Pembahasan Limit Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\pi(\pi-2x)\tan \left(x - \frac{\pi}{2}\right)}{2(x-\pi)\cos ^2 x} = ..... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Hubungan kuadrat :
$ \cos x = \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) $
*). Sifat-sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x)}{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $ dengan syarat $ f(k) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\pi(\pi-2x)\tan \left(x - \frac{\pi}{2}\right)}{2(x-\pi)\cos ^2 x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\pi(\pi-2x)\tan \left(x - \frac{\pi}{2}\right)}{2(x-\pi)\sin ^2 \left( \frac{\pi}{2} - x \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\pi.2\left( \frac{\pi}{2} - x \right)\tan -\left( \frac{\pi}{2} - x \right)}{2(x-\pi)\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) . \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{2\pi}{2(x-\pi)} . \frac{\left( \frac{\pi}{2} - x \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) } . \frac{\tan -\left( \frac{\pi}{2} - x \right)}{ \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) } \\ & = \frac{\pi}{\frac{\pi}{2} -\pi} . \frac{1}{1} . \frac{-1}{ 1 } \\ & = \frac{\pi}{-\frac{\pi}{2} } . 1 . -1 \\ & = -2 . 1 . -1 = 2 \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Seekor semut merayap pada suatu koordinat Cartesius dimulai dari titik asal $ (0,0 ) $ , kemudian naik 2 unit, terus bergerak 1 unit ke kanan, turun $ \frac{1}{2} $ unit, $ \frac{1}{4} $ ke kiri, $ \frac{1}{8} $ unit ke atas, ..... sampai berhenti pada suatu koordinat tertentu. Koordinat tersebut adalah ......
A). $ \left( \frac{8}{5} , \frac{4}{5} \right) \, $ B). $ \left( \frac{4}{5} , \frac{8}{5} \right) \, $ C). $ (4,8) \, $ D). $ (8,4) \, $
E). Tidak dapat ditentukan

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah takhingga deret geometri :
$ U_1 + U_2 + U_3 + .... = S_\infty = \frac{a}{1-r} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio
dimana $ r = \frac{U_2}{U_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Semut berhenti pada koordinat tertentu dimana sebelumnya berjalan terus-menerus. Untuk menentukan koordinat berhentinya, kita hitung berdasarkan absis $(x)$ dan ordinat $(y)$ yaitu :
-). Pergerakan searah sumbu X : kanan positif dan kiri negatif
$\begin{align} x & = 1 + (-\frac{1}{4}) + ...... \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1- (-\frac{1}{4})} \\ & = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} \end{align} $
-). Pergerakan searah sumbu Y : atas positif dan bawah negatif
$\begin{align} y & = 2 + (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{8} + ...... \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1- (-\frac{1}{4})} \\ & = \frac{2}{\frac{5}{4}} = \frac{8}{5} \end{align} $
Sehingga koordinat berhentinya adalah $ \left( \frac{4}{5} , \frac{8}{5} \right) $
Jadi, koordinat berhentinya adalah $ \left( \frac{4}{5} , \frac{8}{5} \right) . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matdas kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ 3x - p > \frac{x-1}{5} + \frac{px}{2} $ dipenuhi oleh $ x < -3 $. Maka nilai $ p $ adalah ......
A). $ p < 16\frac{2}{5} \, $ B). $ p = 16\frac{2}{5} \, $ C). $ p > 16\frac{2}{5} \, $
D). $ p < 16 \, $ E). $ p = 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika suatu pertidaksamaan sudah diketahui solusinya, mislakan $ x < k $ , maka $ x = k $ adalah akar-akar dari pertidaksamaannya dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ 3x - p > \frac{x-1}{5} + \frac{px}{2} $ dipenuhi oleh $ x < -3 $ , artinya $ x = -3 $ adalah akar-akar dari pertidaksamaannya dengan mengubah ketaksamaannya menjadi sama dengan. Kita substitusikan $ x = -3 $ ke pertidaksamaannya :
$\begin{align} 3x - p & > \frac{x-1}{5} + \frac{px}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali 10)} \\ 30x - 10p & > 2(x-1) + 5px \\ 30.(-3) - 10p & = 2(-3-1) + 5p.(-3) \\ -90 - 10p & = -8 -15p \\ 5p & = 82 \\ p & = \frac{82}{5} = 16\frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = 16\frac{2}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ 3x - p > \frac{x-1}{5} + \frac{px}{2} $ dipenuhi oleh $ x < -3 $. Maka nilai $ p $ adalah ......
A). $ p < 16\frac{2}{5} \, $ B). $ p = 16\frac{2}{5} \, $ C). $ p > 16\frac{2}{5} \, $
D). $ p < 16 \, $ E). $ p = 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Karena solusinya sudah ada, maka kita ubah bentuk pertidaksamaannya menjadi seperti bentuk solusinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align} 3x - p & > \frac{x-1}{5} + \frac{px}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali 10)} \\ 30x - 10p & > 2(x-1) + 5px \\ 30x - 10p & > 2x- 2 + 5px \\ 30x - 2x - 5px & > 10p - 2 \\ 28x - 5px & > 10p - 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 5px - 28x & < 2 - 10p \\ (5p - 28)x & < 2 - 10p \\ x & < \frac{2 - 10p }{(5p - 28)} \end{align} $
*). Karena solusinya $ x < -3 $ dan $ x < \frac{2 - 10p }{(5p - 28)} $ , maka :
$\begin{align} \frac{2 - 10p }{(5p - 28)} & = -3 \\ 2 - 10p & = -3 (5p - 28) \\ 2 - 10p & = -15p + 82 \\ 5p & = 82 \\ p & = \frac{82}{5} = 16\frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = 16\frac{2}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \sin \left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ dimana $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan trigonometri :
Penyelesaian $ \sin f(x) = \sin \theta $ yaitu :
(1). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $
(2). $ f(x) = (180^\circ -\theta ) + k.360^\circ $
dengan $ k $ adalah bilangan bulat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Persamaanannya :
$ \sin \left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow \sin \left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) = \sin 45^\circ $
artinya $ f(x) = 2x - \frac{\pi}{2} = 2x - 90^\circ $ dan $ \theta = 45^\circ $
Penyelesaiannya :
-). Pertama : $ f(x) = \theta + k.360^\circ $
$\begin{align} 2x - 90^\circ & = 45^\circ + k.360^\circ \\ 2x & = 45^\circ + 90^\circ + k.360^\circ \\ 2x & = 135^\circ + k.360^\circ \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 67,5^\circ + k.180^\circ \end{align} $
$ k = -1 \rightarrow x = 67,5^\circ + -1 \times 180^\circ = -112,5^\circ $
$ k = 0 \rightarrow x = 67,5^\circ + 0 \times 180^\circ = 67,5^\circ $
$ k = 1 \rightarrow x = 67,5^\circ + 1 \times 180^\circ = 247,5^\circ $
-). Kedua : $ f(x) = (180^\circ -\theta ) + k.360^\circ $
$\begin{align} 2x - 90^\circ & = (180^\circ - 45^\circ ) + k.360^\circ \\ 2x & = 225^\circ + k.360^\circ \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 112,5^\circ + k.180^\circ \end{align} $
$ k = -1 \rightarrow x = 112,5^\circ + -1 \times 180^\circ = -67,5^\circ $
$ k = 0 \rightarrow x = 112,5^\circ + 0 \times 180^\circ = 112,5^\circ $
$ k = 1 \rightarrow x = 112,5^\circ + 1 \times 180^\circ = 292,5^\circ $
Karena intervalnya $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ , maka
himpunan penyelesaiannya $ x = \{ -67,5^\circ ; 67,5^\circ \} $
Jadi, ada dua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ . \, \heartsuit $