Pembahasan Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui P, Q, dan R adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika Q lancip dan $ \sqrt{2}\tan ^2 Q - \tan Q = 0 $ , maka $ \sin (P+R) = ...$
A). $ -\frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Segitiga PQR memiliki sudut P, Q dan R dengan $ 0 < P < 180^\circ $ , $ 0 < Q < 180^\circ $, dan $ 0 < R < 180^\circ $, sehngga $ \tan P \neq 0 $ , $ \tan Q \neq 0 $ , dan $ \tan R \neq 0 $ serta $ P + Q + R = 180^\circ $
*). Hubungan kuadran : $ \sin ( 180^\circ - x ) = \sin x $
*). Setelah menemukan salah satu nilai trogonometri suatu sudut, maka untuk menentukan nilai trogonometri yang lainnya cukup dengan membuat segitiga siku-sikunya dan terapkan konsep perbadingan dasar :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} ,\, \cos x = \frac{samping}{miring} , \, \tan x = \frac{depan}{samping} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan Q $ :
$\begin{align} \sqrt{2}\tan ^2 Q - \tan Q & = 0 \\ \tan Q(\sqrt{2}\tan Q - 1 ) & = 0 \\ \tan Q = 0 \vee (\sqrt{2}\tan Q - 1 ) & = 0 \\ \tan Q = 0 \vee \tan Q & = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align} $
Yang memenuhi $ \tan Q = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{depan}{samping} $
Segitiga siku-siku untuk sudut Q saja :
 

Sehingga nilai $ \sin Q = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} $
*). Menentukan nilai $ \sin (P + R) $ :
$\begin{align} P + Q + R & = 180^\circ \\ P + R & = 180^\circ - Q \\ \sin (P + R) & = \sin ( 180^\circ - Q ) \\ \sin (P + R) & = \sin Q \\ \sin (P + R) & = \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin (P + R ) = \frac{1}{3}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $. Jika $ A^{-1} $ adalah invers matriks A dan $ A^T $ adalah transpose matriks A, maka determinan matriks B yang memenuhi $ AB = A^{-1} + A^T $ adalah ...
A). $ -41 \, $ B). $ -9 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 31 \, $ E). $ 41 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan terdapat matriks : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Determinan A : $ |A| = ad - bc $
-). Transpose matriks A : $ A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
-). Invers Matriks A : $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat-sifat pada matriks :
1). $ A(B+C) = AB + AC $
2). $ A^{-1} . A = I $
3). $ I.A = A $
dengan $ I = \, $ matriks identitas.
*). Operasi pada matriks :
-). Operasi penjumlahan : Jumlahkan unsur-unsur yang seletak.
-). Perkalian matriks : Baris kalikan Kolom.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks : $ A = \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $
-). Determinan : $ |A| = 5.1 - (-3).(-2) = 5 - 6 = -1 $
-). Transpose : $ A^T = \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) $
-). Invers : $ A^{-1} = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan matriks B :
$\begin{align} AB & = A^{-1} + A^T \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } A^{-1} ) \\ A^{-1}.AB & = A^{-1}(A^{-1} + A^T ) \\ (A^{-1}.A)B & = A^{-1}.A^{-1} + A^{-1}.A^T \\ I.B & = \left( \begin{matrix} -1 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} -1 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} 7 & 18 \\ 12 & 31 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} 11 & 17 \\ 17 & 30 \end{matrix} \right) \\ |B| & = 11.30 - 17.17 = 330 - 289 = 41 \end{align} $
Jadi, determinan matriks B adalah $ 41 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan tiga persegi. Panjang sisi persegi I, II, dan III membentuk barisan geometri. Keliling persegi I, II, dan III membentuk barisan aritmetika. Diketahui juga jumlah keliling ketiga persegi 14 meter. Panjang sisi persegi yang terkecil adalah ... meter.
A). $ \frac{7}{6} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Barisan geometri : $ a, ar, ar^2, ar^3, .... $
*). Barisan aritmetika : $ u_1, u_2, u_3, .... $
-). Memiliki selisih yang sama yaitu :
$ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4 - u_3 = .... $
*). Misalkan panjang sisi persegi $ = s $
keliling persegi $ = 4s $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan sisi-sisi perseginya :
persegi pertama : $ s = a $ , persegi kedua : $ s = ar $ dan ketiga : $ ar^2 $ dimana ketiganya membentuk barisan geometri yaitu $ a, ar, ar^2 $.
*). Menentukan keliling masing-masing persegi :
Persegi pertama : $ K = 4a $
Persegi kedua : $ K = 4ar $
Persegi ketiga : $ K = 4ar^2 $
*). Keliling ketiga persegi membentuk barisan aritmetika :
$ 4a, 4ar, 4ar^2 $.
-). Selisih dua suku berdekatan sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ 4ar - 4a & = 4ar^2 - 4ar \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } 4a ) \\ r - 1 & = r^2 - r \\ r^2 - 2r + 1 & = 0 \\ (r - 1)^2 & = 0 \\ r & = 1 \end{align} $
*). Jumlah keliling ketiganya = 14
$\begin{align} 4a + 4ar + 4ar^2 & = 14 \\ 4a + 4a.1 + 4a.1^2 & = 14 \\ 4a + 4a + 4a & = 14 \\ 12a & = 14 \\ a & = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} \end{align} $
Jadi, panjang sisi terpendeknya adalah $ \frac{7}{6} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Deret UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jika bilangan 2001 ditulis dalam bentuk $ 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n $ maka jumlahan digit-digit dari bilangan $ n $ sama dengan ...
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Penjumlahan konstanta yang sama :
$ \underbrace{a+a+a+a+a+a+a+a+...+a}_{\text{sebanyak }n} = n.a $
*). Pengelompokkan dua suku menjadi satu.
Misalkan ada $ n $ suku dari penjumlahan :
$ a + a + a + a + a + a + a + ... + a $
Kelompokkan dua suku-dua suku :
$ (a+a) + (a+a) + (a+a) + ... + (a + a) $
$ 2a + 2a + 2a + ... + 2a $
Bentuk $ 2a + 2a + 2a + ... + 2a $ memiliki $ \frac{n}{2} $ suku.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Deret $ 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n $ bisa dimodifikasi :
$\begin{align} & 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n \\ & (1-2)+ (3-4)+(5-6)+...+[(n-2)-(n-1)]+n \\ & (-1) + (-1) + (-1) + ...+ (-1) + n \end{align} $
*). Perhatikan deret $ 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1) $ memiliki $ n - 1 $ suku. Sehingga jika kita kelompokkan dua suku - dua suku menjadi $ (1-2)+ (3-4)+(5-6)+...+[(n-2)-(n-1)] $ atau $ (-1) + (-1) + (-1) + ...+ (-1) $ memiliki $ \frac{n-1}{2} $ suku.
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n & = 2001 \\ (1-2)+ (3-4)+...+[(n-2)-(n-1)]+n & = 2001 \\ (-1) + (-1) + (-1) + ...+ (-1) + n & = 2001 \\ \underbrace{(-1) + (-1) + (-1) + ...+ (-1)}_{\text{sebanyak } \frac{n-1}{2} } + n & = 2001 \\ (-1). \frac{n-1}{2} + n & = 2001 \\ \frac{-n + 1}{2} + n & = 2001 \\ \frac{-n + 1}{2} + \frac{2n}{2} & = 2001 \\ \frac{-n + 1 + 2n}{2} & = 2001 \\ \frac{n + 1}{2} & = 2001 \\ n + 1 & = 4002 \\ n & = 4001 \end{align} $
Artinya kita peroleh nilai $ n = 4001 $.
Jumlah digit-digit dari $ n = 4001 $ yaitu :
Jumlah digit $ = 4 + 0 + 0 + 1 = 5 $
Jadi, jumlah digit-digit dari $ n $ adalah $ 5 . \, \heartsuit $