Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 619 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 2a & a \\ 4 & a \end{matrix} \right] \, $ merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga $ det(A^2) = -8 det \left( A^{-1} \right) \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A^n| = |A|^n $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 2a & a \\ 4 & a \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 2a.a - 4.a = 2a^2-4a $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A^2) & = -8 det \left( A^{-1} \right) \\ |A^2| & = -8 | A^{-1} | \\ |A|^2 & = -8 . \frac{1}{|A|} \\ |A|^3 & = -8 \\ |A| & = -2 \\ 2a^2-4a & = -2 \\ 2a^2-4a + 2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \\ (a-1)(a-1) & = 0 \\ a_1=1 \vee a_2 & = 1 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = 1.1 =1 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 - 2a + 1 = 0 \rightarrow a_1.a_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika semua akar persamaan $ x^2 + 7x + t = 0 \, $ merupakan bilangan bulat negatif, maka jumlah semua nilai $ t \, $ yang mungkin adalah ....
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat : $ x^2 + 7x + t = 0 $
$ a = 1, \, b = 7 , \, $ dan $ c = t \, $ dengan akar-akar bulat negatif
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-7}{1} = -7 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{qt}{1} = t \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ t \, $ dari pers(i) dan pers(ii) dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ bilangan bulat negatif.
$ x_1 + x_2 = -7 \, $ dan $ x_1.x_2 = t $
*). $ x_1 = -1, \, x_2 = -6 \rightarrow q = x_1.x_2 = -1.-6 = 6 $
*). $ x_1 = -2, \, x_2 = -5 \rightarrow q = x_1.x_2 = -2.-5 = 10 $
*). $ x_1 = -3, \, x_2 = -4 \rightarrow q = x_1.x_2 = -3.-4 = 12 $
Sehingga jumlah semua nilai $ t \, $ yang mungkin :
Jumlah = 6 + 10 + 12 = 28.
Jadi, jumlah semua nilai $ t \, $ adalah 28. $ \heartsuit $
Nomor 13
Jika garis $ x - 2y = 3 \, $ tidak memotong maupun menyinggung kurva $ y = x^2 + ax - \frac{15}{16} , \, $ maka ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar hubungan garis dan parabola
Syarat garis dan parabola tidak berpotongan maupun menyinggung : $ D < 0 $ . dengan $ D \, $ adalah nilai Diskriminan , rumus : $ D = b^2-4ac $
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} x-2y & = 3 \\ x-2(x^2 + ax - \frac{15}{16}) & = 3 \\ x-2x^2 - 2ax + \frac{15}{8}) & = 3 \, \, \, \, \text{(kali -8)} \\ -8x + 16x^2 + 16ax - 15 & = -24 \\ 16x^2 +8(2a-1)x + 9 & = 0 \\ a = 16, \, b = 8(2a-1), \, c & = 9 \\ \text{ Syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ [8(2a-1)]^2 - 4.16.9 & < 0 \\ 64(4a^2 - 4a + 1) - 64.9 & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 64)} \\ (4a^2 - 4a + 1) - 9 & < 0 \\ 4a^2 - 4a - 8 & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ a^2 - a - 2 & < 0 \\ (a+1)(a-2) & < 0 \\ a = -1 \vee a & = 2 \end{align}$
sbmptn_matdas_3_k619_2015.png
Jadi, garis dan parabola tidak berpotongan maupun meninggung ketika $ \{ -1 < a < 2 \} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui rata-rata dari 9 nilai pengamatan sama dengan dua kali mediannya. Jika jumlah nilai pengamatan yang lebih kecil daripada median adalah 106 dan jumlah nilai pengamatan yang lebih besar daripada median adalah 200, maka rata-rata dari 9 nilai pengamatan tersebut adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata $ (\overline{X}) $
$ \overline{X} = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} $
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $ a_1, a_2, a_3,a_4, x, b_1, b_2, b_3, b_4 $
dengan $ x \, $ sebagai nilai median dan
$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 106 \, $ serta $ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 200 $
$\begin{align} \overline{X} & = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} \\ \overline{X} & = \frac{(a_1+a_2+a_3+a_4)+x+(b_1+b_2+b_3+b_4)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{(106)+x+(200)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{306+x}{9} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \text{rata-rata } & = 2 \times \text{ median} \\ \overline{X} & = 2x \\ \frac{306+x}{9} & = 2x \\ 306 + x & = 18x \\ 17x & = 306 \\ x & = \frac{306}{17} = 18 \end{align} $
Sehingga nilai rata-ratanya : $ \overline{X} = 2x = 2. 18 = 36 $
Jadi, rata-ratanya adalah 36. $ \heartsuit $
Nomor 15
Empat buku berjudul Kombinatorik dan dua buku berjudul Statistika akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan C adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian C adalah ....
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini menggunakan Permutasi Berulang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Konsep peluang komplemen
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $ dan $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$ P(A^c) \, $ adalah komplemen(kebalikan) dari peluang $ P(A) $
pada soal ini kita misalkan :
$ A = \, $ kejadian tidak terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$ A^c = \, $ kejadian terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$\spadesuit \, $ Misal : K = Kombinatorik dan S = Statistika
Ada 4M 2S , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!.21} = 3.5 = 15 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $
Agar tidak terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan, kita kelompokkan menjadi lima bagian dengan tiga kemungkinan, yaitu :
*). Kemungkinan I : sbmptn_matdas_4_k619_2015.png
KI = $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : KKSSKK, KKSKSK, KKSKKS
*). Kemungkinan II : sbmptn_matdas_4a_k619_2015.png
ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : KKSSKK, KSKSKK, SKKSKK
hanya saja ada satu susunan buku (KKSSKK) sudah ada pada kemungkinan I,
sehingga, KII = 3 - 1 = 2 susunan
*). Kemungkinan III , 2K ada ditengah yaitu : KSKKSK
diperoleh KIII = 1 susunan
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 3 + 2 + 1 = 6 $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang [$ P(A^c) $ ]
$ \begin{align} P(A^c) & = 1 - P(A) \\ & = 1 - \frac{2}{5} \\ & = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, peluang terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan adalah $ \frac{3}{5}. \heartsuit $

Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
sbmptn_matdas_4_k619_2015.png
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2K, S, S, K, dan K dengan 2K dan S posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (S, K, K) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara yaitu KKSSKK, KKSKSK dan KKSKKS
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja S dan 2K posisinya tetap dibelakang.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 619 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{x-2}{x+1} > 1 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \frac{x-2}{x+1} & > 1 \\ \frac{x-2}{x+1} - 1 & > 0 \\ \frac{x-2}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} & > 0 \\ \frac{(x-2)-(x+1)}{x+1} & > 0 \\ \frac{-3}{x+1} & > 0 \end{align}$
Agar $ \frac{-3}{x+1} > 0 \, $ (positif) , maka penyebutnya harus bernilai negatif :
diperoleh : $ x + 1 < 0 \rightarrow x < -1 $
Jadi, solusinya $ HP = \{ x < -1 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu fungsi $ f \, $ bersifat $ f(-x) = -f(x) \, $ untuk setiap bilangan real $ x . \, $ Jika $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1, \, $ maka $ f(f(-3)) = .... $
$\clubsuit \, $ Diketahui $ f(-x) = -f(x) \, $ ....pers(i)
berlaku juga : $ f(x) = - f(-x) \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui nilai : $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1 $
$ f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \, $ ....dari pers(i)
$ f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \, $ ....dari pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2}{2} - \frac{x-y}{3}=1, \\ \frac{x+y}{3} - \frac{y+1}{2}=2. \end{array} \right. $
Nilai $ x + y \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan sistem persamaan
$\begin{align} \frac{x+2}{2} - \frac{x-y}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 3(x+2) - 2(x-y) & = 6 \\ x + 2y & = 0 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \frac{x+y}{3} - \frac{y+1}{2} & =2 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 2(x+y) - 3(y+1) & = 12 \\ 2x - y & = 15 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 0 & \times 1 & x + 2y = 0 & \\ 2x - y = 15 & \times 2 & 4x - 2y = 30 & + \\ \hline & & 5x = 30 & \\ & & x = 6 & \end{array} $
pers(i) : $ x + 2y = 0 \rightarrow 6 + 2y = 0 \rightarrow y = -3 $
Sehingga nilai $ x + y = 6 + (-3) = 3 $
Jadi, nilai $ x + y = 3 . \heartsuit$
Nomor 9
Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp 900.000,00. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp ....
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
$\begin{align} A = \frac{1}{2}(B+C+D) \rightarrow 2A & = B+C+D \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ B = \frac{1}{3}(A+C+D) \rightarrow 3B & = A+C+D \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \\ C = \frac{1}{4}(A+B+D) \rightarrow 4C & = A+B+D \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \\ A + B + C + D & = 900.000 \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke semua persamaan
$\begin{align} \text{pers(i) : } 2A & = B+C+D \\ 2A & = 900.000 - A \\ 3A & = 900.000 \\ A & = 300.000 \\ \text{pers(ii) : } 3B & = A+C+D \\ 3B & = 900.000 - B \\ 4B & = 900.000 \\ B & = 225.000 \\ \text{pers(iii) : } 4C & = A+B+D \\ 4C & = 900.000 - C \\ 5C & = 900.000 \\ C & = 180.000 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai D
$\begin{align} A + B + C + D & = 900.000 \\ 300.000 + 225.000 + 180.000 + D & = 900.000 \\ D & = 195.000 \end{align}$
Jadi, besarnya kontribusi siswa D adalah Rp 195.000,00. $ \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ f(x-2) = \frac{1}{2+5x} , \, $ maka $ f^{-1} (x) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx+b}{cx-a} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan fungsinya
Misal : $ p = x - 2 \rightarrow x = p + 2 $
Substitusi bentuk $ p = x - 2 $
$\begin{align} f(x-2) & = \frac{1}{2 + 5x} \\ f(p) & = \frac{1}{2 + 5(p+2)} \\ f(p) & = \frac{1}{5p+12} \end{align}$
sehingga : $ f(x) = \frac{1}{5x+12} $
$\spadesuit \, $ Menentukan inversnya berdasarkan konsep invers
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{5x+12} \, \, \, \, \text{(modifikasi)} \\ f(x) & = \frac{0x+1}{5x+12} \, \, \, \, \text{(konsep invers)} \\ f^{-1}(x) & = \frac{-12x+1}{5x-0} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1-12x}{5x} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ f^{-1}(x) = \frac{1-12x}{5x} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 619 tahun 2015


Nomor 1
Diketahui $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real positif. Jika $ \frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} = c \, $ , maka nilai $ c \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ c $
$\begin{align} \frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} & = c \, \, \, \, \text{(distributif)} \\ \frac{(a-\sqrt{b})[a+\sqrt{b}] }{a^2 - b} & = c \\ \frac{ a^2 - b }{a^2 - b} & = c \\ 1 & = c \end{align}$
Jadi, nilai $ c = 1 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ k \, $ adalah bilangan real positif, serta $ 2k+1, \, 10, \, $ dan $ 2k+7 \, $ adalah berturut-turut suku ketiga, keempat, dan kelima suatu barisan aritmetika, maka jumlah dua suku pertama barisan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika :
$ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $ u_3 = 2k+1, \, u_4= 10, \, u_5 = 2k+7 $
Selisih sama :
$\begin{align} u_4 - u_3 & = u_5 - u_4 \\ 2u_4 & = u_5 + u_3 \\ 2.(10) & = (2k+7) + (2k+1) \\ 20 & = 4k + 8 \\ 4k & = 12 \\ k & = 3 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
$ u_3 = 2k+1 = 2.3 + 1 = 7 $
$ b = u_4 - u_3 = 10 - 7 = 3 $
$ u_4 = 10 \rightarrow a+3b = 10 \rightarrow a + 3.3 = 10 \rightarrow a = 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah dua suku pertama ($s_2$)
$\begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_2 & = \frac{2}{2}(2.1 + (2-1).3) \\ s_2 & = (2 + 3) \\ s_2 & = 5 \end{align} $
Jadi, jumlah dua suku pertamanya adalah 5. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k619_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k619_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ xy = 90 \, $ dan $ \log x - \log y = 1 , \, $ maka $ x - y = .... $
$\spadesuit \, $ konsep logaritma :
*). Definisi : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
*). Sifat : $ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
$ xy = 90 \, $ .....pers(i)
$\begin{align} \log x - \log y & = 1 \\ {}^{10} \log \frac{x}{y} & = 1 \\ \frac{x}{y} & = 10^1 \\ \frac{x}{y} & = 10 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Kalikan kedua persamaan dan sederhanakan
$\begin{align} (xy)\times \left( \frac{x}{y} \right) & = 90 \times 10 \\ (x\not{y})\times \left( \frac{x}{\not{y}} \right) & = 90 \times 10 \\ x^2 & = 900 \\ x & = \sqrt{900} = 30 \end{align}$
Pers(i) : $ xy = 90 \rightarrow 30.y = 90 \rightarrow y = 3 $
sehingga nilai $ x - y = 30 - 3 = 27 $
Jadi, nilai $ x - y = 27 . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k619_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15