Pembahasan Trigonometri UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan \beta > 0 $ , $ \tan 2\beta = - \frac{4}{3} $ dan $ \tan (\alpha - \beta ) = 1 $ , maka $ \tan ^2 \alpha - \tan ^2 \beta = .... $
A). $ 13 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ \frac{13}{36} \, $ D). $ -\frac{5}{36} \, $ E). $ -5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan 2\beta = \frac{2\tan \beta}{1 - \tan ^2 \beta} $ dan
$ \tan (\alpha - \beta ) = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1 + \tan \alpha \tan \beta } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan \beta $ dengan $ \tan \beta > 0 $ :
$ \begin{align} \tan 2\beta & = - \frac{4}{3} \\ \frac{2\tan \beta}{1 - \tan ^2 \beta} & = - \frac{4}{3} \\ \frac{\tan \beta}{1 - \tan ^2 \beta} & = - \frac{2}{3} \\ -2(1 - \tan ^2 \beta) & = 3\tan \beta \\ 2\tan ^2 \beta - 2 & = 3\tan \beta \\ 2\tan ^2 \beta - 3\tan \beta - 2 & = 0 \\ (2\tan \beta +1)(\tan \beta - 2) & = 0 \\ \tan \beta = -\frac{1}{2} \vee \tan \beta & = 2 \end{align} $
Yang memenuhi adalah $ \tan \beta = 2 $.
*). Menentukan nilai $ \tan \alpha $ :
$ \begin{align} \tan (\alpha - \beta ) & = 1 \\ \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1 + \tan \alpha . \tan \beta } & = 1 \\ \frac{ \tan \alpha - 2 }{1 + \tan \alpha . 2 } & = 1 \\ \frac{ \tan \alpha - 2 }{1 + 2\tan \alpha } & = 1 \\ \tan \alpha - 2 & = 1 + 2\tan \alpha \\ - \tan \alpha & = 3 \\ \tan \alpha & = - 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \tan ^2 \alpha - \tan ^2 \beta $ :
$ \begin{align} \tan ^2 \alpha - \tan ^2 \beta & = (-3)^2 - 2^2 \\ & = 9 - 4 = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan ^2 \alpha - \tan ^2 \beta = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^3 - (a+1)x^2 + ax}{(x^2-a) \tan (x-1)} = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 1 - a \, $ C). $ a \, $ D). $ 0 \, $ E). $ 2 - a \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{af(x)}{\tan b f(x) } = \frac{a}{b} $ dengan syarat $ f(k) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^3 - (a+1)x^2 + ax}{(x^2-a) \tan (x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x(x^2 - (a+1)x + a)}{(x^2-a) \tan (x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x(x- a)(x-1)}{(x^2-a) \tan (x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x(x- a)}{(x^2-a)} . \frac{(x-1)}{ \tan (x-1)} \\ & = \frac{1.(1- a)}{(1^2-a)} . \frac{1}{ 1} \\ & = \frac{(1- a)}{(1-a)} . 1 = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 \leq 3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) - 2 $ adalah ....
A). $ x > 1 \, $ B). $ 1 < x \leq 2 \, $
C). $ x < 1 \, $ atau $ x \geq 4 $
D). $ x \neq 1 \, $ E). $ x \geq 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= 0 \Rightarrow \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 & \leq 3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) - 2 \\ \left(\frac{0+2}{0-1}\right)^2 & \leq 3\left(\frac{0+2}{0-1}\right) - 2 \\ 4 & \leq -6 - 2 \\ 4 & \leq -8 \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= 0 $ SALAH, opsi yang salah C dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= 2 \Rightarrow \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 & \leq 3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) - 2 \\ \left(\frac{2+2}{2-1}\right)^2 & \leq 3\left(\frac{2+2}{2-1}\right) - 2 \\ 16 & \leq 12 - 2 \\ 16 & \leq 10 \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= 2 $ SALAH, opsi yang salah A dan B.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi E (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ x \geq 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 \leq 3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) - 2 $ adalah ....
A). $ x > 1 \, $ B). $ 1 < x \leq 2 \, $
C). $ x < 1 \, $ atau $ x \geq 4 $
D). $ x \neq 1 \, $ E). $ x \geq 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar (pembuat nol)
2). buat garis bilangan dan tanda (+ atau $-$)
3). Arsir daerah yang diinginkan
jika $ > 0 $ , maka arsir positif,
jika $ < 0 $ , maka arsir negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Bentuk pecahan, penyebut tidak boleh nol, sehingga akar-akar penyebut tidak diikutkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soal :
$ \begin{align} \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 & \leq 3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) - 2 \\ \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 - 3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) + 2 & \leq 0 \\ \left(\frac{x+2}{x-1} - 1 \right) \left(\frac{x+2}{x-1} -2 \right) & \leq 0 \\ \left(\frac{x+2}{x-1} - \frac{x-1}{x-1} \right) \left(\frac{x+2}{x-1} - \frac{2(x-1)}{x-1} \right) & \leq 0 \\ \left( \frac{3}{x-1} \right) \left(\frac{x+2}{x-1} - \frac{2x - 2}{x-1} \right) & \leq 0 \\ \left( \frac{3}{x-1} \right) \left(\frac{-x + 4}{x-1} \right) & \leq 0 \\ \frac{3(-x+4)}{(x-1)(x-1)} & \leq 0 \\ -x + 4 & = 0 \rightarrow x = 4 \\ x - 1 & = 0 \rightarrow x = 1 \end{align} $
Garis bilangannya :
 

Karena yang diminta $ \leq 0 $ , maka solusinya daerah yang negatif yaitu $ x \geq 4 $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ x \geq 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
AKar-akar persamaan kuadrat $ x^2 + 6x + c = 0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $. Jika $ u, v $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (x_1^2 + x_2^2)x + 4 = 0 $ dan $ u + v = u.v $ , maka nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ -64 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu : $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). PK1 : $ x^2 + 6x + c = 0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-6}{1} = -6 $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{1} = c $
-). PK2 : $ u, v $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (x_1^2 + x_2^2)x + 4 = 0 $
$ u + v = \frac{-[-(x_1^2 + x_2^2)]}{1} = (x_1^2 + x_2^2) $
$ u.v = \frac{4}{1} = 4 $
*). Menentukan nilai $ c $:
$ \begin{align} u + v & = u.v \\ (x_1^2 + x_2^2) & = 4 \\ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 & = 4 \\ (-6)^2 - 2c & = 4 \\ 36 - 2c & = 4 \\ -2c & = -32 \\ c & = 16 \end{align} $
sehingga nilai $ x_1.x_2 = c = 16 $
*). Menentukan nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 $:
$ \begin{align} x_1^3x_2 + x_1x_2^3 & = x_1x_2 ( x_1^2 + x_2^2) \\ & = x_1x_2 [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2] \\ & = 16. [(-6)^2 - 2.16] \\ & = 16. [36 - 32] \\ & = 16. [4] = 64 \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = 64 . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor : $ \vec{AB}=\vec{i} = (1,0,0) $, $ \vec{AD}=\vec{j}=(0,1,0)$ , dan $ \vec{AE}=\vec{k}=(0,0,1)$. Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Vektor proyeksi $ \vec{FP} $ ke vektor $ \vec{AC} $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{2}}{2} \, $ B). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} \, $ C). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} (0,1,1) \, $
D). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} (1,1,0) \, $ E). $ \frac{1}{4} (1,1,0) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor $ \vec{p} = (p_1,p_2,p_3) $ dan $ \vec{q}=(q_1,q_2,q_3) $
-). Perkalian dot :
$ \vec{p}.\vec{q} = p_1q_1 + p_2q_2 + p_3q_3 $
-). Panjang vektor $ \vec{q} $ :
$ |\vec{q}| = \sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2} $
*). Vektor proyeksi $ \vec{p} $ pada $ \vec{q} $ adalah
$ = \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|^2} \vec{q} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

*). Menentukan vektor $ \vec{FP} $ dan $ \vec{AC} $ :
-). Kesamaan : $ \vec{BC}=\vec{AD} $ dan $ \vec{FB} = \vec{EA} = - \vec{AE} $
-). Vektor $ \vec{AC} = \vec{AB}+\vec{BC} = (1,0,0) + (0,1,0) = (1,1,0) $
-). Vektor $ \vec{FC} = \vec{FB}+\vec{BC} = (0,0,-1) + (0,1,0) = (0,1,-1) $
-). Vektor $ \vec{FP} = \frac{1}{2}\vec{FC} = \left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right) $
*). Menentukan perkalian dot dan panjang :
-). $ \vec{FP}.\vec{AC} = \left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right). (1,1,0) = 0 + \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} $
-). $ |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2 } = \sqrt{2} \rightarrow |\vec{AC}|^2 = 2 $
*). Menentukan vektor proyeksi $ \vec{FP} $ pada $ \vec{AC} $ :
$ \begin{align} & = \frac{\vec{FP}.\vec{AC}}{|\vec{AC}|^2} \vec{AC} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{2} (1,1,0) \\ & = \frac{1}{4} (1,1,0) \end{align} $
Jadi, vektor proyeksinya adalah $ \frac{1}{4} (1,1,0) . \, \heartsuit $