrt{3} \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga ABC jika diketahui sudut A yaitu :
Luas $ = \frac{1}{2} . AB. AC . \sin \angle A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar pada soal, perhatikan segitiga-segitiga kecil di dalam belah ketupat, banyak segitiga kecil yang diarsir sama banyak dengan segitiga kecil yang tidak diarsir. Artinya luas daerah yang diarsir sama dengan luas separuh daerah belah ketupat atau sama dengan luas segitiga ABD.
*). Segitiga ABD pada gambar soal adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 4 cm. Karena segitiga ABD sama sisi, maka besar sudut $ A = 60^\circ $.
*). Menentukan luas segitiga ABD :
$ \begin{align} \text{Luas ABD } & = \frac{1}{2}.AB.AD. \sin \angle A \\ & = \frac{1}{2}. 4. 4. \sin 60^\circ \\ & = \frac{1}{2}. 4. 4. \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = 4\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ 4\sqrt{3} \, $ cm$^2 . \, \heartsuit $