Cara 2 Pembahasan Peluruhan UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Ani memasak di dapur. Dia memiliki 10 liter air. Setiap 40 menit dia menuangkan 10% airnya ke dalam panci masakan. Jika proses memasak membutuhkan waktu selama 3 jam, maka selesai masak, sisa air Ani sebanyak .... ml.
A). $ 8100 \, $ B). $ 7290 \, $
C). $ 6561 \, $ D). $ 5904,9 \, $
E). $ 5314,41 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluruhan :
*). Peluruhan adalah suatu kejadian yang akan terus berkurang dari waktu kewaktu pada jumlah sebelumnya.
*). Untuk dalam rentang atau jumlah periode yang sedikit, kejadian peluruhan bisa kita lakukan dengan langsung mendaftar.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Mendaftar langsung kejadiannya
*). Waktu memasak 3 jam = 180 menit.
*). Setiap 40 menit Ani menuangkan 10% airnya ke dalam panci masakan. Perhatikan tabel pengambilan setiap 40 menit dan sisa airnya.
 
*). Setelah pengambilan ke-4 yaitu menit ke-160 menuju menit ke-180 tidak mencapai 40 menit, sehingga Ani tidak melakukan pengambilan lagi. Artinya sisa airnya tetap 6561 mL.
Jadi, sisa air selama 3 jam adalah $ 6561 \, mL . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Peluruhan UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Ani memasak di dapur. Dia memiliki 10 liter air. Setiap 40 menit dia menuangkan 10% airnya ke dalam panci masakan. Jika proses memasak membutuhkan waktu selama 3 jam, maka selesai masak, sisa air Ani sebanyak .... ml.
A). $ 8100 \, $ B). $ 7290 \, $
C). $ 6561 \, $ D). $ 5904,9 \, $
E). $ 5314,41 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluruhan :
*). Peluruhan adalah suatu kejadian yang akan terus berkurang dari waktu kewaktu pada jumlah sebelumnya.
*). Rumus peluruhan :
$ \, \, \, \, \, \, P_n = P_0 (1 - i)^n $
Keterangan :
$ P_n = \, $ Jumlah setelah $ n $ periode,
$ P_0 = \, $ Jumlah awal,
$ i = \, $ persentase peluruhan (pengurangannya),
$ n = \, $ banyaknya periode kejadian.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara I : Menggunakan Rumus Peluruhan
*). Pada soal diketahui :
-). jumlah air mula-mula : $ P_0 = 10 \, $ L = 10.000 mL
-). Setiap 40 menit dia menuangkan 10% airnya,
$ i = 10\% = 0,1 $ dan
$ n = \, $ 3 jam : 40 menit = 4,5 = 4 (pembulatan ke bawah).
*). Menentukan Sisa Airnya :
$\begin{align} P_n & = P_0 (1 - i)^n \\ & = 10000 (1 - 0,1)^4 \\ & = 10000 (0,9)^4 \\ & = 10000 (0,6561) \\ & = 6561 \end{align} $
Jadi, sisa air selama 3 jam adalah $ 6561 \, mL . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Aritmetika UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Suku tengah deret aritmetika adalah 34. Jika suku pertamanya 4 dan suku ke-4 adalah 22, maka jumlah semua suku deret tersebut adalah ....
A). $ 384 \, $ B). $ 374 \, $ C). $ 264 \, $ D). $ 228 \, $ E). $ 154 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan deret aritmetika :
*). Rumus suku-$n$ : $ U_n = a + (n-1)b $
*). RUmus suku tengah $(U_t)$ : $ U_t = \frac{a+U_n}{2} $
*). Jumlah $ n $ suku pertama :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
atau bisa juga menggunakan : $ S_n = n.U_t $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
$ U_t = 34, \, a = 4 \, $ dan $ U_4 = 22 $.
*). Menentukan nilai $ b $ :
$ U_4 = 22 \rightarrow a + 3b = 22 \rightarrow 4 + 3b = 22 \rightarrow b = 6 $
*). Menentukan banyak suku ($n$) :
$\begin{align} U_t & = 34 \\ \frac{a+U_n}{2} & = 34 \\ a+U_n & = 68 \\ a+( a + (n-1)b) & = 68 \\ 2a + (n-1)b & = 68 \\ 2.4 + (n-1)6 & = 68 \\ 8 + 6n - 6 & = 68 \\ 6n & = 66 \\ n & = 11 \end{align} $
Artinya ada 11 suku.
*). Menentukan jumlah 11 suku pertama :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ S_{11} & = \frac{11}{2}(2.4 + (11-1).6) \\ & = \frac{11}{2}.(68) = 11.34 = 374 \end{align} $
Jadi, jumlah semua suku adalah $ 374 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Program Linear UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Nilai minimum $ z = 6x + 3y $ di daerah yang diarsir adalah ....

A). $ 3 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 12 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.
*). Persamaan garis memotong sumbu x di $ b $ dan sumbu Y di $ a $
adalah $ ax + by = a.b \, $
(kalikan silang saja).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan garisnya : 
Garis I : $ 2x + 2y = 4 \rightarrow x + y = 2 $
Garis II : $ -2x + y = -2 $
Garis III : $ x -2y = -2 $
*). Menentukan titik pojok A, B, dan C :
Perhatikan gambar berikut, -). Titik A, eliminasi garis I dan II:
$ \begin{array}{cc} x + y = 2 & \\ -2x + y = -2 & - \\ \hline 3x = 4 & \\ x = \frac{4}{3} & \end{array} $
Pers(I): $ x + y = 2 \rightarrow \frac{4}{3} + y = 2 \rightarrow y = \frac{2}{3} $
Sehingga titik $ A (\frac{4}{3}, \frac{2}{3} ) $.
-). Titik B, eliminasi garis II dan III:
$ \begin{array}{c|c|cc} -2x + y = -2 & \times 2 & -4x + 2y = -4 & \\ x - 2y = -2 & \times 1 & x - 2y = -2 & + \\ \hline & & -3x = -6 & \\ & & x = 2 & x = \frac{4}{3} & \end{array} $
Pers(II): $ -2x + y = -2 \rightarrow -2.2 + y = -2 \rightarrow y = 2 $
Sehingga titik $ B (2,2) $.
-). Titik C, eliminasi garis I dan III:
$ \begin{array}{cc} x + y = 2 & \\ x - 2y = -2 & - \\ \hline 3y = 4 & \\ y = \frac{4}{3} & \end{array} $
Pers(I): $ x + y = 2 \rightarrow x + \frac{4}{3} = 2 \rightarrow x = \frac{2}{3} $
Sehingga titik $ C (\frac{2}{3}, \frac{4}{3} ) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ z = 6x + 3y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow z & = 6.\frac{4}{3} + 3.\frac{2}{3} = 10 \\ B \rightarrow z & = 6.2 + 3.2 = 18 \\ A \rightarrow z & = 6.\frac{2}{3} + 3.\frac{4}{3} = 8 \end{align} $.
Jadi, nilai nilai minimumnya adalah $ 8 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ p $ yang memenuhi pertidaksamaan $ (2p+4)(p-1)^2 > (p+2)^2 \, $ adalah ....
A). $ p > \frac{2}{5} \, $
B). $ 0 < p < \frac{5}{2} $
C). $ p < 0 \, $ atau $ p \geq \frac{5}{2} $
D). $ -2 < p < 0 \, $ atau $ p > \frac{5}{2} $
E). $ -2 < p < 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Sifat distributif : $ ab - a^2 = a(b - a) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} (2p+4)(p-1)^2 & > (p+2)^2 \\ 2(p+2)(p-1)^2 - (p+2)^2 & > 0 \\ (p+2)[2(p-1)^2 - (p+2)] & > 0 \\ (p+2)[2(p^2 - 2p + 1) - (p+2)] & > 0 \\ (p+2)(2p^2-5p) & > 0 \\ (p+2)p(2p-5) & > 0 \\ p = -2 , \, p = 0 , \, p & = \frac{5}{2} \end{align} $
Garis bilangannya :
 
Sehingga solusinya : $ -2 < p < 0 \vee p > \frac{5}{2} $.
Jadi, solusinya $ -2 < p < 0 \vee p > \frac{5}{2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh 4 komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Persamaan UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi $ \frac{-x+y}{2x+3y+5} = \frac{1}{2} $ dan $ \frac{1}{-x+y}=\frac{2}{2x + y} $ , maka nilai $ 8(x+y) $ adalah ....
A). $ 25 \, $ B). $ 20\, $ C). $ -15 \, $ D). $ -20 \, $ E). $ -25 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Sistem Persamaan :
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, kita bisa menggunaan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan persamaan :
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} \frac{1}{-x+y} & =\frac{2}{2x + y} \\ 2(-x+y) & = 2x + y \\ -2x + 2y & = 2x + y \\ y & = 4x \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua :
$\begin{align} \frac{-x+y}{2x+3y+5} & = \frac{1}{2} \\ 2x + 3y + 5 & = 2(-x+y) \\ 4x + y & = -5 \, \, \, \, \, \text{...dari pers(i)} \\ 4x + 4x & = -5 \\ 8x & = -5 \\ x & = \frac{-5}{8} \end{align} $
Pers(i) : $ y = 4x = 4 . \frac{-5}{8} = \frac{-20}{8}$
Sehingga nilai :
$ \begin{align} 8(x+y) = 8\left( \frac{-5}{8} + \frac{-20}{8} \right) = 8 . \frac{-25}{8} = -25 \end{align} $.
Jadi, nilai $ 8(x+y) = -25 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan Kuadrat UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Selisih akar-akar persamaan $ x^2 + 2ax + \frac{4}{3}a = 0 $ adalah 1. Selisih $ a $ dan $ \frac{4}{6} $ adalah ....
A). $\frac{1}{2} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{5}{6} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{5}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
*). Rumus selisih akarnya (nilainya positif) :
$ \, \, \, \, \, x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Selisih dua bilangan hasilnya selalu positif :
Selisih = nilai terbesar $ - $ nilai terkecil

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 + 2ax + \frac{4}{3}a = 0 $
$ a = 1, b = 2a $ , dan $ c = \frac{4}{3}a $
*). Selisih akar = 1 :
$\begin{align} x_1 - x_2 & = 1 \\ \frac{\sqrt{D}}{a} & = 1 \\ \sqrt{D} & = a \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ D & = a^2 \\ b^2 - 4ac & = a^2 \\ (2a)^2 - 4.1. \frac{4}{3}a & = 1^2 \\ 4a^2 - \frac{16}{3}a & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 12a^2 -16a & = 3 \\ 12a^2 -16a -3 & = 0 \\ (6a + 1)(2a-3) & = 0 \\ a = -\frac{1}{6} \vee a & = \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \end{align} $
*). Menentukan Selisih $ a $ dan $ \frac{4}{6} $ :
$ \begin{align} a = -\frac{1}{6} \rightarrow \text{ selisih } & = \frac{4}{6} - (-\frac{1}{6}) = \frac{5}{6} \\ a = \frac{9}{6} \rightarrow \text{ selisih } & = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6} \end{align} $ .
Jadi, selisih $ a $ dan $ \frac{4}{6} $ adalah $ \frac{5}{6} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Berdasarkan perkiraan kebutuhan ketela kota P pada $ x $ tahun setelah 2017 sebesar $ h(x)=180x^2 +540x + 1080 \, $ kuintal. Produk ketela kota tersebut pada tahun yang sama sebesar $ f(x)=720x + 20880 \, $ kuintal. Untuk mencukupi kebutuhannya, kota tersebut harus mendatangkan ketela dari luar kota mulai pada tahun ....
A). $ 2020 \, $ B). $ 2023 \, $ C). $ 2028 \, $ D). $ 2029 \, $ E). $ 2032 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan suatu persamaan bisa dengan menfaktorkan

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ x $ menyatakan lamanya tahun dimana kebutuhan masih terpenuhi.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan kebutuhan = produk tersedia :
$\begin{align} h(x) & = f(x) \\ 180x^2 +540x + 1080 & = 720x + 20880 \\ 180x^2 - 180x - 19800 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 180)} \\ x^2 - x - 110 & = 0 \\ (x +10)(x-11) & = 0 \\ x = -10 \vee x & = 11 \end{align} $
*). Karena banyak tahun positif, maka yang memenuhi $ x = 11$. Artinya kebutuhan tersebut hanya tercukupi sampai tahun ke-11 saja, sehingga setelah itu kota tersebut harus mendatangkan ketela dari luar kota mulai tahun ke-12 setelah tahun 2017 yaitu tahun $ 2017 + 12 = 2029 $.
Jadi, mendatangkan ketela dari luar kota mulai tahun $ 2029. \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)