Pembahasan Logaritma SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 527

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi $ \left( {}^{3} \log (x+1) \right)^2 = 4 $ , maka nilai $ x_1 x_2 $ adalah ...
A). $ 8 \, $ B). $ \frac{64}{9} \, $ C). $ -\frac{8}{9} \, $ D). $ -\frac{64}{9} \, $ E). $ -\frac{80}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat eksponen : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaannya :
$\begin{align} \left( {}^{3} \log (x+1) \right)^2 & = 4 \\ {}^{3} \log (x+1) & = \pm \sqrt{4} \\ {}^{3} \log (x+1) & = \pm 2 \\ {}^{3} \log (x+1) = 2 & \vee {}^{3} \log (x+1) = -2 \\ (x+1) = 3^2 & \vee (x+1) = 3^{-2} \\ (x+1) = 9 & \vee (x+1) = \frac{1}{9} \\ x = 9 - 1 & \vee x = \frac{1}{9} - 1 \\ x = 8 & \vee x = - \frac{8}{9} \\ x_1 = 8 & \vee x_2 = - \frac{8}{9} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x_1 x_2 $ :
$\begin{align} x_1+ x_2 & = 8 \times - \frac{8}{9} = -\frac{64}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1 x_2 = -\frac{64}{9} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika Dasar Kode 527


Nomor 1
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi $ \left( {}^{3} \log (x+1) \right)^2 = 4 $ , maka nilai $ x_1 x_2 $ adalah ...
A). $ 8 \, $ B). $ \frac{64}{9} \, $ C). $ -\frac{8}{9} \, $ D). $ -\frac{64}{9} \, $ E). $ -\frac{80}{9} $
Nomor 2
Jika $ A = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ b & 2 \end{matrix} \right) $ , $ B = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $ , dan $ AB = \left( \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \end{matrix} \right) $ , maka nilai $ ab $ adalah ...
A). $ 9 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD dengan $ AB = \sqrt{15} $ cm dan $ AD = \sqrt{5} $ cm. Jika E merupakan titik potong diagonal persegi panjang tersebut, maka besar $ \angle BEC $ adalah ...
A). $ 30^\circ \, $ B). $ 45^\circ \, $ C). $ 60^\circ \, $ D). $ 75^\circ \, $ E). $ 90^\circ $
Nomor 4
Sebelas siswa mengikuti suatu tes. Guru mengumumkan bahwa jangkauan data nilai siswa tersebut adalah 15. Jika diumumkan tiga siswa memperoleh nilai 100, satu siswa memperoleh nilai 96, tiga siswa memperoleh nilai 90, serta dia siswa memperoleh nilai 86, maka nilai dua siswa yang belum diumumkan tersebut yang paling mungkin adalah ...
A). 99 dan 85
B). 99 dan 88
C). 95 dan 91
D). 89 dan 87
E). 85 dan 84
Nomor 5
Himpunan penyelesaian $ x - \sqrt{6-x} \geq 0 $ adalah ...
A). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq -3 \text{ atau } 2 \leq x \leq 6 \} \, $
C). $ \{ x | 0 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} \, $
E). $ \{ x | x \leq 6 \} \, $

Nomor 6
Jika A merupakan himpunan semua nilai $ c $ sehingga sistem persamaan linier $ x - y = 1 $ dan $ cx + y = 1 $ memiliki penyelesaian di kuadran I, maka A = ...
A). $ \{ c | c = -1 \} \, $ B). $ \{ c | c < -1 \} \, $
C). $ \{ c | -1 < c < 1 \} \, $ D). $ \{ c | c = 1 \} \, $
E). $ \{ c | c > 1 \} \, $
Nomor 7
Diketahui $ A = \{9, 7, 6, 5, 4, 3, 2,1 \} $ . Lima anggota A diambil secara acak. Peluang terambilnya lima anggota tersebut berjumlah genap adalah ....
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ \frac{25}{56} \, $ C). $ \frac{5}{12} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{5}{56} $
Nomor 8
Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $ \frac{1}{2} $ dan suatu barisan aritmetika yang terdiri atas tiga suku dengan beda $ b $. Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai 1. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $ b $ adalah ...
A). $ \frac{1}{15} \, $ B). $ \frac{2}{15} \, $ C). $ \frac{1}{5} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{8}{15} $
Nomor 9
Jika puncak grafik fungsi $ y = px^2 - qx -1 $ sama dengan puncak grafik fungsi $ y = x^2 - 2x + 4 $, maka nilai $ p + q $ adalah ...
A). $ -12 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 12 $
Nomor 10
Diketahui $ p > 0 $, serta $ p $ dan $ p^2 - 2 $ merupakan akar $ x^2 - 10x + c = 0 $. Jika $ c $ merupakan salah satu akar $ x^2 + ax + 42 = 0 $ , maka nilai $ a $ adalah ...
A). $ -23 \, $ B). $ -21 \, $ C). $ -12 \, $ D). $ 21 \, $ E). $ 23 $

Nomor 11
Jika $ f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} $ dan $ g(x) = \frac{1}{x-2} $ , maka himpunan penyelesaian $ \frac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} < 0 $ adalah ...
A). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } x > 3 \} \, $
B). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } 2 < x < 3 \} \, $
C). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } 1 < x < 2 \} \, $
D). $ \{ x | 1 < x < 2 \text{ atau } x > 3 \} \, $
E). $ \{ x | 2 < x < 3 \text{ atau } x > 3 \} \, $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers. Jika $ f(g(x)) = x + 1 $ dan $ g(x+2) = x - 4 $ , maka $ f^{-1}(2) + g^{-1}(2) = ... $
A). $ -5 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 $
Nomor 13
$ \int \left( \frac{-16-6x^4}{x^2} \right) dx = .... $
A). $ \frac{16}{x} + 2x^3 + C \, $
B). $ \frac{16}{x} - 2x^3 + C \, $
C). $ -\frac{16}{x} - x^3 + C \, $
D). $ -\frac{8}{x} + 2x^3 + C \, $
E). $ \frac{8}{x} - 2x^3 + C $
Nomor 14
Diketahui $ f(x)= ax^2 -4x + 1 $ dan $ g(x) = 3x^2 + ax + 2 $. Jika $ h(x) = f(x) + g(x) $ dan $ k(x) = f(x)g(x) $ dengan $ h^\prime (0) = -3 $ , maka nilai $ k^\prime (0) $ adalah ...
A). $ -7 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 0 \, $ E). $ 2 $
Nomor 15
Diketahui $ O(0,0) $ , $ A(2,0) $ , $ B(2,y) $ , $ C(0,y) $ , dan $ D(0,\frac{1}{2}y) $. Nilai $ \displaystyle \lim_{y \to 2 } \frac{\text{keliling } \Delta BCD}{\text{keliling } \square OABD} $ adalah ...
A). $ \frac{5+2\sqrt{5}}{5} \, $ B). $ \frac{5+\sqrt{5}}{10} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{5} \, $
D). $ \frac{5-2\sqrt{5}}{5} \, $ E). $ \frac{5 - \sqrt{5}}{10} $

Pembahasan Limit SBMPTN 2018 Matematika Dasar kode 526

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ O(0,0) $ , $ A(1,0) $ , $ B(2,0) $ , $ C(2,y) $ , dan $ D(0,y) $. Nilai $ \displaystyle \lim_{y \to 1 } \frac{\text{keliling } \square ABCD}{\text{keliling } \Delta ACD} $ adalah ...
A). $ \frac{1}{2}(2\sqrt{3} + 3) \, $ B). $ \frac{1}{4}(3\sqrt{2} + 2) \, $ C). $ \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 1) \, $
D). $ \frac{1}{2}(3\sqrt{2} -2) \, $ E). $ \frac{1}{4}(3\sqrt{2} -2) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep Penyelesaian Limit :
Untuk menyelesaian limit, cara yang paling mendasar adalah dengan substitusi.
$ \displaystyle \lim_{y \to a } \frac{f(y)}{g(y)} = \frac{f(a)}{g(a)} $
*). Jarak dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
Jarak $ = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Keliling bangun datar :
Keliling = jumlah semua sisi-sisinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar detailnya :
 

Dari gambar tersebut kita peroleh panjang sisi-sisi :
$ OD = y , OA = 1, AB = 1, CD = 2, BC = y $
$ AD = \sqrt{(0-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{ 1 + y^2 } $
$ AC = \sqrt{(2-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{ 1 + y^2 } $
*). Menentukan keliling masing-masing :
$\begin{align} \text{Keliling ABCD } & = AB + BC + CD + AD \\ & = 1 + y + 2 + \sqrt{y^2 + 1} \\ & = y + 3 + \sqrt{y^2 + 1} \\ \text{Keliling ACD } & = AC + CD + AD \\ & = \sqrt{y^2 + 1} + 2 + \sqrt{y^2 + 1} \\ & = 2\sqrt{y^2 + 1} + 2 \end{align} $
*). Menentukan hasil limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{y \to 1 } \frac{\text{keliling } \square ABCD}{\text{keliling } \Delta ACD} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 1 } \frac{y + 3 + \sqrt{y^2 + 1}}{2\sqrt{y^2 + 1} + 2 } \\ & = \frac{1 + 3 + \sqrt{1^2 + 1}}{2\sqrt{1^2 + 1} + 2 } \\ & = \frac{4 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2 } \\ & = \frac{4 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2 } \times \frac{2\sqrt{2} - 2 }{2\sqrt{2} - 2 } \\ & = \frac{8\sqrt{2} - 8 + 4 - 2\sqrt{2}}{8 - 4} \\ & = \frac{6\sqrt{2} -4}{4} = \frac{1}{4} (6\sqrt{2} -4) = \frac{1}{2} (3\sqrt{2} -2) \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} (3\sqrt{2} -2) . \, \heartsuit $