Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Hasil penjumlahan semua penyelesaian $ \sin ^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \, $ untuk $ 0 \leq x < 2\pi \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$ \sin ^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \rightarrow \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} $
Nilai $ \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \, $ dibagi menjadi dua :
$\begin{align} \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} & = 45^\circ \rightarrow x = 75^\circ \\ x - \frac{\pi}{6} & = 135^\circ \rightarrow x = 165^\circ \\ \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} & = 225^\circ \rightarrow x = 255^\circ \\ x - \frac{\pi}{6} & = 315^\circ \rightarrow x = 345^\circ \end{align}$
Sehingga jumlah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah
jumlah = $ 75^\circ + 165^\circ + 255^\circ + 345^\circ = 840^\circ = \frac{14}{3} \pi $
Jadi, jumlah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ \frac{14}{3} \pi . \heartsuit $
Nomor 7
Misalkan ada 2 jalan dari kota A ke kota B, 4 jalan dari kota A ke kota C, 2 jalan dari kota B ke kota C. Dari kota B dan C masing-masing ada 3 jalan ke kota D. Jika seseorang dari kota A pergi ke kota D melalui kota B atau C atau kota B dan C, maka banyaknya cara yang dapat ia tempuh adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar Rute perjalanannya
um_ugm_matdas_2_2013.png
Untuk menyelesaiakan soal ini, kita menggunakan kaidah pecacahan yaitu aturan perkalian.
$\clubsuit \, $ Rute Perjalanan yang ditempuh dari A ke D :
1). Melalui B saja : A - B - D = 2 $ \times \, $ 3 = 6 cara
2). Melalui C saja : A - C - D = 4 $ \times \, $ 3 = 12 cara
3). Melalui B dan C : $ \left\{ \begin{array}{cc} \text{A - B - C - D} & = 2 \times 2 \times 3 = 12 \, \text{cara} \\ \text{A - C - B - D} & = 4 \times 2 \times 3 = 24 \, \text{cara} \end{array} \right. $
Sehingga total cara rute yang ditempuh adalah
total = 6 + 12 + 12 + 24 = 54
Jadi, total cara yang ditempuh ada 54 rute perjalan. $ \heartsuit$
Nomor 8
Nilai rata-rata tes matematika di suatu kelas adalah 72. Nilai rata-rata siswa putra adalah 75 dan nilai rata-rata siswa putri adalah 70. Jika banyaknya siswa putri 6 lebih banyak dari siswa putra, maka banyaknya siswa di kelas tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Rata-rata gabungan :
$ \overline{X}_\text{gb} = \frac{n_p.\overline{X}_p + n_l . \overline{X}_l}{n_p + n_l} $
Keterangan :
$ \overline{X}_\text{gb} \, $ = Rata-rata gabungan = 72
$ \overline{X}_p \, $ = Rata-rata kelompok perempuan = 70
$ \overline{X}_l \, $ = Rata-rata kelompok laki-laki = 75
$ n_p \, $ = banyaknya anggota kelompok perempuan
$ n_l \, $ = banyaknya anggota kelompok laki-laki
Pada soal diketahui banyak siswa perempuan 6 lebih banyak siswa laki-laki, artinya $ n_p = n_l + 6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan banyak siswa laki-laki ($n_l$)
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & = \frac{n_p.\overline{X}_p + n_l . \overline{X}_l}{n_p + n_l} \\ 72 & = \frac{(n_l+6).70 + n_l . 75}{(n_l+6) + n_l} \\ 72 & = \frac{70n_l + 420 + 75n_l}{2n_l+6} \, \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ 72.(2n_l +6) & = 145n_l + 420 \\ 144n_l + 432 & = 145n_l + 420 \\ n_l & = 12 \end{align}$
Sehingga banyak siswa perempuan :
$ n_p = n_l + 6 = 12 + 6 = 18 $
Total siswa = $ n_p+n_l \, $ = 18 + 12 = 30 siswa
Jadi, total siswa ada 30 siswa. $ \heartsuit$
Nomor 9
$ \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar :
$ (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 \, $ dan $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
$\clubsuit \, $ Rasionalkan masing-masing pecahan
$\begin{align} & \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} \\ & = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} . \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}-\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} . \frac{1 - \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}} \\ & = \frac{ 18 - 2\sqrt{18}.\sqrt{12} + 12 }{18-12} + \frac{ 5(1 - \sqrt{6}) }{1 - 6} \\ & = \frac{ 30 - 2\sqrt{18.12} }{6} + \frac{ 5(1 - \sqrt{6}) }{-5} \\ & = \frac{ 30 - 2\sqrt{216} }{6} + [ -(1 - \sqrt{6}) ] \\ & = \frac{ 30 - 2 . 6 . \sqrt{6} }{6} + \sqrt{6} - 1 \\ & = 5 - 2 \sqrt{6} + \sqrt{6} - 1 \\ & = 4 - \sqrt{6} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ 4 - \sqrt{6} . \heartsuit $
Nomor 10
Nilai $ 1-x \, $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{8^{3-x}} = 4.2^{1-2x} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar eksponen
Persamaan : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
Sifat-sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} \, \, ; \, \, (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \sqrt{8^{3-x}} & = 4.2^{1-2x} \\ (2^3)^\frac{3-x}{2} & = 2^2.2^{1-2x} \\ 2^{3.\frac{3-x}{2}} & = 2^{2+(1-2x)} \\ 2^{\frac{9-3x}{2}} & = 2^{3-2x} \\ \frac{9-3x}{2} & = 3-2x \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 9-3x & = 6 - 4x \\ x & = -3 \end{align}$
Sehingga nilai $ 1 - x = 1 - (-3) = 4 $
Jadi, nilai $ 1 - x = 4 . \heartsuit $  
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Jika $ 1 - \cot \alpha = - \frac{1}{3} \, $ , maka nilai $ \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha = .... $
$\clubsuit \, $ Kosep dasar trigonometri
$ \cot \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{depan}} , \sin \alpha = \frac{\text{depan}}{\text{miring}} , \, \cos \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{miring}}$
$ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $
$ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \cot \alpha \, $ dan gambarnya
$\begin{align} 1 - \cot \alpha = - \frac{1}{3} \rightarrow \cot \alpha = \frac{4}{3} = \frac{\text{samping}}{\text{depan}} \end{align}$
um_ugm_matdas_1_2013.png
sehingga : $ \sin \alpha = \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos \alpha = \frac{4}{5} $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha & = (2\sin \alpha \cos \alpha) + (1 - 2\sin ^2 \alpha) \\ & = (2\sin \alpha \cos \alpha) + (1 - 2 (\sin \alpha)^2) \\ & = (2 . \frac{3}{5} . \frac{4}{5}) + (1 - 2 (\frac{3}{5})^2) \\ & = \frac{24}{25} + (1 - \frac{18}{25}) \\ & = \frac{24}{25} + \frac{7}{25} \\ \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha & = \frac{31}{25} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha = \frac{31}{25} . \heartsuit $
Nomor 2
Persamaan kuadrat $ x^2 - (3- {}^2 \log m )x - {}^2 \log 16m = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika $ x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = -6 \, $ maka $ {}^m \log 8 = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c \, ; \, {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
dan $ {}^a \log b = c \rightarrow {}^b \log a = \frac{1}{c} $
$\spadesuit \, $ PK : $ x^2 - (3- {}^2 \log m )x - {}^2 \log 16m = 0 $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-[- (3- {}^2 \log m )]}{1} = 3- {}^2 \log m \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{- {}^2 \log 16m}{1} = - {}^2 \log 16m \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ , misalkan $ p = {}^2 \log m $
$\begin{align} x_1x_2^2 + x_1^2x_2 & = -6 \\ x_1.x_2(x_1 + x_2) & = -6 \\ (- {}^2 \log 16m)(3- {}^2 \log m) & = -6 \\ (- [{}^2 \log 16 + {}^2 \log m])&(3- {}^2 \log m) = -6 \\ (- [4 + {}^2 \log m])(3- {}^2 \log m) & = -6 \\ (- 4 - {}^2 \log m)(3- {}^2 \log m) & = -6 \, \, \, \text{ (subs. } p = {}^2 \log m ) \\ (- 4 - p)(3- p) & = -6 \\ p^2 + p -12 & = -6 \\ p^2 + p -6 & = 0 \\ (p-2)(p+3) & = 0 \\ p=2 \vee p & = -3 \\ p=2 \rightarrow {}^2 \log m & = 2 \rightarrow {}^m \log 2 = \frac{1}{2} \\ p=-3 \rightarrow {}^2 \log m & = -3 \rightarrow {}^m \log 2 = - \frac{1}{3} \\ \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^m \log 8 $
$\begin{align} {}^m \log 8 & = {}^m \log 2^3 = 3. {}^m \log 2 \\ {}^m \log 2 & = \frac{1}{2} \rightarrow {}^m \log 8 = 3.{}^m \log 2 = 3.\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ {}^m \log 2 & = - \frac{1}{3} \rightarrow {}^m \log 8 = 3.{}^m \log 2 = 3.(- \frac{1}{3}) = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^m \log 8 \, $ adalah $ \frac{3}{2} \, $ atau -1 . $ \heartsuit $
Nomor 3
Sebuah garis menyinggung grafik $ f(x) = x^2 + 3x - 1 \, $ di titik ($2a-1,b$) dan menyinggung grafik $ g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \, $ di titik ($a,c$). Nilai $ a + b = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar gradien garis singgung
Gradien garis singgung di ($x_1,y_1$) pada kurva $ y = f(x) \, $ adalah $ m = f^\prime (x_1) $
$\clubsuit \, $ Fungsi : $ f(x) = x^2 + 3x - 1 \rightarrow f^\prime ( x ) = 2x + 3 $
gradien di titik ($2a-1,b$)
$\begin{align} m_1 & = f^\prime ( 2a-1 ) \\ & = 2.(2a-1) + 3 \\ m_1 & = 4a + 1 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Fungsi : $ g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \rightarrow g^\prime ( x ) = x^2 + 4 $
gradien di titik ($a,c$)
$\begin{align} m_2 & = g^\prime ( a) \\ m_2 & = a^2 + 4 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Karena garisnya cuma satu, maka gradien garis singgungnya sama
$\begin{align} m_2 & = m_1 \\ a^2 + 4 & = 4a + 1 \\ a^2 -4a + 3 & = 0 \\ (a-1)(a-3) & = 0 \\ a=1 \vee a & = 3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi titik ($2a-1,b$) ke fungsi $ f(x) $
$\begin{align} (2a-1,b) \rightarrow f(x) & = x^2 + 3x - 1 \\ b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ a = 1 \rightarrow b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ b & = (2.1-1)^2 + 3(2.1-1) - 1 \\ b & = 1 + 3 - 1 = 3 \\ \text{sehingga } \, a+b & = 1 + 3 = 4 \\ a = 3 \rightarrow b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ b & = (2.3-1)^2 + 3(2.3-1) - 1 \\ b & = 25 + 15 - 1 = 39 \\ \text{sehingga } \, a+b & = 3 + 39 = 42 \end{align}$
Jadi, nilai $ a + b \, $ adalah 4 atau 42. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ a = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^2-4}{2-\sqrt{x+2}} \, $ maka nilai $ 4 - a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
Turunan : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2 \sqrt{f(x)} } $
sehingga turunan dari : $ y = \sqrt{x+2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} $
Penerapan turunan pada Limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ maka solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f ^\prime (x)}{g^\prime (x)} \, $
sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} \, $ lagi.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^2-4}{2-\sqrt{x+2}} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2x}{- \frac{1}{2\sqrt{x+2}}} \\ a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } - 4x \sqrt{x+2} \\ a & = - 4.2 \sqrt{2+2} = -16 \end{align}$
Sehingga nilai : $ 4 - a = 4 - (-16) = 20 $
Jadi, $ 4 - a = 20 . \heartsuit $
Nomor 5
Jika matriks $ P = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \, $ dan $ Q = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) \, $ serta $ P^{-1} \, $ invers matriks $ P \, $ , maka determinan untuk matriks $ QP^{-1} \, $ adalah ....
Untuk penyelesaian soal determinan ini, kita tidak perlu mencari invers dan hasil perkaliannya terlebih dahulu karena akan memakan waktu yang cukup lama, sehingga penyelesaiannya langsung menggunakan sifat-sifat determinan.
$\clubsuit \, $ Konsep Matriks
Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow \text{Det}(A) = |A| = a.d - b.c $
Sifat-sifat Determinan : $ |A.B| = |A|.|B| \, \, \, $ dan $ \, |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan kedua matriks
$ P = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \rightarrow |P| = 3.2 - 4.1 = 6-4=2 $
$ Q = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |Q| = 1.3 - (-2.0) = 3-0=3 $
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan soal dengan sifatnya
$\begin{align} |QP^{-1}| & = |Q| . |P^{-1}| \\ & = |Q| . \frac{1}{|P|} \\ & = 3 . \frac{1}{2} \\ |QP^{-1}| & = \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, determinan untuk matriks $ QP^{-1} \, $ adalah $ \frac{3}{2} . \heartsuit$
 
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20