Pembahasan Persamaan Garis Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ l $ adalah garis yang dinyatakan oleh det(A)=0 dimana $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ x & y & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}\right) $ , persamaan garis yang sejajar $ l $ dan melalui titik $ (3,4) $ adalah .....
A). $ x + y - 7 = 0 \, $ B). $ x - y + 7 = 0 \, $
C). $ x - y + 1 = 0 \, $ D). $ x + y - 1 = 0 \, $
E). $ x + y + 1 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien persamaan garis $ y = ax + c $ adalah $ m = a $
*). Persamaan garis lurus (PGL) melalui titik $ (x_1,y_1) $ dan gradien $ m $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama.
*). Determinan matriks ordo $ 3 \times 3 $ :
$ A = \left( \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right) $
$ \rightarrow |A| = (a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2) -(a_3b_2c_1+a_2b_1c_3+a_1c_2b_3) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai determinan matriks A :
$ \begin{align} det(A) & = 0 \\ \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ x & y & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}\right| & = 0 \\ (1.y.3+1.1.2+2.1.x)-(2.y.2+1.x.3+1.1.1) & = 0 \\ (3y+2+2x)-(4y + 3x + 1) & = 0 \\ -y - x + 1 & = 0 \\ y & = -x + 1 \end{align} $
gradien garis $ y = -x + 1 \rightarrow m = -1 $
Karena garis sejajar dengan $ l $ , maka gradiennya sama yaitu $ m = -1 $.
*). Menyusun PGL melalui titik $ (x_1,y_1) = (3,4) $ dan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 4 & = -1(x-3) \\ y - 4 & = -x + 3 \\ x + y & - 7 = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x + y - 7 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Pada gambar di atas, O adalah pusat lingkaran. Jika $ PQ = 5 $ dan $ OP = 3 $, maka $ \cos ( \pi + \alpha ) = ...... $
A). $ -\frac{7}{18} \, $ B). $ -\frac{7}{9} \, $ C). $ \frac{7}{18} \, $ D). $ \frac{7}{15} \, $ E). $ \frac{7}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan kosinus pada segitiga :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
*). Hubungan kuadran :
$ \cos (\pi + x) = -\cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \cos (\pi + \alpha) $ pada segitiga POQ :
$ \begin{align} \cos (\pi + \alpha) & = - \cos \alpha \\ & = -\cos \angle POQ \\ & = -\frac{OP^2 + OQ^2 - PQ^2}{2.OP.OQ} \\ & = -\frac{3^2 + 3^2 - 5^2}{2.3.3} \\ & = -\frac{9 + 9 - 25}{18} \\ & = -\frac{-7}{18} = \frac{7}{18} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos (\pi + \alpha) = \frac{7}{18} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} -1 & 2a+b \\ a & 7 \end{matrix} \right] $ , $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 1 & a \end{matrix} \right] $ , dan $ (AB)^T = \left[ \begin{matrix} 1 & 15 \\ 7 & 20 \end{matrix} \right] $ , maka nilai $ a + b = ...... $
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Traspose matriks :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^T = \left[ \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right] $
*). Perkalian matriks = baris $ \times $ kolom
*). Kesamaan dua matriks : setiap unsur seletak nilainya sama

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ AB $ :
$ \begin{align} AB & = \left[ \begin{matrix} -1 & 2a+b \\ a & 7 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 1 & a \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} 2a + b - 4 & 2a^2 + ab -3 \\ 4a + 7 & 10a \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menyusun persamaan matriksnya :
$ \begin{align} (AB)^T & = \left[ \begin{matrix} 1 & 15 \\ 7 & 20 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 2a + b - 4 & 2a^2 + ab -3 \\ 4a + 7 & 10a \end{matrix} \right] ^T & = \left[ \begin{matrix} 1 & 15 \\ 7 & 20 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 2a + b - 4 & 4a + 7 \\ 2a^2 + ab -3 & 10a \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 1 & 15 \\ 7 & 20 \end{matrix} \right] \end{align} $
Dari kesamaan matriks di atas, kita peroleh :
$ 10a = 20 \rightarrow a = 2 $
$ 2a + b - 4 = 1 \rightarrow 2.2 + b = 5 \rightarrow b = 1 $
Sehingga nilai $ a + b = 2 + 1 = 3 $
Jadi, nilai $ a + b = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan aritmetika Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui barisan $ 1, (1+2) $ , $ (1 + 2 + 3) $ , $ (1 + 2 + 3 + 4) $ , $ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) $ , ..... Maka suku ke-100 barisan tersebut adalah ......
A). $ 5550 \, $ B). $ 5500 \, $ C). $ 5055 \, $ D). $ 5050 \, $ E). $ 5005 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n $ suku pertama deret aritmetika :
$ S_n = \frac{n}{2}(U_1 + U_n ) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan barisan $ 1, (1+2) $ , $ (1 + 2 + 3) $ , $ (1 + 2 + 3 + 4) $ , $ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) $ , ..... . Suku ke-100 berbentuk $ (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100) $ yaitu jumlah 100 suku pertama.
*). Menentukan nilai suku ke-100 :
$ \begin{align} U_{100} & = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100) \\ & = S_{100} \\ & = \frac{100}{2} ( 1 + 100) \\ & = 50 \times 101 \\ & = 5050 \end{align} $
Jadi, suku ke-100 nya adalah $ 5050 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p $ dan $ q $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ 3x^2 + 6x + 4 = 0 $ , maka persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $ (2p+q+1) $ dan $ ( p + 2q + 1 ) $ adalah ......
A). $ x^2 + 4x + 3 = 0 \, $
B). $ x^2 + 4x + 7 = 0 \, $
C). $ 3x^2 + 12x + 13 = 0 \, $
D). $ x^2 - 8x + 19 = 0 \, $
E). $ 3x^2 - 24x + 49 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun persamaan kuadrat baru (PKB) :
Rumusnya $ x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
HJ = Hasil jumlah dan HK = Hasil Kali
*). Operasi akar-akar PK $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ 3x^2 + 6x + 4 = 0 $ akar-akarnya $ p $ dan $ q $
$ p + q = \frac{-6}{3} = -2 $ dan $ p.q = \frac{4}{3} $
*). Menyusun PKB dengan akar-akar $ (2p+q+1) $ dan $ ( p + 2q + 1 ) $
Kita sederhanakan akar-akarnya :
$ 2p + q + 1 = p + (p+q) + 1 = p + (-2) + 1 = p - 1 $
$ p + 2q + 1 = (p + q ) + q + 1 = -2 + q + 1 = q - 1 $
Sehingga PKB dengan akar-akar $ (p-1) $ dan $ (q - 1) $
*). Menentukan nilai HJ dan HK :
$ \begin{align} HJ & = (p-1) + (q-1) = ( p + q) - 2 \\ & = -2 - 2 = -4 \\ HK & = (p-1)(q-1) = pq - p - q + 1 \\ & = pq - (p+q) + 1 \\ & = \frac{4}{3} - (-2) + 1 = \frac{13}{3} \end{align} $
*). Menyusun PKB :
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - (-4)x + \frac{13}{3} & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3x^2 + 12x + 13 & = 0 \end{align} $
Jadi, PKB nya adalah $ 3x^2 + 12x + 13 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan fungsi kuadrat $ y = (t+1)x^2 - tx $ berpotongan dengan garis $ y = tx + (4-t) $ . Jika kurva fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas, maka nilai $ t $ yang memenuhi adalah ......
A). $ -\frac{4}{3} \leq t \leq -1 \, $
B). $ t \geq -\frac{4}{3} \, $
C). $ t < -\frac{4}{3} \, $
D). $ -\frac{4}{3} < t < -1 \, $
E). $ t > -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi Kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $,
syarat terbuka ke atas : $ a > 0 $ >
*). Syarat garis dan parabola berpotongan : $ D \geq 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).fungsi kuadrat $ y = (t+1)x^2 - tx $
Terbuka keatas : $ a > 0 \rightarrow t + 1 > 0 \rightarrow t > -1 $
Kita peroleh HP1 $ = \{ t > -1 \} $
*).Syarat garis dan parabola berpotongan : $ D \geq 0 $
$\begin{align} y_1 & = y_ 2 \\ (t+1)x^2 - tx & = tx + (4 - t) \\ (t+1)x^2 - 2tx + ( t - 4) & = 0 \\ a = t+ 1, b = -2t , c & = t - 4 \\ \text{Syarat : } D & \geq 0 \\ b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-2t)^2 - 4.(t+1).(t-4) & \geq 0 \\ 4t^2 - 4.(t^2 - 3t - 4) & \geq 0 \\ 4t^2 - 4t^2 + 12t + 16 & \geq 0 \\ 12t & \geq -16 \\ t & \geq -\frac{16}{12} \\ t & \geq -\frac{4}{3} \end{align} $
Kita peroleh HP2 $ = \{ t \geq -\frac{4}{3} \} $
*).Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ t > -1 \} \cap \{ t \geq -\frac{4}{3} \} \\ & = \{ t > -1 \} \end{align} $
Jadi, HP $ = \{ t > -1 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ (0,125)^{2x-x^2} - 2^{x^2-3x+5} \leq 0 $ adalah ......
A). $ -\frac{5}{2} \leq x \leq 1 \, $
B). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq \frac{5}{2} $
C). $ 1 \leq x \leq \frac{5}{2} \, $
D). $ x \leq -1 \, $ atau $ x \geq \frac{5}{2} $
E). $ -1 \leq x \leq \frac{5}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Pertidaksamaan Eksponen :
bentuk $ a^{f(x) } \leq a^{g(x)} \, $ memiliki solusi :
jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) \leq g(x) $ (ketaksamaan tetap)
jika $ 0< a < 1 $ , maka $ f(x) \geq g(x) $ (ketaksamaan dibalik)

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menyelesaikan soal :
$\begin{align} (0,125)^{2x-x^2} - 2^{x^2-3x+5} & \leq 0 \\ \left( \frac{1}{8} \right)^{2x-x^2} & \leq 2^{x^2-3x+5} \\ \left( 2^{-3} \right)^{2x-x^2} & \leq 2^{x^2-3x+5} \\ \left( 2 \right)^{3x^2 - 6x} & \leq 2^{x^2-3x+5} \\ 3x^2 - 6x & \leq x^2-3x+5 \\ 2x^2 - 3x - 5 & \leq 0 \\ (2x-5)(x+1) & \leq 0 \\ x = \frac{5}{2} \vee x & = -1 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Jadi, HP $ = \{ -1 \leq x \leq \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit $