Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 326 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)$ , dan determinan matriks $AB$ adalah 0, maka nilai $3a^2-20a$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $AB$ :
$AB = \left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3a+3 & 11 \\ 4a+1 & a + 7 \end{matrix} \right)$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $3a^2 - 20a$ :
$\begin{align*} \text{Det}(AB) & = 0 \\ \left| \begin{matrix} 3a+3 & 11 \\ 4a+1 & a + 7 \end{matrix} \right| & = 0 \\ (3a+3)(a+7)-11(4a+1) & = 0 \\ (3a^2+24a+21) - (44a+11) & = 0 \\ 3a^2-20a+10 & = 0 \\ 3a^2 - 20a & = -10 \end{align*} $
Jadi, nilai $ 3a^2 - 20a = -10. \, \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui $a, \, b,$ dan $c$ adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan $b > 0$ . Jika $a+b+c=b^2-4$ , maka nilai $b$ adalah ...
$\clubsuit \, a, \, b,$ dan $c$ barisan aritmatika (selisih sama).
$b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \, $ ...pers(i)
dari soal diketahui juga : $a+b+c=b^2-4 \, $ ...per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align*} a+b+c &=b^2-4 \\ (a+c)+b &=b^2-4 \, \text{(posisi b dan c ditukar)}\\ 2b + b &= b^2-4 \\ b^2-3b-4 & = 0 \\ (b-4)(b+1) & = 0 \\ b=4 \, & \vee \, b=-1 \end{align*}$
karena nilai $b > 0$ , maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=4$ .
Jadi, nilai $b=4. \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ , $u_2+u_4+u_6...=4$ , dan $u_2+u_4=3$ , maka nilai $r^2$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga genap : $S_{\infty} (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} $
Suku ke-n : $U_n=ar^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4+u_6...=4$
$\begin{align*} u_2+u_4+u_6... & = 4 \\ S_{\infty} (\text{genap}) & = 4 \\ \frac{ar}{1-r^2} & = 4 \\ ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4=3$
$\begin{align*} u_2+u_4 & = 3 \\ ar + ar^3 & = 3 \\ ar(1+r^2) & = 3 \\ ar & = \frac{3}{1+r^2} \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align*} ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \\ \frac{3}{1+r^2} & = 4 (1-r^2) \, \, \text{(kali silang)}\\ 3 & = 4 (1-r^2)(1+r^2) \\ 3 & = 4 \left[ 1-(r^2)^2 \right] \\ 3 & = 4 - 4(r^2)^2 \\ 4(r^2)^2 & = 4 - 3 \\ 4(r^2)^2 & = 1 \\ (r^2)^2 & = \frac{1}{4} \\ r^2 & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow r^2 = \pm \frac{1}{2} \end{align*}$
$r^2 = -\frac{1}{2} \, $ (tidak memenuhi karena bentuk kuadrat selalu positif).
$r^2 = \frac{1}{2} \, $ (memenuhi).
Jadi, nilai $ r^2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Parabola $y=x^2-(2k+1)x+3k $ memotong sumbu-Y di (0,$c$) dan memotong sumbu-X di ($a$,0) dan ($b$,0). Jika $3a,2c-4,$ dan $3b+1$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai $k$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Substitusi titik (0,c) ke parabola : $y=x^2-(2k+1)x+3k $
$y=x^2-(2k+1)x+3k \Rightarrow c=0^2-(2k+1).0+3k \Rightarrow c = 3k. $
$\clubsuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (a,0) dan (b,0) , artinya a dan b adalah akar-akar dari $x^2-(2k+1)x+3k = 0 \, $ , sehingga berlaku rumus penjumlahan akar-akar :
$a+b = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(2k+1))}{1} \Leftrightarrow a+b = 2k + 1 \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Barisan aritmatika $3a,2c-4,$ dan $3b+1$ , selisihnya sama :
$\begin{align*} (2c-4) - 3a & = (3b+1) - (2c-4) \\ (2c-4) + (2c-4) & = (3b+1) + 3a \\ 4c-8 & = 3(a+b) + 1 \, \, \text{(gunakan pers(i) dan } \, c = 3k ) \\ 4(3k)-8 & = 3 (2k+1) + 1 \\ 12k - 8 & = 6k + 3 + 1 \\ 6k & = 4 + 8 \\ k & = \frac{12}{6} = 2 \end{align*} $
Jadi, nilai $k=2 . \heartsuit $
Nomor 15
Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 2, 2, 6, 8. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode lebih besar daripada 62000 sebanyak ...
$\spadesuit \, $ Pilihan angkanya : 1, 2, 2, 6, 8
kode lebih besar daripada 62000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :
sbmptn_matdas_k326_4_2013.png
Total cara = 6 + 3 + 12 = 21 cara.
$\spadesuit \, $ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 6 dan ribuannya angka 2 dan sisanya (Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 1, 2, 8 yaitu permutasinya sebanyak 3! = 6 susunan.
contohnya : 62128, 62182, 62218, 62281, 62812, dan 62821.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 21 kupon yang lebih besar dari 62000. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 326 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $-2 < a < -1 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-3x-3a}{(2-x)(x+3)}\leq 0$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari pembilangnya: $x^2-3x-3a$
$D=b^2-4ac=(-3)^2-4.1.(-3a)=9+12a$
karena nilai $a$ terletak pada interval $ -2 < a < -1 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$x^2-3x-3a \left\{ \begin{array}{c} D<0 \\ a=1 > 0 \end{array} \right. $
ini artinya $x^2-3x-3a$ definit positif (nilainya akan selalu positif untuk semua $x$), sehingga $x^2-3x-3a$ bisa dicoret.
$\frac{1}{(2-x)(x+3)}\leq 0 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-3$
sbmptn_matdas_k326_3_2013.png
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -3 \vee x > 2\}. \heartsuit $

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{x^2-3x-3a}{(2-x)(x+3)} & \leq 0 \\ \frac{0^2-3.0-3a}{(2-0)(0+3)} & \leq 0 \\ \frac{-3a}{6}\leq 0 \, \, & \text{(salah krena ruas kiri nilainya positif)} \\ \end{align*}$
yang ada $x=0$ salah, opsi yang salah adalah D dan E.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \frac{x^2-3x-3a}{(2-x)(x+3)} & \leq 0 \\ \frac{3^2-3.3-3a}{(2-3)(3+3)} & \leq 0 \\ \frac{-3a}{-6} & \leq 0 \\ \frac{3a}{6}\leq 0 \, \, & \text{(benar krena ruas kiri nilainya negatif)} \\ \end{align*}$
yang ada $x=3$ benar, opsi yang salah adalah A dan C.
Jadi, opsi yang benar adalah B yaitu
$HP=\{ x < -3 \vee x > 2\} . \heartsuit$
Nomor 7
Anang bekerja di toko obat pada pagi hari dan di rumah makan pada malam hari. Setiap bulan ia memperoleh gaji dari toko obat sebesar Rp1.000.000,00 dan bonus 10% dari penjualan, sedangkan dari rumah makan ia memperoleh gaji sebesar Rp600.000,00 dan bonus 25% dari penjualan. Jika bulan lalu pendapatan Anang dari rumah makan dua kali pndapatannya dari toko obat, maka pendapatan Anang dari toko obat pada bulan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan total penjualannyaa masing-masing sebesar $p$ rupiah.
pendapatan di toko obat = 1.000.000 + 10%$p$ = 1.000.000 + 0,1$p$
pendapatan di rumah makan = 600.000 + 25%$p$ = 600.000 + 0,25$p$
$\clubsuit \, $ Menenyukan nilai $p$
$\begin{align*} \text{pendapatan di rumah makan} \, &= \, 2 \, \text{kali pendapatan di toko obat} \\ 600.000 + 0,25p & = 2(1.000.000 + 0,1p) \\ 600.000 + 0,25p & = 2.000.000 + 0,2p \\ 0,25p - 0,2p & = 2.000.000 - 600.000 \\ 0,05p & = 1.400.000 \\ p & = \frac{1.400.000}{0,05} = 28.000.000 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Sehingga pendapatan di toko obat :
$\begin{align*} \text{pendapatan} \, & = 1.000.000 + 0,1p \\ &= 1.000.000 + 0,1(28.000.000) \\ &= 3.800.000 \end{align*} $
Jadi, pendapatan Anang di toko obat sebesar Rp3.800.000 . $\heartsuit$
Nomor 8
Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,
sbmptn_matdas_k326_1_2013.png
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Menghitung banyak bayi normal setiap rumah sakit :
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
Nomor 9
Median dan rata-rata dari data yang terdiri dari empat bilangan asli yang telah diurutkan mulai dari yang terkeciladalah 8. Jika selisih antara data terbesar dan terkecilnya adalah 10 dan modusnya tunggal, maka hasil kali data kedua dan keempat adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $a, \, b, \, c, \, d$
$\clubsuit \, $ Median = 8, $\Rightarrow \frac{b+c}{2}=8 \Rightarrow b+c=16 .$
karena modusnya tunggal, maka haruslah nilai $b=c=8$
$\clubsuit \, $ Rata-rata = 8, $\Rightarrow \frac{a+b+c+d}{4}=8 \Rightarrow a+d + 16=32 .$
$a+d=16 $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Selisih data terbesar dan terkecilnya (jangkauannya) 10 .
$d-a = 10$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan per(ii) diperoleh $a=3 \, $ dan $d=13$ .
datanya menjadi : 3, 8, 8, 13
sehingga hasil kali data kedua dan keempat = 8 $\times$ 13 = 104
Jadi, hasil kali data kedua dan keempat adalah 104. $\heartsuit $
Nomor 10
Jika $f\left( \frac{1}{x+1} \right) = \frac{x+3}{x+1} $ , maka nilai $a-3$ agar $f^{-1}(a+1)=2$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Definisi invers : $A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers soal dari definisi di atas:
$\frac{x+3}{x+1} = f\left( \frac{1}{x+1} \right) \Leftrightarrow f^{-1}\left( \frac{x+3}{x+1} \right) = \frac{1}{x+1} $
$\spadesuit \, $ Samakan bentuk invers dan soal yang diketahui :
$\begin{align*} f^{-1}\left( \frac{x+3}{x+1} \right) & = \frac{1}{x+1} \\ f^{-1}(a+1) & = 2 \end{align*} $
ini artinya ruas kiri harus sama, begitu juga ruas kanan. diperoleh :
$\frac{1}{x+1} = 2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$
$ a + 1 = \frac{x+3}{x+1} \Rightarrow a + 1 = \frac{-\frac{1}{2}+3}{-\frac{1}{2}+1} \Rightarrow a = 4 $
sehingga nilai $a - 3 = 4 - 3 = 1$
Jadi, nilai $ a - 3 = 1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15