Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 < -6 -7x $ mempunyai penyelesaian .....
A). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 5 $
B). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 4 $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x \geq 5 $
D). $ -2 < x \leq 2 \, $ atau $ 4 < x \leq 5 $
E). $ 0 \leq x < 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Bentuk $ A \leq B < C $ kita selesaikan menjadi :
$ A \leq B \rightarrow $ HP1 dan $ B < C \rightarrow $ HP2,
solusi total : HP = HP1 $ \cap $ HP2 (irisan).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soalnya : $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 < -6 -7x $
*). Penyelesaian pertama : $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 $
$\begin{align} 2+5x-3x^2 & \leq 2-5x-x^2 \\ -2x^2 + 10x & \leq 0 \\ x(-2x + 10) & \leq 0 \\ x = 0 \vee x & = 5 \end{align} $
garis bilangan pertama :
 

Hp1 $ \, = \{ x \leq 0 \vee x \geq 5 \} $
*). Penyelesaian kedua : $ 2-5x-x^2 < -6 -7x $
$\begin{align} 2-5x-x^2 & < -6 -7x \\ -x^2 + 2x + 8 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ x^2 - 2x - 8 & > 0 \\ (x +2)(x - 4) & > 0 \\ x = -2 \vee x & = 4 \end{align} $
garis bilangan kedua :
 

Hp2 $ \, = \{ x < -2 \vee x > 4 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x \leq 0 \vee x \geq 5 \} \cap \{ x < -2 \vee x > 4 \} \\ & = \{ x < -2 \vee x \geq 5 \} \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ x < -2 \vee x \geq 5 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat
$ \begin{align} 2y - x^2 & = 6 \\ \, \, \, \, \, \, 2x^2 + 3y^2 & = 20 \end{align} $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, cukup dengan substitusi atau eliminasi.
*). Bentuk $ A^2 $ (kuadrat dari bilangan) selalu positif.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Modifikasi persamaan (i) :
$ 2y - x^2 = 6 \rightarrow x^2 = 2y - 6 $.
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 2x^2 + 3y^2 & = 20 \\ 2(2y - 6) + 3y^2 & = 20 \\ 3y^2 + 4y - 32 & = 0 \\ (3y - 8)(y + 4) & = 0 \\ y = \frac{8}{3} \vee y & = -4 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ y $ ke pers(i) :
(nilai $ x^2 $ selalu positif)
$\begin{align} y = \frac{8}{3} \rightarrow x^2 & = 2y - 6 \\ x^2 & = 2 \times \frac{8}{3} - 6 = - \frac{2}{3} \, \, \, \, \text{(TM)} \\ y = -4 \rightarrow x^2 & = 2y - 6 \\ x^2 & = 2 \times (-4) - 6 = -14 \, \, \, \, \text{(TM)} \end{align} $
Keterangan : TM = Tidak Memenuhi.
Sehingga tidak ada nilai $ x $ dan $ y $ bilangan real yang memenuhi, artinya ada 0 banyak penyelesaian.
Jadi, banyak penyelesaiannya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Polinom Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a^3 - a - 1 = 0 $ , maka $ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 = ..... $
A). $ 4 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 28 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika kesulitan dalam mencari akar-akar suatu persamaannya, maka kita bisa memodifikasi persamaan yang diketahui sehingga sesuai dengan bentuk yang ditanyakan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ a^3 - a - 1 = 0 \, $ .....(i)
sulit difaktorkan dan sulit menentukan akar-akarnya, sehingga kita modifikasi.
*). kalikan $ a $ pada pers(i) agar kita peroleh $ a^4 $ sesuai yang ditanyakan :
$\begin{align} a^3 - a - 1 & = 0 \\ (a^3 - a - 1) . a & = 0. a \\ a^4 - a^2 - a & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{.....(ii)} \end{align} $
*). Jumlahkan pers(i) dan pers(ii) dan tambahkan 10:
$\begin{align} (a^4 - a^2 - a) + (a^3 - a - 1) & = 0 + 0 \\ a^4 + a^3 - a^2 - 2a - 1 & = 0 \\ a^4 + a^3 - a^2 - 2a - 1 + 10 & = 0 + 10 \\ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ k $ , $ l $ , dan $ m $ membentuk barisan geometri, maka $ \log k $ , $ \log l $ , $ \log m $ adalah .....
A). barisan geometri dengan rasio $ \log l - \log k $
B). barisan aritmatika dengan beda $ \log l - \log k $
C). barisan geometri dengan rasio $ \frac{l}{k} $
D). barisan aritmatika dengan beda $ \frac{l}{k} $
E). bukan barisan aritmatika maupun geometri

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3 $
*). Ciri-ciri barisan aritmetika :
Memiliki selisih yang sama yaitu : $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 $
beda ($b$) = $ u_2 - u_1 $ .
*). Ciri-ciri barisan geometri :
memiliki perbandingan sama yaitu : $ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} $
rasio ($r$) = $ \frac{u_2}{u_1} $
*). Sisfat logaritma : $ \log a - \log b = \log \frac{a}{b} $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). barisan $ k , l, m $ adalah barisan geometri :
sehingga : $ \frac{l}{k} = \frac{m}{l} \, $ ....(i)
*). Cek barisan : $ \log k , \log l , \log m $ :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = \log l - \log k = \log \frac{l}{k} \\ u_3 - u_ 2 & = \log m - \log l = \log \frac{m}{l} \end{align} $
dari pers(i) di atas, maka $ log \frac{l}{k} = \log \frac{m}{l} $
sehingga $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 $ yang merupakan ciri-ciri barisan aritmatika.
beda : $ b = u_2 - u_1 = \log l - \log k $
Jadi, termasuk barisan aritmatika dengan beda $ \log l - \log k . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Kotak A berisi 8 bola merah dan 2 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Jika dari masing-masing kotak, diambil sebuah bola secara acak, maka peluang bahwa kedua bola berwarna sama adalah .....
A). $ \frac{3}{80} \, $ B). $ \frac{6}{80} \, $ C). $ \frac{1}{5} \, $ D). $ \frac{40}{80} \, $ E). $ \frac{46}{80} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).DIketahui pada soal :
Kotak A berisi 8M dan 2P, kotak B berisi 5M dan 3P, akan diambil pada masing-masing kotak satu bola dengan warnanya sama.
*). Ada dua kemungkinan, yaitu :
-). Pertama : masing-masing bola berwarna Merah :
kotak A : $ P(M_a) = \frac{8}{10} $
kotak B: $ P(M_b) = \frac{5}{8} $
$ P(M_a \cap M_b) = \frac{8}{10} \times \frac{5}{8} = \frac{40}{80} $
-). Kedua : masing-masing bola berwarna Putih :
kotak A : $ P(P_a) = \frac{2}{10} $
kotak B: $ P(P_b) = \frac{3}{8} $
$ P(P_a \cap P_b) = \frac{2}{10} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{80} $
*). Peluang keseluruhan (total) :
-). Peluang totalnya adalah bisa kejadian MM atau kejadian PP.
Peluang total $ = P(M_a \cap M_b) + P(P_a \cap P_b) = \frac{40}{80} + \frac{6}{80} =\frac{46}{80} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{46}{80} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \cos (3x + 15^\circ ) = \sin ( x + 25^\circ ) $ untuk $ 0 < x < 90^\circ $ adalah .....
A). $ 12,5^\circ \, $ B). $ 15^\circ \, $ C). $ 17,5^\circ \, $ D). $ 22,5^\circ \, $ E). $ 25^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sudut komplemen : $ \sin A = \cos ( 90^\circ - A ) $
*). Persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki solusi :
(i). $ f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
(ii). $ f(x) = - \theta + k \times 360^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah persamaannya :
$\begin{align} \cos (3x + 15^\circ ) & = \sin ( x + 25^\circ ) \\ \cos (3x + 15^\circ ) & = \cos [ 90^\circ - (x + 25^\circ ) ] \\ \cos \underbrace{(3x + 15^\circ )}_{f(x)} & = \cos \underbrace{( 65^\circ - x )}_{\theta} \end{align} $
sehingga kita peroleh :
$ f(x) = 3x + 15^\circ \, $ dan $ \theta = 65^\circ - x $
*). Menyelesaikan $ \cos (3x + 15^\circ ) = \cos ( 65^\circ - x ) $ untuk $ 0 < x < 90^\circ $ :
-). Pertama : $ f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$\begin{align} 3x + 15^\circ & = 65^\circ - x + k \times 360^\circ \\ 4x & = 50^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ x & = 12,5^\circ + k \times 90^\circ \end{align} $
$ x = 12,5^\circ \, $ saat $ k = 1 $.
-). Kedua : $ f(x) = -\theta + k \times 360^\circ $
$\begin{align} 3x + 15^\circ & = -(65^\circ - x) + k \times 360^\circ \\ 2x & = -80^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = -40^\circ + k \times 180^\circ \end{align} $
tidak ada $ x $ yang memenuhi untuk $ 0 < x < 90^\circ $.
Jadi, nilai $ x = 12,5^\circ . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Takhingga Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah $ a $ dan jumlahnya 10, maka .....
A). $ 0 < a < 10 \, $ B). $ 0 < a < 18 \, $
C). $ 0 < a < 20 \, $ D). $ 0 \leq a \leq 20 \, $
E). $ a < 0 \, $ atau $ a > 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah deret geometri takhingga :
$ \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1 - r} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Syarat deretnya konvergen : $ -1 < r < 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Pada soal diketahui : $ u_1 = a $ dan $ s_\infty = 10 $.
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} \rightarrow 10 = \frac{a}{1-r} \rightarrow 1- r = \frac{a}{10} $
*).Menentukan interval nilai $ a $ :
$\begin{align} -1 < & r < 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1, ketaksamaan dibalik)} \\ 1 > & -r > -1 \, \, \, \, \, \, \text{(tambahkan 1)} \\ 1 + 1 > & 1-r > -1 + 1 \, \, \, \, \, \, \text{(ganti 1 - r)} \\ 2 > & \frac{a}{10} > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 10)} \\ 20 > & a > 0 \end{align} $
Sehingga kita peroleh $ 20 > a > 0 $ atau $ 0 < a < 20 $.
Jadi, kita peroleh $ 0 < a < 20. \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Suatu rombongan wisatawan yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar hotel. Kamar yang tersedia adalah kamar untuk 2 orang (tipe I) dan 3 orang (tipe 2). Rombongan itu akan menyewa kamar sekurang-kurangnya 100 kamar. Tarif kamar untuk 2 orang adalah Rp60.000 dan untuk 3 orang Rp80.000. Banyaknya jenis kamar tipe 1 dan tipe 2 yang harus disewa agar rombongan tersebut mengeluarkan uang seminimal mungkin adalah .....
A). 20 dan 80 kamar
B). 30 dan 70 kamar
C). 40 dan 60 kamar
D). 60 dan 40 kamar
E). 70 dan 30 kamar

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menentukan nilai optimum program linear :
(1). Menentukan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
(2). Menentukan titik pojok pada DHP
(3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya
(4). Tinggal kita pilih nilai minimum atau maksimumnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalan :
$ x = \, $ banyak kamar tipe 1,
$ y = \, $ banyak kamar tipe 2,
*).Menentukan model matematikanya :
-). Fungsi kendala/batasan :
(I). $ x + y \geq 100 \rightarrow (0,100) $ dan $ (100,0) $
(II). $ 2x + 3y \geq 240 \rightarrow (0,80) $ dan $ (120,0) $
(III). $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $
-). Fungsi tujuannya :
$ z = 60.000x + 80.000y $
Sesuai dengan tanda ketaksamaan ketiga garis tersebut, maka DHP nya :
 

*).Menentukan titik pojok pada DHPnya :
-). Titik A(120, 0) dan C(0, 100) :
-). Titik B , eliminasi pers(I) dan (II) :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + y = 100 & \times 3 & 3x + 3y = 300 & \\ 2x + 3y = 240 & \times 1 & 2x + 3y = 240 & - \\ \hline & & x = 60 & \end{array} $
Pers(i): $ x + y = 100 \rightarrow 60 + y = 100 \rightarrow y = 40 $
sehingga titik B(60, 40)
*).Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuan : $ z = 60.000x + 80.000y $ :
$\begin{align} A(120,0) \rightarrow z & = 60.000 \times 120 + 80.000 \times 0 = 7.200.000 \\ B(60,40) \rightarrow z & = 60.000 \times 60 + 80.000 \times 40 = 6.800.000 \\ C(0,100) \rightarrow z & = 60.000 \times 0 + 80.000 \times 100 = 8.000.000 \end{align} $
Sehingga nilai minimumnya adalah Rp6.800.000,00 saat $ x = 60 $ dan $ y = 40 $.
Jadi, uang minimal saat banyak kamar (1 dan 2) 60 dan 40 $. \, \heartsuit $

Pembahasan Akar persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaian dari persamaan $ \sqrt{2x-1} = 1 + \sqrt{x-1} $ , maka $ x_1 + x_2 $ sama dengan ......
A). $ -6 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kuadratkan persamaan :
$\begin{align} \sqrt{2x-1} & = 1 + \sqrt{x-1} \\ (\sqrt{2x-1})^2 & = (1 + \sqrt{x-1} )^2 \\ 2x-1 & = 1 + 2\sqrt{x-1} + (x-1) \\ x-1 & = 2\sqrt{x-1} \\ (x-1)^2 & = (2\sqrt{x-1} )^2 \\ x^2 - 2x + 1 & = 4(x-1) \\ x^2 - 6x + 5 & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{1} = 6 $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = 6 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matdas 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika grafik dari suatu fungsi kuadrat $ f(x) $ dengan $ f(0) = -4 $ mempunyai sumbu simetri di $ x = \frac{1}{2} $ dan mencapai nilai maksimum $ - 3 $ , maka $ f(x) = ... $
A). $ -16x^2 + 8x - 4 \, $ B). $ -10x^2 + 10x - 4 \, $
C). $ -4x^2 + 4x - 4 \, $ D). $ x^2 - x - 4 \, $
E). $ 4x^2 - 4x - 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
*). Persamaan sumbu simetri fungsi kuadra : $ x = \frac{-b}{2a} $
*). Nilai maksimum $(y_p) $ : $ y_p = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan fungsi kuadratnya : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
*). Nilai $ c $ dengan $ f(0) = -4 $ :
$\begin{align} f(x) & = ax^2 + bx + c \\ -4 & = a.0^2 + b.0 + c \\ -4 & = c \end{align} $
Sehingga $ f(x) = ax^2 + bx - 4 $
*). Sumbu simetri : $ x = \frac{1}{2} $
$ \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2} \rightarrow b = -a \, $ .....(i)
*). Nilai maksimum : $ y_p = -3 $ dan $ c = -4 , b = -a $
$\begin{align} \frac{b^2-4ac}{-4a} & = -3 \\ \frac{(-a)^2-4a. (-4) }{-4a} & = -3 \\ \frac{a^2 + 16a }{-4a} & = -3 \\ \frac{a + 16 }{-4} & = -3 \\ a + 16 & = 12 \\ a & = -4 \end{align} $
Nilai $ b = -a = - (-4) = 4 $
Sehingga fungsi kuadratnya :
$ f(x) = ax^2 + bx - 4 \rightarrow f(x) = -4x^2 + 4x - 4 $
Jadi, fungsi kuadratnya : $ f(x) = -4 x^2 + 4x - 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika grafik dari suatu fungsi kuadrat $ f(x) $ dengan $ f(0) = -4 $ mempunyai sumbu simetri di $ x = \frac{1}{2} $ dan mencapai nilai maksimum $ - 3 $ , maka $ f(x) = ... $
A). $ -16x^2 + 8x - 4 \, $ B). $ -10x^2 + 10x - 4 \, $
C). $ -4x^2 + 4x - 4 \, $ D). $ x^2 - x - 4 \, $
E). $ 4x^2 - 4x - 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $ (x_p,y_p) $ :
$ y = a(x - x_p)^2 + y_p $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui sumbu simetri $ x = \frac{1}{2} $ dan nilai maksimum $ - 3 $ , artinya titik puncaknya adalah $ (x_p , y_p) = \left( \frac{1}{2} , -3 \right) $
*). Menyusun persamaan dan $ f(0) = -4 $ :
$\begin{align} y & = a(x - x_p)^2 + y_p \\ y & = a \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + (-3) \\ y & = a \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ -4 & = a \left(0 - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ -4 & = a . \frac{1}{4} - 3 \\ -1 & = a . \frac{1}{4} \\ a & = -4 \end{align} $
Sehingga fungsinya :
$\begin{align} y & = a \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ & = -4 \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ & = -4 \left(x^2 - x + \frac{1}{4} \right) - 3 \\ & = -4 x^2 + 4x -1 - 3 \\ & = -4 x^2 + 4x - 4 \end{align} $
Jadi, fungsi kuadratnya : $ f(x) = -4 x^2 + 4x - 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika bilangan $ x $ , $ y $ , dan $ z $ memenuhi
$ \left( \begin{matrix} 4 & x-2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -6 & 8 \\ -11 & y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ z & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $ x + y + z $ adalah .....
A). $ 10 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -6 \, $ E). $ -10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi pada matriks :
-). Penjumlahan : jumlahkan entri yang seletak.
-). Perkalian : baris kali kolom
*). Dua matriks dikatakan sama jika entri-entri yang seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} 4 & x-2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -6 & 8 \\ -11 & y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ z & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -2 & x + 6 \\ -8 & y + 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 + z & 9 + 1 \\ 0 + 4z & -6 +4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -2 & x + 6 \\ -8 & y + 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} z & 10 \\ 4z & -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dari kesamaan matriks di atas, kita peroleh :
$ z = -2 $ , $ y + 2 = -2 \rightarrow y = -4 $
$ x + 6 = 10 \rightarrow x = 4 $.
Sehingga nilai :
$ x + y + z = -2 + (-4) + 4 = -2 $
Jadi, nilai $ x + y + z = -2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ b = a^3 $ dengan $ a $ dan $ b $ bilangan bulat positif, maka nilai $ {}^a \log b + {}^b \log a = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{8}{3} \, $ D). $ \frac{10}{3} \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} \, {}^a \log b $
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan substitusi $ b = a^3 $ :
$\begin{align} {}^a \log b + {}^b \log a & = {}^a \log a^3 + {}^{a^3} \log a \\ & = 3. {}^a \log a + \frac{1}{3} . {}^{a} \log a \\ & = 3. 1 + \frac{1}{3} . 1 \\ & = 3 + \frac{1}{3} \\ & = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^a \log b + {}^b \log a = \frac{10}{3} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2009 Matematika Dasar Kode 961


Nomor 1
Jika $ b = a^3 $ dengan $ a $ dan $ b $ bilangan bulat positif, maka nilai $ {}^a \log b + {}^b \log a = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{8}{3} \, $ D). $ \frac{10}{3} \, $ E). $ 6 \, $
Nomor 2
Dari huruf S, I, M, A, dan K dapat dibuat 120 "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIMAK" akan berada pada urutan ke- .....
A). $ 105 \, $ B). $ 106 \, $ C). $ 107 \, $ D). $ 115 \, $ E). $ 116 $
Nomor 3
Jika bilangan $ x $ , $ y $ , dan $ z $ memenuhi
$ \left( \begin{matrix} 4 & x-2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -6 & 8 \\ -11 & y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ z & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $ x + y + z $ adalah .....
A). $ 10 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -6 \, $ E). $ -10 \, $
Nomor 4
Jika grafik dari suatu fungsi kuadrat $ f(x) $ dengan $ f(0) = -4 $ mempunyai sumbu simetri di $ x = \frac{1}{2} $ dan mencapai nilai maksimum $ - 3 $ , maka $ f(x) = ... $
A). $ -16x^2 + 8x - 4 \, $ B). $ -10x^2 + 10x - 4 \, $
C). $ -4x^2 + 4x - 4 \, $ D). $ x^2 - x - 4 \, $
E). $ 4x^2 - 4x - 4 \, $
Nomor 5
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaian dari persamaan $ \sqrt{2x-1} = 1 + \sqrt{x-1} $ , maka $ x_1 + x_2 $ sama dengan ......
A). $ -6 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

Nomor 6
Diketahui sistem persamaan :
$ \begin{align} y + \frac{2}{x+z} & = 4 \\ 5y + \frac{18}{2x+y+z} & = 18 \\ \frac{8}{x+z}-\frac{6}{2x+y+z} & = 3 \end{align} $
Nilai dari $ y + \sqrt{x^2-2xz+z^2} \, $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $
Nomor 7
Suatu rombongan wisatawan yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar hotel. Kamar yang tersedia adalah kamar untuk 2 orang (tipe I) dan 3 orang (tipe 2). Rombongan itu akan menyewa kamar sekurang-kurangnya 100 kamar. Tarif kamar untuk 2 orang adalah Rp60.000 dan untuk 3 orang Rp80.000. Banyaknya jenis kamar tipe 1 dan tipe 2 yang harus disewa agar rombongan tersebut mengeluarkan uang seminimal mungkin adalah .....
A). 20 dan 80 kamar
B). 30 dan 70 kamar
C). 40 dan 60 kamar
D). 60 dan 40 kamar
E). 70 dan 30 kamar
Nomor 8
Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah $ a $ dan jumlahnya 10, maka .....
A). $ 0 < a < 10 \, $ B). $ 0 < a < 18 \, $
C). $ 0 < a < 20 \, $ D). $ 0 \leq a \leq 20 \, $
E). $ a < 0 \, $ atau $ a > 20 $
Nomor 9
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \cos (3x + 15^\circ ) = \sin ( x + 25^\circ ) $ untuk $ 0 < x < 90^\circ $ adalah .....
A). $ 12,5^\circ \, $ B). $ 15^\circ \, $ C). $ 17,5^\circ \, $ D). $ 22,5^\circ \, $ E). $ 25^\circ $
Nomor 10
Kotak A berisi 8 bola merah dan 2 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Jika dari masing-masing kotak, diambil sebuah bola secara acak, maka peluang bahwa kedua bola berwarna sama adalah .....
A). $ \frac{3}{80} \, $ B). $ \frac{6}{80} \, $ C). $ \frac{1}{5} \, $ D). $ \frac{40}{80} \, $ E). $ \frac{46}{80} $

Nomor 11
Pada suatu hari dilakukan pengamatan terhadap virus-virus tertentu yang berkembang dengan membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 virus. Pembelahan terjadi setiap 24 jam. Jika setiap 3 hari, seperempat dari virus dibunuh, maka banyaknya virus setelah satu minggu pertama adalah .....
A). $ 24 \, $ B). $ 36 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $
Nomor 12
Jika $ k $ , $ l $ , dan $ m $ membentuk barisan geometri, maka $ \log k $ , $ \log l $ , $ \log m $ adalah .....
A). barisan geometri dengan rasio $ \log l - \log k $
B). barisan aritmatika dengan beda $ \log l - \log k $
C). barisan geometri dengan rasio $ \frac{l}{k} $
D). barisan aritmatika dengan beda $ \frac{l}{k} $
E). bukan barisan aritmatika maupun geometri
Nomor 13
Jika $ a^3 - a - 1 = 0 $ , maka $ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 = ..... $
A). $ 4 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 28 \, $
Nomor 14
Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat
$ \begin{align} 2y - x^2 & = 6 \\ \, \, \, \, \, \, 2x^2 + 3y^2 & = 20 \end{align} $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 15
Pertidaksamaan $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 < -6 -7x $ mempunyai penyelesaian .....
A). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 5 $
B). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 4 $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x \geq 5 $
D). $ -2 < x \leq 2 \, $ atau $ 4 < x \leq 5 $
E). $ 0 \leq x < 4 $

Nomor 16
Persamaan grafik di atas adalah .....
A). $ y = -2 \cos 2x \, $ B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \, $
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \, $ D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \, $
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x $
Nomor 17
Misalkan luas sebuah segitiga sama sisi adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling segitiga adalah $ x $, maka laju perubahan luas terhadap kelilingnya sama dengan .....
A). $ \frac{\sqrt{2}}{36} x \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{36} x \, $ C). $ \frac{\sqrt{3}}{36} x^2 \, $ D). $ \frac{2\sqrt{3}}{36} x \, $ E). $ \frac{\sqrt{3}}{4} x $
Nomor 18
Nilai dari
$ \log (\tan 2^\circ) + \log (\tan 3^\circ) + ... + \log (\tan 88^\circ) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 45 \, $ D). $ 89 \, $ E). $ 90 \, $
Nomor 19
Jika kurva $ y = (x^2-a)(2x+b)^3 $ turun pada interval $ -1 < x < \frac{2}{5} $ , maka nilai $ ab = ..... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 20
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 20.
Diberikan grafik fungsi $ f(x) = x + \frac{4}{x^2} $ , $ x \neq 0 $ , maka ...
(1). fungsi naik pada himpunan $ \{ x \in R | x < 0 \text{ atau } x > 2 \} $
(2). fungsi turun pada himpunan $ \{ x \in R | 0 < x < 2 \} $
(3). terjadi minimum lokal di titik (2,3)
(4). terjadi maksimum lokal di titik (0,0).

Cara 2 Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} = ..... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan turunan pada limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Turunan fungsi :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = nx^{n-1} $
$ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1}. g^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Turunan fungsi :
$ y = x^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} $
$ y = (2 + x^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan limitnya dengan turunan :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \, \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} }{1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + 8^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.8^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + (2^3)^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2^3)^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + 2)^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.(2^2)^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.(2)^{-1} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} . \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{48} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{48} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} = ..... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $( \frac{0}{0}) $ , salah satunya dengan kalika bentuk sekawannya.
*). Bentuk perkalian akar :
$ (\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2 $
$ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = (x^3 - y^3) $ sehingga :
misalkan $ x = \sqrt[3]{a} $ dan $ y = b $ , maka
$ (\sqrt[3]{a} - b)((\sqrt[3]{a})^2 + b\sqrt[3]{a} + b^2) = a - b^3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \times \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2}{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{2 + \sqrt[3]{x} - 4}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \times \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{x - 2^3}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{x - 8}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{1}{(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)} \\ & = \frac{1}{(\sqrt{2 + \sqrt[3]{8}} + 2)((\sqrt[3]{8})^2 + 2\sqrt[3]{8} + 4)} \\ & = \frac{1}{(\sqrt{2 + 2} + 2)((2)^2 + 2.2 + 4)} \\ & = \frac{1}{( 2 + 2)(4 + 4 + 4)} \\ & = \frac{1}{(4)(12)} = \frac{1}{48} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{48} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 1 + (1-\sqrt{2})\sin t - \sqrt{2}\sin ^2 t \leq 0 $ dengan $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $ adalah .....
A). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} < t < \pi \} \, $
B). $ \{ t \in R | \frac{3\pi}{4} < t < \pi \} \, $
C). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} < t \leq \frac{3\pi}{4} \} \, $
D). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{4} \} \, $
E). $ \{ t \in R | \frac{3\pi}{4} \leq t < \pi \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar pertidaksamaannya :
$ \begin{align} 1 + (1-\sqrt{2})\sin t - \sqrt{2}\sin ^2 t & \leq 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ \sqrt{2}\sin ^2 t + (\sqrt{2}-1)\sin t - 1 & \geq 0 \\ (\sqrt{2}\sin t - 1)(\sin t + 1) & \geq 0 \\ \sin t = \frac{1}{\sqrt{2}} \vee \sin t & = -1 \\ \sin t = \frac{1}{2}\sqrt{2} \vee \sin t & = -1 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ \sin t = \frac{1}{2}\sqrt{2} \rightarrow t = \{ ..., \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} , ... \} $
$ \sin t = -1 \rightarrow t = \{ ..., \frac{3\pi}{2} , ... \} $
Garis bilangannya :
 

Karena syaratnya $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $ dan $ \geq 0 $ (positif),
maka solusinya : $ \{ \frac{\pi}{2} < t \leq \frac{3\pi}{4} \} $
Jadi, HP $ = \{ \frac{\pi}{2} < t \leq \frac{3\pi}{4} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) $ , $ C = \left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) $ dan $ (B^{-1}AC)^{-1} = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) $, maka matriks $ B $ sama dengan .....
A). $ \left( \begin{matrix} 3 & -4 \\ -4 & 5 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -5 & -4 \\ -4 & -3 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} -3 & -4 \\ -4 & -5 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat invers pada matriks :
(i). $ (A^{-1})^{-1} = A $
(ii). $ (A.B)^{-1} = B^{-1}.A^{-1} $
(iii). $ AB = C \rightarrow A = C. B^{-1} $
(iv). $ Y^{-1}.B = C \rightarrow B = Y.C $
(v). $ (A.B.C)^{-1} = C^{-1}. B^{-1}. A^{-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks B :
$ \begin{align} (B^{-1}AC)^{-1} & = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ C^{-1}.A^{-1}.(B^{-1})^{-1} & = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ C^{-1}.A^{-1}.B & = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ A^{-1}.B & = C.\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ B & = A.C.\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & -4 \\ 5 & -7 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matriks $ A = \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah dari tiga bilangan yang membentuk deret aritmatika adalah 27. Jika bilangan terbesar ditambah 12 maka ketiga bilangan tersebut membentuk deret geometri. Bilangan terkecil dari ketiga bilangan tersebut adalah .....
A). $ -9 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmatika :
"mempunyai selisih yang sama"
*). Ciri-ciri barisan geometri :
"mempunyai perbandingan yang sama"

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan barisan aritmatikanya : $ a - b, a, a + b $
dengan $ a-b $ terkcil dan $ a + b $ terbesar , sehingga haruslah nilai $ b > 0 $ .
*). Jumlah ketiga bilangan = 27
$ \begin{align} (a - b) + a + (a + b) & = 27 \\ 3a & = 27 \\ a & = 9 \end{align} $
Sehingga barisan artimatikanya : $ 9-b, 9, 9 + b $
*). Bilangan terbesar ditambah 12, sehingga terbentuk barisan geometri, barisannya yaitu :
$ 9- b , 9 , 9 + b + 12 $
*). Ciri-ciri barisan geometri :
$ \begin{align} \frac{u_2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ u_1. u_3 & = (u_2)^2 \\ (9-b).(21 + b) & = 9^2 \\ 189 - 12 b + b^2 & = 81 \\ b^2 + 12b - 108 & = 0 \\ (b + 18)(b - 6) & = 0 \\ b = -18 \vee b & = 6 \end{align} $
karena $ b > 0 $ , yang memenuhi $ b = 6 $.
*). Menentukan tiga bilangan awal dengan nial $ b $ :
ketiga bilangan : $ 9-b, 9 , 9 + b $
$ \begin{align} b = 6 \rightarrow 3 , 9 , 15 \end{align} $
Sehingga bilangan terkecilnya adalah 3.
Jadi, bilangan terkecilnya adalah 3 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \sqrt{\left(\frac{1}{8}\right)^{x+1}} = 2^{(y-3)} $, maka nilai maksimum dari $ 3xy + 6x -3 $ adalah ......
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{15}{8} \, $ C). $ \frac{21}{6} \, $ D). $ \frac{25}{8} \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai maksimum fungsi $ y = f(x) $ dicapai untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ .
*). Sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ , $ (a^m)^n = a^{mn} $ , dan $ \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ :
$ \begin{align} \sqrt{\left(\frac{1}{8}\right)^{x+1}} & = 2^{(y-3)} \\ \left(\frac{1}{2^3}\right)^\frac{x+1}{2} & = 2^{(y-3)} \\ \left(2^{-3}\right)^\frac{x+1}{2} & = 2^{(y-3)} \\ 2^\frac{-3x-3}{2} & = 2^{(y-3)} \\ \frac{-3x-3}{2} & = (y-3) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ -3x-3 & = 2y - 6 \\ y & = \left( \frac{3-3x}{2} \right) \end{align} $
*). Substitusi $ y = \left( \frac{3-3x}{2} \right) $ ke fungsi $ 3xy + 6x -3 $
$ \begin{align} 3xy + 6x -3 & = 3x.\left( \frac{3-3x}{2} \right) + 6x -3 \\ f(x) & = \frac{9x-9x^2}{2} + 6x -3 \\ f(x) & = -\frac{9}{2}x^2 + \frac{21}{2}x - 3 \\ f^\prime (x) & = -9x + \frac{21}{2} \end{align} $
*). Menntukan nilai $ x $ dengan $ f^\prime (x) = 0 $ :
$ \begin{align} -9x + \frac{21}{2} & = 0 \\ x & = \frac{7}{6} \end{align} $
*). Menentukan nilai maksimum saat $ x = \frac{7}{6} $ .
$ \begin{align} f_{maks} & = f \left( \frac{7}{6} \right) \\ & = -\frac{9}{2}.\left( \frac{7}{6} \right)^2 + \frac{21}{2}. \left( \frac{7}{6} \right) - 3 \\ & = \frac{25}{8} \end{align} $
Jadi, nilai maksimum dari $ 3xy + 6x -3 $ adalah $ \frac{25}{8} . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Karena bentuk $ f(x) = -\frac{9}{2}x^2 + \frac{21}{2}x - 3 $ adalah berupa fungsi kuadrat, maka nilai maksimumnya bisa menggunakan :
$ f_{maks} = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} $ .

Cara 2 Pembahasan Garis Singgung Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $. Jika grafik fungsi tersebut melalui titik $ (2,21) $ dan mempunyai garis singgung yang sejajar dengan sumbu $ x $ pada $ (-2,-11) $ , maka nilai $ a + b + c $ adalah ......
A). $ 4 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $ (x_p , y_p) $ :
$ y = a(x- x_p)^2 + y_p $
*). Garis singgung fungsi kuadrat di titik $ (a.b) $ sejajar dengan sumbu X, artinya titik $ (a,b) $ adalah titik puncak kurva parabola tersebut.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Garis singgung di titik $ (-2,-11) $ sejajar sumbu X (mendatar), artinya titik puncaknya adalah $ ( x_p,y_p) = (-2,-11) $
*). Menyusun fungsi kuadratnya :
$\begin{align} y & = a(x - x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x - (-2))^2 - 11 \\ y & = a(x + 2)^2 -11 \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui yaitu $ (2,21) $ :
$\begin{align} y & = a(x + 2)^2 - 11 \\ 21 & = a(2 + 2)^2 - 11 \\ 32 & = 16a \\ a & = 2 \end{align} $
Sehingga FK menjadi :
$ y = a(x + 2)^2 - 11 \rightarrow y = 2(x + 2)^2 - 11 $
$ y = 2x^2 + 8x - 3 $
yang sama dengan $ f(x) = ax^2 + bx + c $
Artinya $ a = 2 , b = 8, $ dan $ c = -3 $
*). Menentukan nilai $ a + b + c $ :
$\begin{align} a + b + c & = 2 + 8 + (-3) = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b + c = 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Singgung Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $. Jika grafik fungsi tersebut melalui titik $ (2,21) $ dan mempunyai garis singgung yang sejajar dengan sumbu $ x $ pada $ (-2,-11) $ , maka nilai $ a + b + c $ adalah ......
A). $ 4 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Garis yang sejajar sumbu X memiliki gradien 0 ($ m = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ melalui titik $ (2,21) $ dan $ (-2,-11) $. Substitusi kedua titik ke fungsinya :
$ (2,21) \rightarrow 21 = a.2^2 + b.2 + c \rightarrow 4a + 2b + c = 21 \, $ ....(i)
$ (-2,-11) \rightarrow -11 = a.(-2)^2 + b.(-2) + c \rightarrow 4a - 2b + c = -11 \, $ ....(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$ \begin{array}{cc} 4a + 2b + c = 21 & \\ 4a - 2b + c = -11 & - \\ \hline 4b = 32 & \\ b = 8 & \end{array} $
sehingga fungsinya menjadi :
$ f(x) = ax^2 + 8x + c \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + 8 $
*). Garis singgung kurva di titik $ (x_1,y_1) = (-2,-11) $ sejajar dengan sumbu X, artinya $ m = 0 $.
$ \begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ 0 & = f^\prime (-2) \\ 0 & = 2a.(-2) + 8 \\ 4a & = 8 \\ a & = 2 \end{align} $
Pers(i) : $ 4a + 2b + c = 21 \rightarrow 4.2 + 2.8 + c = 21 \rightarrow c = -3 $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = 2x^2 + 8x - 3 $
Nilai $ a + b + c = 2 + 8 + (-3) = 7 $
Jadi, nilai $ a + b + c = 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak 240 orang. Penumpang kelas utama boleh membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi sebanyak 20 kg. Kapal tersebut hanya dapat mengangkut bagasi seberat 7200 kg. Harga sebuah tiket kelas utama adalah Rp.100.000,00 dan kelas ekonomi Rp.75.000,00. Pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pengusaha kapal dari hasil penjualan tiket adalah ....... (dalam rupiah)
A). 18 juta B). 19,5 juta C). 21 juta
D). 21,5 juta E). 24 juta

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menentukan nilai optimum program linear :
(1). Menentukan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
(2). Menentukan titik pojok pada DHP
(3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya
(4). Tinggal kita pilih nilai minimum atau maksimumnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalan :
$ x = \, $ banyak penumpang kelas utama,
$ y = \, $ banyak penumpang kelas ekonomi,
*).Menentukan model matematikanya :
-). Fungsi kendala/batasan :
(I). $ x + y \leq 240 \rightarrow (0,240) $ dan $ (240,0) $
(II). $ 60x + 20y \leq 7200 $ disederhanakan menjadi
(II). $ 3x + y \leq 360 \rightarrow (0,360) $ dan $ (120,0) $
(III). $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $
-). Fungsi tujuannya :
$ z = 100.000x + 75.000y $
Sesuai dengan tanda ketaksamaan keempat garis tersebut, maka DHP nya :
 

*).Menentukan titik pojok pada DHPnya :
-). Titik A(120, 0) dan C(0, 240) :
-). Titik B , eliminasi pers(I) dan (II) :
$ \begin{array}{cc} 3x + y = 360 & \\ x + y = 240 & - \\ \hline 2x = 120 & \\ x = 60 & \end{array} $
Pers(i): $ x + y = 240 \rightarrow 60 + y = 240 \rightarrow y = 180 $
sehingga titik B(60, 180)
*).Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuan : $ z = 100.000x + 75.000y $ :
$\begin{align} A(120,0) \rightarrow z & = 100.000 \times 120 + 75.000 \times 0 = 12.000.000 \\ B(60,180) \rightarrow z & = 100.000 \times 60 + 75.000 \times 180 = 19.500.000 \\ C(0,240) \rightarrow z & = 100.000 \times 0 + 75.000 \times 240 = 18.000.000 \end{align} $
Sehingga nilai maksimumnya adalah Rp19.500.000,00
Jadi, pendapatan maksimumnya adalah 19,5 juta $. \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ a, b $ , dan $ c $ adalah bilangan real dimana $ \frac{a}{b} > 1 $ dan $ \frac{a}{c} < -1 $ . Pernyataan berikut yang BENAR adalah .....
A). $ a + b - c > 0 \, $
B). $ a > b \, $
C). $ (a-c)(b-c) > 0 \, $
D). $ a - b + c > 0 \, $
E). $ abc > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan pecahan :
Misalkan terdapat bilangan real $ A $ dan $ B $ :
(i). Jika $ \frac{A}{B} > 0 $ , maka ($ A > 0 $ dan $ B > 0 $) atau ($A < 0 $ dan $ B < 0$).
(ii). Jika $ \frac{A}{B} < 0 $ , maka ($ A > 0 $ dan $ B < 0 $) atau ($A < 0 $ dan $ B > 0$).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Modifikasi yang diketahui :
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a}{b} > 1 \rightarrow \frac{a}{b} - 1 > 0 \rightarrow \frac{a-b}{b} > 0 $
-). Pertidaksamaan kedua :
$ \frac{a}{c} < -1 \rightarrow \frac{a}{c} + 1 < 0 \rightarrow \frac{a + c}{c} < 0 $
*). Kita analisa pertidaksamaannya dari bentuk yang pertama (boleh juga dari pertidaksamaan yang kedua), ada dua kemungkinan yaitu :

*). Kemungkinan pertama : untuk $ b < 0 $
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a-b}{b} > 0 \rightarrow a - b < 0 \rightarrow a < b $
artinya $ a $ dan $ b $ negatif dengan $ a < b $
-). Pertidaksamaan kedua dengan $ a < 0 $ yaitu $ \frac{a + c}{c} < 0 $
Jika $ c > 0 $ , maka $ a + c < 0 \rightarrow |a| > |c| $
Jika $ c < 0 $ , maka $ a + c > 0 $ (Salah karena $ a < 0 $ dan $ c < 0 $)
-). Dari kemungkinan pertama kita peroleh $ a < 0 $ , $ b < 0 $ , $ c > 0 $ , $ a < b $ , dan $ |a| > |c| $. Sehingga option yang memenuhi kemungkinan pertama ini hanya option (C). $ (a-c)(b-c) > 0 $ dan (E). $ abc > 0 $ .

*). Kemungkinan kedua : untuk $ b > 0 $
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a-b}{b} > 0 \rightarrow a - b > 0 \rightarrow a > b $
artinya $ a $ dan $ b $ positif dengan $ a > b $
-). Pertidaksamaan kedua dengan $ a > 0 $ yaitu $ \frac{a + c}{c} < 0 $
Jika $ c > 0 $ , maka $ a + c < 0 $ (Salah karena $ a > 0 $ dan $ c > 0 $)
Jika $ c < 0 $ , maka $ a + c > 0 \rightarrow |a| > |c| $
-). Dari kemungkinan kedua kita peroleh $ a > 0 $ , $ b > 0 $ , $ c < 0 $ , $ a > b $ , dan $ |a| > |c| $. Sehingga option yang memenuhi kemungkinan kedua ini hanya option A, B, dan C.

*). Option yang memenuhi keduanya (semuanya) adalah option C yaitu $ (a-c)(b-c) > 0 $
Jadi, yang BENAR adalah (C). $ (a-c)(b-c) > 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_0 $ dan $ y_0 $ adalah nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan : $ 2^{x+1} - 3^y = 7 $ dan $ -(2^{x-1}) - 3^{y+1} = -5 $ , maka $ x_0 + y_0 $ adalah ......
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, cukup kita gunakan metode eliminasi dan substitusi.
*). Persamaan eksponen :
$ a^m = a^n \rightarrow m = n $
*). Sifat eksponen :
$ a^{m+n} = a^m.a^n $ dan $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ A = 2^x $ dan $ B = 3^y $
*). Mengubah sistem persamaannya :
$\begin{align} 2^{x+1} - 3^y & = 7 \\ 2^1.2^x - 3^y & = 7 \\ 2A - B & = 7 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ -(2^{x-1}) - 3^{y+1} & = -5 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 2^{x-1} + 3^{y+1} & = 5 \\ \frac{2^x}{2^1} + 3^1.3^y & = 5 \\ \frac{A}{2 } + 3B & = 5 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$\begin{array}{c|c|cc} 2A - B = 7 & \times 1 & 2A - B = 7 & \\ \frac{A}{2 } + 3B = 5 & \times 4 & 2A + 12 B = 20 & - \\ \hline & & -13B = -13 & \\ & & B = 1 & \end{array} $
Pers(i): $ 2A - B = 7 \rightarrow 2A - 1 = 7 \rightarrow A = 4 $.
*). Menentuan nilai $ x $ dan $ y $ :
$\begin{align} A & = 2 \rightarrow 2^x = 4 \rightarrow x = x_0 = 2 \\ B & = 1 \rightarrow 3^y = 1 \rightarrow y = y_0 = 0 \end{align} $
Sehingga nilai $ x_0 + y_0 = 2 + 0 = 2 $.
Jadi, nilai $ x_0 + y_0 = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ melalui titik $ (0,3) $ dan mencapai minimum di titik $ (-2,1) $ , maka $ a - b + c $ sama dengan .....
A). $ \frac{9}{2} \, $ B). $ \frac{5}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{2}{9} \, $ E). $ -\frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $ (x_p , y_p) $ :
$ y = a(x- x_p)^2 + y_p $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik puncaknya : $ ( x_p,y_p) = (-2,1) $
*). Menyusun fungsi kuadratnya :
$\begin{align} y & = a(x - x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x - (-2))^2 + 1 \\ y & = a(x + 2)^2 + 1 \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui yaitu $ (0,3) $ :
$\begin{align} y & = a(x + 2)^2 + 1 \\ 3 & = a(0 + 2)^2 + 1 \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga FK menjadi :
$ y = a(x + 2)^2 + 1 \rightarrow y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 + 1 $
$ y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 3 $
yang sama dengan $ f(x) = ax^2 + bx + c $
Artinya $ a = \frac{1}{2} , b = 2, $ dan $ c = 3 $
*). Menentukan nilai $ a - b + c $ :
$\begin{align} a - b + c & = \frac{1}{2} - 2 + 3 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ a - b + c = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan selisih akar-akar $ x^2 + 2x - a = 0 $ dan selisih akar-akar $ x^2-8x+(a-1)=0 $ bernilai sama, maka perkalian seluruh akar-akar kedua persamaan tersebut adalah .....
A). $ -56 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 56 \, $ E). $ 72 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $
memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Operasi akar-akarnya :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ dan $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memisalkan akar-akar dari masing-masing PK dan operasinya :
-). PK1 : $ x^2 + 2x - a = 0 $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $ .
$ x_1.x_2 = \frac{-a}{1} = -a $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{4 + 4a}}{1} = \sqrt{4 + 4a} $
-). PK2 : $ x^2 - 8x + (a-1) = 0 $ akar-akarnya $ x_3 $ dan $ x_4 $ .
$ x_3.x_4 = \frac{a-1}{1} = a-1 $
$ x_3 - x_4 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{64 - 4(a-1)}}{1} = \sqrt{68 - 4a} $
*). Selisih akar-akar kedua PK sama :
$\begin{align} x_1 - x_2 & = x_3 - x_4 \\ \sqrt{4 + 4a} & = \sqrt{68 - 4a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4 + 4a & = 68 - 4a \\ 8a & = 64 \\ a & = 8 \end{align} $
*). perkalian seluruh akar-akar kedua PK :
$\begin{align} (x_1.x_2) . (x_3.x_4) & = -a. (a-1) \\ x_1.x_2.x_3.x_4 & = -8 . (8-1) \\ & = -8.7 = -56 \end{align} $
Jadi, hasil perkalian seluruh akar-akar adalah $ -56 . \, \heartsuit $

Pembahasan eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951