Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \sqrt{\left(\frac{1}{8}\right)^{x+1}} = 2^{(y-3)} $, maka nilai maksimum dari
$ 3xy + 6x -3 $ adalah ......
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{15}{8} \, $ C). $ \frac{21}{6} \, $ D). $ \frac{25}{8} \, $ E). $ 5 $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{15}{8} \, $ C). $ \frac{21}{6} \, $ D). $ \frac{25}{8} \, $ E). $ 5 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai maksimum fungsi $ y = f(x) $ dicapai untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ .
*). Sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ , $ (a^m)^n = a^{mn} $ , dan $ \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $ .
*). Nilai maksimum fungsi $ y = f(x) $ dicapai untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ .
*). Sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ , $ (a^m)^n = a^{mn} $ , dan $ \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $ .
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ :
$ \begin{align} \sqrt{\left(\frac{1}{8}\right)^{x+1}} & = 2^{(y-3)} \\ \left(\frac{1}{2^3}\right)^\frac{x+1}{2} & = 2^{(y-3)} \\ \left(2^{-3}\right)^\frac{x+1}{2} & = 2^{(y-3)} \\ 2^\frac{-3x-3}{2} & = 2^{(y-3)} \\ \frac{-3x-3}{2} & = (y-3) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ -3x-3 & = 2y - 6 \\ y & = \left( \frac{3-3x}{2} \right) \end{align} $
*). Substitusi $ y = \left( \frac{3-3x}{2} \right) $ ke fungsi $ 3xy + 6x -3 $
$ \begin{align} 3xy + 6x -3 & = 3x.\left( \frac{3-3x}{2} \right) + 6x -3 \\ f(x) & = \frac{9x-9x^2}{2} + 6x -3 \\ f(x) & = -\frac{9}{2}x^2 + \frac{21}{2}x - 3 \\ f^\prime (x) & = -9x + \frac{21}{2} \end{align} $
*). Menntukan nilai $ x $ dengan $ f^\prime (x) = 0 $ :
$ \begin{align} -9x + \frac{21}{2} & = 0 \\ x & = \frac{7}{6} \end{align} $
*). Menentukan nilai maksimum saat $ x = \frac{7}{6} $ .
$ \begin{align} f_{maks} & = f \left( \frac{7}{6} \right) \\ & = -\frac{9}{2}.\left( \frac{7}{6} \right)^2 + \frac{21}{2}. \left( \frac{7}{6} \right) - 3 \\ & = \frac{25}{8} \end{align} $
Jadi, nilai maksimum dari $ 3xy + 6x -3 $ adalah $ \frac{25}{8} . \, \heartsuit $
Catatan :
*). Karena bentuk $ f(x) = -\frac{9}{2}x^2 + \frac{21}{2}x - 3 $ adalah berupa fungsi kuadrat, maka nilai maksimumnya bisa menggunakan :
$ f_{maks} = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} $ .
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ :
$ \begin{align} \sqrt{\left(\frac{1}{8}\right)^{x+1}} & = 2^{(y-3)} \\ \left(\frac{1}{2^3}\right)^\frac{x+1}{2} & = 2^{(y-3)} \\ \left(2^{-3}\right)^\frac{x+1}{2} & = 2^{(y-3)} \\ 2^\frac{-3x-3}{2} & = 2^{(y-3)} \\ \frac{-3x-3}{2} & = (y-3) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ -3x-3 & = 2y - 6 \\ y & = \left( \frac{3-3x}{2} \right) \end{align} $
*). Substitusi $ y = \left( \frac{3-3x}{2} \right) $ ke fungsi $ 3xy + 6x -3 $
$ \begin{align} 3xy + 6x -3 & = 3x.\left( \frac{3-3x}{2} \right) + 6x -3 \\ f(x) & = \frac{9x-9x^2}{2} + 6x -3 \\ f(x) & = -\frac{9}{2}x^2 + \frac{21}{2}x - 3 \\ f^\prime (x) & = -9x + \frac{21}{2} \end{align} $
*). Menntukan nilai $ x $ dengan $ f^\prime (x) = 0 $ :
$ \begin{align} -9x + \frac{21}{2} & = 0 \\ x & = \frac{7}{6} \end{align} $
*). Menentukan nilai maksimum saat $ x = \frac{7}{6} $ .
$ \begin{align} f_{maks} & = f \left( \frac{7}{6} \right) \\ & = -\frac{9}{2}.\left( \frac{7}{6} \right)^2 + \frac{21}{2}. \left( \frac{7}{6} \right) - 3 \\ & = \frac{25}{8} \end{align} $
Jadi, nilai maksimum dari $ 3xy + 6x -3 $ adalah $ \frac{25}{8} . \, \heartsuit $
Catatan :
*). Karena bentuk $ f(x) = -\frac{9}{2}x^2 + \frac{21}{2}x - 3 $ adalah berupa fungsi kuadrat, maka nilai maksimumnya bisa menggunakan :
$ f_{maks} = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} $ .