Pembahasan Statistika Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Rata-rata tiga bilangan adalah 10 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan 8 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut adalah 14, maka ...
(1). jangkauannya adalah 18
(2). variansinya adalah 84
(3). jumlahnya adalah 36
(4). simpangan rata-ratanya adalah $ \frac{20}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus hitungan pada statistika :
-). Jangkauan = nilai terbesar $ - $ nilai terkecil
-). Variansi data sampel :
$ V = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ... + (x_n - \overline{x})^2}{n-1} $
-). Simpangan rata-rata :
$ SR = \frac{|x_1-\overline{x}| + |x_2-\overline{x}| + ... + |x_n-\overline{x}| }{n} $
Keterangan :
$ n = \, $ banyak data atau banyak nilai
$ \overline{x} = \, $ rata-rata
$ x_1 = \, $ nilai pertama
$ x_2 = \, $ nilai kedua
$ |a| = \, $ nilai mutlak dari $ a $ (selalu positif)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilainya $ a, b, c $ yang sudah diurutkan.
*). Menyusun persamaannya :
-). Persamaan pertama : Rata-rata tiga bilangan adalah 10 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil
$ \frac{a+b+c}{3} = a + 10 \, $ .....(i)
-). Persamaan kedua : Rata-rata tiga bilangan adalah 8 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar
$ \frac{a+b+c}{3} = c - 8 \, $ .....(ii)
-). Median = 14 artinya $ b = 14 $
*). Dari pers(i) dan pers(ii) :
$ a + 10 = c - 8 \rightarrow c = a + 18 \, $ .....(iii)
*). Pers(i) beserta $ b = 14 $ dan pers(iii) :
$\begin{align} \frac{a+b+c}{3} & = a + 10 \\ \frac{a+14+ (a + 18) }{3} & = a + 10 \\ 2a + 32 & = 3a + 30 \\ a & = 2 \end{align} $
Sehingga $ c = a + 18 = 2 + 18 = 20 $
Datanya yaitu $ 2, \, 14, \, 20 $
rata-ratanya : $ \overline = \frac{2 + 14 + 20}{3} = \frac{36}{3} = 12 $

*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). jangkauannya adalah 18?
Jangkauan $ = 20 - 2 = 18 $
Pernyataan (1) BENAR.

-). Pernyataan (2). variansinya adalah 84 ?
$ v = \frac{(2-12)^2 + (14-12)^2 + (20 -12)^2}{3 -1} = \frac{168}{2} = 84 $
Pernyataan (2) BENAR.

-). Pernyataan (3). jumlahnya adalah 36 ?
Jumlahnya $ = 2 + 14 + 20 = 36 $
Pernyataan (3) BENAR.

-). Pernyataan (4). simpangan rata-ratanya adalah $ \frac{20}{3} $ ?
$ SR = \frac{|2-12| + |14-12| + |20-12|}{3} = \frac{20}{3} $
Pernyataan (4) BENAR.

Karena yang Semua Pernyataan BENAR), jawabannya E.
Jadi, semua pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} $ , maka ...
(1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada
(2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $
(3). fungsi naik untuk $ x > 0 $
(4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Suatu fungsi $ f(x) $ atau $ f^\prime (x) $ tidak ada di $ a $ jika hasilnya $ f(a) = \frac{b}{0} $ dan $ f^\prime (a) = \frac{c}{0} $ , dimana $ a, b, c $ adalah bilangan real.
*). Interval fungsi $ f(x) $ naik ketika $ f^\prime (x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} = (x^2 + 4)^{-1} $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = (x^2 + 4)^{-1} \\ f ^\prime (x) & = -1. (x^2 + 4)^{-1-1} . 2x \\ f ^\prime (x) & = (x^2 + 4)^{-2} .(- 2x) \\ f ^\prime (x) & = \frac{-2x}{(x^2+4)^2} \end{align} $
*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada ?
$ f ^\prime (0) = \frac{-2.0}{(0^2+4)^2} = \frac{0}{16} = 0 $ ($f^\prime (0) \, $ ada)
Pernyataan (1) SALAH.

-). Pernyataan (2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $ ?
$ f ^\prime (-1) = \frac{-2.(-1)}{((-1)^2+4)^2} = \frac{2}{25} $
Pernyataan (2) SALAH.

-). Pernyataan (3). fungsi naik untuk $ x > 0 $ ?
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat naik)} \\ \frac{-2x}{(x^2+4)^2} & > 0 \end{align} $
Karena $ x^2 + 4 $ selalu bernilai positif, agar $ \frac{-2x}{(x^2+4)^2} > 0 $ maka haruslah $ -2x > 0 $ juga.
$ -2x > 0 \rightarrow x < 0 $.
Artinya $ f(x) $ naik pada interval $ x < 0 $.
Pernyataan (3) SALAH.

-). Pernyataan (4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $ ?
Gradien : $ m = f^\prime (1) = \frac{-2.1}{(1^2+4)^2} = \frac{-2}{25} $
Nilai $ y_1 = f(1) = \frac{1}{1^2 + 4} = \frac{1}{5} $
Menyusun garis singgung di $ (x_1,y_1) = (1, \frac{1}{5}) $ dan $ m = \frac{-2}{25} $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - \frac{1}{5} & = \frac{-2}{25} ( x - 1) \\ y - \frac{1}{5} & = \frac{-2}{25} x + \frac{2}{25} \\ y & = \frac{-2}{25} x + \frac{2}{25} + \frac{1}{5} \\ y & = \frac{-2}{25} x + \frac{7}{25} \end{align} $
Garis singgungnya adalah $ y = \frac{-2}{25} x + \frac{7}{25} $
Pernyataan (4) BENAR.

Karena yang BENAR pernyataan (4), jawabannya D.
Jadi, yang BENAR pernyataan (4) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Komposisi Fungsi Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Diketahui fungsi $ f(x) $ adalah fungsi linear dan $ g(x) = \frac{2x+1}{x} + 1 $ . Jika $ (g \circ f)(x) = 3 + \frac{1}{2x+1} $ , pernyataan yang benar adalah ...
(1). $ a - b = 1 $
(2). $ a - b = 2 $
(3). $ a + b = 3 $
(4). $ a + b = 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi fungsi :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
(Fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ g(x) = \frac{2x+1}{x} + 1 $
Sehingga $ g(f(x)) = \frac{2f(x)+1}{f(x)} + 1 $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} (g \circ f)(x) & = 3 + \frac{1}{2x+1} \\ g(f(x)) & = 3 + \frac{1}{2x+1} \\ \frac{2f(x)+1}{f(x)} + 1 & = 3 + \frac{1}{2x+1} \\ \frac{2f(x)+1}{f(x)} & = 2 + \frac{1}{2x+1} \\ \frac{2f(x)+1}{f(x)} & = \frac{4x + 3}{2x+1} \\ f(x) [ 4x + 3] & = (2f(x) + 1)(2x + 1) \\ f(x) [ 4x + 3] & = 2f(x) (2x + 1) + (2x + 1) \\ f(x) [ 4x + 3] - 2f(x) (2x + 1) & = (2x + 1) \\ f(x) [ 4x + 3] - f(x) (4x + 2) & = (2x + 1) \\ f(x) [ (4x + 3) - (4x + 2) ] & = (2x + 1) \\ f(x) [1 ] & = (2x + 1) \\ f(x) & = 2x + 1 \end{align} $
Kita peroleh $ f(x) = 2a + 1 $
Bentuk $ f(x) = 2x + 1 $ sama dengan $ f(x) = ax + b $ sehingga $ a = 2 $ dan $ b = 1 $
*). Menentukan nilai sesuai pernyataan yang ada :
$\begin{align} a - b & = 2 - 1 = 1 \\ a + b & = 2 + 1 = 3 \end{align} $
Sehingga pernyataan (1) dan (3) yang BENAR, jawabannya B
Jadi, yang BENAR pernyataan (1) dan (3) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Fungsi Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = ax + b $ dan $ f^{-1} (x) = bx + a $ dengan $ a, b \in R $, maka $ (a+b)^2 = ... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1} (y) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ f(x) = ax + b $ dan $ f^{-1} (x) = bx + a $
*). Menentukan invers fungsi $ f(x) = ax + b $ :
$\begin{align} f(x) & = ax + b \\ y & = ax + b \\ ax & = y - b \\ x & = \frac{y - b}{a} \\ x & = \frac{1}{a}y - \frac{b}{a} \\ f^{-1} & = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} \end{align} $
*). Kita peroleh $ f^{-1} = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} $ dan diketahui $ f^{-1} (x) = bx + a $, sehingga berlaku kesamaan :
$\begin{align} \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} & = bx + a \end{align} $
yang aritnya :
$ \frac{1}{a} = b \rightarrow ab = 1 \, $ ....(i)
$ - \frac{b}{a} = a \rightarrow b = -a^2 \, $ .....(ii)
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align} ab & = 1 \\ a. -a^2 & = 1 \\ -a^3 & = 1 \\ a^3 & = -1 \\ a & = -1 \end{align} $
Pers(ii): $ b = -a^2 = -(-1)^2 = -1 $
*). Menentukan nilai $ (a+b)^2 $ :
$\begin{align} (a+b)^2 & = [(-1) + (-1)]^2 = (-2)^2 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ (a+b)^2 = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang Datar Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sebuah segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di B dengan $ AB = 6 $ dan $ BC = 8 $. Titik M, N berturut-turut berada pada sisi AC sehingga $ AM : MN : NC = 1 : 2 : 3 $. Titik P dan Q secara berurutan berada pada sisi AB dan BC sehingga AP tegak lurus PM dan BQ tegak lurus QN. Luas segilima PMNQB adalah ...
A). $ 21\frac{1}{3} \, $ B). $ 20\frac{1}{3} \, $ C). $ 19\frac{1}{3} \, $ D). $ 18\frac{1}{3} \, $ E). $ 17\frac{1}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga = $ \frac{1}{2} \times $ alas $ \times $ tinggi
*). Konsep kesebangunan :
-). Misalkan $\Delta PQR $ sebangun dengan $ \Delta MNO $, dan perbandingan salah satu sisi yang bersesuaian $ a : b $ , maka perbandingan luasnya yaitu : $ \text{Luas PQR} : \text{Luas MNO} = a^2 : b^2 $.
-). Dua segitiga dikatakan sebangun jika ketiga sudut yang bersesuaian besarnya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

Luas ABC $ = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 $
*). Dari gambar kita peroleh :
-) segitiga APM sebangun dengan segitiga ABC
-) segitiga CNQ sebangun dengan segitiga ABC
-). $ AM : AC = 1 : 6 $ dan $ NC : AC = 3 : 6 = 1 : 2 $
*). Menentukan luas segitiga APM :
$\begin{align} \frac{\text{Luas APM}}{\text{Luas ABC}} & = \frac{AM^2}{AC^2} \\ \frac{\text{Luas APM}}{24} & = \frac{1^2}{6^2} \\ \frac{\text{Luas APM}}{24} & = \frac{1}{36} \\ \text{Luas APM} & = \frac{1}{36} \times 24 = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga CNQ :
$\begin{align} \frac{\text{Luas CNQ}}{\text{Luas ABC}} & = \frac{NC^2}{AC^2} \\ \frac{\text{Luas CNQ}}{24} & = \frac{1^2}{2^2} \\ \frac{\text{Luas CNQ}}{24} & = \frac{1}{4} \\ \text{Luas CNQ} & = \frac{1}{4} \times 24 = 6 \end{align} $
*). Menentukan luas PMNQB :
$\begin{align} \text{Luas PMNQB } & = \text{L ABC } - (\text{L APM} + \text{L CNQ}) \\ & = 24 - ( \frac{2}{3} + 6) = 17\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, Luas PMNQB adalah $ 17\frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Penyusunan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan himpunan huruf {a,i,u,e,o,k,l,m,n,r,p,q}. Banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut sehingga tidak ada vokal yang berdampingan adalah ...
A). $ \frac{5!.7!}{2!} \, $ B). $ \frac{5!.7!}{3!} \, $ C). $ \frac{6!.8!}{3!} \, $
D). $ \frac{7!.8!}{3!} \, $ E). $ \frac{7!.8!}{2!} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Penyusunan :
-). Jika ada $ n $ benda disusun berbaris kesamping di $ n $ tempat, maka ada $ n! $ cara.
-). Banyak cara penyusunan yang memperhatikan urutan menggunakan permutasi. Banyak cara penyusunan $ r $ benda pada $ n $ tempat dengan $ r \leq n $ adalah $ P_r^n $ dengan perhitungan $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
-). Faktorial : $ n! = n.(n-1).(n-2)....3.2.1 $
Contoh : $ 3! = 3.2.1 = 6 $ dan $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui himpunan huruf {a,i,u,e,o,k,l,m,n,r,p,q}.
*). Agar tidak ada vokal yang berdampingan, berikut salah satu cara penyusunannya yaitu kita letakkan hurufnya pada kotak-kota yang tersedia seperti pada gambar berikut.
 

*). Cara penyusunannya :
-). Pertama kita letakkan huruf konsonan pada kotak berwarna abu-abu. Ada 7 huruf konsonan yang kita susun pada 7 tempat, sehingga banyak cara penyusunan huruf konsonannya yaitu $ 7!$
-). kedua kita susun atau letakkan huruf vokal pada kotak berwarna putih dimana pasti dijamin huruf vokal akan dipisahkan oleh huruf konsonan (vokal tidak berdampingan). Ada 5 huruf vokal yang akan kita letakkan pada 8 kotak (kotak warna putih), sehingga banyak cara penyusunan huruf vokal yaitu $ P_5^8 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} $
*). TOtal cara penyusunan yaitu :
$\begin{align} \text{total cara } & = 7! \times \frac{8!}{3!} = \frac{7! . 8!}{3!} \end{align} $
Jadi, toal caranya adalah $ \frac{7! . 8!}{3!} . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Singgung Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f $ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $ y = -x+1 $ di titik $ x = -1 $. Jika $ f^\prime (1) = 3 $ , maka $ f(4) = ... $
A). $ 11 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 14 \, $ D). $ 17 \, $ E). $ 22 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1, y_1) $ :
-). Gradiennya :
$ m = f^\prime (x_1) $
-). Jika garis singgungnya sudah diketahui misalkan $ y = px + q $, maka
$ p = f^\prime (x_1) $
-). Untuk melengkapkan titik singgungnya, substitusi saja $ x_1 $ ke garis singgung yang diketahui untuk menentukan $ y_1 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan fungsi kuadratnya $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
turunan pertamanya $ f^\prime (x) = 2ax + b $
garis singgungnya di $ x_1 = -1 $
persamaan garis singgungya $ y = -x + 1 \rightarrow m = -1 $
*). Menentukan titik singgungnya $ (x_1,y_1) $ :
$\begin{align} x_1 = -1 \rightarrow y & = -x + 1 \\ y_1 & = -(-1) + 1 = 2 \end{align} $
sehingga titik $ (x_1,y_1) = (-1,2) $.
*). Menyusun persamaan :
-). persamaan pertama dari $ f^\prime (1) = 3 $
$\begin{align} f^\prime (1) & = 3 \\ 2a.1 + b & = 3 \\ 2a + b & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua dari $ f^\prime (x_1) = m $
$\begin{align} f^\prime (x_1) & = m \\ f^\prime (-1) & = -1 \\ 2a . (-1) + b & = -1 \\ -2a + b & = -1 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
dengan eliminasi pers(i) dan (ii) kita peroleh $ a = 1 $ dan $ b = 1 $
sehingga $ f(x) = ax^2 + bx + c \rightarrow f(x) = x^2 + x + c $
*). Menentukan nilai $ c $ dengan substitusi titik $ (-1,2) $ :
$\begin{align} f(x) & = x^2 + x + c \\ y & = x^2 + x + c \\ 2 & = (-1)^2 + (-1) + c \\ 2 & = 1 - 1 + c \\ 2 & = c \end{align} $
Sehingga $ f(x) = x^2 + x + 2 $
*). Menentukan nilai $ f(4) $ :
$\begin{align} f(4) & = 4^2 + 4 + 2 = 22 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(4) = 22 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Daerah R persegi panjang yang memiliki titik sudut $ (-1,1) $ , $ (4,1) $ , $ (-1,-5) $ dan $ (4,-5) $. Suatu titik akan dipilih dari R. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $ y = \frac{3}{2}x - 5 $ adalah ...
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{2}{5} \, $ C). $ \frac{3}{5} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus peluang kejadian A disimbolkan $ P(A) $
$ \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel)
*). Pada soal ini peluang berkaitan dengan luas daerah karena banyaknya titik tak hingga.
Luas persegi panjang = panjang $ \times $ lebar
Luas trapesium = $ \frac{(a+b)}{2} \times t $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
garis $ y = \frac{3}{2}x - 5 \, $ melalui titik $ E(0, -5) $ dan $ C(4,1) $.
 

Keterangan :
$ n(S) = \, $ luas daerah persegi panjang ABCD
$ n(A) = \, $ luas daerah trapesium AECD
*). Menentukan $ n(A) $ dan $ n(S) $ :
$\begin{align} n(S) & = \text{Luas ABCD} \\ & = AB \times BC \\ & = 5 \times 6 = 30 \\ n(A) & = \text{Luas AECD} \\ & = \frac{AE+CD}{2} \times AD \\ & = \frac{1 + 5}{2} \times 6 \\ & = 3 \times 6 = 18 \end{align} $
*). Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, peluangannya adalah $ \frac{3}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ B = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & b \end{matrix} \right) $. Jika $ B^{-1} = B^T $ , maka $ b = ... $
A). $ \sin \theta \, $ B). $ -\sin \theta \, $ C). $ \cos \theta \, $
D). $ -\cos \theta \, $ E). $ \tan \theta $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Transpose matriks A :
$ A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
-). Perkalian matriks = baris kali kolom
-). Kesamaan dua matriks yaitu unsur seletak nilainya sama.
*). Sifat invers matriks : $ A . A^{-1} = I $
dengan $ I = \, $ matriks identitas.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ B = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & b \end{matrix} \right) $ dan $ B^{-1} = B^T $ :
*). Menentukan transpose matriks B :
$\begin{align} B^{T} & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & b \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menusun persamaan matriks , substitusi $ B^{-1} = B^T $ :
$\begin{align} B.B^{-1} & = I \\ B.B^T & = I \\ \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & b \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta - b \sin \theta \\ \sin \theta \cos \theta - b \sin \theta & \sin ^2 \theta + b^2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dari persamaan matriks di atas kita peroleh kesamaan :
$\begin{align} \sin \theta \cos \theta - b \sin \theta & = 0 \\ b \sin \theta & = \sin \theta \cos \theta \\ b & = \frac{\sin \theta \cos \theta }{ \sin \theta} \\ b & = \cos \theta \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \cos \theta . \, \heartsuit $

Cara 4 Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n \, $ suku pertama barisan aritmetika:
$ \, \, \, \, S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) $
Keterangan :
$ S_n = \, $ jumlah $ n $ suku pertama
$ u_1 = \, $ suku pertama
$ u_n = \, $ suku terakhirnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
(belum di edit)
*). Jumlah 9 bilangan pertama adalah 153 :
$\begin{align} S_9 & = 153 \\ \frac{9}{2} (u_1 + u_9) & = 153 \\ u_1 + u_9 & = 153 \times \frac{2}{9} \\ u_1 + u_9 & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Barisan awalnya :
$ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7, u_8, u_9 $
*). setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, barisannya yaitu :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $.
-). Pada barisan baru ini, suku pertamanya adalah $ u_1 $ dan suku terakhirnya adalah $ u_{9} $ juga. Sebenarnya suku terakhirnya adalah suku ke-17 dimana $ u_{17} = u_9 $
*). Total jumlah barisan barunya adalah jumlah 17 suku dengan $ u_{17} = u_9 $ dan $ u_1 + u_9 = 34 $ :
$\begin{align} \text{Total } & = S_{17} \\ & = \frac{17}{2} (u_1 + u_{17}) \\ & = \frac{17}{2} (u_1 + u_9) \\ & = \frac{17}{2} \times 34 \\ & = 17 \times 17 \\ & = 289 \end{align} $
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 289 . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n \, $ suku pertama barisan aritmetika yang diketahui suku tengah : $ s_n = n . u_t \, $ , dengan $ n \ $ menyatakan banyak suku dan $ u_t \, $ adalah suku tengah.
*). Suatu barisan memiliki suku tengah jika banyak suku ganjil.

$\clubsuit $ Pembahasan
(belum di edit)
*). Barisan awalnya :
$ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7, u_8, u_9 $
suku tengahnya adalah $ u_t = u_5 $.
*). Jumlah 9 bilangan pertama adalah 153 :
$\begin{align} S_n & = n . u_t \\ S_9 & = 9 . u_5 \\ 153 & = 9. u_5 \\ u_5 & = 17 \end{align} $
*). setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, barisannya yaitu :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $.
-). Sekarang ada 17 suku baru yang membentuk barisan aritmetika juga dengan suku tengahnya adalah $ u_t = u_5 $ juga yaitu $ u_t = u_5 = 17 $.
*). Total jumlah barisan barunya adalah jumlah 17 suku dengan $ u_t = 17 $ :
$\begin{align} S_n & = n \times U_t \\ S_{17} & = 17 \times 17 \\ & = 289 \end{align} $
*). Catatan : Cara ini hanya berlaku untuk banyak suku ganjil sesuai syarat suku tengah.
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 289 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n $ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ a = U_1 = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan barisan aritmetikanya :
$a-4b, a-3b, \, a-2b, \, a-b, \, a , \, a+b, \, a+2b, \, a+3b , \, a + 4b $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} \text{jumlah 9 sukunya } & = 153 \\ (a-4b) + (a-3b)+(a-2b)+(a-b)+a & \\ +(a+b)+(a+2b)+(a+3b) + (a+4b) & = 153 \\ 9a & = 153 \\ a & = \frac{153}{9} \\ a & = 17 \end{align} $
*). Catatan : nilai $ a $ akan langsung kita peroleh jika banyak suku ganjil seperti pada soal ini.
$\clubsuit \, $ Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku tersebut, diperoleh barisan baru :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $.
Diubah dalam bentuk $ a \, $ dan $ b \, $ :
$a-4b, \, \frac{2a-7b}{2} , a-3b, \, \frac{2a-5b}{2} , \, a-2b, \, \frac{2a-3b}{2} , \, a-b, \, \frac{2a-b}{2}, \, a , $
$ \frac{2a+b}{2} , \, a+b, \, \frac{2a+3b}{2} , \, a+2b, \, \frac{2a + 5b}{2} , \, a+3b , \, \frac{2a + 7b}{2} , \, a+4b $
$\clubsuit \, $ Menentukan jumlah barisan barunya
$\begin{align} \text{jumlah } & = (a-4b)+ \frac{2a-7b}{2} + (a-3b)+\frac{2a-5b}{2} \\ & +(a-2b) +\frac{2a-3b}{2} + (a-b)+\frac{2a-b}{2} + a \\ & +\frac{2a+b}{2} + (a+b) +\frac{2a+3b}{2} + (a+2b) \\ & +\frac{2a + 5b}{2}+(a+3b) + \frac{2a + 7b}{2} +( a+4b ) \\ & = 17a \\ & = 17 \times 17 \\ & = 289 \end{align} $
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 289 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n $ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama ($S_n$) :
$ \, \, \, \, \, S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
Keterangan :
$ a = U_1 = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlah 9 bilangan pertama adalah 153 :
$\begin{align} S_9 & = 153 \\ \frac{9}{2} (2a + (9-1)b) & = 153 \\ 2a + 8b & = 153 \times \frac{2}{9} \\ 2a + 8b & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Barisan awalnya :
$ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7, u_8, u_9 $
*). setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, barisannya yaitu :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $.
*). Perhatikan sisipannya :
-). ada 8 suku yang disisipkan yaitu :
$ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $.
suku pertamanya : $ \frac{u_1 + u_2}{2} = \frac{a + (a + b)}{2} = \frac{2a + b}{2} $
suku keduanya : $ \frac{u_2 + u_3}{2} = \frac{(a + b) + (a + 2b)}{2} = \frac{2a + 3b}{2} $
beda $ = \frac{2a + 3b}{2} - \frac{2a + b}{2} = b $
-). Jumlah semua 8 suku sisipannya yaitu :
$\begin{align} S_8 & = \frac{8}{2} ( 2 . \frac{2a + b}{2} + (8-1) b ) \\ & = 4 ( 2a + b + 7b ) \\ & = 4 ( 2a + 8b ) \\ & = 4 \times 34 = 136 \end{align} $
*). Total jumlah barisan barunya adalah jumlah 9 suku awal dan 8 suku sisipannya :
$\begin{align} \text{Total } & = S_9 + S_8 \\ & = 153 + 136 \\ & = 289 \end{align} $
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 289 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ adalah ...
A). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
B). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \} \, $
C). $ \{ x \in R : -2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
D). $ \{ x \in R : x \leq \frac{13}{6} \} \, $
E). $ \{ x \in R : 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \\ \sqrt{0^2 - 4} & \leq 3 - 0 \\ \sqrt{ - 4} & \leq 3 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=0$ SALAH karena dalam akar harus positif , opsi yang benar A, B, dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \\ \sqrt{3^2 - 4} & \leq 3 - 3 \\ \sqrt{ 5} & \leq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=3$ SALAH , opsi yang benar A dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-2 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \\ \sqrt{(-2)^2 - 4} & \leq 3 - (-2) \\ \sqrt{ 0 } & \leq 5 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=-2$ BENAR , opsi yang benar A.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi A (yang tersisia).
Jadi, solusinya $ \{ x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ adalah ...
A). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
B). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \} \, $
C). $ \{ x \in R : -2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
D). $ \{ x \in R : x \leq \frac{13}{6} \} \, $
E). $ \{ x \in R : 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
5). Cari syarat jika ada, lalu iriskan semua himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat pertidaksamaan bentuk akar $ \sqrt{f(x)} \leq g(x) $ yaitu :
$ f(x) \geq 0 \, $ dan $ g(x) \geq 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ :
*). Syarat-syarat pertidaksamaannya :
-). Syarat pertama : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$\begin{align} x^2 - 4 \geq 0 \\ (x +2)(x-2) \geq 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
 

$ HP_1 = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
-). Syarat kedua : $ 3 - x \geq 0 $
$\begin{align} 3 - x & \geq 0 \\ -x & \geq -3 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -3, dibalik)} \\ x & \leq 3 \end{align} $
$ HP_2 = \{ x \leq 3 \} $
*). Menyelesaikan bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( \sqrt{x^2 - 4} )^2 & \leq ( 3 - x )^2 \\ x^2 - 4 & \leq x^2 - 6x + 9 \\ 6x & \leq 13 \\ x & \leq \frac{13}{6} \end{align} $
$ HP_3 = \{ x \leq \frac{13}{6} \} $
*). Solusi total yaitu irisan semuanya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 \\ & = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} \cap \{ x \leq 3 \} \cap \{ x \leq \frac{13}{6} \} \\ & = \{ x \leq -2 \vee 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \end{align} $
Jadi, solusinya $ \{ x \leq -2 \vee 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sistem $ ax+8y=1 $ , $ 3x+(a+10)y=6 $. Agar sistem tersebut memiliki tepat satu solusi, maka $ a = ... $
A). $ \{ a \in R : a \neq 12 \text{ dan } a \neq 2 \} \, $
B). $ \{ a \in R : a \neq 6 \text{ dan } a \neq 4 \} \, $
C). $ \{ a \in R : a \neq 12 \text{ dan } a \neq -2 \} \, $
D). $ \{ a \in R : a \neq -12 \text{ dan } a \neq 2 \} \, $
E). $ \{ a \in R : a \neq 6 \text{ dan } a \neq -4 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian sistem persamaan :
Sistem persamaan $ ax + by = c $ dan $ px + qy = r $ memiliki penyelesaian tepat satu solusi jika $ \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). sistem persamaan $ ax+8y=1 $ dan $ 3x+(a+10)y=6 $ memiliki tepat satu penyelesaian jika memenuhi :
$\begin{align} \frac{a}{3} & \neq \frac{8}{a + 10} \\ a(a+10) & \neq 3 . 8 \\ a^2 + 10a - 24 & \neq 0 \\ (a + 12)(a - 2) & \neq 0 \\ a \neq -12 \vee a & \neq 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a \neq -12 \text{ dan } a \neq 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan kuadrat $ x^2 + (a+6)x + 9a-1 = 0 $ mempunyai 2 akar real berbeda $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ a < 0 $. Jika $ x_1^2 + x_1x_2+x_2^2 = -12a + 1 $ , maka $ a^2 + a = ... $
A). $ 4 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 64 \, $ D). $ 96 \, $ E). $ 156 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
-). Syarat memiliki 2 akar real berbeda yaitu $ D > 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + (a+6)x + 9a-1 = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(a+6)}{1} = -(a + 6) $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9a-1}{1} = 9a -1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan operasi akar-akar :
$\begin{align} x_1^2 + x_1x_2+x_2^2 & = -12a + 1 \\ (x_1^2 +x_2^2) + x_1x_2 & = -12a + 1 \\ ((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2) + x_1x_2 & = -12a + 1 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + x_1x_2 & = -12a + 1 \\ (x_1+x_2)^2 - x_1x_2 & = -12a + 1 \\ [-(a+6)]^2 - (9a - 1) & = -12a + 1 \\ a^2 + 12a + 36 - 9a + 1 & = -12a + 1 \\ a^2 + 15a + 36 & = 0 \\ (a+3)(a+12) & = 0 \\ a = -3 \vee a & = -12 \end{align} $
*). Kita cek mana nilai $ a $ yang memenuhi $ D > 0 $ dengan $ D = (a+6)^2 - 4(9a-1) $ :
$\begin{align} a = -3 \rightarrow D & = (-3+6)^2 - 4(9.(-3)-1) \\ D & = 9 + 112 = 121 > 0 \\ a = -12 \rightarrow D & = (-12+6)^2 - 4(9.(-12)-1) \\ D & = 36 + 436 = 472 > 0 \end{align} $
Artinya kedua nilai $ a $ memenuhi.
*).Menentukan nilai $ a^2 + a $ :
$\begin{align} a = -3 \rightarrow a^2 + a & = (-3)^2 + (-3) \\ & = 9 -3 = 6 \\ a = -12 \rightarrow a^2 + a & = (-12)^2 + (-12) \\ & = 144 - 12 = 132 \end{align} $
Yang ada di option adalah $ a^2 + a = 6 $.
Jadi, nilai $ a^2 + a = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 2 \log \left(a^\frac{3}{2}b^\frac{7}{2}c^\frac{11}{2} \right) - 2\log (bc) = 3\log (b^{x+y}a) - 3\log c^{x-y} $ , maka $ \frac{x}{y} = ... $
A). $ -\frac{2}{3} \, $ B). $ -\frac{2}{5} \, $ C). $ -\frac{2}{7} \, $ D). $ -\frac{2}{9} \, $ E). $ -\frac{2}{11} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat - sifat logaritma :
$ n . {}^a \log b = {}^a \log b^n $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
*). Sifat eksponen :
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} $
$ (a.b)^n = a^n . b^n $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n } $
*). Persamaan logaritma dan eksponen :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
$ a^x . b^y . c^z = a^m.b^n.c^r \rightarrow x = m, \, y = n , \, $ dan $ z = r $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menyelesaikan soal :
$\begin{align} 2 \log \left(a^\frac{3}{2}b^\frac{7}{2}c^\frac{11}{2} \right) - 2\log (bc) & = 3\log (b^{x+y}a) - 3\log c^{x-y} \\ \log \left(a^\frac{3}{2}b^\frac{7}{2}c^\frac{11}{2} \right)^2 - \log (bc)^2 & = \log (b^{x+y}a)^3 - \log (c^{x-y})^3 \\ \log \left(a^3b^7c^{11} \right) - \log (b^2c^2) & = \log (b^{3x+3y}a^3) - \log c^{3x-3y} \\ \log \left( \frac{a^3b^7c^{11} }{b^2c^2} \right) & = \log \left( \frac{b^{3x+3y}a^3}{c^{3x-3y}} \right) \\ \frac{a^3b^7c^{11} }{b^2c^2} & = \frac{b^{3x+3y}a^3}{c^{3x-3y}} \\ a^3b^5c^9 & = b^{3x+3y}a^3 c^{-(3x-3y)} \\ a^3b^5c^9 & = b^{3x+3y}a^3 c^{- 3x + 3y } \\ a^3b^5c^9 & = a^3 b^{3x+3y} c^{- 3x + 3y } \end{align} $
Dari bentuk terakhir kita peroleh kesamaan :
$ 3x + 3y = 5 \, $ .....(i)
$ -3x + 3y = 9 \, $ .....(ii)
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} 3x + 3y = 5 & \\ -3x + 3y = 9 & + \\ \hline 6y = 14 & \\ y = \frac{7}{3} & \end{array} $
*). Menentukan nilai $ x $ dari Pers(i):
$ 3x + 3y = 5 \rightarrow 3x + 3. \frac{7}{3} = 5 $
$ \rightarrow 3x = -2 \rightarrow x = \frac{-2}{3} $
*).Menentukan nilai $ \frac{x}{y} $ :
$\begin{align} \frac{x}{y} & = \frac{ \frac{-2}{3} }{\frac{7}{3}} = -\frac{2}{7} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{x}{y} = -\frac{2}{7} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan eksponen Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $ \sqrt[3]{x} = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} $ adalah ...
A). $ -8 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen :
$ \sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a.b} $
$ \sqrt[n]{x} = y \rightarrow x = y^n $
*). Misalkan ada persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ p_1 $ dan $ p_2 $
-). Operasi perkalian akar-akarnya :
$ p_1 . p_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bagaimana jika persamaan yang terbentuk tidak bisa difaktorkan seperti cara pertama? Nah, sebagai alternatif penyelesain kita menggunakan cara 2 ini baik bisa difaktorkan atau tidak.
*).Misalkan $ \sqrt[3]{x} = p $
artinya $ p_1 = \sqrt[3]{x_1} \, $ dan $ p_2 = \sqrt[3]{x_2} $
*).Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sqrt[3]{x} & = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} \\ p & = \frac{2}{1 + p} \\ p(1+p) & = 2 \\ p^2 + p - 2 & = 0 \\ p_1 . p_2 & = \frac{c}{a} \\ \sqrt[3]{x_1} . \sqrt[3]{x_2} & = \frac{-2}{1} \\ \sqrt[3]{x_1.x_2} & = -2 \\ x_1.x_2 & = (-2)^3 \\ x_1.x_2 & = -8 \end{align} $
Jadi, hasil perkaliannya adalah $ -8 . \, \heartsuit $

Pembahasan eksponen Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $ \sqrt[3]{x} = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} $ adalah ...
A). $ -8 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen :
$ \sqrt[n]{x} = y \rightarrow x = y^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Misalkan $ \sqrt[3]{x} = p $
*).Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sqrt[3]{x} & = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} \\ p & = \frac{2}{1 + p} \\ p(1+p) & = 2 \\ p^2 + p - 2 & = 0 \\ (p+2)(p-1) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = 1 \end{align} $
*).Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} p = -2 \rightarrow \sqrt[3]{x} & = -2 \\ x & = (-2)^3 \\ x_1 & = -8 \\ p = 1 \rightarrow \sqrt[3]{x} & = 1 \\ x & = 1^3 \\ x_2 & = 1 \end{align} $
*). Menentukan hasil perkaliannya :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = -8 . 1 = -8 \end{align} $
Jadi, hasil perkaliannya adalah $ -8 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Dasar Kode 632


Nomor 1
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $ \sqrt[3]{x} = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} $ adalah ...
A). $ -8 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $
Nomor 2
Jika $ 2 \log \left(a^\frac{3}{2}b^\frac{7}{2}c^\frac{11}{2} \right) - 2\log (bc) = 3\log (b^{x+y}a) - 3\log c^{x-y} $ , maka $ \frac{x}{y} = ... $
A). $ -\frac{2}{3} \, $ B). $ -\frac{2}{5} \, $ C). $ -\frac{2}{7} \, $ D). $ -\frac{2}{9} \, $ E). $ -\frac{2}{11} \, $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ x^2 + (a+6)x + 9a-1 = 0 $ mempunyai 2 akar real berbeda $ x_1 $ , $ x_2 $ dengan $ a < 0 $. Jika $ x_1^2 + x_1x_2+x_2^2 = -12a + 1 $ , maka $ a^2 + a = ... $
A). $ 4 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 64 \, $ D). $ 96 \, $ E). $ 156 $
Nomor 4
Diberikan sistem $ ax+8y=1 $ , $ 3x+(a+10)y=6 $. Agar sistem tersebut memiliki tepat satu solusi, maka $ a = ... $
A). $ \{ a \in R : a \neq 12 \text{ dan } a \neq 2 \} \, $
B). $ \{ a \in R : a \neq 6 \text{ dan } a \neq 4 \} \, $
C). $ \{ a \in R : a \neq 12 \text{ dan } a \neq -2 \} \, $
D). $ \{ a \in R : a \neq -12 \text{ dan } a \neq 2 \} \, $
E). $ \{ a \in R : a \neq 6 \text{ dan } a \neq -4 \} \, $
Nomor 5
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ adalah ...
A). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
B). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \} \, $
C). $ \{ x \in R : -2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
D). $ \{ x \in R : x \leq \frac{13}{6} \} \, $
E). $ \{ x \in R : 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $

Nomor 6
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $
Nomor 7
Diberikan $ B = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & b \end{matrix} \right) $. Jika $ B^{-1} = B^T $ , maka $ b = ... $
A). $ \sin \theta \, $ B). $ -\sin \theta \, $ C). $ \cos \theta \, $
D). $ -\cos \theta \, $ E). $ \tan \theta $
Nomor 8
Daerah R persegi panjang yang memiliki titik sudut $ (-1,1) $ , $ (4,1) $ , $ (-1,-5) $ dan $ (4,-5) $. Suatu titik akan dipilih dari R. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $ y = \frac{3}{2}x - 5 $ adalah ...
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{2}{5} \, $ C). $ \frac{3}{5} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{3}{4} $
Nomor 9
Diketahui $ f $ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $ y = -x+1 $ di titik $ x = -1 $. Jika $ f^\prime (1) = 3 $ , maka $ f(4) = ... $
A). $ 11 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 14 \, $ D). $ 17 \, $ E). $ 22 $
Nomor 10
Diberikan himpunan huruf {a,i,u,e,o,k,l,m,n,r,p,q}. Banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut sehingga tidak ada vokal yang berdampingan adalah ...
A). $ \frac{5!.7!}{2!} \, $ B). $ \frac{5!.7!}{3!} \, $ C). $ \frac{6!.8!}{3!} \, $
D). $ \frac{7!.8!}{3!} \, $ E). $ \frac{7!.8!}{2!} $

Nomor 11
Diberikan sebuah segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di B dengan $ AB = 6 $ dan $ BC = 8 $. Titik M, N berturut-turut berada pada sisi AC sehingga $ AM : MN : NC = 1 : 2 : 3 $. Titik P dan Q secara berurutan berada pada sisi AB dan BC sehingga AP tegak lurus PM dan BQ tegak lurus QN. Luas segilima PMNQB adalah ...
A). $ 21\frac{1}{3} \, $ B). $ 20\frac{1}{3} \, $ C). $ 19\frac{1}{3} \, $ D). $ 18\frac{1}{3} \, $ E). $ 17\frac{1}{3} $
Nomor 12
Jika $ f(x) = ax + b $ dan $ f^{-1} (x) = bx + a $ dengan $ a, b \in R $, maka $ (a+b)^2 = ... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 9 $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Diketahui fungsi $ f(x) $ adalah fungsi linear dan $ g(x) = \frac{2x+1}{x} + 1 $ . Jika $ (g \circ f)(x) = 3 + \frac{1}{2x+1} $ , pernyataan yang benar adalah ...
(1). $ a - b = 1 $
(2). $ a - b = 2 $
(3). $ a + b = 3 $
(4). $ a + b = 4 $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} $ , maka ...
(1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada
(2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $
(3). fungsi naik untuk $ x > 0 $
(4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Rata-rata tiga bilangan adalah 10 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan 8 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut adalah 14, maka ...
(1). jangkauannya adalah 18
(2). variansinya adalah 84
(3). jumlahnya adalah 36
(4). simpangan rata-ratanya adalah $ \frac{20}{3} $


Pembahasan Lingkaran SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk B :
Keliling lingkaran yang berjari-jari 10 cm adalah 62,8 cm
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $ SEBAB
Nilai phi adalah hasil bagi keliling dengan diameter

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus keliling lingkaran :
Keliling lingkaran = $ 2\pi r $ atau K $ = \pi d $
Keterangan :
$ r = \, $ jari-jari
$ d = 2r = \, $ diameter
$ \pi = \frac{22}{7} $ atau $ \pi = 3,14 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Analisa kedua pernyataan :
-). Pernyataan pertama :
"Keliling lingkaran yang berjari-jari 10 cm adalah 62,8 cm" bernilai BENAR.
K $ = 2\pi r = 2 \times 3,14 \times 10 = 62,8 \, $ cm
-). Pernyataan kedua :
"Nilai phi adalah hasil bagi keliling dengan diameter" bernilai BENAR.
$ K = \pi d \rightarrow \pi = \frac{K}{d} $
-). Kedua pernyataan memiliki hubungan SEBAB-AKIBAT.
Sehingga pernyataannya bernilai BENAR-BENAR dan berhubungan, jawabannya A.
Jadi, pernyataan bernilai BENAR-BENAR berhubungan $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Bangun Datar SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk B :
Luas daerah belah ketupat ABCD adalah setengah dari hasil kali diagonal-diagonalnya
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $ SEBAB
Bangun datar belah ketupat diagonal-diagonalnya saling tegak lurus dan membagi dua sama panjang

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus luas belah ketupat :
Luas belah ketupat = $ \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 $
Keterangan :
$ d_1 = \, $ diagonal pertama
$ d_2 = \, $ diagonal kedua
*). Belah ketupat memiliki diagonal-diagonalnya saling tegak lurus dan membagi dua sama panjang

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Analisa kedua pernyataan :
-). Pernyataan pertama :
"Luas daerah belah ketupat ABCD adalah setengah dari hasil kali diagonal-diagonalnya" bernilai BENAR.
-). Pernyataan kedua :
"Bangun datar belah ketupat diagonal-diagonalnya saling tegak lurus dan membagi dua sama panjang " bernilai BENAR.
-). Kedua pernyataan memiliki hubungan SEBAB-AKIBAT.
Sehingga pernyataannya bernilai BENAR-BENAR dan berhubungan, jawabannya A.
Jadi, pernyataan bernilai BENAR-BENAR berhubungan $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk B :
Pernyataan setiap $ x $ bilangan Cacah, $ x + 3 \geq 3 $ bernilai benar
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $ SEBAB
Setiap $ x $ bilangan Cacah, $ x + 3 $ bilangan ganjil

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Himpunan bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, ...}

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Analisa kedua pernyataan :
-). Pernyataan pertama :
"Pernyataan setiap $ x $ bilangan Cacah, $ x + 3 \geq 3 $ bernilai benar" adalah TEPAT (BENAR).
Kita cek beberapa bilangan cacah :
$ \begin{align} x + 3 & \geq 3 \\ x = 0 \rightarrow 0 + 3 & \geq 3 \, \, \text{(BENAR)} \\ x = 1 \rightarrow 1 + 3 & \geq 3 \, \, \text{(BENAR)} \\ x = 2 \rightarrow 2 + 3 & \geq 3 \, \, \text{(BENAR)} \\ x = 3 \rightarrow 3 + 3 & \geq 3 \, \, \text{(BENAR)} \\ ......& \end{align} $
-). Pernyataan kedua :
"Setiap $ x $ bilangan Cacah, $ x + 3 $ bilangan ganjil " bernilai SALAH.
Contohnya kita ambil $ x = 1 \rightarrow x + 3 = 1 + 3 = 4 \, $ adalah bilangan genap.
Sehingga pernyataannya bernilai BENAR-SALAH, jawabannya D.
Jadi, pernyataan bernilai BENAR-SALAH $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Modus SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk B :
Nilai Modus dari data 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, adalah $ 5,5 $
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $ SEBAB
5 dan 6 adalah data dengan frekuensi terbanyak.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Modus adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Analisa kedua pernyataan :
-). Pernyataan pertama :
"Nilai Modus dari data 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, adalah $ 5,5 $" bernilai SALAH karena modusnya adalah 5 dan 6.
-). Pernyataan kedua :
"5 dan 6 adalah data dengan frekuensi terbanyak." bernilai BENAR.
Sehingga pernyataannya bernilai SALAH-BENAR, jawabannya C.
Jadi, pernyataan bernilai SALAH-BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Aljabar SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Perhatikan gambar 3 timbangan yang homogen berikut!

Timbangan 1 dan 2 berisi bola, silinder, dan kubus dengan keseimbangan sempurna. Banyak bola, silinder, atau kubus yang dibutuhkan agar timbangan 3 seimbang adalah ...
1). 6 silinder
2). 5 silinder
3). 1 bola dan 2 silinder
4). 1 bola dan 2 kubus

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada kasus timbangan akan terjadi kesetaraan yang membentuk persamaan-persamaan yang bisa kita ubah menjadi model matematika (model aljabar).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalannya :
$ x \, $ mewakili satu bola
$ y \, $ mewakili satu silinder
$ z \, $ mewakili satu kubus
*). Penyusunan persamaan yang terbentuk berdasarkan timbangan :
-). Timbangan pertama : $ y = 3x \, $ .....(i)
-). Timbangan kedua : $ z = 2y + x $ .....(ii)
-). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ z = 2y + x \rightarrow z = 2.3x + x = 6x + x = 7x $
*). Pada timbangan ketiga : $ 2z + x = .... ? $
-). Kasus pertama : $ 2z + x = 2z + x $
artinya sama juga dengan 1 bola dan 2 kubus.
Pernyataan (4) BENAR.
-). Kasus kedua, gunakan pers(ii) dan pers(i) :
$ \begin{align} 2z + x & = 2(2y + x) + x \\ & = 4y + 2x + x \\ & = 4y + 3x \\ & = 4y + y \\ & = 5y \end{align} $
artinya sama juga dengan 5 silinder.
Pernyataan (2) BENAR.
Sehingga yang BENAR pernyataan (2) dan (4), jawabannya C.
Jadi, yang BENAR pernyataan (2) dan (4) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Suatu kios fotokopi mempunyai dua jenis mesin masing-masing memiliki kemampuan cetak 4 rim/jam dan 2 rim/jam. Jika pada suatu hari jumlah kerja kedua mesin tersebut 10 jam dan menghasilkan 34 rim, mesin dengan kemampuan ...
1). 4 rim/jam bekerja selama 3 jam
2). 2 rim/jam bekerja selama 5 jam
3). 2 rim/jam bekerja selama 7 jam
4). 4 rim/jam bekerja selama 7 jam

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan metode gabungan yaitu eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalannya :
$ x = \, $ lama kerja mesin pertama
$ y = \, $ lama kerja mesin kedua
*). Menyusun sistem persamaannya :
-). Persamaan pertama : kedua mesin berkerja 10 jam
$ x + y = 10 \, $ .....(i)
-). Persamaan kedua : Keduanya menghasilkan 34 rim
$ 4x + 2y = 34 \rightarrow 2x + y = 17 \, $ ......(ii)
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} 2x + y = 17 & \\ x + y = 10 & - \\ \hline x = 7 & \end{array} $
Pers(i): $ x + y = 10 \rightarrow 7 + y = 10 \rightarrow y = 3 $.
Kita peroleh $ x = 7 $ dan $ y = 3 $.
Artinya mesin 4 rim bekerja 7 jam dan mesin 2 rim bekerja 3 jam.
Sehingga pernyataan (4) yang BENAR, jawabannya D.
Jadi, nilai $ x = 7 $ dan $ y = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 4 - x^2 $ , $ y = 3x $ , sumbu Y, dan $ x = 2 $ adalah .... satuan luas.
1). $ 3 $
2). $ 4 $
3). $ 6 $
4). $ 5 $