Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai konstanta positif $ a $ yang mungkin sehingga $ \frac{451}{50} $ merupakan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ untuk $ x \in \left[ 0, \frac{1}{2}\right] $ adalah ....
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum Fungsi Kuadrat
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ mempunyai nilai minimum/maksimum sebesar $ \frac{D}{-4a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Rumus $ \frac{D}{-4a} $ hanya berlaku untuk fungsi kuadrat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi kuadrat : $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $
dengan $ a = (a^2 + 1) , \, b = -2a, \, $ dan $ c = 10 $
Nilai minimumnya $ \frac{451}{50} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \frac{D}{-4a} & = \frac{451}{50} \\ \frac{b^2-4ac}{-4a} & = \frac{451}{50} \\ \frac{(-2a)^2-4(a^2+1).10}{-4(a^2+1)} & = \frac{451}{50} \\ \frac{4a^2-4 (a^2+1).10}{-4(a^2+1)} & = \frac{451}{50} \\ \frac{a^2-(a^2+1).10}{-(a^2+1)} & = \frac{451}{50} \\ \frac{a^2-10a^2 - 10}{-a^2 - 1} & = \frac{451}{50} \\ \frac{-9a^2 - 10}{-a^2 - 1} & = \frac{451}{50} \\ 50(-9a^2 - 10) & = 451( -a^2 - 1) \\ -450a^2 - 500 & = -451a^2 - 451 \\ a^2 & = 49 \\ a & = \pm \sqrt{49} = \pm 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a $ positif yang memenuhi adalah $ a = 7 . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai konstanta positif $ a $ yang mungkin sehingga $ \frac{451}{50} $ merupakan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ untuk $ x \in \left[ 0, \frac{1}{2}\right] $ adalah ....
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum Fungsi Kuadrat
*). Fungsi $ y = f(x) $ maksimum/minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Nilai minimum/maksimum fungsi tersebut adalah $ y = f(x_1) $ dengan $ f^\prime (x_1) = 0 $
*). Mencari nilai maksimum/minimum dengan menggunakan turunan ini berlaku umum untuk semua jenis fungsi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi dan syarat $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f(x) & = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 \\ f^\prime (x) & = 2(a^2+1)x - 2a \\ f^\prime (x) & = 0 \\ 2(a^2+1)x - 2a & = 0 \\ 2(a^2+1)x & = 2a \\ (a^2+1)x & = a \\ x & = \frac{a}{a^2 + 1} \end{align} $
Artinya fungsi $ f(x) $ minimum saat $ x = \frac{a}{a^2 + 1} $ dengan nilai minimumnya $ \frac{451}{50} $ yang dapat ditulis $ f\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) = \frac{451}{50} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ dan $ f\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) = \frac{451}{50} $
$\begin{align} f\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) & = \frac{451}{50} \\ (a^2+1).\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right)^2 - 2a.\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) + 10 & = \frac{451}{50} \\ \frac{a^2}{a^2 + 1} - \frac{2a^2}{a^2 + 1} + 10 . \frac{a^2 + 1}{a^2 + 1} & = \frac{451}{50} \\ \frac{a^2 - 2a^2 + 10a^2 + 10}{a^2 + 1} & = \frac{451}{50} \\ \frac{9a^2 + 10}{a^2 + 1} & = \frac{451}{50} \\ 451(a^2 + 1) & = 50(9a^2 + 10) \\ 451 a^2 + 451 & = 450a^2 + 500 \\ a^2 & = 49 \\ a & = \pm \sqrt{49} = \pm 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a $ positif yang memenuhi adalah $ a = 7 . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan $u_{n+2}:u_{n-1}=8$, maka $ u_1 + u_4 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri dan Eksponen
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } $
*). Sifat eksponen :
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Persamaan pertama,
$\begin{align} \frac{u_{n+2}}{u_{n-1}} & = 8 \\ \frac{ar^{n+2-1}}{ar^{n-1-1}} & = 8 \\ \frac{r^{n+1}}{r^{n-2}} & = 8 \\ r^{[(n+1) - (n-2)]} & = 8 \\ r^{3} & = 2^3 \\ r & = 2 \end{align} $
Persamaan kedua,
$\begin{align} \text{jumlah 10 suku pertama } & = 341 \\ s_{10} & = 341 \\ \frac{a(2^{10} - 1)}{2 - 1 } & = 341 \\ \frac{a(1023)}{ 1 } & = 341 \\ 1023a & = 341 \\ a & = \frac{341}{1023} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ u_1 + u_4 $ :
$\begin{align} u_1 + u_4 & = a + ar^3 \\ & = a ( 1 + r^3) \\ & = \frac{1}{3}. (1 + 2^3) \\ & = \frac{1}{3}. 9 \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ u_1 + u_4 = 3 . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri Menggunakan Turunan (L'Hopital)
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \tan A \rightarrow y^\prime = A^\prime . \sec ^2 A $.
*). Sudut negatif : $ \sec ^2 (-A) = \sec ^2 A $
*). Penggunaan Turunan pada Limit (L'Hopital)
Bentuk $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $ sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ lagi. Jika hasilnya masih $ \frac{0}{0} $ , maka turunkan lagi pembilang dan penyebutnya.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Menurunkan fungsi trigonometrinya :
$\begin{align} y & = \tan (-x + h) - \tan (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) - (-1).\sec ^2 (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h) \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h} \, \, \, \, \text{(turunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h)}{1} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{4-0^2}} . \frac{\sec ^2 (-x +0) + \sec ^2 (-x-0)}{1} \\ & = \frac{1}{ 2} . (\sec ^2 (-x ) + \sec ^2 (-x ) ) \\ & = \frac{1}{ 2} . (2\sec ^2 (-x ) ) \\ & = \sec ^2 (-x ) \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Trigonometri :
$ \tan (A - B)= \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A . \tan B} \rightarrow \tan A - \tan B = \tan (A - B) . (1 + \tan A . \tan B) $
$ \tan ^2 (-A) = \tan ^2 A $
*). Identitas trigonometri :
$ 1 + \tan ^2 A = \sec ^2 A $
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). Mengubah bentuk:
$\begin{align} & \tan (-x + h) - \tan (-x-h) \\ & = \tan [(-x + h) - (-x-h) ].[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ] \\ & = \tan 2h.[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ] \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan 2h.[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ]}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan 2h}{h} . \frac{ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) }{\sqrt{4-h^2}} \\ & = \frac{2}{1} . \frac{ 1 + \tan (-x + 0) . \tan (-x-0) }{\sqrt{4-0^2}} \\ & = 2. \frac{ 1 + \tan (-x ) . \tan (-x) }{2} \\ & = 1 + \tan ^2 (-x ) \\ & = 1 + \tan ^2 x \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Trigonometri :
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (-A) = \cos A $
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk dengan $ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$\begin{align} & \tan ( - x + h ) - \tan (-x - h) \\ & = \frac{\sin (-x+h)}{\cos (-x+h)} - \frac{\sin (-x-h)}{\cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin (-x+h) \cos (-x-h)}{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} - \frac{\cos (-x + h)\sin (-x-h)}{\cos (-x + h)\cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin (-x+h) \cos (-x-h) - \cos (-x + h)\sin (-x-h) }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin [(-x+h) - (-x-h) ] }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin 2h }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin 2h }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} }{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h }{h} . \frac{1}{\sqrt{4-h^2} \cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{2 }{1} . \frac{1}{\sqrt{4-0^2} \cos (-x+0) \cos (-x-0)} \\ & = 2. \frac{1}{2\cos (-x ) \cos (-x )} \\ & = \frac{1}{ \cos x \cos x} \\ & = \frac{1}{ \cos ^2 x } \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Pertidaksamaan
Jika grafik $ f(x) $ di bawah grafik fungsi $ g(x) $, maka berlaku $ f(x) < g(x) $
*). Suatu fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ disebut memenuhi definis positif jika $ a > 0 $ dan $ D < 0 $, dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Definit positif artinya nilai fungsi kuadrat selalu positif untuk semua nilai variabelnya ($x$).
*). Jika terdapat suatu fungsi bernilai definit positif, maka fungsi tersebut bisa diabaikan karena tidak akan berpengaruh pada pertidaksamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 3^x $
Grafik $ y_1 = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y_2 = 3^x + 1 \, $ maka berlaku :
$\begin{align} y_1 & < y_2 \\ 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x & < 3^x + 1 \\ 3^{x }. 3^1 - \left(\frac{1}{3^2} \right)^x & < 3^x + 1 \\ 3. 3^{x } - \frac{1}{3^{2x}} - 3^x - 1 & < 0 \\ 2. 3^{x } - \frac{1}{(3^x)^2} - 1 & < 0 \\ 2p - \frac{1}{p^2} - 1 & < 0 \\ \frac{2p . p^2}{p^2} - \frac{1}{p^2} - \frac{p^2}{p^2} & < 0 \\ \frac{2p^3 - p^2 - 1}{p^2} & < 0 \, \, \, \, \, \, \text{(faktorkan)} \\ \frac{(2p^2+p+1)(p-1)}{p^2} & < 0 \end{align} $
*). Bentuk $ 2p^2+p+1 \, $ dan $ p^2 $ adalah definit positif, sehingga bisa diabaikan, pertidaksamaannya menjadi :
$\begin{align} \frac{(2p^2+p+1)(p-1)}{p^2} & < 0 \\ (p-1) & < 0 \\ p & < 1 \\ 3^x & < 1 \\ 3^x & < 3^0 \\ x & < 0 \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ x < 0 . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a - b - c = .... $
A). $ 33 \, $ B). $ 43 \, $ C). $ 53 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 73 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
atau dapat dipersingkat menjadi :
$ f = ph + s $
Keterangan :
$ f(x) = f \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = p \, $ pembagi,
$ h(x) = h \, $ hasil bagi,
$ s(x) = s \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s_1(x) = 3x^2 - 2 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, $ ....(i)
atau $ f = p.h_1 + s_1 $
*). $ [x +f(x)]^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s_2(x) = ax^2 + bx + c $ dan hasil bagi $ h_2(x) $
*). Menentukan bentuk $ [ x + f(x)]^2 \, $ atau $ [ x + f]^2 $
$\begin{align} [x + f(x)]^2 & = [x + f]^2 \\ & = [ x + p.h_1 + s_1]^2 \\ & = p(2h_1x+2h_1s_1+ph_1^2) + x^2+2s_1x+s_1^2 \end{align} $
Bentuk $ p(2h_1x+2h_1s_1+ph_1^2) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , sehingga tinggal mencari sisa pembagian $ x^2+2s_1x+s_1^2 $ oleh $ p $.
*). Menentukan bentuk $ x^2+2s_1x+s_1^2 $ :
$\begin{align} x^2+2s_1x+s_1^2 & = x^2+2(3x^2 - 2)x+(3x^2 - 2)^2 \\ & = x^2+6x^3 - 4x+ 9x^4 - 12x^2 + 4 \\ & = 9x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 4x + 4 \end{align} $
Dengan cara pembagian bersusun, sisa pembagian $ 9x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 4x + 4 $ oleh $ p(x) = x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 16x^2 - 31x - 26 $ .
artinya kita peroleh sisa pembagian $ [x+f(x)]^2 $ oleh $ p(x)=x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 16x^2 - 31x - 26 $ yang bentuknya sama dengan $ s_2(x) = ax^2 + bx + c $ . Sehingga $ 16x^2 - 31x - 26 = ax^2 + bx + c $ kita peroleh $ a = 16, b = -31, $ dan $ c = -26 $.
*). Menentukan hasil :
$ a - b - c = 16 - (-31)-(-26) = 73 $.
Jadi, nilai $ a - b - c = 73 . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a - b - c = .... $
A). $ 33 \, $ B). $ 43 \, $ C). $ 53 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 73 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s(x) = 3x^2 - 2 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, $ ....(i)
*). $ [x +f(x)]^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s(x) = ax^2 + bx + c $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ [x +f(x)]^2 = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \, $ ....(ii)
*). Agar kedua persamaan bisa diselesaikan, maka kita harus substitusi nilai $ x $ yang merupakan akar-akar dari pembaginya yaitu $ p(x) = x^3 - 3x + 5 $. Misalkan salah satu akarnya adalah $ x = z $, maka $ p(z) = z^3 - 3z + 5 = 0 $.
*). Dari bentuk $ z^3 - 3z + 5 = 0 $, kita peroleh :
$ z^3 - 3z + 5 = 0 \rightarrow z^3 = 3z - 5 $.
kita kalikan dengan $ z $ :
$ z^3 . z = (3z - 5) . z \rightarrow z^4 = 3z^2 - 5z $.
*). Substitusi $ x = z \, $ ke pers(i) dan $ p(z) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \\ f(z) & = p(z).h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 0.h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 3z^2 - 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align} $
*). Substitusi $ x = z $ ke pers(ii), dan $ p(z) = 0 $ , serta $ z^3 = 3z - 5 , \, z^4 = 3z^2 - 5z $ serta kita gunakan $ f(z) = 3z^2 - 2 $
$\begin{align} [x +f(x)]^2 & = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \\ [z +f(z)]^2 & = p(z).h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [z + 3z^2 - 2 ]^2 & = 0.h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [3z^2 + z- 2 ]^2 & = az^2 + bz + c \\ 9z^4 + 6z^3 - 11z^2 - 4z + 4 & = az^2 + bz + c \\ 9(3z^2 - 5z) + 6(3z - 5) - & 11z^2 - 4z + 4 \\ & = az^2 + bz + c \\ 16z^2 - 31z - 26 & = az^2 + bz + c \end{align} $
dari persamaan $ 16z^2 - 31z - 26 = az^2 + bz + c $ kita peroleh $ a = 16, b = -31, $ dan $ c = -26 $.
*). Menentukan hasil :
$ a - b - c = 16 - (-31)-(-26) = 73 $.
Jadi, nilai $ a - b - c = 73 . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P merupakan titik tengah BF, dan Q merupakan titik tengah DC. Jika $\angle PHQ = \theta$, maka $ \cos \theta = .... $
A). $ \frac{2}{15}\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{4}{15}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{2}{5}\sqrt{5} \, $ D). $ \frac{9}{130}\sqrt{65} \, $ E). $ \frac{4}{15}\sqrt{65} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar, misalkan panjang rusuknya 2 (panjang rusuk yang kita pilih bebas jika yang ditanyakan nilai trigonometri atau sudutnya).

*). Menentukan panjang sisi $ \Delta$PHQ :
-). Panjang HP pada segitiga HFP
$ HP = \sqrt{HF^2 + FP^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3 $
-). Panjang HQ pada $ \Delta$HDQ
$ HQ = \sqrt{HD^2 + DQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
-). Panjang BQ pada $ \Delta$BCQ
$ BQ = \sqrt{BC^2 + CQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
-). Panjang PQ pada $ \Delta$BPQ
$ PQ = \sqrt{BQ^2 + BP^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada $ \Delta$PHQ dengan aturan cosinus
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{HQ^2 + HP^2 - PQ^2}{2.HQ.HP} \\ & = \frac{(\sqrt{5})^2 + 3^2 - (\sqrt{6})^2}{2.\sqrt{5}.3} \\ & = \frac{5 + 9 - 6}{6\sqrt{5}} = \frac{8}{6\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}} \\ & = \frac{4}{3\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{4\sqrt{5}}{3 . 5} = \frac{4\sqrt{5}}{15} = \frac{4}{15} \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{4}{15} \sqrt{5} . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Vektor dan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika vektor $ u = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ dicerminkan pada garis $ x = y $ kemudian dirotasikan sejauh 90$^\circ$ dengan pusat ($0,0$) menjadi vektor $ v$, maka $ u+v = ..... $
A). $\left( \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ b \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor dan Transformasi
*). Penjumlahan dua vektor
Misalkan dua vektor $ a = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) \, $ dan $ b = \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) $.
Penjumlahannya : $ a + b = \left( \begin{matrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{matrix} \right) $
*). Misalkan transformasi pertama oleh matriks T1 dan dilanjutkan transformasi kedua oleh matriks T2, maka matriks gabungannya adalah : $ MT= T_2 \circ T_1 $.
*). Cara menentukan bayangan pada transformasi :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks gabungan
-). pertama dicerminkan terhadap $ y = x $
$ T_1 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
-). kedua, rotasi dengan sudut $ \theta = 90^\circ$
$ T_2 = \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
-). sehingga matriks gabungannya :
$ MT = T_2.T_1 = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan (vektor $v$) dengan awalnya vektor $u = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ v & = (MT).u \\ v & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ u + v $ :
$ u + v = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} -a \\ b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) $
Jadi, kita peroleh $ u + v = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Persamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya nilai $ x $ ketika $ 0 \leq x \leq 5\pi $ yang memenuhi persamaan
$ \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4\cos ^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 0 $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos px = 2\cos ^2 \frac{1}{2} (px) \, - \, 1 $
atau bisa diubah menjadi
$ \cos ^2 \frac{1}{2} (px) = \frac{1}{2}(\cos px + 1) $
sehingga bentuk dari :
$ \cos ^2 \frac{1}{2} x = \frac{1}{2}(\cos x + 1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan substitusi $ \cos ^2 \frac{1}{2} x = \frac{1}{2}(\cos x + 1) $
$\begin{align} \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4\cos ^2 \left( \frac{x}{2} \right) & = 0 \\ \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4. \frac{1}{2}(\cos x + 1) & = 0 \\ \cos ^2 x (\cos x + 1) - 2(\cos x + 1) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(dsitributif)} \\ (\cos x + 1)(\cos ^2 x - 2) & = 0 \\ (\cos x + 1) = 0 \vee (\cos ^2 x - 2) & = 0 \\ \cos x = -1 \vee \cos ^2 x & = 2 \end{align} $
*). Karena nilai $ \cos x \, $ paling besar (maksimum) adalah 1, maka nilai $ \cos ^2 x = 2 \, $ tidak memenuhi, sehingga yang memenuhi adalah $ \cos x = -1 $.
*). Dari $ \cos x = -1 $ , maka nilai $ x $ yang memenuhi adalah
$ \{ \pi , 3\pi , 5\pi \} $.
artinya ada tiga nilai $ x $ yang memenuhi persamaan dengan $ 0 \leq x \leq 5\pi $.
Jadi, ada 3 nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Aturan Cosinus SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahi $\Delta ABC$, titik D pada AB, dengan AB = 8, BC = 6, AC = 4 dan $ \angle BCD = \angle CBD$. Panjang CD = .....
A). $\frac{20}{7} \, $ B). $\frac{24}{7} \, $ C). $\frac{26}{7} \, $ D). $ \frac{30}{7} \, $ E). $ \frac{32}{7} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 

Karena $\angle BCD = \angle CBD$ , maka $\Delta$CBD sama kaki yaitu $ DB = DC = x $.
*). Menentukan nilai $ x $ :
Nilai cos B pada segitiga CBD sama dengan nilai cos B pada segitiga ABC karena besar sudutnya sama.
$\begin{align} \cos B \, (\Delta CBD) & = \cos B \, (\Delta ABC) \\ \frac{DB^2 + BC^2 - CD^2}{2 . DB. BC} & = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2.AB.BC} \\ \frac{x^2 + 6^2 - x^2}{2 . x.6} & = \frac{8^2 + 6^2 - 4^2}{2.8.6} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{36}{12x} & = \frac{7}{8} \\ \frac{3}{x} & = \frac{7}{8} \\ 7x & = 24 \\ x & = \frac{24}{7} \end{align} $
Jadi, panjang $ CD = x = \frac{24}{7} . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ....
A). $ 9\sqrt{2} \, $ B). $ 13 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 9\sqrt{3} \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
garis AB dan CB menyinggung lingkaran dimana panjangnya sama yaitu AB = BC.

$\clubsuit $ Pembahasan
 

Dari gambar di atas dan sesuai dengan konsep di atas, kita peroleh :
garis AE dan EF menyinggung lingkaran, artinya AE = EF.
garis FC dan BC menyinggung lingkaran, artinya FC = BC.
*). Misalkan panjang $ AE = x $ , maka $ EF=AE=x $
sehingga $ DE = AD - AE = 12 - x $.
dan $ FC = BC = 12$.
*). Menentukan nilai $ x $ dari $\Delta$CDE dengan pythagoras :
$\begin{align} EC^2 & = ED^2 + DC^2 \\ (12+x)^2 & = (12-x)^2 + 12^2 \\ 144+ 24x + x^2 & = 144 - 24x + x^2 + 144 \\ 48x & = 144 \\ x & = 3 \end{align} $
sehingga panjang $ CE = CF + EF = 12 + 3 = 15 $
Jadi, panjang $ CE = 15 \, $ cm $ . \, \heartsuit $



Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 245 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ....
A). $ 9\sqrt{2} \, $ B). $ 13 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 9\sqrt{3} \, $ E). $ 16 $
Nomor 2
Diketahi $\Delta ABC$, titik D pada AB, dengan AB = 8, BC = 6, AC = 4 dan $ \angle BCD = \angle CBD$. Panjang CD = .....
A). $\frac{20}{7} \, $ B). $\frac{24}{7} \, $ C). $\frac{26}{7} \, $ D). $ \frac{30}{7} \, $ E). $ \frac{32}{7} $
Nomor 3
Banyaknya nilai $ x $ ketika $ 0 \leq x \leq 5\pi $ yang memenuhi persamaan
$ \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4\cos ^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 0 $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Jika vektor $ u = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ dicerminkan pada garis $ x = y $ kemudian dirotasikan sejauh 90$^\circ$ dengan pusat ($0,0$) menjadi vektor $ v$, maka $ u+v = ..... $
A). $\left( \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ b \end{matrix} \right) \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P merupakan titik tengah BF, dan Q merupakan titik tengah DC. Jika $\angle PHQ = \theta$, maka $ \cos \theta = .... $
A). $ \frac{2}{15}\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{4}{15}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{2}{5}\sqrt{5} \, $ D). $ \frac{9}{130}\sqrt{65} \, $ E). $ \frac{4}{15}\sqrt{65} \, $
Nomor 6
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a - b - c = .... $
A). $ 33 \, $ B). $ 43 \, $ C). $ 53 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 73 $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $
Nomor 9
Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan $u_{n+2}:u_{n-1}=8$, maka $ u_1 + u_4 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Nilai konstanta positif $ a $ yang mungkin sehingga $ \frac{451}{50} $ merupakan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ untuk $ x \in \left[ 0, \frac{1}{2}\right] $ adalah ....
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 4$, dan kurva $ y = x^2$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^3 = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Misalkan $ g $ adalah garis singgung lingkaran $ x^2+y^2=25 $ di titik A(3,4). Jika garis singgung tersebut ditransformasikan dengan matriks rotasi $ \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$, maka absis dari titik potong antara garis singgung lingkaran dengan garis hasil transformasi adalah ....
A). $ \frac{7}{2} \, $ B). $ \frac{18}{5} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ \frac{24}{5} \, $ E). $ 5 $



Cara 4 : Kode 347 Pembahasan Eksponen SBMPTN Matematika Dasar tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A^{2x} = 2 $, maka $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = .... $
A). $\frac{31}{18} \, $ B). $\frac{31}{9} \, $ C). $ \frac{32}{18} \, $ D). $ \frac{33}{9} \, $ E). $ \frac{33}{18} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat-sifat eksponen dan bentuk akar :
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$ (a^m)^n = a^{mn} = (a^n)^m $
$ \sqrt{a} . \sqrt{a} = a $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 4 :
*). Untuk cara 4 ini kita ubah dalam bentuk akar dan merasionalkannya
$ A^{2x} = 2 \rightarrow (A^x)^2 = 2 \rightarrow A^x = \sqrt{2} $
Nilai dari :
$ (\sqrt{2})^5 = \sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2} = 2.2.\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
$ (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2} = 2.\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } & = \frac{A^{5x} - \frac{1}{A^{5x}}}{A^{3x} + \frac{1}{A^{3x}} } \\ & = \frac{(A^x)^5 - \frac{1}{(A^x)^5}}{(A^x)^3 + \frac{1}{(A^x)^3} } \\ & = \frac{(\sqrt{2})^5 - \frac{1}{(\sqrt{2})^5}}{(\sqrt{2})^3 + \frac{1}{(\sqrt{2})^3} } \\ & = \frac{4\sqrt{2} - \frac{1}{ 4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} } \\ & = \frac{4\sqrt{2} - \frac{1}{ 4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} } \times \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \\ & = \frac{32 - 1}{16 + 2 } \\ & = \frac{ 31 }{18} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = \frac{ 31 }{18} . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 347 Pembahasan Bidang Datar SBMPTN Matematika Dasar tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Titik X, Y, Z terletak pada segitiga ABC dengan $ AZ = AY, \, $ $ BZ = BX, \, $ dan $ CX = CY \, $ seperti pada gambar. Jika AB, AC, dan BC berturut-turut adalah 4 cm, 3 cm, dan 5 cm, maka luas segitiga CXY adalah .... cm$^2$.
A). $ \frac{6}{5} \, $ B). $ \frac{8}{5} \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ 2\sqrt{3} \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Bidang Datar
*). Pada segitiga siku-siku , berlaku :
$ \sin \theta = \frac{depan}{miring} $
*). Luas segitiga dengan rumus trigonometri :
Luas $\Delta = \frac{1}{2}. a . b. \sin \theta $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). Ilustrasi gambar
 

Segitiga ABC siku-siku di A karena memiliki sisi-sisi 3, 4, 5.
Misalkan panjang :
$ CX = CY = c $, sehingga $ BX=BZ = 5 - c \, $ dan $ AY=AZ=3-c$
Nilai $ \sin BCA = \frac{de}{mi} = \frac{BA}{BC} = \frac{4}{5} $
*). Menentukan nilai $ c $
$ \begin{align} BA & = BZ + ZA \\ 4 & = (5 - c) + (3-c) \\ 4 & = 8 - 2c \\ c & = 2 \end{align} $
*). Menentukan Luas segitiga CXY
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta CXY & = \frac{1}{2}. c .c . \sin BCA \\ & = \frac{1}{2}. 2 .2. \frac{4}{5} \\ & = \frac{8}{5} \end{align} $
Jadi, luas segitiga CXY adalah $ \frac{8}{5} . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 347 Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak SBMPTN Matematika Dasar tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x - 1 < \frac{2}{|x|} \, $ adalah ....
A). $ x < 1 \, $ B). $ x < 0 \, $ C). $ x > 0 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow x - 1 & < \frac{2}{|x|} \\ 1 - 1 & < \frac{2}{|1|} \\ 0 & < 2 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=1$ BENAR, opsi yang salah adalah A dan B.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-2 \Rightarrow x - 1 & < \frac{2}{|x|} \\ -2 - 1 & < \frac{2}{|-2|} \\ -3 & < 1 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=-2$ BENAR, opsi yang salah adalah C dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah D (yang tersisa) yaitu
$ -1 < x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, . \heartsuit$



Kode 347 Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak SBMPTN Matematika Dasar tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x - 1 < \frac{2}{|x|} \, $ adalah ....
A). $ x < 1 \, $ B). $ x < 0 \, $ C). $ x > 0 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Mutlak
*). Definisi Nilai Mutlak
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
$\begin{align} x - 1 & < \frac{2}{|x|} \\ x - 1 - \frac{2}{|x|} & < 0 \\ \frac{|x|(x - 1)}{|x|} - \frac{2}{|x|} & < 0 \\ \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \end{align} $
*). Nilait mutlak berdasarkan definisinya :
-). Untuk $ x \geq 0 $ , maka $ |x| = x $
$\begin{align} \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \\ \frac{x(x - 1) - 2}{x} & < 0 \\ \frac{x^2 - x - 2}{x} & < 0 \\ \frac{(x+1)(x-2)}{x} & < 0 \end{align} $
Akar-akarnya : $ x = -1, \, x = 2, \, $ dan $ x = 0 $
gambar garis bilangannya 

Karena $ x \geq 0 $ , maka solusinya HP1 = $ \{ 0 < x < 2 \} $
-). Untuk $ x < 0 $ , maka $ |x| = -x $
$\begin{align} \frac{|x|(x - 1) - 2}{|x|} & < 0 \\ \frac{(-x)(x - 1) - 2}{(-x)} & < 0 \\ \frac{x^2 - x + 2}{x} & < 0 \end{align} $
Bentuk $ x^2 - x + 2 \, $ adalah definit positif karena nilai $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ , sehingga bisa diabaikan, pertidaksamaan menjadi :
$\begin{align} \frac{x^2 - x + 2}{x} & < 0 \\ \frac{1}{x} & < 0 \end{align} $
HP2 = $ \{ x < 0 \} $
*). Sehingga solusi totalnya :
HP = HP1 $ \cup $ HP2 = $ \{ x < 0 \vee 0< x < 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < 0 \vee 0< x < 2 \} . \, \heartsuit $



Kode 347 Pembahasan SPL SBMPTN Matematika Dasar tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 2x + 3y = 12, \, 3x - 2y = 5, \, $ $ ax + by = 16 $ , dan $ ax - by = 8 $, maka $ a - b = .... $
A). $ -6 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar SPL (Sistem Persamaan Linear)
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, ada beberapa cara yaitu substitusi, eliminasi, dan gabungan (eliminasi dan substitusi). Metode gabungan yang sering digunakan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui empat persamaan :
$ 2x + 3y = 12 \, $ ...pers(i)
$ 3x - 2y = 5 \, $ ...pers(ii)
$ ax + by = 16 \, $ ...pers(iii)
$ ax - by = 8 \, $ ...pers(iv)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 12 & \times 2 & 4x + 6y = 24 & \\ 3x - 2y = 5 & \times 3 & 9x - 6y = 15 & + \\ \hline & & 13x = 39 & \\ & & x = 3 & \end{array} $
Pers(i) : $ 2x + 3y = 12 \rightarrow 2.3 + 3y = 12 \rightarrow y = 2 $
Kita peroleh nilai $ (x,y) = (3,2) $.
*). Substitusi nilai $ (x,y) = (3,2) \, $ ke persamaan lainnya
$ \begin{array}{cccc} ax + by = 16 & \rightarrow & 3a + 2b = 16 & \\ ax - by = 8 & \rightarrow & 3a - 2b = 8 & + \\ \hline & & 6a = 24 & \\ & & a = 4 & \end{array} $
pers(iii): $ 3a + 2b = 16 \rightarrow 3.4 + 2b = 16 \rightarrow b = 2 $.
*). Menentukan hasil $ a - b $ :
$ a - b = 4 - 2 = 2 $.
Jadi, nilai $ a - b = 2 . \, \heartsuit $



Kode 347 Pembahasan Limit Fungsi SBMPTN Matematika Dasar tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = ax^2 + b $. Jika $ f(2b) - f(b) = 3 $, dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(bx)}{x-1} = 2 $, maka $ a + b = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Fungsi
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \, $ angka dan $ g(k) = 0 \, $ , maka haruslah $ f(k) = 0 $. Sehingga bentukya $ \frac{0}{0} \, $ yang biasa disebut bentuk tak tentu.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
Fungsinya : $ f(x) = ax^2 + b $
Persamaan pertama
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(bx)}{x-1} = 2 \rightarrow \frac{f(b.1)}{1-1} = 2 \rightarrow \frac{f(b)}{0} = 2 $
Haruslah $ f(b) = 0 \, $ (berdasarkan konsep dasar limit), sehingga
$ \begin{align} f(x) & = ax^2 + b \\ f(b) & = 0 \\ a.b^2 + b & = 0 \\ b(ab+1) & = 0 \\ b = 0 \vee ab & = -1 \end{align} $
yang memenuhi $ ab = -1 \, $ ....(i)

Persamaan kedua : $ f(x) = ax^2 + b $
$ \begin{align} f(2b) - f(b) & = 3 \\ [a.(2b)^2 + b]- [a.b^2 + b] & = 3 \\ 4ab^2 + b - ab^2 - b & = 3 \\ 3ab^2 & = 3 \\ ab^2 & = 1 \\ (ab).b & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi (i))} \\ (-1).b & = 1 \\ b & = -1 \end{align} $

Sehingga $ ab = -1 \rightarrow a. (-1) = -1 \rightarrow a = 1 $.
Jadi, nilai $ a + b = 1 + (-1) = 0 . \, \heartsuit $



Kode 347 Pembahasan Statistika SBMPTN Matematika Dasar tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian 6 siswa berturut-turut adalah 10 dan 6. Jika median data tersebut adalah 6 dan selisih kuatil ke-1 dan ke-3 adalah 6, maka jumlah dua nilai ujian terendah adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika
*). Misalkan ada data : $ a, b, c,d,e, \, $ dan $ f $ yang sudah terurut dari terkecil hingga terbesar.
*). Rumus dasar pada statistika :
Jangkauan = terbesar - terkecil = $ f - a $
Median (nilai tenah) = $ \frac{c+d}{2} $
Kuartilnya : $Q_1 = b \, $ dan $ Q_3 = e $.
Rata-rata = $ \frac{a+b+c+d+e+f}{6} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan keenam nilai yang dimaksud adalah $ a, b,c, d,e,\, $ dan $ f $ yang sudah terurut dari kecil ke besar.
*). Menyusun persamaan :
-). Jangkauan = 10
$ f - a = 10 \rightarrow f = a + 10 \, $ ....(i)
-). Median = 6
$ \frac{c+d}{2} = 6 \rightarrow c + d = 12 \, $ ....(ii)
-). $Q_3 - Q_1 = 6 $
$ e - b = 6 \rightarrow e = b + 6 \, $ ....(iii)
*). Menentukan nilai $ a + b \, $ dari rata-rata dan menggunakan pers(i),(ii),(iii)
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 6 \\ \frac{a+b+c+d+e+f}{6} & = 6 \\ a+b+c+d+e+f & = 36 \\ a+b+12+(b+6)+ (a+10) & = 36 \\ 2(a+b)+28 & = 36 \\ 2(a+b) & = 36 - 28 \\ 2(a+b) & = 8 \\ a+b & = 4 \end{align} $
Jadi, jumlah dua nilai ujian terendah ($a+b$) adalah $ 4 . \, \heartsuit $



Kode 347 Pembahasan Bidang Datar SBMPTN Matematika Dasar tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Titik X, Y, Z terletak pada segitiga ABC dengan $ AZ = AY, \, $ $ BZ = BX, \, $ dan $ CX = CY \, $ seperti pada gambar. Jika AB, AC, dan BC berturut-turut adalah 4 cm, 3 cm, dan 5 cm, maka luas segitiga CXY adalah .... cm$^2$.
A). $ \frac{6}{5} \, $ B). $ \frac{8}{5} \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ 2\sqrt{3} \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Bidang Datar
*). Pada segitiga siku-siku , berlaku :
$ \sin \theta = \frac{depan}{miring} $
*). Luas segitiga dengan rumus trigonometri :
Luas $\Delta = \frac{1}{2}. a . b. \sin \theta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

Segitiga ABC siku-siku di A karena memiliki sisi-sisi 3, 4, 5.
Misalkan panjang :
$ AZ = AY = a, \, BZ = BX = b \, $ dan $ CX = CY = c $
Nilai $ \sin BCA = \frac{de}{mi} = \frac{BA}{BC} = \frac{4}{5} $
*). Persamaan yang bisa kita peroleh :
$ a + b = 4, \, b + c = 5 \, $ dan $ a + c = 3 $.
*). Menentukan Nilai $ c \, $ dari ketiga persamaan :
jumlahkan ketiga persamaa dan kita juga menggunakan nilai $ a + b = 4 $ , kita peroleh :
$ \begin{align} (a+b) + (b+c) + (a+c) & = 4 + 5 + 3 \\ 2(a+b+c) & = 12 \\ a + b + c & = 6 \, \, \, \, \text{(substitusi } a+b) \\ 4 + c & = 6 \\ c & = 6 -4 \\ c & = 2 \end{align} $
*). Menentukan Luas segitiga CXY
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta CXY & = \frac{1}{2}. c .c . \sin BCA \\ & = \frac{1}{2}. 2 .2. \frac{4}{5} \\ & = \frac{8}{5} \end{align} $
Jadi, luas segitiga CXY adalah $ \frac{8}{5} . \, \heartsuit $